資源簡介

第2章　空間向量與立體幾何
2.1　空間直角坐標系
基礎(chǔ)過關(guān)練
　　　　　　　　　　　　　　　　
題組一　確定空間點的坐標
1.已知點Q是點P(1,-2,5)在坐標平面xOz內(nèi)的投影,則點Q的坐標為(　　)
A.(1,0,5) B.(0,-2,5)
C.(1,-2,0) D.(1,2,5)
2.在空間直角坐標系O-xyz中,已知點M是點N(3,4,5)在坐標平面xOy內(nèi)的投影,則點M的坐標是(　　)
A.(3,0,5) B.(0,4,5)
C.(3,4,0) D.(0,0,5)
3.在空間直角坐標系中,若點A(-2,1,4)關(guān)于點B(-2,0,0)的對稱點為C,則點C的坐標為(　　)
A.(-2,-1,-4) B.(-4,-1,-4)
C.(-6,1,4) D.
4.(多選)在空間直角坐標系O-xyz中,已知點P(1,2,3),下列敘述正確的是(　　)
A.點P關(guān)于x軸對稱的點的坐標為(1,-2,-3)
B.點P關(guān)于y軸對稱的點的坐標為(-1,2,-3)
C.點P關(guān)于原點對稱的點的坐標為(-1,-2,-3)
D.點P關(guān)于yOz平面對稱的點的坐標為(1,-2,3)
5.在空間直角坐標系O-xyz中,點M的坐標是(4,7,6),則點M關(guān)于y軸對稱的點在xOz平面上的投影的坐標為　　　　.
6.在長方體ABCD-A1B1C1D1中,|AD|=2,|DC|=4,|DD1|=3,以D為原點,建立如圖所示的空間直角坐標系D-xyz.
(1)求點B1,C1,D1,A的坐標;(2)若E為C1D1的中點,試求點E的坐標.
題組二　空間兩點間的距離公式的應用
7.已知點A(-3,0,-4),點A關(guān)于原點對稱的點為B,則|AB|等于(　　)
A.12 B.9 C.25 D.10
在空間直角坐標系中,已知A(1,
-2,1),B(2,2,2),點P在x軸上,且滿足|PA|=|PB|,則點P的坐標為(　　)
A.(3,0,0) B.(0,3,0)
C.(0,0,3) D.(-3,0,0)
9.在空間直角坐標系O-xyz中,點A(1,-2,3)關(guān)于平面xOz對稱的點為B,則線段AB的長度為　　　　.
10.在長方體ABCD-A1B1C1D1中,|AB|=|BC|=2,|D1D|=3,點M是B1C1的中點,點N是AB的中點.以D為原點建立空間直角坐標系,已知點N的坐標為(2,1,0),則點M的坐標為　　　　　,線段MD,MN的長度分別為　　　　　　.
能力提升練　　　　　
題組　空間兩點間的距離公式的綜合應用
1.在空間直角坐標系O-xyz中,若點P(1,-3,2)在平面xOz上的投影點為B,則線段OB的長度為(　　)
A. B. C. D.3
2.(多選)已知空間直角坐標系中,O為坐標原點,點P的坐標為(1,2,3),則下列說法錯誤的是(　　)
A.點P到原點O的距離是
B.點P到x軸的距離是
C.點P到平面xOy的距離是3
D.點P到平面yOz的距離是3
3.設(shè)點A(1,2,2),B(3,4,-8),C(1,2,3),點C關(guān)于xOy平面對稱的點為D,則線段AB的中點P到點D的距離為(　　)
A.2 B. C. D.
