資源簡介

第1章　導數(shù)及其應用
1.2　導數(shù)的運算
1.2.2　函數(shù)的和差積商求導法則
基礎過關練
　　　　　　　　　　　　　　　　
題組一　導數(shù)的四則運算法則
1.函數(shù)f(x)=的導數(shù)f'(x)=(　　)
A. B.
C. D.
2.已知函數(shù)f(x)=exln x, f'(x)為f(x)的導函數(shù),則f'(1)的值為　(　　)
A. B.e
C.1 D.0
3.已知函數(shù)f(x)=f'(1)+xln x,則f(e)=(　　)
A.1+e B.e
C.2+e D.3
4.已知函數(shù)f(x)=ex-x2, f'(x)為f(x)的導函數(shù),若f'(a)=f(a),則a=(　　)
A.0 B.-1
C.2 D.0或2
5.已知曲線y=axb在點(-1,a)處的切線方程為8x-y+6=0,則(　　)
A.a=2,b=4 B.a=-2,b=4
C.a=-2,b=1 D.a=8,b=-1
6.已知函數(shù)f(x),g(x)滿足f(5)=5, f'(5)=3,g(5)=4,g'(5)=1,若h(x)=,則h'(5)=　　　　.
7.求下列函數(shù)的導函數(shù):
(1)y=excos x;(2)y=+ln x.
題組二　求導法則的綜合應用
8.一物體做直線運動,其位移s與時間t的關系是s=s(t)=t2+2t,則物體在t=2時的瞬時速度為(　　)
A.4 B.6 C.8 D.10
9.設曲線f(x)=aex-ln x(a≠0)在x=1處的切線為l,則l在y軸上的截距為(　　)
A.1 B.2 C.ae D.ae-1
10.設曲線f(x)=在點(1,-2)處的切線與直線ax+by+c=0(b≠0)垂直,則=(　　)
A. B.- C.3 D.-3
11.曲線y=x3+3x2+6x-10的所有切線中,斜率最小的切線的方程為　　　　　　　　.
12.已知函數(shù)f(x)=x3+x-16.
(1)求f'(x);
(2)求曲線y=f(x)過點(2,-14)的切線的方程.
能力提升練
　　　　　　　　　　　　　　　　
題組　導數(shù)的四則運算法則及其應用
1.下面四個圖象中,有一個是函數(shù)f(x)=x3+ax2+(a2-1)x+1(a∈R)的導函數(shù)y=f'(x)的圖象,則f(-1)=(　　)
A. B.-
C. D.-或
2.若點A是函數(shù)f(x)=x-4ex圖象上的動點(其中e是自然對數(shù)的底數(shù)),則點A到直線y=3-3x的距離的最小值為(　　)
A. B. C. D.17
3.若函數(shù)f(x)=(x-2 019)(x-2 020)(x-2 021)(x-2 022),其導數(shù)為f'(x),則f'(2 021)=　(　　)
A.-2 B.-1 C.0 D.1
4.已知f'(x)是函數(shù)f(x)的導函數(shù),且對任意的實數(shù)x都有f'(x)=ex(2x-2)+f(x)(e是自然對數(shù)的底數(shù)), f(0)=1,則(　　)
A. f(x)=ex(x+1) B. f(x)=ex(x-1)
C. f(x)=ex(x+1)2 D. f(x)=ex(x-1)2
5.已知f(x)=x2+2f'(1)ln x,則f (x)=　　　　　　.
6.已知f(x)=ln x,g(x)=x2+mx+(m<0),直線l與函數(shù)y=f(x),y=g(x)的圖象都相切,且與函數(shù)y=f(x)的圖象的切點為(1,f(1)),則m的值為　　　　.
7.已知函數(shù)f(x)(x∈(0,+∞))的導函數(shù)為f'(x),且滿足xf'(x)-2f(x)=x3ex,f(1)=e-1,求f(x)的圖象在點(2, f(2))處的切線方程.
8.已知函數(shù)f(x)=x3-2x2+3x(x∈R)的圖象為曲線C.
(1)求曲線C上任意一點的切線的斜率的取值范圍;
(2)若在曲線C上存在兩條相互垂直的切線,求其中一條切線與曲線C的切點的橫坐標的取值范圍.
答案與分層梯度式解析
第1章　導數(shù)及其應用
1.2　導數(shù)的運算
1.2.2　函數(shù)的和差積商求導法則
基礎過關練
1.C　f'(x)==
==.故選C.
