資源簡介

第1章　導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用
1.1　導(dǎo)數(shù)概念及其意義
1.1.1　函數(shù)的平均變化率
1.1.2　瞬時變化率與導(dǎo)數(shù)
基礎(chǔ)過關(guān)練　　　　　　　　　　　　　　　　
題組一　函數(shù)的平均變化率
1.函數(shù)f(x)=x2在區(qū)間[2,4]上的平均變化率等于(　　)
A.2 B.4 C.6 D.8
2.函數(shù)y=f(x)=x2-1在區(qū)間[1,m]上的平均變化率為3,則實數(shù)m的值為(　　)
A.5 B.4 C.3 D.2
3.已知兩點A(x1,y1),B(x2,y2)在函數(shù)f(x)的圖象上,若函數(shù)f(x)從x1到x2的平均變化率為,則割線AB的傾斜角為　　　　.
4.如圖所示的是函數(shù)f(x)的圖象,則函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,1]上的平均變化率為　　　　;函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上的平均變化率為　　　　.
題組二　瞬時速度
5.一質(zhì)點運動的方程為s=5-3t2,若該質(zhì)點在時間段[1,1+d]內(nèi)的平均速度為-3d-6,則該質(zhì)點在t=1時的瞬時速度是(　　)
A.-3 B.3
C.6 D.-6
6.一個物體的運動方程為s=s(t)=1-t+t2,其中位移s的單位是米,時間t的單位是秒,那么物體在3秒末的瞬時速度是(　　)
A.7米/秒 B.6米/秒
C.5米/秒 D.8米/秒
7.若一物體的運動方程為s=s(t)=(位移s的單位:m,時間t的單位:s),則物體在1 s時的瞬時速度為　　　m/s.
題組三　利用導(dǎo)數(shù)的定義求導(dǎo)數(shù)
8.若函數(shù)f(x)=在x=x0處的瞬時變化率是,則x0的值是(　　)
A. B. C.1 D.3
9.設(shè)函數(shù)f(x)=ax3+2,若f'(-1)=3,則a=　　　　.
10.函數(shù)f(x)=x2++5在x=2處的導(dǎo)數(shù)值為　　　　.
11.設(shè)函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo),則當(dāng)d趨近于0時,趨近于　　　　.
12.服用某種藥物后,人體血液中藥物的質(zhì)量濃度f(x)(單位:μg/mL)與時間t(單位:min)的函數(shù)關(guān)系式是y=f(t),假設(shè)函數(shù)y=f(t)在t=10和t=100處的導(dǎo)數(shù)分別為f'(10)=1.5和f'(100)=-0.6,試解釋它們的實際意義.
答案與分層梯度式解析
第1章　導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用
1.1　導(dǎo)數(shù)概念及其意義
1.1.1　函數(shù)的平均變化率
1.1.2　瞬時變化率與導(dǎo)數(shù)
基礎(chǔ)過關(guān)練
1.C　函數(shù)f(x)=x2在區(qū)間[2,4]上的平均變化率為==6.
2.D　根據(jù)題意,函數(shù)f(x)=x2-1在區(qū)間[1,m]上的平均變化率為==m+1,則m+1=3,解得m=2.
3.答案　
解析　易知函數(shù)f(x)從x1到x2的平均變化率就是割線AB的斜率,即kAB=,所以割線AB的傾斜角為.
4.答案　;
解析　由題中函數(shù)f(x)的圖象可得f(x)=
所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,1]上的平均變化率為==;
在區(qū)間[0,2]上的平均變化率為==.
5.D　當(dāng)d趨近于0時,-3d-6趨近于-6,所以該質(zhì)點在t=1時的瞬時速度是-6,故選D.
6.C　
=
==5+d.
當(dāng)d趨近于0時,5+d趨近于5,
所以物體在3秒末的瞬時速度是5米/秒,故選C.
7.答案　-12
解析　物體在1 s附近某一時間段內(nèi)的平均速度為
=
=3d-12,
當(dāng)d趨近于0時,3d-12趨近于-12,
所以物體在1 s時的瞬時速度是-12 m/s.
