資源簡(jiǎn)介

8.3　正態(tài)分布
基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練　　　　　 　　　　 　　　　
題組一　正態(tài)密度曲線及其特點(diǎn)
1.對(duì)A,B兩地國(guó)企員工上班遲到的情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),可知A,B兩地國(guó)企員工上班遲到的時(shí)間均符合正態(tài)分布,其中A地員工上班遲到的時(shí)間為X(單位:min),X~N(2,4),對(duì)應(yīng)的曲線為C1,B地員工上班遲到的時(shí)間為Y(單位:min),Y~N,對(duì)應(yīng)的曲線為C2,則下列圖象正確的是(　　)
　　　　　　　　　　　　
2.(多選題)某鄉(xiāng)鎮(zhèn)為了考核甲、乙兩村的文化惠民工程,在兩村的村民中進(jìn)行滿意度測(cè)評(píng),滿分100分,規(guī)定:得分不低于80分的為“高度滿意”,得分不超過(guò)60分的為“不滿意”.經(jīng)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)甲村的評(píng)分X和乙村的評(píng)分Y都近似服從正態(tài)分布,其中X~N(70,),0<σ1<σ2,則(　　)
A.X對(duì)應(yīng)的正態(tài)密度曲線比Y對(duì)應(yīng)的正態(tài)密度曲線更扁平
B.甲村的平均分低于乙村的平均分
C.甲村的高度滿意率與不滿意率相等
D.乙村的高度滿意率比不滿意率大
3.若一個(gè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(μ,σ2),且已知函數(shù)f(x)=的圖象如圖所示,則該隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=　　　　,方差D(X)=　　　　.
題組二　正態(tài)分布的概率計(jì)算
4.已知隨機(jī)變量X~N(1,4),則P(3附:若X~N(μ,σ2),則P(μ-σA.0.341 3 B.0.477 2
C.0.135 9 D.0.067 95
5.若隨機(jī)變量X~N(90,σ2),且P(X≤70)=0.12,則P(90≤X≤110)=(　　)
A.0.12　　　　B.0.24　　　　C.0.28　　　　D.0.38
6.已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(4,σ2),且,則P(3<ξ<5)=(　　)
A.
7.已知隨機(jī)變量X~N(2,σ2),若P(X≤1.5)=m,P(2≤X≤2.5)=1-3m,則P(X≤2.5)=(　　)
A.0.25　　　　B.0.5　　　　C.0.75　　　　D.0.85
8.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(μ,σ2),若P(2題組三　正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用
9.每袋食鹽的標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量為500克,現(xiàn)采用自動(dòng)流水線包裝食鹽,抽取一袋食鹽檢測(cè),它的實(shí)際質(zhì)量與標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量存在一定的誤差,誤差值為實(shí)際質(zhì)量減去標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量.隨機(jī)抽取100袋食鹽,檢測(cè)發(fā)現(xiàn)誤差X(單位:克)近似服從正態(tài)分布N(0,σ2),P(X≥2)=0.02,則X介于-2與2之間的食鹽袋數(shù)大約為(　　)
A.4　　　　B.48　　　　C.50　　　　D.96
10.青少年的身高一直是家長(zhǎng)和社會(huì)關(guān)注的重點(diǎn),它不僅關(guān)乎個(gè)體成長(zhǎng),也是社會(huì)健康素養(yǎng)發(fā)展水平的體現(xiàn).某市教育部門為了解本市高三學(xué)生的身高狀況,從本市全體高三學(xué)生中隨機(jī)抽查了1 200人,經(jīng)統(tǒng)計(jì)后發(fā)現(xiàn)樣本的身高X(單位:cm)近似服從正態(tài)分布N(172,σ2),且身高在168 cm至176 cm之間的人數(shù)占樣本容量的75%,則樣本中身高不低于176 cm的約有(　　)
A.150人　　　　B.300人　　　　C.600人　　　　D.900人
11.某校高二年級(jí)對(duì)物選組合學(xué)生進(jìn)行物理學(xué)科抽測(cè),總分100分,學(xué)生的抽測(cè)結(jié)果X服從正態(tài)分布N(70,100),其中60分為及格線,90分為優(yōu)秀線.若高二年級(jí)共有物選組合學(xué)生682人,則抽測(cè)結(jié)果在及格線與優(yōu)秀線之間的學(xué)生人數(shù)約為(　　)
附:隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(μ,δ2),則P(μ-δ<ξ<μ+δ)=0.682 6,P(μ-2δ<ξ<μ+2δ)=0.954 4,P(μ-3δ<ξ<μ+3δ)=0.997 4.