2.B　f'(x)=(ex)'ln x+ex(ln x)'=exln x+ex·,∴f'(1)=e.
3.A　易得f'(x)=ln x+1,∴f'(1)=ln 1+1=1,∴f(x)=1+xln x,∴f(e)=1+
eln e=1+e.
4.D　由題意得f'(x)=ex-ex,根據條件得ea-a2=ea-ea,解得a=0或a=2.
5.B　將(-1,a)代入8x-y+6=0,得a=-2,
易知直線8x-y+6=0的斜率為8.
因為y'=abxb-1,
所以-2b(-1)b-1=8,所以b=4.故選B.
6.答案　
解析　由題意得,h'(x)=,
由f(5)=5, f'(5)=3,g(5)=4,g'(5)=1,
得h'(5)=
==.
7.解析　(1)y'=(excos x)'=ex(cos x-sin x).
(2)y=+ln x=+1+ln x(x>0),
所以y'=-+=(x>0).
8.B　因為s=s(t)=t2+2t,所以s'=s'(t)=2t+2,則有s'(2)=2×2+2=6,即物體在t=2時的瞬時速度為6,故選B.
9.A　由f(x)=aex-ln x(a≠0),
可得f'(x)=aex-,
將x=1代入,得f'(1)=ae-1,又因為f(1)=ae,
所以曲線f(x)在x=1處的切線l的方程為y-ae=(ae-1)(x-1),
整理得y=(ae-1)x+1,令x=0,得y=1.
所以l在y軸上的截距為1.故選A.
10.B　依題意得f'(x)==,則f'(1)=-3,由于曲線f(x)=在點(1,-2)處的切線與直線ax+by+c=0(b≠0)垂直,所以(-3)·=-1,解得=-.故選B.
11.答案　3x-y-11=0
解析　∵y'=3x2+6x+6=3(x2+2x+2)=3(x+1)2+3,
∴當x=-1時,y'最小,即切線的斜率最小,此時斜率為3,切點為(-1,-14),
∴切線方程為y+14=3(x+1),
即3x-y-11=0.
12.解析　(1)由f(x)=x3+x-16可得f'(x)=3x2+1.
(2)易知點(2,-14)不在曲線y=f(x)上.
設切點為(x0,+x0-16),
因為f'(x)=3x2+1,所以切線的斜率k=3+1,
故所求切線方程為y-(+x0-16)=(3+1)(x-x0).
將(2,-14)代入切線方程,
得-14-(+x0-16)=(3+1)(2-x0),
整理得(x0-3)=0,解得x0=0(二重根)或x0=3.
當x0=0時,切線斜率為1,切線方程為y-(-14)=x-2,即y=x-16;
當x0=3時,切線斜率為28,切線方程為y-(-14)=28(x-2),即y=28x-70.
綜上所述,所求的切線方程為y=x-16或y=28x-70.
能力提升練
1.D　因為f'(x)=x2+2ax+a2-1,所以y=f'(x)的圖象開口向上,排除②④.若y=f'(x)的圖象為①,則a=0, 所以f(-1)=;若y=f'(x)的圖象為③,則a2-1=0,解得a=±1,又因為y=f'(x)的圖象的對稱軸為直線x=-a,所以-a>0,所以a=-1,所以f(-1)=-.
2.A　由f(x)=x-4ex,得f'(x)=1-4ex,
設與直線y=3-3x平行且與f(x)的圖象相切的直線,與f(x)的圖象切于點P(x0,x0-4),
所以f'(x0)=1-4=-3 x0=0,所以P(0,-4).
則點P到直線y=3-3x的距離d==,
即點A到直線y=3-3x的距離的最小值為.
故選A.
3.A　令g(x)=(x-2 019)(x-2 020)(x-2 022),
則f(x)=(x-2 021)g(x),
所以f'(x)=(x-2 021)'g(x)+(x-2 021)g'(x)=
g(x)+(x-2 021)g'(x),
所以f'(2 021)=g(2 021)+(2 021-2 021)g'(x)=g(2 021)=(2 021-2 019)×(2 021-2 020)×(2 021-2 022)=-2.故選A.
4.D　由f'(x)=ex(2x-2)+f(x),
得=2x-2,即'=2x-2,
所以=x2-2x+c(c為常數(shù)),
所以f(x)=(x2-2x+c)ex,
又因為f(0)=1,所以c=1,
所以f(x)=ex(x-1)2.故選D.
