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1.3.2　函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)
1 | 函數(shù)極值的定義
1.極大值與極大值點
設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有定義,x0是區(qū)間(a,b)內(nèi)的一個點,若點x0附近的函數(shù)值
都小于或等于f(x0)(即f(x)≤f(x0)),就說f(x0)是函數(shù)y=f(x)的一個極大值,此時x0稱為
f(x)的一個極大值點.
2.極小值與極小值點
設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有定義,x0是區(qū)間(a,b)內(nèi)的一個點,若點x0附近的函數(shù)值
都大于或等于f(x0)(即f(x)≥f(x0)),就說f(x0)是函數(shù)y=f(x)的一個極小值,此時x0稱為
f(x)的一個極小值點.
3.極大值和極小值統(tǒng)稱為極值,極大值點和極小值點統(tǒng)稱為極值點.
　　如果函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間內(nèi)有導(dǎo)數(shù),就可按下列步驟求它的極值:
(1)求導(dǎo)數(shù)f'(x).
(2)求f(x)的駐點,即求方程f'(x)=0的解.
(3)對于方程f'(x)=0的每一個解x0,分析f'(x)在x0左右兩側(cè)的符號(即討論f(x)的單調(diào)
性),確定極值點:
①若f'(x)在x0兩側(cè)的符號為“左正右負(fù)”,則x0為極大值點;
②若f'(x)在x0兩側(cè)的符號為“左負(fù)右正”,則x0為極小值點.
(4)求出各極值點的函數(shù)值,就得到函數(shù)y=f(x)的全部極值.
2 | 函數(shù)極值的求法
1.導(dǎo)數(shù)為0的點一定是函數(shù)的極值點嗎
不一定.如函數(shù)f(x)=x3,其導(dǎo)數(shù)為f'(x)=3x2.當(dāng)x=0時,有f'(0)=0,但x=0不是f(x)的極值點.
2.函數(shù)的極大值一定會大于函數(shù)的極小值嗎
不一定.如圖所示,x1是極大值點,x4是極小值點,但f(x1)3.函數(shù)y=f(x)一定有極大值和極小值嗎
不一定.在定義域上單調(diào)的函數(shù)一定沒有極值.
知識辨析
4.函數(shù)的極大(小)值是不是唯一的
不一定.一個函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內(nèi)的極大值或極小值可以有一個或多個.
5.若函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)有極值,則f(x)在(a,b)內(nèi)一定不單調(diào),對嗎
對.
6.在可導(dǎo)函數(shù)的極值點處,切線一定與x軸平行或重合嗎
一定.可導(dǎo)函數(shù)在極值點處的導(dǎo)數(shù)為零,即切線的斜率為0,故切線與x軸平行或重合.
1.求可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值時可直接按照求極值的步驟進(jìn)行求解,特別地,由f'(x)=0求
出全部的根后,可通過列表把x, f'(x), f(x)在每個區(qū)間內(nèi)的變化情況表示出來,再求
極值.
2.有關(guān)含參數(shù)的函數(shù)的極值問題
　　求含參數(shù)的函數(shù)的極值時,要根據(jù)f'(x)=0的不同類型對參數(shù)進(jìn)行分類討論.通
常要考慮以下幾個方面:
①方程f'(x)=0有無實數(shù)根;
②方程f'(x)=0的實數(shù)根是否在定義域內(nèi);
③方程f'(x)=0的實數(shù)根之間的大小關(guān)系.
通過列表得到函數(shù)的極值.
1 利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的極值問題
典例 已知函數(shù)f(x)=(x2+mx-2m2+3m)·ex(x∈R),當(dāng)m∈R且m≠ 時,求函數(shù)的極
值.
思路點撥　求f'(x) 解方程f'(x)=0 分類討論,列表 得解.
解析 由題意得, f'(x)=[x2+(m+2)x-2m2+4m]ex.
令f'(x)=0,得x=-2m或x=m-2.
由m≠ 知,-2m≠m-2.
分以下兩種情況討論:
①若m> ,則-2m當(dāng)x變化時, f'(x), f(x)的變化情況如表所示.
x (-∞,-2m) -2m (-2m,m-2) m-2 (m-2,+∞)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗
得極小值,且極小值為f(m-2)=(4-3m)em-2.
②若m< ,則-2m>m-2.
當(dāng)x變化時,f '(x), f(x)的變化情況如表所示.
