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1.3　導數在研究函數中的應用
1.3.1　函數的單調性與導數
1.函數f(x)的單調性與其導數f'(x)的正負的關系
若在區間(a,b)內,f ' (x)>0,則函數f(x)在此區間內單調遞增,(a,b)為f(x)的單調遞增區間;
若在區間(a,b)內,f ' (x)<0,則函數f(x)在此區間內單調遞減,(a,b)為f(x)的單調遞減區間.
特別地,如果在區間(a,b)上恒有f '(x)=0,那么函數f(x)在這個區間上是常數函數.
2.一般地,如果一個函數在某一范圍內的導數的絕對值較大,那么函數在這個范圍
內變化得較快,這時函數的圖象就比較“陡峭”(向上或向下);反之,函數在這個
范圍內變化得較慢,函數的圖象就比較“平緩”.
函數的單調性與導數的關系
1.已知函數f(x),若在定義域上都有其導數f '(x)<0,則函數f(x)在定義域上一定單調
遞減嗎
不一定.如函數f(x)= ,在定義域上都有f'(x)=- <0,但f(x)在其定義域上不是單調
函數.
2.“在某個區間上f '(x)>0”是“f(x)是此區間上的增函數”的充要條件嗎
不是.在某個區間上的個別點處滿足f'(x)=0不會影響f(x)在該區間上的單調性,故
為充分不必要條件.
3.函數y= 的單調遞減區間可以寫成(-∞,0)∪(0,+∞)嗎
不可以.函數y= 的單調區間不能用“∪”連接,可用“,”或“和”連接.
知識辨析
4.對于函數y=f(x),其圖象變化得越快,則其導函數f'(x)的值越大,對嗎
不對.函數y=f(x)的圖象變化得越快,其導函數f'(x)的絕對值越大.
5.“函數的單調區間是(a,b)”和“函數在(a,b)上單調”說法是一致的嗎
不一致.函數的單調區間是函數單調的完整區間,而函數在某區間上單調時,這個
區間可以是函數單調區間的一個子區間.
1.導函數的正負決定了原函數圖象的變化,遵循“符號為正,圖象上升;符號為負,
圖象下降”的原則.根據導函數圖象在x軸的上方或下方,確定導函數的正或負.解
決問題時,一定要分清是原函數圖象還是導函數圖象.
2.由函數f(x)的圖象判斷其導函數f'(x)的圖象,其思維方式是利用函數f(x)的圖象
得到函數的單調性,進而得到函數f'(x)的正負;由f'(x)的圖象判斷f(x)的圖象,其思維
方式是利用函數f'(x)的正負來確定原函數f(x)的單調性.
1 導數與原函數圖象間的關系
典例　已知函數f(x)的圖象如圖所示,則f(x)的導函數f'(x)的圖象大致是 (　 )
解析 由題中函數f(x)的圖象可知,函數f(x)在(-∞,0)上先單調遞減,然后單調遞增,
再單調遞減,在(0,+∞)上單調遞增,則其導函數在(-∞,0)上,從左往右先小于零,然
后大于零,再小于零,在(0,+∞)上大于零,排除A,B,C,故選D.
答案 D
1.利用導數判斷函數的單調性的步驟
(1)求函數f(x)的導數f'(x);
(2)結合定義域求出導數f'(x)的零點;
(3)用f'(x)的零點將f(x)的定義域劃分為若干個區間,分析f'(x)在各區間上的正負,由
此得出函數 f(x)在定義域內的單調性.
2.含參數的函數的單調性問題
解決含有參數的函數的單調性問題,要考慮參數對單調性的影響,必要時要進行
分類討論,主要考慮:①含參數的方程f'(x)=0是否有根;②方程f'(x)=0的根是否在定
義域內;③方程f'(x)=0的不同根的大小.
2 利用導數研究函數的單調性
典例　已知函數f(x)= ax2-(2a+1)x+2ln x(a∈R).
(1)若曲線y=f(x)在x=1和x=3處的切線互相平行,求a的值;
(2)求f(x)的單調區間.
思路點撥 (1)求f'(x) 根據題意得f'(1)=f'(3) 解方程求出a.