易錯警示
　　已知原函數(shù)可求出唯一的導函數(shù),已知導函數(shù)卻求不出唯一的原函數(shù),如由y'=2x-2可以得到y(tǒng)=x2-2x+c(c為常數(shù)),解題時容易將c遺漏導致解題錯誤.
5.答案　x2-4ln x
解析　由f(x)=x2+2f'(1)ln x可知f'(x)=2x+,令x=1,得f'(1)=2+2f'(1),所以f'(1)=-2,則f(x)=x2-4ln x.
6.答案　-2
解析　由題意得f'(x)=, 故直線l的斜率為f'(1)=1,易求得切點為(1,0),故直線l的方程為y=x-1,
由消去y,得x2+2(m-1)x+9=0,故Δ=4(m-1)2-4×9=0,解得m=-2(m=4舍去).
7.解析　∵xf'(x)-2f(x)=x3ex,x∈(0,+∞),
∴=ex.
令g(x)=,x∈(0,+∞),
則g'(x)==ex,
∴g(x)==ex+c(c為常數(shù)),
∴f(x)=x2(ex+c).
又∵f(1)=e+c=e-1,∴c=-1,
∴f(x)=x2(ex-1),
∴f'(x)=2x(ex-1)+x2ex=(x2+2x)ex-2x,
∴f'(2)=8e2-4.
又∵f(2)=4(e2-1),
∴所求切線方程為y-4(e2-1)=(8e2-4)(x-2),
即y=(8e2-4)x-12e2+4.
8.解析　(1)由題意得f'(x)=x2-4x+3=(x-2)2-1≥-1,
故曲線C上任意一點的切線的斜率的取值范圍是[-1,+∞).
(2)設曲線C的其中一條切線的斜率為k,則由條件和(1)中結論可知,
解得-1≤k<0或k≥1,即-1≤x2-4x+3<0或x2-4x+3≥1,解得x≤2-或11.2　導數(shù)的運算
1.2.3　簡單復合函數(shù)的求導
基礎過關練
　　　　　　　　　　　　　　　　
題組一　復合函數(shù)的求導法則
1.已知f(x)=cos 2x+e2x,則f'(x)=(　　)
A.-2sin 2x+2e2x B.sin 2x+e2x
C.2sin 2x+2e2x D.-sin 2x+e2x
2.已知函數(shù)f(x)=ln(ax-1)的導函數(shù)是f'(x),且f'(2)=2,則實數(shù)a的值為(　　)
A. B. C. D.1
3.(多選)下列求導結果正確的是(　　)
A.(e2x)'=2ex
B.(3x+1)'=3
C.()'=
D.(xsin x)'=sin x+xcos x
4.若函數(shù)f(x)=3x+sin 2x,則f'(x)=　　　　　　　　　　.
5.已知函數(shù)f(x)的導函數(shù)為f'(x),若f(x)=f'·sin 3x+cos 3x,則f'=　　　　.
6.求下列函數(shù)的導數(shù):
(1)y=;(2)y=esin(ax+b);
(3)y=sin2;(4)y=5log2(2x+1).
題組二　復合函數(shù)求導的綜合應用
7.已知a∈R,函數(shù)f(x)=aex-1-xln x的圖象在點(1,f(1))處的切線為l,則l在y軸上的截距為(　　)
A.-2 B.-1 C.2 D.1
8.某市在一次降雨過程中,降雨量y(mm)與時間t(min)的函數(shù)關系可近似地表示為y=f(t)=,則在40 min時的降雨強度為(　　)
A.20 mm/min B.400 mm/min
C. mm/min D. mm/min
9.已知f(x)為偶函數(shù),當x≤0時,f(x)=e-x-2-x,則曲線y=f(x)在點(2,f(2))處的切線方程為　　　　　　.
10.已知定義域都是R的兩個不同的函數(shù)f(x),g(x)滿足f'(x)=g(x),f(x)=g'(x),寫出一個符合條件的函數(shù)f(x)的解析式:　　　　　　　　.
11.曲線y=esin x在點(0,1)處的切線與直線l平行,且與l的距離為,求直線l的方程.