∴函數(shù)f(x)在x=m-2處取得極大值,且極大值為f(m-2)=(4-3m)em-2;函數(shù)f(x)在x=-2m處
取得極小值,且極小值為f(-2m)=3me-2m.
x (-∞,m-2) m-2 (m-2,-2m) -2m (-2m,+∞)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗
∴函數(shù)f(x)在x=-2m處取得極大值,且極大值為f(-2m)=3me-2m;函數(shù)f(x)在x=m-2處取
　　由函數(shù)的極值求參數(shù)的值或范圍,解題的切入點是明確極值存在的條件:極
值點處的導(dǎo)數(shù)值為0,極值點兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)值異號.解題步驟如下:
①求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)f'(x);
②由極值點處的導(dǎo)數(shù)值為0,列出方程(組),求解參數(shù)的值或范圍.
注意:求出參數(shù)的值后,一定要驗證其是否滿足題目的條件.
2 利用函數(shù)的極值求參數(shù)的值或范圍
典例 (1)若函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1處取得極值10,求a,b的值;
(2)已知函數(shù)f(x)= x3- (m+3)x2+(m+6)x(x∈R,m為常數(shù))在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)有兩個極
值點,求實數(shù)m的取值范圍.
思路點撥 (1)求f'(x) 建立關(guān)于a,b的方程組 解方程組 求出a,b的值并
檢驗;
(2)由題意知,f'(x)的圖象在(1,+∞)內(nèi)與x軸有兩個不同的交點,據(jù)此列不等式組
解關(guān)于m的不等式組 得到m的取值范圍.
解析 (1)由f(x)=x3+ax2+bx+a2得 f'(x)=3x2+2ax+b,
依題意得 整理得
解得 或
當(dāng)a=-3,b=3時, f'(x)=3x2-6x+3=3(x-1)2≥0,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時取等號,
故f(x)在R上單調(diào)遞增,不可能在x=1處取得極值,所以a=-3,b=3不符合題意,舍去.
當(dāng)a=4,b=-11時,經(jīng)檢驗符合題意,故a,b的值分別為4,-11.
(2)由f(x)= x3- (m+3)x2+(m+6)x得 f'(x)=x2-(m+3)x+m+6.
因為函數(shù)f(x)在(1,+∞)內(nèi)有兩個極值點,
所以f'(x)=x2-(m+3)x+m+6的圖象在(1,+∞)內(nèi)與x軸有兩個交點,如圖所示.
所以
解得m>3.故實數(shù)m的取值范圍是(3,+∞).
易錯警示 解決利用極值求函數(shù)中的參數(shù)問題時,要注意f'(x0)=0是x0為極值點的
必要不充分條件,(1)中由f'(1)=0及f(1)=10求出a,b的值后,應(yīng)注意檢驗極值的存在
條件,防止漏掉檢驗導(dǎo)致解題錯誤.
1.利用導(dǎo)數(shù)可以判斷函數(shù)的單調(diào)性,研究函數(shù)的極值情況,并能在此基礎(chǔ)上畫出函
數(shù)的大致圖象,從直觀上判斷函數(shù)圖象與x軸的交點或兩個函數(shù)圖象的交點的個
數(shù),從而為研究方程根的個數(shù)問題提供了方便.
2.利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的零點問題時,可通過極值的正用和逆用,結(jié)合分類討論、數(shù)
形結(jié)合等思想方法進(jìn)行有效處理,解題的關(guān)鍵是掌握求單調(diào)區(qū)間和極值的方法.
3 利用函數(shù)極值解決函數(shù)零點（方程根）問題
典例　已知函數(shù)f(x)=x3-6x2+9x+3,若函數(shù)f(x)的圖象與y= f'(x)+5x+m的圖象有三
個交點,求實數(shù)m的取值范圍.
思路點撥　根據(jù)題意得到f'(x),將函數(shù)f(x)的圖象與y= f'(x)+5x+m的圖象有三個交
點轉(zhuǎn)化為方程f(x)= f'(x)+5x+m有三個不相等的實根,進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(x)=f(x)-
f'(x)-5x-m的圖象與x軸有三個交點,利用導(dǎo)數(shù)求g(x)的極值,通過判斷極值的符號
得到m的取值范圍.
解析 由f(x)=x3-6x2+9x+3,可得f'(x)=3x2-12x+9,則y= f'(x)+5x+m= (3x2-12x+9)+5x
+m=x2+x+3+m.