(2)對f'(x)變形 分類討論 確定f'(x)的符號 結合定義域求出單調區間.
解析 (1)由題意知f '(x)=ax-(2a+1)+ (x>0).∵曲線y=f(x)在x=1和x=3處的切線互
相平行,∴f '(1)=f '(3),即a-(2a+1)+2=3a-(2a+1)+ ,解得a= .
(2)由(1)知f '(x)= (x>0).
①當a≤0時,∵x>0,∴ax-1<0,
∴在區間(0,2)上, f'(x)>0;在區間(2,+∞)上,f '(x)<0.
故f(x)的單調遞增區間是(0,2),單調遞減區間是(2,+∞).
②當02,在區間(0,2)和 上, f '(x)>0;在區間 上, f '(x)<0.
故f(x)的單調遞增區間是(0,2)和 ,單調遞減區間是 .
③當a= 時, f'(x)= ≥0,當且僅當x=2時取等號,故f(x)的單調遞增區間是(0,
+∞),無單調遞減區間.
④當a> 時,0< <2,在區間 和(2,+∞)上, f '(x)>0;在區間 上,f '(x)<0.
故f(x)的單調遞增區間是 和(2,+∞),單調遞減區間是 .
綜上,當a≤0時, f(x)的單調遞增區間是(0,2),單調遞減區間是(2,+∞);
當0當a= 時, f(x)的單調遞增區間是(0,+∞),無單調遞減區間;
當a> 時, f(x)的單調遞增區間是 和(2,+∞),單調遞減區間是 .
　　已知f(x)在區間(a,b)上的單調性,求參數的值(或范圍)的步驟:
(1)求f(x)的導數f'(x);
(2)將f(x)在(a,b)上單調遞增(減)問題轉化為不等式恒成立問題,即f'(x)≥0(f'(x)≤0)
在(a,b)內恒成立;
(3)利用函數的最值解決不等式恒成立問題;
(4)注意驗證等號能否取到.
3 已知函數的單調性求參數的值（或范圍）
典例 (1)已知函數f(x)=ax2+ln(x+1)在區間(1,+∞)上單調遞減,求實數a的取值
范圍;
(2)已知關于x的函數f(x)=x3-ax+b的一個單調遞增區間為(1,+∞),求實數a的值.
思路點撥 (1)求f'(x) 由f'(x)≤0分離參數a 確定實數a的取值范圍.(2)思路
一:f'(1)=0 確定實數a的值.
思路二:對參數a進行分類討論 得到實數a的值.
解析 (1)因為函數f(x)在區間(1,+∞)上單調遞減,
所以f'(x)=2ax+ ≤0對任意x∈(1,+∞)恒成立,即a≤- 對任意x∈(1,+∞)
恒成立.
令g(x)=- ,x∈(1,+∞),
易得g(x)在區間(1,+∞)上單調遞增,
故g(x)>g(1)=- ,故a≤- .
即實數a的取值范圍為 .
(2)由題意得f'(x)=3x2-a.
解法一:由題意可知, f'(x)≥0在(1,+∞)上恒成立,且f'(1)=3-a=0,解得a=3,經驗證,a=
3滿足條件,所以a=3.
解法二:令f'(x)≥0,得x2≥ .
若a≤0,則x2≥ 恒成立,即f'(x)≥0在R上恒成立,當且僅當x=0且a=0時取等號,
此時, f(x)=x3-ax+b在R上是增函數,與題意不符.
若a>0,由f'(x)>0,得x> 或x<- .
因為(1,+∞)是函數的一個單調遞增區間,
所以 =1,即a=3.
陷阱分析 理解題意時,要注意“函數在區間(1,+∞)上單調”與“函數的一個單
調區間為(1,+∞)”的區別,其中,后者的區間(1,+∞)是函數的一個完整的單調區
間,前者的區間(1,+∞)是函數的一個單調區間的子區間.
1.利用導數證明(解)不等式的關鍵是構造函數,因此熟悉以下結論可以達到事半
功倍的效果.
(1)對于f'(x)>g'(x),可構造h(x)=f(x)-g(x),特殊地,若遇到f'(x)>a(a≠0),則可構造h(x)=
f(x)-ax.