8.A　=
==,
當(dāng)d→0時, → ,
∴=,∴x0=.
9.答案　1
解析　f(-1+d)-f(-1)=a(-1+d)3+2-a(-1)3-2=ad3-3ad2+3ad,
∴=ad2-3ad+3a.
當(dāng)d→0時,ad2-3ad+3a→3a.
∴f'(-1)=3a=3,∴a=1.
10.答案　
解析　f(2+d)-f(2)=(2+d)2++5-22--5=4d+d2-,
所以=4+d-,
當(dāng)d→0時,4+d- → .
故函數(shù)f(x)在x=2處的導(dǎo)數(shù)值為.
11.答案　f'(1)
解析　因為函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo),且=×,當(dāng)d→0時, →f'(1),所以 →f'(1).
12.解析　f'(10)=1.5表示服藥后10 min時,血液中藥物的質(zhì)量濃度上升的速度為1.5 μg/(mL·min),也就是說,如果保持這一速度,那么每經(jīng)過1 min,血液中藥物的質(zhì)量濃度將上升1.5 μg/mL. f'(100)=-0.6表示服藥后100 min時,血液中藥物的質(zhì)量濃度下降的速度為0.6 μg/(mL·min),也就是說,如果保持這一速度,那么每經(jīng)過1 min,血液中藥物的質(zhì)量濃度將下降0.6 μg/mL.(共14張PPT)
　　若在直線上運動的動點P在任何時刻t的位置均可用f(t)表示,則從時刻a到時
刻b的位移為f(b)-f(a).因為所花時間為b-a,所以在時間段[a,b]內(nèi)動點P的平均速度
為v[a,b]= .
一般地,我們把 稱為函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]內(nèi)的平均變化率,它反映了因變量y隨自變量x變化的快慢和變化方向(增減).
1 | 平均速度與函數(shù)的平均變化率
1.1　導(dǎo)數(shù)概念及其意義
1.定義:運動物體在某一時刻的速度稱為瞬時速度.
2.數(shù)學(xué)表達(dá)式:若物體的運動方程為s=f(t),則物體在任意時刻t的瞬時速度v(t),就
是平均速度v(t,d)= 在d趨近于0時的極限.
2 | 瞬時速度
1.瞬時變化率
一般地,若函數(shù)y=f(x)的平均變化率 在d趨近于0時,有確定的極限值,則稱這個值為該函數(shù)在x=u處的瞬時變化率.
2.導(dǎo)數(shù)
(1)導(dǎo)數(shù)的定義:設(shè)函數(shù)y=f(x)在包含x0的某個區(qū)間上有定義,在d趨近于0時,如果比
值 趨近于一個確定的極限值,則稱此極限值為函數(shù)y=f(x)在x=x0
處的導(dǎo)數(shù)或微商,記作f '(x0),可簡單表述為 →f '(x0)(d→0).
(2)導(dǎo)數(shù)的幾何意義:函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)就是函數(shù)y=f(x)的圖象在點(x0,f(x0))處的切線的斜率k,即k=f '(x0).相應(yīng)地,此切線的方程為y-f(x0)=f '(x0)(x-x0).
3 | 函數(shù)的瞬時變化率與導(dǎo)數(shù)
1.d趨近于0能表示為d=0嗎
不能.d趨近于0表示d無限接近0,但不等于0,否則 無意義.
2.瞬時速度是刻畫某物體的位移在時間段[a,b]上變化快慢的物理量嗎
不是.刻畫某物體的位移在時間段[a,b]上變化快慢的物理量是平均速度.
3.函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)值與d的正負(fù)有關(guān)嗎
無關(guān).函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)值是指 在d趨近于0時的極限值,
與d的正負(fù)無關(guān).
4.若直線l與曲線相切,則直線l與曲線只有一個交點嗎
不一定.可以有多個甚至無窮個交點.