4.已知點A(t,3,1),B(3,-t,3),則A,B兩點間的距離的最小值為(　　)
A.3 B.2 C. D.2
5.一束光線自點P(1,1,1)發(fā)出,遇到平面xOy被反射,到達點Q(3,3,6)被吸收,那么光線所走的路程是(　　)
A. B.
C. D.
6.如圖,在棱長為3的正方體ABCD-A1B1C1D1中,P為面BB1C1C內(nèi)的一個動點,E,F分別為BD1的三等分點,則△PEF的周長的最小值為(　　)
A.4 B.+
C.3+ D.+
7.已知平行四邊形ABCD中,A(4,1,3),B(2,-5,1),C(3,7,-5),則點D的坐標為　　　　.
8.已知點P(1,1,2)是空間直角坐標系O-xyz中的一點,則點P關(guān)于x軸對稱的點Q的坐標為　　　　.若點P在平面xOy上的投影點為M,則四面體O-PQM的體積為　　　　.
9.在空間直角坐標系中,已知A(3,0,1)和B(1,0,-3),試問:
(1)在y軸上是否存在點M,滿足|MA|=|MB|
(2)在y軸上是否存在點N,使△NAB為等邊三角形 若存在,試求出點N的坐標.
10.已知正方形ABCD、正方形ABEF的邊長都為1,且平面ABCD與平面ABEF互相垂直,點M在AC上移動,點N在BF上移動,若|CM|=|BN|=a(0(1)求MN的長;
(2)a為何值時,MN最短
答案與分層梯度式解析
第2章　空間向量與立體幾何
2.1　空間直角坐標系
基礎(chǔ)過關(guān)練
1.A　
2.C　
3.A　由已知得B為AC的中點,所以由中點坐標公式可求得C(-2,-1,-4).故選A.
4.ABC　
5.答案　(-4,0,-6)
解析　設(shè)點M關(guān)于y軸對稱的點是M',則M'(-4,7,-6),點M'在xOz平面上的投影的坐標為(-4,0,-6).
6.解析　(1)設(shè)B1(x1,y1,z1).過點B1向三個坐標平面yDz,xDz,xDy作垂線,分別交平面yDz,xDz,xDy于點C1,A1,B,故|x1|=|B1C1|=2,|y1|=|B1A1|=4,|z1|=|B1B|=3,由圖可知x1,y1,z1均為正數(shù),故點B1的坐標是(2,4,3).同理可求得C1(0,4,3),D1(0,0,3),A(2,0,0).
(2)因為E是C1D1的中點,C1(0,4,3),D1(0,0,3),所以由中點坐標公式得點E的坐標為(0,2,3).
7.D　
8.A　由題意可設(shè)P(x,0,0),由|PA|=|PB|,可得=,解得x=3.故點P的坐標為(3,0,0).故選A.
方法技巧
　　若已知兩線段間的數(shù)量關(guān)系求點的坐標,則往往設(shè)出點的坐標,利用空間兩點間的距離公式列方程求解.
9.答案　4
解析　易得點A(1,-2,3)關(guān)于平面xOz對稱的點為B(1,2,3),所以|AB|=|-2-2|=4.
10.答案　(1,2,3);,
解析　因為D是原點,且N(2,1,0).
所以可得M(1,2,3).
由空間兩點間的距離公式,得
|MD|==,
|MN|==.
能力提升練
1.A　易得點P(1,-3,2)在平面xOz上的投影點為B(1,0,2),所以|OB|==.故選A.
2.AD　由題可知,|OP|==,A中說法錯誤;由點P的坐標可知,點P到x軸的距離為=,點P到平面xOy、平面yOz的距離分別為3,1,故B、C中說法正確,D中說法錯誤.故選AD.
規(guī)律總結(jié)
　　已知空間直角坐標系O-xyz中一點P(x0,y0,z0),則點P到x軸、y軸、z軸的距離分別為,,,點P到原點的距離為,點P到平面xOy、平面yOz、平面xOz的距離分別是|z0|,|x0|,|y0|.
3.C　由題意得D(1,2,-3),由中點坐標公式得點P的坐標為(2,3,-3),所以|PD|==.故選C.
4.C　|AB|==≥.