(2)對于f'(x)+g'(x)>0,可構造h(x)=f(x)+g(x).
(3)對于f'(x)+f(x)>0,可構造h(x)=exf(x).
(4)對于f'(x)-f(x)>0,可構造h(x)= .
(5)對于xf'(x)+f(x)>0,可構造h(x)=xf(x).
(6)對于xf'(x)-f(x)>0,可構造h(x)= .
4 利用導數證明（解）不等式
(7)對于 >0,分類討論:①若f(x)>0,則構造h(x)=ln f(x);②若f(x)<0,則構造h(x)=
ln[-f(x)].
2.利用導數證明不等式的步驟
(1)將要證明的不等式f(x)>g(x)(x∈(a,b))移項,構造函數F(x)=f(x)-g(x),轉化為證明
F(x)>0(x∈(a,b)).
(2)確定函數F(x)的單調性,若F'(x)>0,則F(x)在(a,b)上是增函數;若F'(x)<0,則F(x)在
(a,b)上是減函數.
(3)將區間的端點值a或b代入F(x),若函數F(x)是增函數,且F(a)=f(a)-g(a)≥0,則當x
∈(a,b)時,f(x)-g(x)>0,即f(x)>g(x);若F(x)是減函數,且F(b)≥0,則當x∈(a,b)時,f(x)-g
(x)>0,即f(x)>g(x).
典例　求證:當x>1時, +1> .
證明 ∵x>1,∴要證 +1> ,
即證 (x-1)>2ln x,
即證x- -2ln x>0.
令φ(x)=x- -2ln x,x>1,
則φ'(x)=1+ - = ,
易知φ'(x)>0在(1,+∞)上恒成立,
∴φ(x)在(1,+∞)上單調遞增,
∴φ(x)>φ(1)=0,
即x- -2ln x>0,
即原不等式成立.第1章　導數及其應用
1.3　導數在研究函數中的應用
1.3.1　函數的單調性與導數
基礎過關練
　　　　　　　　　　　　　　　　
題組一　利用導數研究函數的圖象變化
1.已知函數y=f(x)的圖象如圖所示,則其導函數y=f'(x)的圖象可能是(　　)
A B
C D
2.已知f'(x)是f(x)的導函數, f'(x)的圖象如圖所示,則f(x)的圖象只可能是(　　)
A　　　　　B
C　　　　　D
3.已知函數f(x)的導函數f'(x)的圖象如圖所示,則函數f(x)的單調遞增區間是　　　　　　　.
4.已知函數y=f(x)(x∈R)的圖象如圖所示,則不等式xf'(x)>0的解集為　　　　　　　　.
題組二　利用導數確定函數的單調性與單調區間
5.函數f(x)=xex的單調遞增區間是(　　)
A.(-∞,-1) B.(-∞,0)
C.(0,+∞) D.(-1,+∞)
6.函數f(x)=x2ln x的單調遞增區間為(　　)
A.(0,) B.
C.(,+∞) D.
7.下列區間中,函數y=xcos x-sin x在其內是減函數的是(　　)
A. B.(π,2π)
C. D.(2π,3π)
8.函數f(x)=(x2+x+1)ex 的單調遞減區間為　　　　.
9.求下列函數的單調區間:
(1)f(x)=3x2-2ln x;
(2)f(x)=x+(b>0).
10.已知函數f(x)=ax2+2x-ln x的導函數f'(x)的一個零點為x=1.
(1)求a的值;
(2)求函數f(x)的單調區間.
題組三　利用導數解決含參函數的單調性問題
11.函數f(x)=x2-2x+mln x 在定義域上是增函數,則實數m的取值范圍為(　　)
A.m≥ B.m>
C.m≤ D.m<
12.若函數f(x)=ax3+3x2+x+b(a>0,b∈R)恰好有三個不同的單調區間,則實數a的取值范圍是(　　)
A.(0,3)∪(3,+∞) B.[3,+∞)
C.(0,3] D.(0,3)
13.若函數f(x)=(x2+k)ex在區間(-3,2)上單調遞增,則實數k的取值范圍是(　　)
A.k≥1 B.k>1
C.k≥3 D.k≥8
14.若函數f(x)=ax3-12x+a的單調遞減區間為(-2,2),則a=　　　　.