函數(shù)f(x)的圖象與y= f'(x)+5x+m的圖象有三個交點等價于方程x3-6x2+9x+3=x2+x+
3+m有三個不相等的實根,即x3-7x2+8x-m=0有三個不相等的實根.
令g(x)=x3-7x2+8x-m,則g(x)的圖象與x軸有三個交點.
易得g'(x)=3x2-14x+8=(3x-2)(x-4),
令g'(x)=0,得x= 或x=4.
當(dāng)x變化時,g'(x)與g(x)的變化情況如下表:
x -∞, ,4 4 (4,+∞)
g'(x) + 0 - 0 +
g(x) ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗
則函數(shù)g(x)的極大值為g = -m,極小值為g(4)=-16-m.
由g(x)的圖象與x軸有三個交點,
得 解得-16∴實數(shù)m的取值范圍為 .第1章　導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用
1.3　導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用
1.3.2　函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)
基礎(chǔ)過關(guān)練
　　　　　　　　　　　　　　　　
題組一　函數(shù)極值的概念及其求解
1.若f'(x0)存在,則f'(x0)=0是函數(shù)f(x)在x=x0處取極值的(　　)
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
2.已知f(x)=,則f(x)(　　)
A.在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增
B.在(-∞,1)上單調(diào)遞減
C.有極大值,無極小值
D.有極小值,無極大值
3.已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f'(x)的圖象如圖所示,則下列結(jié)論正確的是(　　)
A. f(x2)是極小值 B. f(x3)是極小值
C. f(x4)是極大值 D. f(x5)是極大值
4.函數(shù)f(x)=x+2cos x在上的極大值點為(　　)
A.0 B. C. D.
5.已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+6,其導(dǎo)數(shù)f'(x)的圖象如圖所示,則f(x)的極小值是　　　　.
6.若函數(shù)f(x)=x2f'(2)+ln x,則f'(2)=　　　　,f(x)的極大值點為　　　　.
7.求下列函數(shù)的駐點,并判斷其是不是極值點,若是,求出對應(yīng)的極值;若不是,請說明理由.
(1)f(x)=x3-3x2-9x+5;
(2)f(x)=4x3+x2+2x+6;
(3)f(x)=-2;
(4)f(x)=x2-2ln x.
8.已知函數(shù)f(x)=ex(ax+b)-x2-4x,曲線y=f(x)在點(0, f(0))處的切線方程為y=4x+4.
(1)求a,b的值;
(2)討論f(x)的單調(diào)性,并求出f(x)的極大值.
題組二　含參函數(shù)的極值問題
9.設(shè)a∈R,若函數(shù)y=eax+3x,x∈R有大于零的極值點,則(　　)
A.a>-3 B.a<-3 C.a>- D.a<-
10.若函數(shù)f(x)=e3x-e2x-ex -a存在零點,則實數(shù)a的取值范圍為(　　)
A.[-2,+∞) B.[-e,+∞)
C.[-e2,+∞) D.[-1,+∞)
11.已知函數(shù)f(x)=x3+3mx2+nx+m2在x=-1處取得極值0,則m+n=　　　　.
12.已知定義在R上的函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f'(x)=a(x+1)(x-a),若f(x)在x=a處取得極大值,則a的取值范圍是　　　　.
13.設(shè)函數(shù)f(x)=[ax2-(3a+1)x+3a+2]ex.
(1)若曲線y=f(x)在點(2,f(2))處的切線的斜率為0,求a的值;
(2)若f(x)在x=1處取得極小值,求a的取值范圍.
14.已知函數(shù)f(x)=ln x-ax2+x,a∈R.
(1)當(dāng)a=0時,求曲線y=f(x)在點(1, f(1))處的切線方程;
(2)若g(x)=f(x)-(ax-1),求函數(shù)g(x)的極值.