A.456　　　　B.558　　　　C.584　　　　D.651
12.某小區(qū)居民前往高鐵站有兩種方案可選,方案一:穿過(guò)市區(qū),路程較短但交通擁擠,經(jīng)測(cè)算所需時(shí)間X1(單位:分鐘)服從正態(tài)分布N1(50,100);方案二:騎共享單車到地鐵站,乘地鐵前往,路程長(zhǎng),但意外阻塞較少,經(jīng)測(cè)算所需時(shí)間X2(單位:分鐘)服從正態(tài)分布N2(60,16).該小區(qū)的甲、乙兩人分別有70分鐘與64分鐘可用,要使兩人按時(shí)到達(dá)高鐵站的可能性更大,則甲、乙兩人選擇的方案分別為(　　)
附:若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(μ,σ2),則P(μ-σA.方案一,方案一 B.方案一,方案二
C.方案二,方案一 D.方案二,方案二
13.在某次數(shù)學(xué)測(cè)試中,學(xué)生成績(jī)X(單位:分)近似服從正態(tài)分布N(100,δ2).若P(80≤X≤120)=,則從參加這次測(cè)試的學(xué)生中任意選取3名學(xué)生,至少有2名學(xué)生的成績(jī)低于80分的概率是　　　　.
14.某保險(xiǎn)公司有一款保險(xiǎn)產(chǎn)品,該產(chǎn)品今年保費(fèi)為200元/人,賠付金額為5萬(wàn)元/人.假設(shè)該保險(xiǎn)產(chǎn)品的客戶為10 000名,每人被賠付的概率均為0.25%,記10 000名客戶中獲得賠償?shù)娜藬?shù)為X.
(1)求E(X),并計(jì)算該公司今年這一款保險(xiǎn)產(chǎn)品利潤(rùn)的期望;
(2)二項(xiàng)分布是離散型的,而正態(tài)分布是連續(xù)型的,它們是不同的概率分布,但是,隨著二項(xiàng)分布的試驗(yàn)次數(shù)的增加,二項(xiàng)分布折線圖與正態(tài)分布曲線幾乎一致,所以當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)較大時(shí),可以利用正態(tài)分布處理二項(xiàng)分布的相關(guān)概率計(jì)算問(wèn)題,我們知道,若X~B(n,p),則D(X)=np(1-p),當(dāng)n較大且p較小時(shí),我們?yōu)榱撕?jiǎn)化計(jì)算,常用E(X)的值估算D(X)的值.
請(qǐng)根據(jù)上述信息,求:
①該公司今年這一款保險(xiǎn)產(chǎn)品的利潤(rùn)為50~100萬(wàn)元的概率;
②該公司今年這一款保險(xiǎn)產(chǎn)品虧損的概率.
參考數(shù)據(jù):若X~N(μ,σ2),則P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.683,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997.
能力提升練　　　　　 　　　　 　　　　
題組一　正態(tài)分布及其概率計(jì)算
1.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2,σ2)(σ>0),則“m=1”是“P(X≥m2)+P(X>m+2)=1”的(　　)
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
2.設(shè)隨機(jī)變量X~N(μ,σ2),且P(X≥a)=0.5,P(XA.0.25　　　　B.0.3　　　　C.0.5　　　　D.0.75
3.已知隨機(jī)變量X~B(2,p),隨機(jī)變量Y~N(2,σ2),若P(X≤1)=0.36,P(Y<4)=p,則P(0A.0.1　　　　B.0.2　　　　C.0.3　　　　D.0.4
4.隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(1,σ2),隨機(jī)變量η服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1),若P(η<1)=P(ξ<4)=a,則P(1<ξ<1+σ)=　　　　.(用字母a表示)
題組二　正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用
5.正態(tài)分布是一種重要的概率分布,它是由法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫弗(De Moivre)于1733年提出的,但由于德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯(C. F. Gauss)率先應(yīng)用于天文學(xué)研究,故正態(tài)分布又稱為高斯分布,記作Y~N(μ,σ2).μ=0,σ=1的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,如果令X=,則可以證明X~N(0,1),即任意的正態(tài)分布可以通過(guò)變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.如果X~N(0,1),那么對(duì)任意的a,通常記Φ(a)=P(XA.756　　　　B.748　　　　C.782　　　　D.764