15.若函數f(x)=(x2+mx)ex 的單調遞減區間是,則實數m的值為　　　　,函數f(x)的單調遞增區間是　　　　　　　.
16.已知函數f(x)=x3-ax2+b(a,b∈R).
(1)若曲線y=f(x)在點(1, f(1))處的切線方程為x+y-1=0,求a,b的值;
(2)若a>0,求f(x)的單調區間.
能力提升練
　　　　　 　　　　 　　　　
題組一　利用導數比較大小
1.已知a=e,b=3log3e,c=,則a,b,c的大小關系為(　　)
A.c2.已知x∈且a=,b=,c=,則a,b,c的大小關系為(　　)
A.a3.已知a=,b=,c=ln ,則a,b,c的大小關系為(　　)
A.a4.(多選)已知 f(x)是奇函數,當x>0時, f'(x)-f(x)>1, f(1)=3,則(　　)
A. f(4)>ef(3) B. f(-4)>e2f(-2)
C. f(4)>4e3-1 D. f(-4)<-4e2-1
題組二　利用導數解不等式
5.已知函數f(x)=2x -x-1,則不等式f(x)>0的解集是(　　)
A.(-1,1) B.(-∞,-1)∪(1,+∞)
C.(0,1) D.(-∞,0)∪(1,+∞)
6.設f(x)是定義在R上的函數,其導函數為f'(x),若f(x)-f'(x)<1, f(0)=2 021,則不等式f(x)>2 020·ex+1(e為自然對數的底數)的解集為　(　　)
A.(-∞,0)∪(0,+∞)
B.(2 020,+∞)
C.(0,+∞)
D.(-∞,0)∪(2 020,+∞)
7.已知f'(x)是偶函數f(x)(x∈R)的導函數,f(1)=1,當x>0時,3f(x)+xf'(x)>0,則使得不等式(x-2 022)3f(x-2 022)>1成立的x的取值范圍是　(　　)
A.(2 021,+∞) B.(-∞,2 021)
C.(2 023,+∞) D.(-∞,2 023)
8.設函數f(x)在R上的導函數為f'(x),對任意x都有f (x)-f(-x)=2sin x,當x≤0時,f'(x)<-1,若f(t)≤f +sin,則實數t的取值范圍為　　　　.
9.已知函數f(x)=ln x-ax(a∈R).
(1)求函數f(x)的單調區間;
(2)若a>0,求不等式f(x)-f >0的解集.
題組三　利用導數研究函數單調性的綜合應用
10.函數f(x)=的大致圖象是(　　)
11.已知函數f(x)=x3+bx2-4x+d在上單調遞減,則實數b的取值范圍是(　　)
A. B.
C. D.
12.(多選)已知偶函數f(x),若對于任意的x∈,f'(x)cos x+f(x)sin x>0(其中f'(x)是函數f(x)的導函數)都成立,則下列不等式中不成立的是(　　)
A.fB.fC. f(0)>f
D. f13.(多選)已知函數f(x)=,則下列說法正確的是(　　)
A. f(2)>f(3)
B.ln π>
C.若f(x)=m有兩個不相等的實根x1,x2,則x1x2D.若2x=5y,x,y均為正數,則2x<5y
14.已知定義在R上的函數f(x),如果對任意兩個不相等的實數x1,x2,都有x1 f(x1)+x2 f(x2)>x1 f(x2)+x2 f(x1),那么稱函數f(x)為“H函數”.給出下列函數:
①y=ex+1;②y=3x-2(sin x-cos x);
③y=x3+3x2+3x+1;④y=
以上函數是“H函數”的是　　　　.(填序號)
15.已知函數f(x)=ln x-ax+-1(a∈R).
(1)當a=-1時,求曲線y=f(x)在點(2, f(2))處的切線方程;
(2)當a≤時,討論f(x)的單調性.