5.D　設(shè)點P(1,1,1)關(guān)于平面xOy對稱的點為R,則R(1,1,-1),故光線所走的路程是|RQ|==.故選D.
6.D　作點E關(guān)于面BCC1B1的對稱點E',連接E'F,交面BCC1B1于點P0,連接P0E.
任取面BCC1B1內(nèi)的點P1(不含P0),此時|P1E|+|P1F|=|P1F|+|P1E'|>|FE'|=|P0E|+|P0F|,所以當點P在點P0的位置時,|PE|+|PF|最小.
以D為坐標原點,1為單位長度,建立如圖所示的空間直角坐標系,
則D1(0,0,3),B(3,3,0),因為E,F分別為BD1的三等分點,所以E(2,2,1),F(1,1,2),
易知點E到面BCC1B1的距離為1,
所以E'(2,4,1),
所以|E'F|==.
又因為|EF|=|BD1|=×=,
所以△PEF的周長的最小值為+.故選D.
7.答案　(5,13,-3)
解析　設(shè)平行四邊形ABCD的兩條對角線的交點為點P,則P為AC,BD的中點.由A(4,1,3),C(3,7,-5),得點P的坐標為.又因為點B(2,-5,1),所以點D的坐標為(5,13,-3).
易錯警示
　　要注意平行四邊形ABCD和以A,B,C,D為頂點的平行四邊形的區(qū)別,前者只有一解,后者有一解或多解.
8.答案　(1,-1,-2);
解析　易知點P(1,1,2)關(guān)于x軸對稱的點Q的坐標為(1,-1,-2),點P在平面xOy上的投影點為M(1,1,0),設(shè)點Q在平面xOy上的投影點為Q',則Q'(1,-1,0),易知點Q到平面OPM的距離即為點Q'到平面OPM的距離,即為點Q'到直線OM的距離,即為|OQ'|=,因為S△OPM=|OM|×|PM|=,所以VO-PQM=××=.
9.解析　(1)假設(shè)在y軸上存在點M,滿足|MA|=|MB|.
因為點M在y軸上,所以可設(shè)M(0,y,0),
由|MA|=|MB|,
可得=,
顯然,此式對任意y∈R恒成立.
所以在y軸上存在點M,滿足|MA|=|MB|.
(2)假設(shè)在y軸上存在點N,使△NAB為等邊三角形.
由(1)可知,|NA|=|NB|,
所以只要|NA|=|AB|,就可以使△NAB是等邊三角形.設(shè)N(0,y',0),
因為|NA|==,
|AB|==2,
所以=2,解得y'=±.
故在y軸上存在點N,使△NAB為等邊三角形,且點N的坐標為(0,,0)或(0,
-,0).
方法技巧
　　判斷某點的存在性問題的求解方法是假設(shè)該點存在,設(shè)出該點坐標,然后列方程求解,若方程有解則說明假設(shè)成立,否則說明假設(shè)不成立.
10.解析　(1)因為四邊形ABCD、四邊形ABEF均為正方形,所以AB⊥BE,AB⊥BC,因為平面ABCD⊥平面ABEF,平面ABCD∩平面ABEF=AB,BE 平面ABEF,
所以BE⊥平面ABCD,所以AB,BC,BE兩兩垂直.
以B為原點,BA,BE,BC所在的直線分別為x軸、y軸、z軸,1為單位長度,建立如圖所示的空間直角坐標系.
則M,N,
所以|MN|=
=
=.
(2)因為|MN|=,0所以當a=時,|MN|min=.
技巧點撥
　　空間中的最值問題往往與某動點或動直線有關(guān),此時往往將動點的坐標或動線段的長用參數(shù)表示,并建立關(guān)于該參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式,從而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題,借助函數(shù)思想巧妙求解.(共15張PPT)
2.1　空間直角坐標系
1 | 空間直角坐標系
1.空間直角坐標系:在空間中任取一點O,以O(shè)為原點,作三條兩兩垂直的有向直線
Ox,Oy,Oz,在這三條直線上選取共同的長度單位,分別建立坐標軸,依次稱為x軸、
y軸、z軸,從而組成了一個空間直角坐標系O-xyz.
