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第1章　導數及其應用
1.1　導數概念及其意義
1.1.3　導數的幾何意義
基礎過關練
　　　　　　　　　　　　　　　　
題組一　導數的幾何意義
1.已知函數f(x)在R上的導函數存在,且f(x)的圖象如圖所示,則下列不等式正確的是(　　)
A. f'(a)B. f'(b)C. f'(a)D. f'(c)2.若函數y=f(x)的導函數y=f'(x)在區間[a,b]上是增函數,則函數y=f(x)在區間[a,b]上的圖象可能是(　　)
A B C D
3.曲線y=f(x)在x=1處的切線如圖所示,則f'(1)=(　　)
A.1 B.-
C. D.-1
4.曲線f(x)=-在點M(1,-2)處的切線方程為　　　　　　　.
5.若曲線f(x)=x2+ax+b在點(1,1)處的切線方程為3x-y-2=0,則a=　　　　,b=　　　　.
題組二　導數幾何意義的綜合應用
6.已知f(x)=x2+2x+3,P為曲線C:y=f(x)上的點,且曲線C在點P處的切線的傾斜角α的取值范圍為,則點P的橫坐標的取值范圍為(　　)
A. B.[-1,0]
C.[0,1] D.
7.(多選)已知函數f(x)的定義域為R,其導函數f'(x)的圖象如圖所示,則對于任意x1,x2∈R(x1≠x2),下列結論正確的是(　　)
A.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0
B.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0
C. f >
D. f <
8.曲線y=f(x)=x3在點(3,27)處的切線與兩坐標軸所圍成的三角形的面積為　　　.
9.曲線y=f(x)=在點P處的切線與直線y=x垂直,則點P的坐標為　　　　　　　.
10.過點M(1,1)且與曲線f(x)=x3+1相切的直線方程為　　　　　　　　　　　.
11.若點P是拋物線y=x2上任意一點,則點P到直線y=x-2的最小距離為　　　,此時點P的坐標為　　　.
12.已知直線l:y=4x+a和曲線C:y=f(x)=x3-2x2+3相切,求a的值及切點坐標.
答案與分層梯度式解析
第1章　導數及其應用
1.1　導數概念及其意義
1.1.3　導數的幾何意義
基礎過關練
1.A　易知 f'(a), f'(b), f'(c)分別是函數f(x)的圖象在x=a、x=b和x=c處的切線的斜率,則有f'(a)<02.A　因為函數y=f(x)的導函數y=f'(x)在區間[a,b]上是增函數,所以函數y=f(x)的圖象在區間[a,b]上切線的斜率是遞增的,故選A.
3.C　根據題中圖象,可知切線過兩點(2,0),(0,-1),所以切線的斜率k=f'(1)==,故選C.
4.答案　2x-y-4=0
解析　因為==,當d→0時, → 2,所以f'(1)=2,即切線的斜率k=2,所以切線方程為y+2=2(x-1),即2x-y-4=0.
5.答案　1;-1
解析　===d+2+a,
當d→0時, →2+a,
由切線方程知切線斜率k=3,∴2+a=3,∴a=1.
又∵點(1,1)在曲線f(x)上,
∴1+a+b=1,∴b=-a=-1.
6.D　設點P的橫坐標為x0,
因為
=
==2x0+d+2,
當d→0時,→2x0+2,所以曲線C在點P處的切線的斜率為2x0+2,所以曲線C在點P處的切線的傾斜角α滿足tan α=2x0+2.
因為α∈,所以tan α∈[1,+∞),
所以2x0+2≥1,即x0≥-,
所以點P的橫坐標的取值范圍為.
7.AD　由題中圖象可知,導函數f'(x)的圖象在x軸下方,即f'(x)<0,且其絕對值越來越小,因此函數f(x)的圖象在其上任一點處的切線的斜率為負,并且從左到右,切線的傾斜角是越來越大的鈍角,由此可得f(x)的大致圖象如圖所示.
選項A、B中,由f(x)的圖象可知其割線斜率 恒為負數,即x1-x2與f(x1)-f(x2)異號,故A正確,B不正確;選項C、D中,f表示x=對應的函數值,即圖中點B的縱坐標,表示x=x1和x=x2所對應的函數值的平均值,即圖中點A的縱坐標,顯然有f<,故C不正確,D正確.故選AD.
8.答案　54
解析　因為===d2+9d+27,當d→0時,→27,所以曲線在點(3,27)處的切線的斜率為27,其方程為y-27=27(x-3),即y=27x-54,此切線與x軸、y軸的交點分別為(2,0),(0,-54),
所以切線與兩坐標軸所圍成的三角形的面積S=×2×54=54.
9.答案　或
解析　易知曲線在點P處的切線的斜率為-4,
設P,因為===-,當d→0時,→-,所以-=-4 x0=±,則點P的坐標為或.
10.答案　27x-4y-23=0和y-1=0
解析　易知點M不在曲線f(x)=x3+1上,設過點M(1,1)的直線與曲線f(x)=x3+1相切于點P(x0,+1),
因為==3+3dx0+d2,
當d→0時, →3,所以曲線在點P處的切線的斜率k=3①,過點M和點P的切線的斜率k=②,由①②得3=,解得x0=0(二重根)或x0=,所以k=0或k=,因此過點M(1,1)且與曲線f(x)=x3+1相切的直線有兩條,其方程分別為y-1=(x-1)和y=1,即27x-4y-23=0和y-1=0.
11.答案　;
解析　由題意可得,當點P到直線y=x-2的距離最小時,拋物線y=x2在點P處的切線平行于直線y=x-2,設點P的橫坐標為x0,y=f(x)=x2,因為===d+2x0,當d→0時,→2x0,所以2x0=1,解得x0=,所以P,故點P到直線y=x-2的最小距離d==.
12.解析　設直線l與曲線C相切于點P(x0,y0),
因為
=
=
=3+3x0d+d2-4x0-2d,
當d→0時,→3-4x0,所以曲線C在點P處的切線的斜率為3-4x0,由題意知3-4x0=4,
解得x0=-或x0=2,所以切點的坐標為或(2,3).
當切點的坐標為時,有=4×+a,解得a=.
當切點的坐標為(2,3)時,有3=4×2+a,解得a=-5.
所以當a=時,切點坐標為;當a=-5時,切點坐標為(2,3).

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