能力提升練
　　　　　　　　　　　　　　　　
題組　函數(shù)極值的綜合應(yīng)用
1.已知函數(shù)f(x)=ln x-ax的圖象在x=1處的切線方程為x+y+b=0,則f(x)的極大值為(　　)
A.-ln 2-1 B.-ln 2+1
C.-1 D.1
2.已知函數(shù)f(x)=ksin x+2x+1(k∈R),當(dāng)k∈(-∞,-2)∪(2,+∞)時, f(x)在(0,2π)內(nèi)的極值點的個數(shù)為(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
3.(多選)已知函數(shù)f(x)=xln x+x2,x0是函數(shù)f(x)的極值點,則下列結(jié)論正確的是(　　)
A.0
C. f(x0)+2x0<0 D. f(x0)+2x0>0
4.函數(shù)f(x)=ax2-2ln x-1有兩個零點,則a的取值范圍為(　　)
A.(-∞,e) B.(0,e)
C.(0,1) D.(-∞,1)
5.(多選)已知函數(shù)f(x)=ax-ln x(a∈R),則下列說法正確的是(　　)
A.若a≤0,則函數(shù)f(x)沒有極值
B.若a>0,則函數(shù)f(x)有極值
C.若函數(shù)f(x)有且只有兩個零點,則實數(shù)a的取值范圍是
D.若函數(shù)f(x)有且只有一個零點,則實數(shù)a的取值范圍是(-∞,0]∪
6.已知函數(shù)f(x)=x(ln x-ax)有兩個極值點,則實數(shù)a的取值范圍是　　　　.
7.已知函數(shù)f(x)=ln(x+1)+a(x2+x)+2(a>0).
(1)當(dāng)a=2時,求f(x)的圖象在點(0,f(0))處的切線方程;
(2)若f(x)有兩個極值點.
①求a的取值范圍;
②證明f(x)的極小值小于-2ln 2+.
8.已知函數(shù)f(x)=ln x-(a+2)x+ax2(a∈R).
(1)當(dāng)a=0時,求曲線y=f(x)在點(1, f(1))處的切線方程;
(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(3)若f(x)恰有兩個零點,求實數(shù)a的取值范圍.
答案與分層梯度式解析
第1章　導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用
1.3　導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用
1.3.2　函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)
基礎(chǔ)過關(guān)練
1.B　
2.C　由題意得f'(x)=,當(dāng)x<1時, f'(x)>0, f(x)單調(diào)遞增,當(dāng)x>1時, f'(x)<0, f(x)單調(diào)遞減,則f(1)=是函數(shù)的極大值,函數(shù)無極小值.
故選C.
3.B　由題圖可知x∈(a,x1)時, f'(x)>0, f(x)單調(diào)遞增,x∈(x1,x3)時, f'(x)<0, f(x)單調(diào)遞減,x∈(x3,b)時, f'(x)≥0(當(dāng)且僅當(dāng)x=x5時取等號), f(x)單調(diào)遞增,所以f(x1)是極大值,f(x3)是極小值,故選B.
4.B　由題意得, f'(x)=1-2sin x,
令f'(x)=0,得x=.
易得當(dāng)0≤x<時, f'(x)>0;
當(dāng)∴當(dāng)x=時, f(x)取得極大值.
5.答案　6
解析　由題意得f'(x)=3ax2+2bx.由題圖可知,當(dāng)x<0時, f'(x)<0,當(dāng)00,當(dāng)x>2時, f'(x)<0,
故x=0時函數(shù)f(x)取得極小值,為f(0)=6.
6.答案　-;
解析　∵f(x)=x2f'(2)+ln x,∴f'(x)=xf'(2)+,∴f'(2)=2f'(2)+,∴f'(2)=-,
∴f'(x)=-x+=,當(dāng)00, f(x)單調(diào)遞增,當(dāng)x>時, f'(x)<0, f(x)單調(diào)遞減,故x=為函數(shù)的極大值點.
7.解析　(1)由題意得, f'(x)=3x2-6x-9,
令f'(x)=0,即3x2-6x-9=0,
解得x=-1或x=3,即函數(shù)f(x)的駐點為x=-1和x=3.
當(dāng)x變化時, f'(x), f(x)的變化情況如下表:
x (-∞,-1) -1 (-1,3) 3 (3,+∞)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗
∴x=-1是f(x)的極大值點,且極大值為f(-1)=10;
x=3是f(x)的極小值點,且極小值為f(3)=-22.
(2)由題意得, f'(x)=12x2+2x+2,易知f'(x)>0在R上恒成立,所以f(x)沒有駐點.
(3)由題意得,函數(shù)f(x)的定義域為R,
f'(x)==-.
令f'(x)=0,得x=-1或x=1,即函數(shù)f(x)的駐點為x=-1和x=1.
當(dāng)x變化時, f'(x), f(x)的變化情況如下表:
x (-∞, -1) -1 (-1,1) 1 (1, +∞)
f'(x) - 0 + 0 -
f(x) ↘ 極小值 ↗ 極大值 ↘
∴x=-1是f(x)的極小值點,且極小值為f(-1)=-3;
x=1是f(x)的極大值點,且極大值為f(1)=-1.