能力提升練
　　　　　　　　　　　　　　　　
題組　復合函數(shù)的導數(shù)及其應用
1.設點P,Q分別是曲線y=xe-x(e是自然對數(shù)的底數(shù))和直線y=x+3上的動點,則P,Q兩點間距離的最小值為(　　)
A. B.
C. D.
2.(多選)已知點P在曲線y=上,α為曲線在點P處的切線的傾斜角,則α的值可以是　(　　)
A. B. C. D.
3.定義方程f(x)=f'(x)的實數(shù)根x0為函數(shù)f(x)的“新駐點”,若函數(shù)g(x)=x2+1,h(x)=ln(x+2),φ(x)=cos x(x∈(0,π))的“新駐點”分別為a,b,c,則a,b,c的大小關系為(　　)
A.a4.(多選)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)的圖象如圖所示,令g(x)=f(x)+f'(x),則下列關于函數(shù)g(x)的說法中正確的是(　　)
A.函數(shù)g(x)圖象的對稱軸方程為x=kπ-(k∈Z)
B.函數(shù)g(x)的最大值為2
C.函數(shù)g(x)的圖象上存在點P,使得其在點P處的切線與直線l:y=3x-1平行
D.若方程g(x)=2的兩個不同的解分別為x1,x2,則|x1-x2|的最小值為
5.已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c,設g(x)=e-xf(x),若函數(shù)g(x)的導函數(shù)g'(x)的圖象如圖所示,則(　　)
A.aC.>1,b=c D.<1,b=c
6.已知函數(shù)f(x)=3x+cos 2x+sin 2x,f'(x)是f(x)的導函數(shù),且a=f',則曲線y=x3過其上一點P(a,b)的切線方程為　　　　　　　.
7.設函數(shù)f(x)=aexln x+.
(1)求導函數(shù)f'(x);
(2)若曲線y=f(x)在點(1, f(1))處的切線方程為y=e(x-1)+2,求a,b的值.
答案與分層梯度式解析
第1章　導數(shù)及其應用
1.2　導數(shù)的運算
1.2.3　簡單復合函數(shù)的求導
基礎過關練
1.A　∵f(x)=cos 2x+e2x,∴f'(x)=-2sin 2x+2e2x.故選A.
2.B　由f(x)=ln(ax-1)可得f'(x)=,
由f'(2)=2,可得=2,解得a=.故選B.
3.BCD　選項A,因為(e2x)'=2e2x,所以A錯誤;
選項B,因為(3x+1)'=3+0=3,所以B正確;
選項C,因為()'=[]'=×=,所以C正確;
選項D,因為(xsin x)'=x'sin x+x(sin x)'=sin x+xcos x,所以D正確.
故選BCD.
4.答案　3xln 3+2cos 2x
解析　f'(x)=(3x)'+(sin 2x)'=3xln 3+(2x)'·cos 2x=3xln 3+2cos 2x.
5.答案　3
解析　∵f(x)=f'·sin 3x+cos 3x,
∴f'(x)=f'·3cos 3x-3sin 3x,
令x=,得f'=f'×3cos -3sin = f'-3×,
解得f'=3.
6.解析　(1)設y=,u=1-2x2,則y'x =y'u·u'x =()'(1-2x2)'=·(-4x)=-(1-2x2(-4x)=2x(1-2x2.
(2)設y=eu,u=sin v,v=ax+b,
則y'x =y'u·u'v·v'x =eu·cos v·a=acos(ax+b)esin(ax+b).
(3)設y=u2,u=sin v,v=2x+,
則y'x =y'u·u'v·v'x =2u·cos v·2=4sin vcos v
=2sin 2v=2sin.
(4)設y=5log2u,u=2x+1,則y'x =y'u·u'x =5(log2u)'(2x+1)'==.
7.D　由題意得f'(x)=aex-1-ln x-1,故切線l的斜率k=f'(1)=a-1,又因為f(1)=a,故切線l的方程為y-a=(a-1)(x-1),
令x=0,得l在y軸上的截距為1.
8.D　由f(t)=,
得f'(t)=·(10t)'=,
所以f'(40)==.
9.答案　y=2x-1
解析　設x>0,則-x<0,∴f(-x)=ex-2+x,
∵f(x)為偶函數(shù),∴x>0時, f(x)=f(-x)=ex-2+x,
∴x>0時,f'(x)=ex-2+1,∴f'(2)=2,
又∵f(2)=3,∴曲線y=f(x)在點(2, f(2))處的切線方程為y-3=2(x-2),即y=2x-1.
10.答案　f(x)=ex+e-x(答案不唯一)
解析　根據題意,可知f″(x)=f(x),則滿足條件的函數(shù)可以是f(x)=ex+e-x(答案不唯一).
11.解析　∵y=esin x,∴y'=esin xcos x,
∴曲線y=esin x在點(0,1)處的切線的斜率為esin 0cos 0=1,其方程為y-1=x,即x-y+1=0.