6.(多選題)某市兩萬(wàn)名高三學(xué)生數(shù)學(xué)期末統(tǒng)考成績(jī)(滿分150分)近似服從正態(tài)分布N(96,256),則下列說(shuō)法正確的是(　　)
附:若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(μ,σ2),則P(μ-σA.該次成績(jī)高于144分的學(xué)生約有27人
B.任取該市一名高三學(xué)生,其成績(jī)低于80分的概率約為0.023
C.若將該次成績(jī)的前2.28%劃定為優(yōu)秀,則優(yōu)秀分?jǐn)?shù)線約為128分
D.試卷平均得分與試卷總分比值為該試卷難度,則該份試卷難度為0.60
7.某藍(lán)莓基地種植藍(lán)莓,按1個(gè)藍(lán)莓果質(zhì)量Z克分為:Z>20的為A級(jí),18附:若Z~N(μ,σ2),則P(μ-σA.4　　　　B.5　　　　C.6　　　　D.7
8.(多選題)某企業(yè)使用新技術(shù)對(duì)某款芯片制造工藝進(jìn)行改進(jìn).部分芯片由智能檢測(cè)系統(tǒng)進(jìn)行篩選,其中部分次品芯片會(huì)被淘汰,篩選后的芯片及未經(jīng)篩選的芯片進(jìn)入流水線由工人進(jìn)行抽樣檢驗(yàn).記用A表示事件“某芯片通過(guò)智能檢測(cè)系統(tǒng)篩選”,用B表示事件“某芯片經(jīng)人工抽檢后合格”.改進(jìn)生產(chǎn)工藝后,該款芯片的某項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)ξ服從正態(tài)分布N(5.40,0.052),現(xiàn)從中隨機(jī)抽取M個(gè),這M個(gè)芯片中恰有m個(gè)的質(zhì)量指標(biāo)ξ在區(qū)間(5.35,5.55)內(nèi),則下列說(shuō)法正確的是(　　)
附:若ξ~N(μ,σ2),則P(μ-σ<ξ≤μ+σ)≈0.682 6,P(μ-3σ<ξ≤μ+3σ)≈0.997 4.
A.P(B|A)>P(B)
B.P(A|B)C.P(5.35<ξ<5.55)≈0.84
D.P(m=45)取得最大值時(shí),M的估計(jì)值為53
9.某市統(tǒng)計(jì)高中生身體素質(zhì)的狀況,規(guī)定身體素質(zhì)指標(biāo)值不小于60就認(rèn)為身體素質(zhì)合格.現(xiàn)從全市隨機(jī)抽取100名高中生的身體素質(zhì)指標(biāo)值xi(i=1,2,3,…,100),經(jīng)計(jì)算,=100×(722+36).若該市高中生的身體素質(zhì)指標(biāo)值服從正態(tài)分布N(μ,σ2),則估計(jì)該市高中生身體素質(zhì)的合格率為　　　　.(用百分?jǐn)?shù)作答,精確到0.1%)
參考數(shù)據(jù):若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(μ,σ2),則P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3.
10.某商場(chǎng)在五一假期期間開展了一項(xiàng)有獎(jiǎng)闖關(guān)活動(dòng),并對(duì)每一關(guān)根據(jù)難度進(jìn)行賦分,競(jìng)猜活動(dòng)共五關(guān),規(guī)定:上一關(guān)不通過(guò)則不進(jìn)入下一關(guān),本關(guān)第一次未通過(guò)有再挑戰(zhàn)一次的機(jī)會(huì),兩次均未通過(guò),則闖關(guān)失敗,且各關(guān)能否通過(guò)相互獨(dú)立,已知甲、乙、丙三人都參加了該闖關(guān)活動(dòng).
(1)若甲第一關(guān)通過(guò)的概率為,求甲可以進(jìn)入第三關(guān)的概率;
(2)已知該闖關(guān)活動(dòng)的累計(jì)得分近似服從正態(tài)分布,且滿分為450分,現(xiàn)要根據(jù)得分給2 500名參加者中得分前400名發(fā)放獎(jiǎng)勵(lì).
①假設(shè)該闖關(guān)活動(dòng)平均分為171分,351分以上共有57人,已知甲的得分為270分,則甲能否獲得獎(jiǎng)勵(lì) 請(qǐng)說(shuō)明理由;
②丙得知他的分?jǐn)?shù)為430分,而乙告訴丙:“這次闖關(guān)活動(dòng)平均分為201分,351分以上共有57人”,請(qǐng)結(jié)合統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)幫助丙辨別乙所說(shuō)信息的真?zhèn)?
注:通常把概率小于0.05的事件稱為小概率事件,小概率事件基本不會(huì)發(fā)生.
附:若隨機(jī)變量X~N(μ,σ2),則P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3.