2.相關(guān)概念:在空間直角坐標系O-xyz中,點O叫坐標原點,由兩條坐標軸確定的平
面叫坐標平面,分別稱為xOy平面、yOz平面、xOz平面.
1.空間直角坐標系點的坐標的概念
在空間直角坐標系O-xyz中,若點P與有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)之間為一一對應關(guān)系,此時,
有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)稱為點P的坐標,記作P(x,y,z),其中x稱為點P的橫坐標,y稱為點P
的縱坐標,z稱為點P的豎坐標.
2.特殊點的坐標
在空間直角坐標系中,原點O的坐標為(0,0,0),x軸上的點的坐標為(x,0,0),y軸上的
點的坐標為(0,y,0),z軸上的點的坐標為(0,0,z),xOy平面內(nèi)的點的坐標為(x,y,0),yOz
平面內(nèi)的點的坐標為(0,y,z),xOz平面內(nèi)的點的坐標為(x,0,z).
記憶方法:無誰誰為0.
2 | 空間點的坐標表示
設(shè)A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)為空間中任意兩點,則
|AB|= .
特別地,原點O到空間中任意一點P(x,y,z)的距離為|OP|= .
3 | 空間兩點間的距離公式
知識拓展
1.線段中點坐標公式
已知空間中任意兩點A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),則線段AB的中點M的坐標為
.
2.三角形重心坐標公式
已知△ABC的三個頂點分別為A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),C(x3,y3,z3),則△ABC的重心
G的坐標為 .
3.空間中的對稱問題
在空間直角坐標系內(nèi),已知點P(x,y,z),則有如下結(jié)論:
(1)點P關(guān)于原點對稱的點是P1(-x,-y,-z);
(2)點P關(guān)于橫軸(x軸)對稱的點是P2(x,-y,-z);
(3)點P關(guān)于縱軸(y軸)對稱的點是P3(-x,y,-z);
(4)點P關(guān)于豎軸(z軸)對稱的點是P4(-x,-y,z);
(5)點P關(guān)于xOy平面對稱的點是P5(x,y,-z);
(6)點P關(guān)于yOz平面對稱的點是P6(-x,y,z);
(7)點P關(guān)于xOz平面對稱的點是P7(x,-y,z).
記憶方法:關(guān)于誰對稱誰不變,其余坐標變?yōu)橄喾磾?shù).
1.在給定的空間直角坐標系下,空間中任意一點是否與有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)之間存
在唯一的對應關(guān)系
是.在給定的空間直角坐標系下,空間中任意一點的坐標是唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,
z);反之,給定一個有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),空間中也有唯一的點與之對應.
2.在空間直角坐標系中,x軸上的點的坐標滿足x=0,對嗎
不對.x軸上的點的坐標形式為(x,0,0),即x軸上的點的坐標滿足y=0,z=0.
3.在空間直角坐標系中,xOz平面上的點的坐標滿足y=0,對嗎
對.xOz平面上的點的坐標形式為(x,0,z).
4.空間兩點間的距離公式對同在坐標平面內(nèi)的兩點適用嗎
適用.空間兩點間的距離公式適用于空間中任意兩點,對同在某一坐標平面內(nèi)的
兩點也適用.
知識辨析
5.已知點A(3,4,5),則點A到原點O的距離是多少
由原點到空間中任意一點的距離公式得|OA|= =5 .
1.建立空間直角坐標系應遵循的原則
(1)讓盡可能多的點落在坐標軸上或坐標平面內(nèi);
(2)充分利用幾何圖形的對稱性;
(3)充分利用圖中已有的垂直關(guān)系.