又∵直線l與x-y+1=0平行,
∴直線l的方程可設為x-y+m=0(m≠1).
由=得m=-1或m=3.
∴直線l的方程為x-y-1=0或x-y+3=0.
能力提升練
1.C　由題意知,求P,Q兩點間距離的最小值,就是求曲線y=xe-x在其上一點處的與直線y=x+3平行的切線和直線y=x+3之間的距離.
由y=xe-x得y'=(1-x)e-x,
令y'=(1-x)e-x=1,解得x=0,
當x=0時,y=0,
故P,Q兩點間距離的最小值即為點(0,0)到直線y=x+3的距離,
∴P,Q兩點間距離的最小值為=.故選C.
2.CD　因為y=,
所以y'===.
因為ex >0,
所以ex +≥2=2當且僅當ex=,即x=0時取等號,
所以y'∈[-1,0),所以tan α∈[-1,0).
又因為α∈[0,π),所以α∈.
結合選項知選CD.
3.C　由g(x)=x2+1可得g'(x)=2x,
令x2+1=2x,解得x1=x2=1,即a=1.
由h(x)=ln(x+2)可得h'(x)=,
設F(x)=h(x)-h'(x)=ln(x+2)-,
易知F(x)在(-2,+∞)上單調遞增且其圖象是連續(xù)的,
當x=-1時,F(-1)=-1<0,
當x=0時,F(0)=ln 2-=ln -ln >0,
故-1由φ(x)=cos x(x∈(0,π))可得φ'(x)=-sin x(x∈(0,π)),
令cos x=-sin x,得sin x+cos x=0,
則sin=0,
又因為x∈(0,π),所以x+=π,解得x=,即c=.
綜上可知,b4.AD　根據題中函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)的圖象知A=2,=-=,∴T=2π,ω==1.
當x=時,ωx+φ=+φ=+2kπ,k∈Z,
∴φ=+2kπ,k∈Z,
∵|φ|<,∴φ=,∴f(x)=2sin,
∴f'(x)=2cos,
∴g(x)=f(x)+f'(x)=2sin+2cos=2sin=2sin,
令x+=+kπ,k∈Z,解得x=-+kπ,k∈Z,
∴函數(shù)g(x)圖象的對稱軸方程為x=-+kπ,k∈Z,A正確;
由g(x)=2sin,x∈R可知函數(shù)g(x)的最大值為2,B錯誤;
易得g'(x)=2cos,
∵g'(x)≤2<3,
∴不存在點P,使得g(x)的圖象在點P處的切線與直線l:y=3x-1平行,C錯誤;
方程g(x)=2即2sin=2,
∴sin=,
∴x+=+2kπ,k∈Z或x+=+2kπ,k∈Z,
∴方程的兩個不同的解分別為x1,x2時,|x1-x2|的最小值為,D正確.故選AD.
5.D　易得a≠0,g(x)=e-xf(x)=e-x(ax2+bx+c),
∴g'(x)=-e-x[ax2+(b-2a)x+c-b],
令g'(x)=0,即ax2+(b-2a)x+c-b=0,
設g'(x)=0的兩個根分別為x1,x2,且x1由根與系數(shù)的關系可得x1+x2=,x1x2=,
由題圖可知,x1=0,x2>1,
則x1+x2==2->1,解得<1,
x1x2==0,解得b=c,故C錯誤,D正確;
由于a,b的正負未知,因此無法確定a與b的大小關系,故A、B均錯誤.
故選D.
6.答案　3x-y-2=0或3x-4y+1=0
解析　由f(x)=3x+cos 2x+sin 2x,
得f'(x)=3-2sin 2x+2cos 2x,
則a=f'=3-2sin +2cos =1.
又∵b=a3,∴b=1,
∴點P的坐標為(1,1).
由y=x3得y'=3x2.
當P點為切點時,切線的斜率k=3a2=3×12=3,
此時切線的方程為y-1=3(x-1),即3x-y-2=0.
當P點不是切點時,設切點坐標為(x0,),
此時切線的斜率k'=3,
∴切線的方程為y-=3(x-x0).
將P(1,1)的坐標代入切線方程,
得1-=3(1-x0),
∴2-3+1=0,即2-2-+1=0,
即(x0-1)2(2x0+1)=0,
解得x0=-(x0=1舍去),
∴切點坐標為,
又∵切線的斜率為3×=,
∴切線方程為y+=,
即3x-4y+1=0.
綜上,滿足題意的切線方程為3x-y-2=0或3x-4y+1=0.