答案與分層梯度式解析
8.3　正態(tài)分布
基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練
1.B 2.BCD 4.C 5.D 6.A 7.C 9.D 10.A
11.B 12.C
1.B　由題意得μX=2,μY=3,故曲線C1的對(duì)稱軸在曲線C2的左側(cè),排除C,D;由,得曲線C2比曲線C1瘦高,即曲線C1比曲線C2矮胖,排除A.故選B.
2.BCD　對(duì)于A,曲線越扁平,方差越大,因?yàn)?<σ1<σ2,所以Y對(duì)應(yīng)的正態(tài)密度曲線比X對(duì)應(yīng)的正態(tài)密度曲線更扁平,故A錯(cuò)誤;
對(duì)于B,甲村的平均分為70分,乙村的平均分為75分,故B正確;
對(duì)于C,因?yàn)榧状宓钠骄譃?0,所以P(X≥80)=P(X≤60),故C正確;
對(duì)于D,因?yàn)橐掖宓钠骄譃?5,所以P(X≥80)>P(X≤60),故D正確.故選BCD.
3.答案　5;1
解析　由題圖可得,當(dāng)x=5時(shí),f(x)=有最大值,為,所以μ=5,σ=1,所以X~N(5,1),
所以E(X)=μ=5,D(X)=σ2=1.
4.C　易知P(1所以P(35.D　因?yàn)殡S機(jī)變量X~N(90,σ2),所以根據(jù)正態(tài)密度曲線的對(duì)稱性可得P(90≤X≤110)==0.38.故選D.
6.A　因?yàn)殡S機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(4,σ2),
所以μ=4,即正態(tài)密度曲線的對(duì)稱軸是直線x=4,
則P(ξ<3)=1-P(ξ<5),
又,所以P(ξ<3)=,
所以P(3<ξ<5)=P(ξ<5)-P(ξ<3)=.
故選A.
7.C　因?yàn)殡S機(jī)變量X~N(2,σ2),所以P(X≤1.5)=P(X≥2.5)=m,
則P(X≥2)=P(X≥2.5)+P(2≤X≤2.5)=m+1-3m=0.5,解得m=0.25,
所以P(X≤2.5)=1-P(X>2.5)=0.75.故選C.
8.答案　4
解析　由題意得P(X≤2)=1-P(X≥6)-P(29.D　由題知,X~N(0,σ2),因?yàn)镻(X≥2)=0.02,所以P(0故100×0.96=96(袋).故選D.
10.A　由題知,X~N(172,σ2),P(168所以P(172則P(X≥176)=0.5-0.375=0.125,所以樣本中身高不低于176 cm的約有0.125×1 200=150(人).故選A.
11.B　抽測(cè)結(jié)果在及格線與優(yōu)秀線之間的學(xué)生的占比為=0.818 5,
故抽測(cè)結(jié)果在及格線與優(yōu)秀線之間的學(xué)生人數(shù)約為682×0.818 5≈558.故選B.
12.C　對(duì)于甲,若選擇方案一,則按時(shí)到達(dá)高鐵站的概率為P(X1≤70)=P(X1≤μ1+2σ1)≈1-=0.977,
若選擇方案二,則按時(shí)到達(dá)高鐵站的概率為P(X2≤70),
因?yàn)镻(X2≤68)=P(X2≤μ2+2σ2)≈1-=0.977,所以P(X2≤70)>0.977.
綜上所述,甲應(yīng)選擇方案二.
對(duì)于乙,若選擇方案一,則按時(shí)到達(dá)高鐵站的概率為P(X1≤64),
因?yàn)镻(X1≤60)=P(X1≤μ1+σ1)≈1-=0.841 5,所以P(X1≤64)>0.841 5,
若選擇方案二,則按時(shí)到達(dá)高鐵站的概率為P(X2≤64)=P(X2≤μ2+σ2)≈1-=0.841 5.
綜上所述,乙應(yīng)選擇方案一.故選C.
13.答案　
解析　因?yàn)镻(80≤X≤120)=,X近似服從正態(tài)分布N(100,δ2),
所以P(X<80)=,
則從參加這次測(cè)試的學(xué)生中任意選取3名學(xué)生,至少有2名學(xué)生的成績(jī)低于80分的概率為.
14.解析　(1)由題意得X~B(10 000,0.25%),
則E(X)=10 000×0.002 5=25,
記該公司今年這一款保險(xiǎn)產(chǎn)品的利潤(rùn)為Y萬(wàn)元,則Y=200-5X,
所以E(Y)=E(200-5X)=200-5E(X)=75.