知識辨析
5.函數(shù)y=f(x)的圖象在某點處存在切線的充要條件是函數(shù)y=f(x)在該點處存在導(dǎo)
數(shù),對嗎
不對.當(dāng)函數(shù)y=f(x)在某點處的導(dǎo)數(shù)不存在時,其圖象在該點也可能存在切線.
　　函數(shù)的平均變化率實質(zhì)上是指函數(shù)值的增量與自變量的增量之比,其作用是
刻畫函數(shù)值在區(qū)間[a,b]上變化的快慢.它的幾何意義是函數(shù)f(x)的圖象上P1(a,f(a)),
P2(b,f(b))兩點連線(即割線P1P2)的斜率.
1 函數(shù)的平均變化率
典例　汽車行駛的路程s和時間t之間的函數(shù)圖象如圖所示,若汽車在時間段[t0,t1],
[t1,t2],[t2,t3]上的平均速度分別為 , , ,則三者的大小關(guān)系為　　　 .
解析 由題意,結(jié)合題圖易得 = =kOA, = =kAB, = =kBC,由題圖
知 > > .
答案 > >
求函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)的三個步驟
(1)求函數(shù)值的變化量,即 f(x0+d)-f(x0);
(2)求函數(shù)的平均變化率,即 ;
(3)求(2)中的表達(dá)式在d趨近于零時的值,即為f'(x0).
2 求函數(shù)在某點處的導(dǎo)數(shù)
典例　已知f(x)= ,且f '(m)=- ,則m的值等于 (　 )
A.-4　 B.2　
C.-2　 D.±2
解析 因為f(m+d)-f(m)= - = ,所以 = .當(dāng)d→0
時, →- ,因此f '(m)=- ,于是有- =- ,即m2=4,解得m=±2.
答案 D
1.曲線y=f(x)在點P(x0, f(x0))處的切線方程:
(1)點P(x0, f(x0))為切點;
(2)切線斜率k=f'(x0);
(3)切線方程為y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).
2.曲線y=f(x)過點P(x0, f(x0))的切線方程:
(1)點P可能是切點,也可能不是切點.
(2)如果點P不是切點,則切線可能不止一條,切線條數(shù)與切點個數(shù)有關(guān).
(3)求切線方程的一般步驟:
①設(shè)出切點(x1, f(x1));
②求出函數(shù)f(x)在點(x1, f(x1))處的導(dǎo)數(shù)f'(x1);
③寫出切線方程:y-f(x1)=f'(x1)(x-x1),將(x0,f(x0))代入,求得x1;
④將x1代入切線方程,化簡得切線方程.
3 曲線在某點處的切線與曲線過某點的切線
典例　已知曲線f(x)= x3+ .
(1)求曲線在點P(2,4)處的切線方程;
(2)求曲線過點P(2,4)的切線方程.
解析 (1)
=
=x2+dx+ d2,
當(dāng)d→0時, →x2,
∴曲線f(x)在點P(2,4)處的切線的斜率k=f'(2)=4,故切線的方程為y-4=4(x-2),即
4x-y-4=0.
(2)設(shè)曲線f(x)= x3+ 與其過點P(2,4)的切線相切于點A ,
由(1)可知,曲線在點A處的切線的斜率k'=f'(x0)= ,
∴所求切線方程為y- = (x-x0),
即y= ·x- + ,
∵點P(2,4)在切線上,
∴4=2 - + ,即 -3 +4=0,
∴ + -4 +4=0,
即 (x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0,
∴(x0+1)(x0-2)2=0,
∴x0=-1或x0=2,
∴切點為(-1,1)或(2,4),
故所求的切線方程為x-y+2=0或4x-y-4=0.
易錯警示 求曲線的切線方程時,首先要區(qū)分是“在某點處”還是“過某點”.
如果是“過某點”,首先應(yīng)設(shè)出切點坐標(biāo),然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義列出等式,求
出切點坐標(biāo),進(jìn)而求出切線方程.求過某點的切線方程時,如果點在已知曲線上,容
易認(rèn)為該點就是切點,從而造成錯誤.

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