7.解析　(1)由f(x)=aexln x+,
得f'(x)=(aexln x)'+'
=aexln x++.
(2)易知切點既在曲線y=f(x)上,又在切線y=e(x-1)+2上,
將x=1代入切線方程,得y=2,
將x=1代入函數(shù)f(x)的方程,得f(1)=b,
所以b=2.
將x=1代入導函數(shù)f'(x)的方程中,
得f'(1)=ae=e,所以a=1.第1章　導數(shù)及其應用
1.2　導數(shù)的運算
1.2.1　幾個基本函數(shù)的導數(shù)
基礎過關練
　　　　　　　　　　　　　　　　
題組一　利用導數(shù)公式求函數(shù)的導數(shù)
1.已知f(x)=cos 30°,則f'(x)的值為(　　)
A.- B. C.- D.0
2.下列結論正確的個數(shù)為(　　)
①若f(x)=ln 2,則f'(x)=;②若f(x)=,則f'(3)=-;③若f(x)=2x,則f'(x)=x·2x-1;④若f(x)=log2x,則f'(x)=.
A.1 B.2 C.3 D.4
3.設f0(x)=sin x, f1(x)=f'0(x), f2(x)=f'1(x),……, fn+1(x)=f'n(x),n∈N,則f2 022(x)=(　　)
A.sin x B.-sin x C.cos x D.-cos x
4.已知函數(shù)f(x)=xa,若f'(-1)=-4,則a的值等于(　　)
A.4 B.-4 C.5 D.-5
5.求下列函數(shù)的導數(shù):
(1)f(x)=;(2)f(x)=lg x;(3)f(x)=5x;(4)f(x)=-2sin.
題組二　導數(shù)公式的應用
6.曲線f(x)=在點A(1,f(1))處的切線方程是　(　　)
A.x+y-2=0 B.x-y+2=0
C.x+y+2=0 D.x-y-2=0
7.以正弦曲線y=sin x上一點P為切點作該曲線的切線l,則l的傾斜角的范圍是(　　)
A.∪ B.[0,π)
C. D.∪
8.已知函數(shù)f(x)=ln x,則函數(shù)g(x)=f(x)-f'(x)的零點所在的區(qū)間是(　　)
A.(0,1) B.(1,2)
C.(2,3) D.(3,4)
9.若曲線y=在點(m,)處的切線與兩個坐標軸所圍成的三角形的面積為18,則m=(　　)
A.64 B.32
C.16 D.8
10.(多選)已知函數(shù)f(x)及其導數(shù)f'(x),若存在x0,使得f(x0)=f'(x0),則稱x0是f(x)的一個“巧值點”.下列函數(shù)中,有“巧值點”的是(　　)
A. f(x)=x2 B. f(x)=e-x
C. f(x)=ln x D. f(x)=
11.設曲線y=xn+1(n∈N+)在點(1,1)處的切線與x軸交點的橫坐標為xn,令an=lg,則a1+a2+a3+…+a2 021=　　　.
答案與分層梯度式解析
第1章　導數(shù)及其應用
1.2　導數(shù)的運算
1.2.1　幾個基本函數(shù)的導數(shù)
基礎過關練
1.D　∵f(x)=cos 30°=,∴f'(x)=0.
2.B　若f(x)=ln 2,則f'(x)=0,所以①錯誤;
若f(x)=,則f'(x)=-,所以f'(3)=-,所以②正確;
若f(x)=2x,則f'(x)=2xln 2,所以③錯誤;
若f(x)=log2x,則f'(x)=,所以④正確.
故正確的個數(shù)為2.故選B.
3.B　f0(x)=sin x, f1(x)=f'0(x)=(sin x)'=cos x, f2(x)=f'1(x)=(cos x)'=-sin x, f3(x)=f'2(x)=(-sin x)'=-cos x, f4(x)=f'3(x)=(-cos x)'=sin x,……,又因為2 022=5×404+2,
故f2 022(x)=f2(x)=-sin x,故選B.
4.A　易得f'(x)=axa-1,∴ f'(-1)=a(-1)a-1=-4,
∴a=4.
5.解析　(1)因為f(x)==,所以f'(x)==.
(2)因為f(x)=lg x,所以f'(x)=.
(3)因為f(x)=5x,所以f'(x)=5xln 5.
(4)因為f(x)=-2sin=2sin·=2sincos=sin x,所以f'(x)=(sin x)'=cos x.
6.A　由f(x)==x-1得f'(x)=-x-2,因此所求切線的斜率k=-1-2=-1,又因為f(1)==1,所以所求切線方程為y-1=-(x-1),即x+y-2=0,故選A.