(4)由題意得,函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞)且 f'(x)=2x-,
令f'(x)=0,得x=1或x=-1(舍去),即函數(shù)f(x)的駐點為x=1.
易知當(dāng)x∈(0,1)時, f'(x)<0, f(x)單調(diào)遞減,
當(dāng)x∈(1,+∞)時, f'(x)>0, f(x)單調(diào)遞增,
∴x=1是f(x)的極小值點,且極小值為f(1)=1,無極大值點.
8.解析　(1)由題可得, f'(x)=ex(ax+a+b)-2x-4.
由已知得
解得
(2)由(1)知, f(x)=4ex(x+1)-x2-4x,
∴f'(x)=4ex(x+2)-2x-4=4(x+2).
令f'(x)=0,得x=-ln 2或x=-2.
易知當(dāng)x∈(-∞,-2)∪(-ln 2,+∞)時,f'(x)>0;當(dāng)x∈(-2,-ln 2)時, f'(x)<0.
故f(x)在(-∞,-2),(-ln 2,+∞)上單調(diào)遞增,在(-2,-ln 2)上單調(diào)遞減.
當(dāng)x=-2時,函數(shù)f(x)取得極大值,極大值為f(-2)=4(1-e-2).
9.B　設(shè)f(x)=eax+3x,則f'(x)=3+aeax.
由題意得f'(x)=3+aeax=0有正根,
則a<0,此時x=ln.
由x>0,得a<-3.故選B.
10.D　f'(x)=3e3x-2e2x-ex =ex (3e2x-2ex -1)=ex (ex -1)(3ex +1),
令f'(x)=0,則ex -1=0,解得x=0.
在區(qū)間(-∞,0)上, f'(x)<0, f(x)為減函數(shù),
在區(qū)間(0,+∞)上, f'(x)>0, f(x)為增函數(shù),
結(jié)合f(x)的圖象(圖略)可知,
若函數(shù)f(x)=e3x-e2x-ex -a存在零點,則必有f(0)=-a-1≤0,解得a≥-1,
即a的取值范圍為[-1,+∞),故選D.
11.答案　11
解析　f'(x)=3x2+6mx+n,則
即解得或
當(dāng)時, f'(x)=3x2+6x+3=3(x+1)2≥0,不符合題意,舍去;
當(dāng)時, f'(x)=3x2+12x+9=3(x+3)(x+1),令f'(x)>0,得x<-3或x>-1;令f'(x)<0,得-3所以f(x)在(-∞,-3),(-1,+∞)上單調(diào)遞增,在(-3,-1)上單調(diào)遞減,符合題意,則m+n=2+9=11.
12.答案　(-1,0)
解析　當(dāng)a>0時,方程a(x+1)(x-a)=0的較小的根為函數(shù)f(x)的極大值點,
故無解;
當(dāng)a=0時, f'(x)=0恒成立, f(x)無極值點,不符合題意;
當(dāng)a<0時,方程a(x+1)(x-a)=0的較大的根為函數(shù)f(x)的極大值點,
故即-1因此a的取值范圍是(-1,0).
13.解析　(1)因為f(x)=[ax2-(3a+1)x+3a+2]ex,
所以f'(x)=[ax2-(a+1)x+1]ex,
則 f'(2)=(2a-1)e2.
由題意知f'(2)=0,即(2a-1)e2=0,解得a=.
(2)由(1)得f'(x)=[ax2-(a+1)x+1]ex=(ax-1)(x-1)ex.
若a>1,則當(dāng)x∈時, f'(x)<0;
當(dāng)x∈(1,+∞)時, f'(x)>0,
所以f(x)在x=1處取得極小值,滿足題意.
若a≤1,則當(dāng)x∈(0,1)時,ax-1≤x-1<0,
所以f'(x)>0,
所以1不是f(x)的極小值點,不滿足題意.
綜上可知,a的取值范圍是(1,+∞).
14.解析　(1)當(dāng)a=0時, f(x)=ln x+x,所以f'(x)=+1,則f'(1)=2,
又因為f(1)=1,所以切點坐標(biāo)為(1,1),
所以所求切線方程為y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.