2.確定空間中點的坐標的方法
(1)垂面法:找到點P在三條坐標軸上的射影.方法是過點P作三個平面分別垂直于x
軸、y軸、z軸于A,B,C三點(A,B,C即為點P在三條坐標軸上的投影),點A,B,C的坐
標分別為(x,0,0),(0,y,0),(0,0,z),則(x,y,z)就是點P的坐標.
(2)垂線法:先將P投射(沿與z軸平行的方向)到xOy平面上的一點P1,由 的長度及
其方向確定豎坐標z,再在xOy平面上用同平面直角坐標系中一樣的方法確定P1的
橫坐標x、縱坐標y,最后得出點P的坐標(x,y,z).
1 空間直角坐標系點的坐標的確定
典例　在三棱柱ABC-A1B1C1中,所有的棱長都是1,且側(cè)棱AA1⊥底面ABC,試建
立適當?shù)目臻g直角坐標系,并寫出各頂點的坐標.
解析 取AC的中點O和A1C1的中點O1,連接BO,OO1,可得BO⊥AC,OO1⊥AC,OO1
⊥BO,以O(shè)為原點,有向直線OB,OC,OO1分別為x軸、y軸、z軸,1為單位長度,建立
空間直角坐標系,如圖所示.

∵三棱柱的各棱長均為1,∴OA=OC=O1C1=O1A1= ,OB= ,
∵點A,B,C均在坐標軸上,
∴A ,B ,C .
由題意知A1,B1,C1在xOy平面內(nèi)的射影分別為點A,B,C,且AA1=1,
∴A1 ,B1 ,C1 .
解題指導 需注意的是,空間點的坐標受空間直角坐標系的制約,同一個點在不
同的空間直角坐標系中的坐標一般是不同的,故本題若建立其他的空間直角坐標
系,則得到的各點的坐標也會隨之改變.
1.計算空間兩點間的距離
(1)若兩點坐標已知,則直接代入空間兩點間的距離公式求解.
(2)若點的坐標未知,則需利用平面圖形及空間圖形的性質(zhì)結(jié)合空間直角坐標系
求出點的坐標,再代入空間兩點間的距離公式求解.
2.利用空間兩點間的距離公式確定點的坐標
設(shè)出點的坐標,利用空間兩點間的距離公式構(gòu)造方程求解.此外,要注意點的坐標
的巧設(shè),如在x軸上的點的坐標可設(shè)為(x,0,0),在xOy平面上的點的坐標可設(shè)為(x,y,
0).
3.根據(jù)兩點間的距離公式可求出三角形的三邊長,從而判斷三角形的形狀.
2 空間兩點間的距離公式的應用
典例 (1)已知△ABC的三個頂點分別為A(1,5,2),B(2,3,4),C(3,1,5),求△ABC中
最短邊的邊長及AC邊上中線的長度;
(2)若點P在x軸上,它到點P1(0, ,3)的距離為它到點P2(0,1,-1)的距離的2倍,求點P
的坐標;
(3)已知三角形的三個頂點分別為A(1,-2,-3),B(-1,-1,-1),C(0,0,-5),試判斷該三角形
的形狀.
解析 (1)由空間兩點間的距離公式得,
|AB|= =3,
|BC|= = ,
|AC|= = ,
∵ >3> ,
∴△ABC中最短的邊是BC,其長度為 .
由中點坐標公式得,AC的中點坐標為 ,
∴AC邊上中線的長度為
= .
(2)∵點P在x軸上,
∴不妨設(shè)點P(x,0,0),
則|P1P|= = ,
|P2P|= = .
∵|P1P|=2|P2P|,
∴ =2 ,
解得x=±1,
∴點P的坐標為(1,0,0)或(-1,0,0).
(3)易得|AB|=
=3,
|BC|= =3 ,
|AC|= =3.
∵|AB|=|AC|,且|AB|2+|AC|2=|BC|2,
∴△ABC是等腰直角三角形.

展開更多......

收起↑