答案與分層梯度式解析
第1章　導數及其應用
1.3　導數在研究函數中的應用
1.3.1　函數的單調性與導數
基礎過關練
1.A　由y=f(x)的圖象知f(x)在(0,+∞)上是減函數,故y=f'(x)<0在(0,+∞)上恒成立,故排除B、D;f(x)在(-∞,0)上先增后減再增,故y=f'(x)在(-∞,0)上先大于0,再小于0,然后大于0,故排除C.故選A.
2.D　由題中f'(x)的圖象可以看出,在(a,b)內, f'(x)>0,且在內, f'(x)單調遞增,在內, f'(x)單調遞減,所以函數f(x)在(a,b)內單調遞增,且其圖象在內越來越陡峭,在內越來越平緩.故選D.
3.答案　(-1,2)和(4,+∞)
解析　由題中函數f'(x)的圖象可得,當x∈(-1,2)或x∈(4,+∞)時, f'(x)>0,此時f(x)單調遞增,所以函數f(x)的單調遞增區間是(-1,2)和(4,+∞).
4.答案　∪(2,+∞)
解析　由題圖知f(x)在和(2,+∞)上單調遞增,在上單調遞減,
所以f'(x)>0的解集為∪(2,+∞),f'(x)<0的解集為,
由xf'(x)>0得或
所以xf'(x)>0的解集為∪(2,+∞).
5.D　f'(x)=ex+xex=ex(x+1),由f'(x)>0,得x>-1,所以函數f(x)的單調遞增區間是(-1,+∞).故選D.
6.B　易得函數f(x)的定義域為(0,+∞),
f'(x)=2xln x+x2·=2xln x+x=x(2ln x+1).
令f'(x)>0,得2ln x+1>0,解得x>,
故函數f(x)=x2ln x的單調遞增區間為.故選B.
7.D　y'=cos x-xsin x-cos x=-xsin x.
結合選項可知當2π所以函數在(2π,3π)上是減函數,故選D.
8.答案　(-2,-1)
解析　f'(x)=(2x+1)ex +(x2+x+1)ex =ex(x2+3x+2)=ex (x+1)(x+2),
令f'(x)<0,解得-2所以函數f(x)的單調遞減區間為(-2,-1).
9.解析　(1)易得函數f(x)的定義域為(0,+∞), f'(x)=6x-.
令f'(x)=0,解得x1=,x2=-(舍去).
當x變化時, f(x), f'(x)的變化情況如下表所示:
x
f'(x) - 0 +
f(x) ↘ 1+ln 3 ↗
∴函數f(x)的單調遞減區間為,單調遞增區間為.
(2)易得函數f(x)的定義域為(-∞,0)∪(0,+∞),
f'(x)=1-=(x+)(x-).
令f'(x)=0,解得x=或x=-.
當x變化時, f(x), f'(x)的變化情況如下表所示:
x (-∞, -) - (-, 0) (0, ) (, +∞)
f'(x) + 0 - - 0 +
f(x) ↗ -2 ↘ ↘ 2 ↗
∴函數f(x)的單調遞增區間為(-∞,-),(,+∞);單調遞減區間為
(-,0),(0,).
10.解析　(1)f'(x)=2ax+2-.
由題意知f'(1)=2a+=0,解得a=-.
(2)由(1)得f(x)=-x2+2x-ln x,
則f(x)的定義域為(0,+∞),
f'(x)=-x+2-=.
令f'(x)>0,得1令f'(x)<0,得02.
因此f(x)的單調遞增區間是(1,2),單調遞減區間是(0,1),(2,+∞).
11.A　易得f(x)的定義域為{x|x>0},
f'(x)=2x-2+.
若f(x)在定義域上是增函數,
則f'(x)≥0在(0,+∞)上恒成立,
即2x-2+≥0在(0,+∞)上恒成立,變形可得m≥2x-2x2在(0,+∞)上恒成立,
又因為2x-2x2=2x(1-x)≤,當且僅當x=時等號成立,所以m≥.故選A.
12.D　易得f'(x)=3ax2+6x+1(a>0),
∵函數f(x)恰好有三個不同的單調區間,
∴函數y=f'(x)有兩個不同的零點,
∴Δ=36-12a>0,∴0∴實數a的取值范圍是(0,3).故選D.