(2)①由(1)知E(X)=25,則由題意可得D(X)=25,
故X近似服從正態(tài)分布N(25,25),
若該公司今年這一款保險(xiǎn)產(chǎn)品的利潤(rùn)Y=200-5X∈(50,100),則X∈(20,30),
P(Y=200-5X∈(50,100))=P(20故該公司今年這一款保險(xiǎn)產(chǎn)品的利潤(rùn)為50~100萬(wàn)元的概率約為0.683.
②若該公司今年這一款保險(xiǎn)產(chǎn)品的利潤(rùn)Y=200-5X<0,則X>40,
P(Y=200-5X<0)=P(X>40)=P(X>μ+3σ)≈=0.001 5.
故該公司今年這一款保險(xiǎn)產(chǎn)品虧損的概率約為0.001 5.
能力提升練
1.A 2.A 3.C 5.D 6.AC 7.A 8.ACD
1.A　因?yàn)閄~N(2,σ2),所以P(X<1)=P(X>3),P(X>4)=P(X<0),
若m=1,則P(X≥1)+P(X>3)=P(X≥1)+P(X<1)=1,
即P(X≥m2)+P(X>m+2)=1,故充分性成立;
若P(X≥m2)+P(X>m+2)=1,則m2+m+2=2×2,
解得m=1或m=-2,故必要性不成立,
所以“m=1”是“P(X≥m2)+P(X>m+2)=1”的充分不必要條件.故選A.
2.A　因?yàn)閄~N(μ,σ2),P(X≥a)=0.5,所以a=μ,
因?yàn)镻(X所以P(X≥b)=,
所以根據(jù)正態(tài)密度曲線的對(duì)稱性,得P(X≤2a-b)=P(X≥b)=0.25.故選A.
3.C　因?yàn)閄~B(2,p),P(X≤1)=0.36,
所以P(X≤1)=(1-p)2+2p(1-p)=0.36,解得p=0.8或p=-0.8(舍去),
因?yàn)镻(Y<4)=p=0.8,所以P(Y≥4)=1-0.8=0.2,
又Y~N(2,σ2),所以P(04.答案　a-
解析　隨機(jī)變量η服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1),根據(jù)正態(tài)密度曲線的對(duì)稱性,可知P(η<0)=,
因?yàn)镻(η<1)=a,所以P(0<η<1)=a-,
即P(μ<η<μ+σ)=a-,
隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(1,σ2),根據(jù)正態(tài)密度曲線的對(duì)稱性,可知P(ξ<1)=,
因?yàn)镻(ξ<4)=a,所以P(1<ξ<4)=a-,
即P(1<ξ<1+σ)=a-.
5.D　設(shè)該校高三年級(jí)學(xué)生的期中考試數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)閅分,則Y~N(100,62),
令X=,則X~N(0,1),
所以成績(jī)落在(88,112]內(nèi)的概率為P=P(-2由Φ(2)=0.977 2,得Φ(2)=P(X<2)=0.977 2,
所以P(-2故成績(jī)落在(88,112]內(nèi)的人數(shù)約為800×0.954 4≈764.故選D.
6.AC　對(duì)于A,設(shè)兩萬(wàn)名高三學(xué)生數(shù)學(xué)期末統(tǒng)考成績(jī)?yōu)閄分,則X~N(96,256),
所以μ=96,σ=16,則μ+3σ=144,
所以P(X>144)≈=0.001 35,
所以該次成績(jī)高于144分的學(xué)生約有0.001 35×20 000=27(人),故A正確;
對(duì)于B,μ=96,σ=16,μ-σ=80,
所以P(X<80)≈=0.158 65,故B不正確;
對(duì)于C,μ+2σ=128,μ-2σ=64,
所以P(μ-2σ所以P(X>128)=×100%=0.022 75×100%≈2.28%,
若將該次成績(jī)的前2.28%劃定為優(yōu)秀,則優(yōu)秀分?jǐn)?shù)線約為128分,故C正確;
對(duì)于D,試卷平均得分為96分,試卷總分150分,
所以=0.64,故D不正確.
故選AC.