7.A　易知切線l的斜率存在.∵y=sin x,∴y'=cos x,
∵cos x∈[-1,1],
∴切線l斜率的范圍是[-1,1],
∴傾斜角的范圍是∪,故選A.
8.B　由f(x)=ln x,得f'(x)=,
則g(x)=f(x)-f'(x)=ln x-.
易知函數(shù)g(x)的定義域為(0,+∞),在(0,+∞)上g(x)為增函數(shù)且圖象是連續(xù)不間斷的,
又因為g(1)=ln 1-1=-1<0,g(2)=ln 2-=ln 2-ln>0,
所以函數(shù)g(x)在區(qū)間(1,2)上有唯一零點.
9.A　易得y'=-,所以曲線y=在點(m,)處的切線方程為y-=-(x-m).
令x=0,得y=,令y=0,得x=3m,
則××3m=18,解得m=64.
10.ACD　在A中, f'(x)=2x,令x2=2x,解得x=0或x=2,故A符合題意;在B中, f'(x)='=ln =-e-x,令e-x=-e-x,此方程無解,故B不符合題意;在C中, f'(x)=,令ln x=,由函數(shù)y=ln x與y=的圖象(圖略)知該方程存在實數(shù)解,故C符合題意;在D中,f'(x)=-,由=-,解得x=-1,故D符合題意.故選ACD.
11.答案　lg 2 022
解析　因為y=xn+1,所以y'=(n+1)xn,所以曲線y=xn+1(n∈N+)在點(1,1)處的切線斜率k=n+1,
所以切線方程為y-1=(n+1)(x-1).
令y=0,得x=,即xn=,
因此an=lg =lg(n+1)-lg n,
所以a1+a2+a3+…+a2 021=(lg 2-lg 1)+(lg 3-lg 2)+(lg 4-lg 3)+…+(lg 2 022-lg 2 021)=lg 2 022-lg 1=lg 2 022.(共16張PPT)
1.常數(shù)函數(shù)導數(shù)為0:(c)'=0;
2.恒等函數(shù)導數(shù)為1:(x)'=1;
3.(x2)'=2x;
4.(x3)'=3x2;
5. '=- ;
6.( )'= .
1.2　導數(shù)的運算
1 | 常見冪函數(shù)的導數(shù)
1.(c)'=0;
2.(xα)'=αxα-1(α≠0);
3.(ex)'=ex;
4.(ax)'=axln a(a>0,a≠1);
5.(ln x)'= ;
6.(logax)'= (a>0,a≠1);
7.(sin x)'=cos x;
8.(cos x)'=-sin x;
9.(tan x)'= .
2 | 基本初等函數(shù)的求導公式
1.和、差的導數(shù)
(f(x)±g(x))'=f '(x)±g'(x).
2.積的導數(shù)
(cf(x))'= cf'(x)(c為常數(shù));
(f(x)g(x))'=f '(x)g(x)+f(x)g'(x) .
3.商的導數(shù)
'= .
3 | 函數(shù)的求導法則
1.一般地,設y=f(u)是關于u的函數(shù),u=g(x)是關于x的函數(shù),則y=f(g(x))是關于x的函
數(shù),稱為函數(shù)y=f(u)和u=g(x)的復合函數(shù).
2.對于由函數(shù)y=f(u)和u=g(x)復合而成的函數(shù)y=f(g(x)),其求導法則為y'x=y'u·u'x,即y
對x的導數(shù)等于y對u的導數(shù)與u對x的導數(shù)的乘積.
4 | 復合函數(shù)的概念及求導法則
1.若f(x)=3x,則f'(x)=x·3x-1,正確嗎
不正確.f(x)=3x為指數(shù)函數(shù),它的導數(shù)為f'(x)=3xln 3.
2.若f'(x)=1,則f(x)的原函數(shù)一定是f(x)=x嗎
不一定.若f'(x)=1,則f(x)=x+c(c為常數(shù)).
3.函數(shù)y=e-x的導數(shù)是y'=e-x嗎
不是.y= 是復合函數(shù),它的求導法則是y'x=y'u·u'x,因此其導數(shù)為y'=-e-x.
4.已知函數(shù)f(x)=x- x2-ln x,則f'(-1)=3,對嗎
不對.由f(x)=x- x2-ln x,得f'(x)=1-x- ,但應注意函數(shù)的定義域為{x|x>0},所以f'(-1)
的值不存在.