(2)由題知,g(x)=f(x)-(ax-1)=ln x-ax2+(1-a)x+1(x>0),
所以g'(x)=-ax+1-a=(x>0),
當(dāng)a≤0時,因為x>0,所以g'(x)>0,
所以g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,無極值.
當(dāng)a>0時,g'(x)=,
令g'(x)=0,得x=或x=-1(舍去),
所以當(dāng)x∈時,g'(x)>0;當(dāng)x∈時,g'(x)<0,
所以當(dāng)x=時,g(x)取得極大值,為g=-ln a,無極小值.
綜上,當(dāng)a≤0時,函數(shù)g(x)無極值;當(dāng)a>0時,函數(shù)g(x)有極大值-ln a,無極小值.
能力提升練
1.A　因為f(x)=ln x-ax,所以f'(x)=-a(x>0),
又因為函數(shù)f(x)的圖象在x=1處的切線方程為x+y+b=0,
所以f(1)=-a=-b-1, f'(1)=1-a=-1,解得a=2,b=1.
所以f'(x)=-2=(x>0),
當(dāng)00, f(x)單調(diào)遞增,當(dāng)x>時, f'(x)<0, f(x)單調(diào)遞減,故f(x)在x=處取得極大值,極大值為f=ln -1=-ln 2-1.
2.C　由f(x)=ksin x+2x+1,得f'(x)=kcos x+2,
令f'(x)=0,得kcos x+2=0,∴cos x=-.
∵k∈(-∞,-2)∪(2,+∞),
∴-∈(-1,0)∪(0,1).
作y=cos x(0由圖可知,當(dāng)0易知x1,x2均為f(x)的極值點,故函數(shù)f(x)在(0,2π)上有兩個極值點.故選C.
3.AD　∵函數(shù)f(x)=xln x+x2(x>0),
∴f'(x)=ln x+1+2x,
易得f'(x)=ln x+1+2x在(0,+∞)上單調(diào)遞增,
f'=>0,且當(dāng)x→0時, f'(x)→-∞,
∴0∴A正確,B錯誤.
由題意得,f'(x0)=ln x0+1+2x0=0,
∴f(x0)+2x0=x0ln x0++2x0=x0(ln x0+x0+2)=x0(1-x0)>0,
∴C錯誤,D正確.故選AD.
4.C　易得函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞),因為函數(shù)f(x)=ax2-2ln x-1有兩個零點,
所以方程ax2-2ln x-1=0有兩個不同的實數(shù)根,即a=有兩個不同的實數(shù)根.
令g(x)=,x>0,則g(x)=(x>0)的圖象與直線y=a有兩個不同的交點,
易得g'(x)==,令g'(x)=0,可得x=1,
當(dāng)x∈(0,1)時,g'(x)>0,則g(x)單調(diào)遞增;
當(dāng)x∈(1,+∞)時,g'(x)<0,則g(x)單調(diào)遞減,所以g(x)在x=1處取得極大值,且極大值為g(1)=1.
令g(x)=>0,可得x>;
令g(x)=<0,可得0畫出g(x)=(x>0)的大致圖象如圖,
由圖象可得,當(dāng)00)的圖象與直線y=a有兩個不同的交點,即原函數(shù)有兩個零點.故選C.
解題模板
　　利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的零點個數(shù)(方程根的個數(shù))問題時,一般需要先分離參數(shù),根據(jù)分離后的結(jié)果,構(gòu)造新的函數(shù),再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,確定函數(shù)極值,利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.變量分離可以避免對參數(shù)的分類討論.
5.ABD　由題意得,函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞),且f'(x)=a-=,
當(dāng)a≤0時, f'(x)<0恒成立,此時f(x)單調(diào)遞減,沒有極值,
當(dāng)x→0時, f(x)→+∞,當(dāng)x→+∞時, f(x)→-∞,∴f(x)有且只有一個零點.
當(dāng)a>0時,在上有f'(x)<0, f(x)單調(diào)遞減,在上有f'(x)>0, f(x)單調(diào)遞增,∴當(dāng)x=時, f(x)取得極小值,極小值為f=1+ln a,當(dāng)x→0時,ln x→-∞, f(x)→+∞,當(dāng)x→+∞時, f(x)→+∞,當(dāng)1+ln a=0,即a=時, f(x)有且只有一個零點;當(dāng)1+ln a<0,即06.答案　
解析　由題知x>0, f'(x)=ln x+1-2ax,由于函數(shù)f(x)有兩個極值點,因此f'(x)=0有兩個不等的實根,即函數(shù)y=ln x+1與y=2ax(x>0)的圖象有兩個不同的交點,則a>0.設(shè)函數(shù)y=ln x+1在其圖象上任一點(x0,1+ln x0)處的切線為l,則kl=,當(dāng)l過坐標(biāo)原點時,= x0=1,令2a=1 a=,∴07.解析　(1)當(dāng)a=2時, f(x)=ln(x+1)+2x2+2x+2,
∴f'(x)=+4x+2,∴f'(0)=3.