7.A　因?yàn)樗{(lán)莓果質(zhì)量Z近似服從正態(tài)分布N(15,9),
所以μ=15,σ=3,
則P=P(Z>18)=P(Z>μ+σ)=≈0.2,
設(shè)第k次抽到優(yōu)等果的概率為P(X=k),則P(X=k)=0.8k-1×0.2(k=1,2,3,…,n-1),
恰好抽取n次的概率P(X=n)=0.8n-1,
所以E(X)=0.2×k·0.8k-1+n·0.8n-1,
設(shè)M=k·0.8k-1,則0.8M=k·0.8k,
兩式相減,得0.2M=0.8k-1-(n-1)·0.8n-1=-(n-1)·0.8n-1=5(1-0.8n-1)-(n-1)·0.8n-1,
所以E(X)=0.2M+n·0.8n-1=5(1-0.8n-1)-(n-1)·0.8n-1+n·0.8n-1=5(1-0.8n),
由5(1-0.8n)≤3,得0.8n≥0.4,
又0.84=0.409 6>0.4,0.85=0.327 68<0.4,
所以n的最大值為4.故選A.
8.ACD　依題意,P(B|A)>P(B),故A正確;
由P(A)·P(B|A)>P(A)·P(B),得P(AB)>P(A)·P(B),又P(AB)+P(A)=P(A)·P(B|A)+P(A)·P(|A)=P(A),
所以P(AB)>P(B)·[P(AB)+P(A)],
即P(AB)-P(AB)·P(B)>P(B)·P(A),
因此,即,
則P(A|B)>P(A|),故B錯(cuò)誤;
P(5.35<ξ<5.55)=P(5.40-0.05<ξ<5.40+3×0.05)
=P(μ-σ≈×(0.682 6+0.997 4)=0.84,故C正確;
m~B(M,0.84),P(m=45)=×0.8445×0.16M-45,
設(shè)f(x)=×0.8445×0.16x-45,
則 ,
令0.16×>1,得x<≈52.6,即f(53)>f(52),
,
令0.16×<1,得x>,即f(53)>f(54),
所以P(m=45)取得最大值時(shí),M的估計(jì)值為53,故D正確.
故選ACD.
9.答案　97.7%
解析　因?yàn)閿?shù)據(jù)x1,x2,x3,…,x100的平均值xi=72,方差s2=×[100×(722+36)-100×722]=36,
所以μ的估計(jì)值為72,σ的估計(jì)值為6.
設(shè)該市高中生的身體素質(zhì)指標(biāo)值為X,則X~N(72,62),
由P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,得P(72-12≤X≤72+12)=P(60≤X≤84)≈0.954 5,
P(X>84)=P(X>μ+2σ)=P(X<μ-2σ)==0.022 75,
所以P(X≥60)=P(60≤X≤84)+P(X>84)≈0.954 5+0.022 75=0.977 25×100%≈97.7%.
故估計(jì)該市高中生身體素質(zhì)的合格率為97.7%.
10.解析　(1)設(shè)事件Ai表示“第i次通過(guò)第一關(guān)”,事件Bi表示“第i次通過(guò)第二關(guān)”,其中i=1,2,甲可以進(jìn)入第三關(guān)的概率為P,
由題意知,P=P(A1B1)+P(B2)
=P(A1)P(B1)+P()·P(B2)+P()P(B2)
=.
(2)設(shè)該闖關(guān)活動(dòng)的累計(jì)得分為X分,則X~N(μ,σ2).
①甲能獲得獎(jiǎng)勵(lì).理由如下:
由題意可知μ=171,
因?yàn)?0.022 8,且P(X>μ+2σ)=≈0.022 8,
所以μ+2σ=351,則σ==90,
因?yàn)?0.16,且P(X>μ+σ)=≈0.158 7<0.16,
所以前400名參賽者的最低得分低于μ+σ=261分,而甲的得分為270分,所以甲能獲得獎(jiǎng)勵(lì).
②假設(shè)乙所說(shuō)信息為真,則μ=201,
P(X≥μ+2σ)=≈0.022 8,
而=0.022 8,所以μ+σ=351,所以σ==75,
從而μ+3σ=201+3×75=426<430,
而P(X≥μ+3σ)=≈0.001 35<0.05,
所以X≥μ+3σ為小概率事件,即丙的分?jǐn)?shù)為430分是小概率事件,可認(rèn)為其一般不可能發(fā)生,但卻又發(fā)生了,所以可認(rèn)為乙所說(shuō)信息為假.
6(共15張PPT)
8.3 正態(tài)分布
必備知識(shí) 清單破
　
1.概率密度曲線
　　在頻率分布直方圖中,如果數(shù)據(jù)無(wú)限增多且組距無(wú)限縮小,那么頻率分布直方圖上的折 線將趨于一條光滑的曲線,我們將此曲線稱為概率密度曲線.
2.正態(tài)密度曲線
　　稱函數(shù)P(x)= (x∈R)為正態(tài)密度函數(shù),稱它的圖象為正態(tài)密度曲線.這里有兩
個(gè)參數(shù)μ和σ,其中σ>0,μ∈R.