13.A　f'(x)=2xex+(x2+k)ex=(x2+2x+k)ex,
∵f(x)在(-3,2)上單調遞增,∴f'(x)≥0在(-3,2)上恒成立,
∴x2+2x+k≥0在(-3,2)上恒成立,
即k≥-x2-2x在(-3,2)上恒成立,
令g(x)=-x2-2x=-(x+1)2+1(x∈(-3,2)),
當x∈(-3,2)時,g(x)∈(-8,1].
故k≥1.故選A.
14.答案　1
解析　f'(x)=3ax2-12.
∵f(x)=ax3-12x+a的單調遞減區間為(-2,2),
∴-2和2為方程f'(x)=0的兩個實根,
∴12a-12=0,∴a=1.
15.答案　-;,(1,+∞)
解析　f'(x)=[x2+(m+2)x+m]ex .
因為f(x)的單調遞減區間是,
所以f'(x)=0的兩個根分別為-和1,
所以所以m=-.
所以f'(x)=ex =(x-1)(2x+3)ex.
令f'(x)>0,得x<-或x>1.
故函數f(x)的單調遞增區間為,(1,+∞).
16.解析　(1)∵f(x)=x3-ax2+b(a,b∈R),∴f'(x)=3x2-2ax.
∵曲線y=f(x)在點(1, f(1))處的切線方程為x+y-1=0,
∴ 解得
(2)由(1)得f'(x)=3x2-2ax=3x.
令f'(x)=0,得x=0或x=.
∵a>0,∴當f'(x)>0時,x∈(-∞,0)∪;當f'(x)<0時,x∈.
∴f(x)的單調遞增區間為(-∞,0),,單調遞減區間為.
能力提升練
1.D　設f(x)=,x≥e,則f'(x)=≥0在[e,+∞)上恒成立,
∴函數f(x)在[e,+∞)上單調遞增,
易得a=f(e),b=f(3),c=f(5),且e<3<5,∴a故選D.
2.C　構造函數f(x)=(x>0),
則a==f(2sin2x),b==f(cos x),c==f(sin x).
因為f'(x)==-<0在(0,+∞)上恒成立,所以函數f(x)在(0,+∞)上單調遞減,又因為x∈,所以2sin2x-sin x=sin x(2sin x-1)>0,且sin x>cos x,故a3.C　構造函數f(x)=ex-x-1,則f'(x)=ex-1.當x∈(-∞,0)時, f'(x)<0,此時函數f(x)單調遞減;當x∈(0,+∞)時, f'(x)>0,此時函數f(x)單調遞增,所以f(x)=ex-x-1≥f(0)=0,即ex≥x+1(當且僅當x=0時取等號),令x=-,則>1-=,即有b>a;當x>-1時,對ex≥x+1的左右兩邊同時取常用對數,可得ln(x+1)≤x(當且僅當x=0時取等號),令x=,可得ln <,即有a>c.綜上,b>a>c.
4.ACD　因為當x>0時, f'(x)-f(x)>1,所以f'(x)-f(x)-1>0,所以 >0,所以'>0.
令g(x)=,則當x>0時,g'(x)>0,函數g(x)單調遞增.
易知g(4)>g(3),即>,所以f(4)>ef(3)+e-1>ef(3),故A正確;
易知g(4)>g(2),即>,所以f(4)>e2f(2)+e2-1>e2f(2),所以-f(4)<-e2f(2),又因為f(x)是奇函數,所以f(-4)易知g(4)>g(1),即 >,又因為f(1)=3,所以f(4)>4e3-1,故C正確;
由C選項的分析得f(4)>4e3-1>4e2+1,所以-f(4)<-4e2-1,又因為f(x)是奇函數,所以f(-4)<-4e2-1,故D正確.故選ACD.
5.D　f'(x)=2xln 2-1.
令f'(x)=0,得2x =,此方程有唯一解,設為x0.
易知f'(x)=2xln 2-1在R上遞增,所以函數f(x)在(-∞,x0)上遞減,在(x0,+∞)上遞增,
又因為f(0)=f(1)=0,所以f(x)>0的解集是(-∞,0)∪(1,+∞),故選D.