又∵f(0)=2,∴f(x)的圖象在點(0, f(0))處的切線方程為y=3x+2.
(2)①易知f(x)=ln(x+1)+a(x2+x)+2的定義域為(-1,+∞),
f'(x)=+a(2x+1)=.
令g(x)=2ax2+3ax+a+1,
若f(x)有兩個極值點,則f'(x)=0在(-1,+∞)上有兩個不相等的實數(shù)根,
即g(x)=0在(-1,+∞)上有兩個不相等的實數(shù)根,
故解得a>8.
∴當(dāng)f(x)有兩個極值點時,a的取值范圍為(8,+∞).
②證明:由g(-1)=g=1>0,g=1-<0,
可知函數(shù)g(x)在區(qū)間上有兩個變號零點,設(shè)為x1,x2,且x1則x1∈,x2∈.
當(dāng)-10,即f'(x)>0,∴f(x)在(-1,x1)上單調(diào)遞增;
當(dāng)x1當(dāng)x>x2時,g(x)>0,即f'(x)>0,∴f(x)在(x2,+∞)上單調(diào)遞增.
故函數(shù)f(x)有唯一的極小值點x2,且-∵g(x2)=0,∴a=-,
∴f(x2)=ln(x2+1)-(+x2)+2=ln(x2+1)-+2.
令φ(x)=ln(x+1)-+2,
則φ'(x)=-=,
當(dāng)-∴φ(x)在上單調(diào)遞減,
∴φ(x)<φ=-2ln 2+,即f(x)的極小值小于-2ln 2+.
易錯警示
　　解決函數(shù)的極值問題時,要注意函數(shù)的定義域,解題時防止因忽視定義域?qū)е陆忸}錯誤.如本題中f(x)有兩個極值點可轉(zhuǎn)化為方程2ax2+3ax+a+1=0在(-1,+∞)上有兩個不同的實數(shù)解,而不是在R上有兩個不同的實數(shù)解.
8.解析　(1)當(dāng)a=0時, f(x)=ln x-2x, f'(x)=-2,
所以f(1)=-2, f'(1)=-1.
所以曲線y=f(x)在點(1, f(1))處的切線方程為y+2=-(x-1),即x+y+1=0.
(2)易得f'(x)=-(a+2)+2ax==(x>0).
①當(dāng)a≤0時, f(x)與f'(x)在(0,+∞)上的變化情況如表:
x
f'(x) + 0 -
f(x) ↗ 極大值 ↘
所以f(x)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.
②當(dāng)0x
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗
所以f(x)在,上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.
③當(dāng)a=2時, f'(x)≥0,當(dāng)且僅當(dāng)x=時取等號,所以f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.
④當(dāng)a>2時, f(x)與f'(x)在(0,+∞)上的變化情況如表:
x
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗
所以f(x)在,上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.
(3)由(2)可知,
①當(dāng)a≤0時, f(x)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,
當(dāng)x=時, f(x)取得極大值,極大值為f=-ln 2-1-.
當(dāng)x→0時, f(x)→-∞,當(dāng)x→+∞時, f(x)→-∞,故若f(x)恰有兩個零點,則f>0,即-ln 2-1->0,解得a<-4ln 2-4.
所以當(dāng)a<-4ln 2-4時, f(x)恰有兩個零點.
②當(dāng)0當(dāng)x=時, f(x)取得極大值,
因為f=-ln 2-1-<0,
所以f(x)在(0,+∞)上至多有一個零點,不符合題意.
③當(dāng)a=2時, f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,
所以f(x)在(0,+∞)上至多有一個零點,不符合題意.
④當(dāng)a>2時, f(x)在,上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,
當(dāng)x=時, f(x)取得極大值,
因為f=-ln a-1-<0,
所以f(x)在(0,+∞)上至多有一個零點,不符合題意.
綜上所述,實數(shù)a的取值范圍是(-∞,-4ln 2-4).

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