知識(shí)點(diǎn) 1 正態(tài)密度曲線
3.正態(tài)密度曲線的特征
(1)當(dāng)x<μ時(shí),曲線上升;當(dāng)x>μ時(shí),曲線下降;當(dāng)曲線向左右兩邊無(wú)限延伸時(shí),以x軸為漸近線.
(2)曲線關(guān)于直線x=μ對(duì)稱.
(3)σ越大,曲線越扁平;σ越小,曲線越尖陡.
(4)在曲線下方和x軸上方范圍內(nèi)的區(qū)域面積為1.
1.正態(tài)分布
設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量,若對(duì)任給區(qū)間(a,b],P(a
2.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布
μ=0且σ=1的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,記作X~N(0,1).
知識(shí)點(diǎn) 2 正態(tài)分布
若X~N(μ,σ2),則 ~N(0,1).
　　如圖,隨機(jī)變量X的取值

　　落在區(qū)間(μ-σ,μ+σ)內(nèi)的概率約為68.3%;
落在區(qū)間(μ-2σ,μ+2σ)內(nèi)的概率約為95.4%;
落在區(qū)間(μ-3σ,μ+3σ)內(nèi)的概率約為99.7%.
知識(shí)點(diǎn)3 正態(tài)總體在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)的取值
事實(shí)上,μ就是隨機(jī)變量X的均值,σ2就是隨機(jī)變量X的方差,它們分別反映X取值的平均大小和 穩(wěn)定程度.
知識(shí)辨析
1.若隨機(jī)變量X~N(μ,σ2),則X可以是離散型隨機(jī)變量嗎
2.正態(tài)密度曲線對(duì)應(yīng)的函數(shù)中的參數(shù)μ,σ的意義分別是什么
3.正態(tài)密度曲線與x軸圍成的區(qū)域的面積是隨參數(shù)μ,σ的變化而變化的嗎
一語(yǔ)破的
1.不可以.服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量X是連續(xù)型隨機(jī)變量.
2.參數(shù)μ,σ表示的分別是樣本的均值和標(biāo)準(zhǔn)差.
3.不是.正態(tài)密度曲線與x軸圍成的區(qū)域的面積總為1,不會(huì)隨參數(shù)μ,σ的變化而變化.
關(guān)鍵能力 定點(diǎn)破
　　在正態(tài)分布下求概率的關(guān)鍵在于充分恰當(dāng)?shù)乩谜龖B(tài)曲線的對(duì)稱性,把待求概率的區(qū)間 轉(zhuǎn)化為已知概率的區(qū)間.當(dāng)條件中無(wú)已知概率時(shí),則要將區(qū)間轉(zhuǎn)化為三個(gè)特殊區(qū)間:(μ-σ,μ+σ), (μ-2σ,μ+2σ),(μ-3σ,μ+3σ).利用隨機(jī)變量X在這三個(gè)特殊區(qū)間取值的概率進(jìn)行計(jì)算.
一般地,若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(μ,σ2),則
(1)P(X≥a)=1-P(X(2)對(duì)任意的實(shí)數(shù)a,有P(X≤μ-a)=P(X≥μ+a);
(3)P(a≤X≤b)=P(X≤b)-P(X定點(diǎn) 1 正態(tài)分布的概率問(wèn)題
典例 已知兩個(gè)隨機(jī)變量X,Y,其中X~B ,Y~N(μ,σ2)(σ>0),若E(X)=E(Y),且P(Y<-2)=0.1,則P
(|Y-7|<3)=(　 )
A.0.1　 B.0.2　 C.0.3　 D.0.4
D
解析 因?yàn)閄~B ,
所以E(X)=10× =4,
又因?yàn)镋(X)=E(Y),Y~N(μ,σ2),
所以μ=E(Y)=4,
所以P(Y>10)=P(Y<-2)=0.1,
所以P(|Y-7|<3)=P(44)-P(Y>10)=0.5-0.1=0.4.故選D.
　
　　利用服從正態(tài)分布N(μ,σ2)的隨機(jī)變量X的取值落在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)的概率,可以解決兩 類實(shí)際問(wèn)題:
一類是估計(jì)在某一范圍內(nèi)的數(shù)量.具體方法是先確定隨機(jī)變量的取值在該范圍內(nèi)的概率,再 乘樣本容量即可;
另一類是利用3σ原則作決策.決策步驟如下:①確定一次試驗(yàn)中取值a是否落在區(qū)間(μ-3σ,μ+3 σ)內(nèi);②作出判斷,若a∈(μ-3σ,μ+3σ),則接受統(tǒng)計(jì)假設(shè),若a (μ-3σ,μ+3σ),則拒絕統(tǒng)計(jì)假設(shè).