6.C　令g(x)=,則g'(x)=,
因為f(x)-f'(x)<1,所以g'(x)>0,所以g(x)在R上單調遞增.
因為f(0)=2 021,
所以g(0)=f(0)-1=2 020.
不等式f(x)>2 020·ex+1可轉化為 >2 020,即g(x)>g(0).
由函數g(x)在R上單調遞增知x>0.故選C.
解題模板
　　構造函數解不等式是利用導數解決函數單調性問題的一種重要題型,解決此類問題的關鍵是合理構造函數.
7.C　設F(x)=x3f(x),則F'(x)=3x2f(x)+x3f'(x)=x2[3f(x)+xf'(x)],
因為x>0時,3f(x)+xf'(x)>0,所以x>0時,F'(x)>0,F(x)單調遞增,
因為f(x)為偶函數,所以f(x)=f(-x),所以F(-x)=(-x)3f(-x)=-x3f(x)=-F(x),所以F(x)為奇函數,所以F(x)在(-∞,+∞)上單調遞增.
因為f(1)=1,所以F(1)=13f(1)=f(1)=1.
故不等式(x-2 022)3f(x-2 022)>1即F(x-2 022)>F(1),所以x-2 022>1,
所以x>2 023,故選C.
8.答案　
解析　由f(x)-f(-x)=2sin x,可得f(x)-sin x=f(-x)+sin x,
令g(x)=f(x)-sin x,x∈R,則g(x)是偶函數,
當x≤0時,g'(x)=f'(x)-cos x<-1-cos x≤0,
所以g(x)在(-∞,0]上單調遞減,在(0,+∞)上單調遞增.
易得sin t-sin=sin t-=sin t-cos t=sin,
由f(t)≤f+sin,
得f(t)≤f+sin t-sin,
即f(t)-sin t≤f-sin,
即g(t)≤g,則g(|t|)≤g,所以|t|≤,解得t≤.故答案為.
9.解析　(1)易知f(x)的定義域為(0,+∞), f'(x)=-a=.
①若a≤0,則f'(x)>0恒成立,故f(x)在(0,+∞)上單調遞增;
②若a>0,則當00;當x>時, f'(x)<0.
故f(x)在上單調遞增,在上單調遞減.
綜上,當a≤0時, f(x)的單調遞增區間為(0,+∞);當a>0時, f(x)的單調遞增區間為,單調遞減區間為.
(2)由(1)知f(x)的定義域為(0,+∞),
∴∴0設F(x)=f(x)-f
=ln x-ax-ln+a
=ln x-ln-2ax+2,x∈,
則F'(x)=+-2a=≥0,∴F(x)在上單調遞增.
又∵F=0,∴當x∈時,F(x)<0;當x∈時,F(x)>0.
∴f(x)-f >0的解集為.
10.A　f'(x)=.
令f'(x)=0,得-x2+x+1=0,解得x=.
當x∈時, f'(x)<0;
當x∈時, f'(x)>0;
當x∈時, f'(x)<0,
∴函數f(x)在和上單調遞減,在上單調遞增,排除D.
當x=0時, f(0)=0,排除B.
當x=-1時, f(-1)=0,排除C.故選A.
11.D　f'(x)=3x2+2bx-4,
若f(x)在上單調遞減,
則當x∈時,3x2+2bx-4≤0恒成立.
①x∈(0,1)時,問題轉化為b≤-x+在(0,1)上恒成立,
令g(x)=-x+,x∈(0,1),
顯然g(x)在(0,1)上單調遞減,
故g(x)>g(1)=,
故b≤;
②x=0時,原不等式即-4≤0,顯然成立;
③x∈時,問題轉化為b≥-x+在上恒成立,
令h(x)=-x+,x∈,
顯然h(x)在上單調遞減,
故h(x)故b≥-2.
綜上,b∈.
12.ABC　構造函數g(x)=,
則g(x)為偶函數,且g'(x)=,由題意可知g'(x)>0在上恒成立,
∴g(x)在上單調遞增.
易得g=g==2f,
g=g==f,
g==f,
由函數g(x)在上單調遞增,可知g即f對于A、B, f=f對于C,g(0)對于D,f<2f,即f 故選ABC.