知識辨析
　　求函數(shù)的導數(shù)時需要注意以下幾個方面:
(1)認真分析函數(shù)表達式,若其符合導數(shù)公式的形式,則直接利用公式求解.
(2)對于不能直接利用公式求解的類型,一般遵循“先化簡再求導”的原則,例如,
若待求導的函數(shù)是冪函數(shù),則根指數(shù)要化成分數(shù)指數(shù)形式;若待求導的函數(shù)是三
角函數(shù),則往往需要利用三角恒等變換公式對函數(shù)式進行化簡等.
1 利用導數(shù)公式及求導法則求函數(shù)的導數(shù)
典例　求下列函數(shù)的導數(shù).
(1)y=2cos2 -1;
(2)y=3x+lg x;
(3)y=x2+tan x;
(4)y= .
解析 (1)∵y=2cos2 -1=cos x,
∴y'=(cos x)'=-sin x.
(2)∵y=3x+lg x,
∴y'=3xln 3+ .
(3)∵y=x2+tan x,
∴y'=(x2)'+(tan x)'
=2x+ .
(4)∵y= ,
∴y'=
=
= .
1.復合函數(shù)求導的步驟
2.求復合函數(shù)的導數(shù)的注意點
(1)分解的函數(shù)通常為基本初等函數(shù);
(2)求導時分清是對哪個變量求導;
(3)計算結果盡量簡單.
2 復合函數(shù)求導
典例　求下列函數(shù)的導數(shù).
(1)y=e2x+1;
(2)y= ;
(3)y=5log2(1-x);
(4)y=sin3x+sin 3x.
解析 (1)函數(shù)y=e2x+1可看成函數(shù)y=eu和u=2x+1的復合函數(shù),
∴y'x=y'u·u'x=(eu)'(2x+1)'=2eu=2e2x+1.
(2)函數(shù)y= 可看成函數(shù)y=u-3和u=2x-1的復合函數(shù),
∴y'x=y'u·u'x=(u-3)'(2x-1)'=-6u-4=-6(2x-1)-4=- .
(3)函數(shù)y=5log2(1-x)可看成函數(shù)y=5log2u和u=1-x的復合函數(shù),
∴y'x=y'u·u'x=(5log2u)'·(1-x)'
= = .
(4)函數(shù)y1=sin3x可看成函數(shù)y1=u3和u=sin x的復合函數(shù),函數(shù)y2=sin 3x可看成函數(shù)y2=sin v和v=3x的復合函數(shù),
∴y'x=(u3)'·(sin x)'+(sin v)'·(3x)'
=3u2cos x+3cos v=3sin2xcos x+3cos 3x.
1.利用導數(shù)的運算法則解決切線問題,有以下幾種常見題型:
(1)求曲線在某點處的切線方程;
(2)已知切線的方程或斜率求切點;
(3)切線問題的綜合應用.
2.切線問題的處理方法:
(1)對函數(shù)進行求導;
(2)若已知切點,則直接求出切線斜率、切線方程;
(3)若切點未知,則先設出切點,用切點橫坐標表示切線斜率,再根據條件求切點坐標.
在解決此類問題時,求函數(shù)的導數(shù)是基礎,找切點是關鍵.
3 利用導數(shù)的運算解決切線問題
典例　已知曲線C:y=3x4-2x3-9x2+4.
(1)求曲線C在點(1,-4)處的切線方程;
(2)(1)中求出的切線與曲線C是否還有其他交點 若有,求出交點;若沒有,說明理
由.
解析 (1)易得y'=12x3-6x2-18x,
當x=1時,y'=-12,
即曲線C在點(1,-4)處的切線的斜率為-12,
∴所求切線方程為y+4=-12(x-1),
即12x+y-8=0.
(2)有其他交點.
將切線方程與曲線C的方程聯(lián)立,得方程組
消y并整理,得3x4-2x3-9x2+12x-4=0,
∴x3(3x-2)-(3x-2)2=0,
∴(x+2)(3x-2)(x-1)2=0,
解得x1=-2,x2= ,x3=x4=1.
將x=-2代入切線方程12x+y-8=0,得y=32;
將x= 代入切線方程12x+y-8=0,得y=0.
綜上,除切點(1,-4)外,還有兩個交點(-2,32)和 .
導師點睛 解決切線問題要以切點為突破口,已知切點直接用,未知切點先設后
用,此處還應注意:①曲線在切點處的導數(shù)等于切線的斜率;②切點在曲線上;③切
點在切線上.

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