定點(diǎn) 2 正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用
典例1 某省高考改革試點(diǎn)方案規(guī)定高考總成績(jī)由語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)三門統(tǒng)考科目和思想政 治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物六門選考科目組成,將每門選考科目的考生原始成績(jī)從 高到低劃分為A,B+,B,C+,C,D+,D,E,共8個(gè)等級(jí),參照正態(tài)分布原則,確定各等級(jí)人數(shù)所占比例 分別為3%,7%,16%,24%,24%,16%,7%,3%,選考科目成績(jī)計(jì)入考生總成績(jī)時(shí),將A至E等級(jí)內(nèi)的 考生原始成績(jī),依照等比例轉(zhuǎn)換法則,分別轉(zhuǎn)換到[91,100],[81,90],[71,80],[61,70],[51,60],[41,5 0],[31,40],[21,30]這八個(gè)分?jǐn)?shù)區(qū)間內(nèi),得到考生的等級(jí)成績(jī).如果山東省某次高考模擬考試物 理科目的原始成績(jī)X~N(50,256),那么D等級(jí)的原始分最高大約為(　 )
附:①若X~N(μ,σ2),Y= ,則Y~N(0,1);②當(dāng)Y~N(0,1)時(shí),P(Y≤1.3)≈0.9.
A.23　 B.29　 C.36　 D.43
B
解析 由題意知X~N(50,256),
則有μ=50,σ=16,
設(shè)D等級(jí)的原始分最高大約為x,對(duì)應(yīng)的等級(jí)分為40,而P(等級(jí)分≥40)=1-(7%+3%)=0.9,
∴P =0.9,而P(Y≤1.3)≈0.9,由對(duì)稱性知P(Y≥-1.3)≈0.9,
∴ =-1.3,解得x=29.2≈29.故選B.
典例2 從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中隨機(jī)抽取100件,測(cè)量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值,由測(cè)量 結(jié)果得頻率直方圖,如圖所示:

(1)求這100件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù) 和方差s2(同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作為
代表);
(2)由頻率直方圖可以認(rèn)為,這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值Z服從正態(tài)分布N(μ,σ2),其中μ近似為樣本 平均數(shù) ,σ2近似為樣本方差s2.
①若某用戶從該企業(yè)購(gòu)買了10件這種產(chǎn)品,記X表示這10件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值位于[187.4,22 5.2]的產(chǎn)品件數(shù),求E(X);
②一天內(nèi)抽取的產(chǎn)品中,若出現(xiàn)了質(zhì)量指標(biāo)值在[μ-3σ,μ+3σ]之外的產(chǎn)品,就認(rèn)為這一天的生 產(chǎn)過(guò)程中可能出現(xiàn)了異常情況,需要對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查.下面的表格記錄了檢驗(yàn)員 在一天內(nèi)抽取的15件產(chǎn)品(編號(hào)分別為1~15)的質(zhì)量指標(biāo)值,根據(jù)近似值判斷是否需要對(duì)當(dāng)天 的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查.
產(chǎn)品編號(hào) 1 2 3 4 5
質(zhì)量指標(biāo)值 162.3 173.5 188 189.6 194
產(chǎn)品編號(hào) 6 7 8 9 10
質(zhì)量指標(biāo)值 194.9 199 204 206.3 207.2
產(chǎn)品編號(hào) 11 12 13 14 15
質(zhì)量指標(biāo)值 216 216.7 227 228.1 237.9
附: ≈12.6.若X~N(μ,σ2),則P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.683,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954,P(μ-3σ≤X
≤μ+3σ)≈0.997.
解析 (1)由題意得, =170×0.025+180×0.09+190×0.22+200×0.32+210×0.24+220×0.08+230×
0.025=200,
s2=(-30)2×0.025+(-20)2×0.09+(-10)2×0.22+02×0.32+102×0.24+202×0.08+302×0.025=159.
(2)①由題意得,Z~N(200,159),則μ-σ≈200-12.6=187.4,μ+2σ≈200+12.6×2=225.2,一件產(chǎn)品的 質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間[187.4,225.2]的概率約為 =0.818 5,則X~B(10,0.818 5),
∴E(X)=10×0.818 5=8.185.
②μ-3σ≈200-12.6×3=162.2,μ+3σ≈200+12.6×3=237.8.∵237.9 [162.2,237.8],
∴需要對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查.

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