13.BD　由f(x)=,可知其定義域為(0,+∞),且f'(x)=,令f'(x)=0,得x=e.
當x∈(0,e)時, f'(x)>0,此時f(x)單調遞增;當x∈(e,+∞)時, f'(x)<0,此時f(x)單調遞減,所以f(x)≤f(e)=,當x趨近于+∞時, f(x)趨近于0,當x趨近于0時, f(x)趨近于-∞.
對于A, f(2)==ln , f(3)==ln ,
∵>,且>0,>0,∴>,
∴f(3)>f(2),故A錯誤;
對于B,∵<∴f()∴ln π >,故B正確;
對于C,∵f(x)=m有兩個不相等的實根x1,x2,
∴f(x1)=f(x2)=m,
不妨設0∵x2>e,∴∵f(x)在(0,e)上單調遞增,
∴只需證f(x1)令g(x)=f(x)-f(x>e),
則g'(x)=(ln x-1),
當x>e時,ln x>1,>,∴g'(x)>0,
∴g(x)在(e,+∞)上單調遞增,
∵x2>e,∴g(x2)>g(e)=0,即f(x2)-f>0,這與①矛盾,故C錯誤;
對于D,設2x=5y=k,且x,y均為正數,則x=log2k=,y=log5k=,
∴2x=ln k,5y=ln k,
易知=ln ,=ln ,且>,
∴>>0,∴0<<,∴2x<5y,故D正確.
故選BD.
14.答案　①②③
解析　x1 f(x1)+x2 f(x2)>x1 f(x2)+x2 f(x1)可化為[f(x1)-f(x2)](x1-x2)>0,
所以函數f(x)為R上的增函數,即“H函數”為R上的增函數.
①y=ex+1顯然是R上的增函數,故①符合.
②y'=3-2cos x-2sin x=3-2sin≥3-2>0,所以函數y=3x-2(sin x-cos x)為R上的增函數,故②符合.
③y'=3x2+6x+3=3(x+1)2≥0,當且僅當x=-1時取等號,所以函數y=x3+3x2+3x+1為R上的增函數,故③符合.
④當x>0時,y=ln|x|=ln x,在(0,+∞)上單調遞增;當x<0時,y=ln|x|=ln(-x),在(-∞,0)上單調遞減,所以y=不是R上的增函數,故④不符合.
15.解析　(1)當a=-1時, f(x)=ln x+x+-1(x>0),則f'(x)=+1-(x>0),所以f'(2)=1.
又因為f(2)=ln 2+2,
故所求切線方程為y-(ln 2+2)=x-2,即y=x+ln 2.
(2)因為f(x)=ln x-ax+-1(x>0),
所以f'(x)=-a+=-(x>0).
令g(x)=ax2-x+1-a=(x-1)(ax-1+a)(x>0).
(i)當a=0時,g(x)=-x+1(x>0),
所以當x∈(0,1)時,g(x)>0, f'(x)<0,此時函數f(x)單調遞減;
當x∈(1,+∞)時,g(x)<0, f'(x)>0,此時函數f(x)單調遞增.
(ii)當a≠0時,令g(x)=0,
解得x=1或x=-1.
當a=時,g(x)≥0, f'(x)≤0,當且僅當x=1時取等號,此時函數f(x)在(0,+∞)上單調遞減.
當00, f'(x)<0;若x∈,則g(x)<0, f'(x)>0,所以函數f(x)在(0,1),上單調遞減,在上單調遞增.
當a<0時,-1<0,
若x∈(0,1),則g(x)>0, f'(x)<0,此時函數f(x)單調遞減.
若x∈(1,+∞),則g(x)<0, f'(x)>0,此時函數f(x)單調遞增.
綜上所述,當a≤0時,函數f(x)在(0,1)上單調遞減,在(1,+∞)上單調遞增;當a=時,函數f(x)在(0,+∞)上單調遞減;當0方法技巧
　　解決含參函數的單調性問題時,常常要對參數的取值進行分類討論,分類時主要考慮三點:一是導函數有沒有零點;二是導函數的零點是否在定義域內;三是導函數的零點間的大小關系.

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