資源簡介

(共22張PPT)
2.2　空間向量及其運算
1.空間向量的基本概念
(1)定義:空間中既有大小又有方向的量稱為空間向量.
(2)向量的模:空間向量a的大小(或長度)稱為a的模,記為|a|.
(3)表示:從空間中任意一點A出發作有向線段 ,使 的方向與a相同,長度與|a|
相等,則有向線段 表示向量a,記作a= .通常把A稱為向量 的起點,B稱為向
量 的終點.
1 | 空間向量的基本概念
2.幾類特殊的空間向量
名稱 定義
零向量 長度為0的向量
相等向量 方向相同且長度相等的向量
相反向量 方向相反、長度相等的向量
1.空間向量的加減法法則
　　平面向量求和的三角形法則和平行四邊形法則對空間向量也成立.
(1)對于空間任意兩個向量a,b,在平面α內任取一點O,作 =a, =b, =b,則a+b=
,a-b= .
(2)對于空間三個或更多的向量的求和,與平面內多個向量的加法類似,可將它們
依次用首尾相接的折線來表示,則從第一個向量的起點指向最后一個向量的終點
所得的向量即為這些向量的和向量.
2 | 空間向量的加減法
2.空間向量的加法運算律
(1)加法交換律:a+b=b+a.
(2)加法結合律:(a+b)+c=a+(b+c).
1.向量與實數相乘的定義:任何一個向量a都可看作某平面上的向量,它與實數λ相
乘可類比平面向量數乘的法則進行,因而有|λa|=|λ||a|.
當λ>0時,λa與a方向相同;當λ<0時,λa與a方向相反.
空間向量的加法、減法、數乘三種運算統稱為空間向量的線性運算.
2.單位向量:長度為1的向量稱為單位向量.
對于每個非零向量a,可得到與它方向相同的唯一單位向量e= a.
3.共線向量:對于空間任意兩個向量a,b(a≠0),若b=λa,其中λ為實數,則b與a共線或
平行,記作b∥a.
　　零向量與任意向量共線.
3 | 向量與實數相乘
4.空間向量與實數的乘法的運算律
(1)對向量加法的分配律:λ(a+b)=λa+λb.
(2)對實數加法的分配律:(λ1+λ2)a=λ1a+λ2a.
1.向量的夾角:作 =a, =b,則∠AOB稱為向量a,b的夾角,記作,其取值范
圍為[0,π].兩向量同向時,夾角為0;兩向量反向時,夾角為π.
2.向量的數量積:定義a·b=|a||b|·cos為a與b的數量積.
零向量與任意向量的數量積為0,即0·a=0.
3.向量數量積的性質
(1)向量垂直的關系式: a⊥b a·b=0.
注:零向量與任意向量垂直.
(2)模長公式:a·a=|a|2=a2,|a|= .
(3)夾角公式:若a,b均為非零向量,則cos= .
4.向量數量積的運算律
(1)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(λ∈R).
4 | 向量的數量積
(2)交換律:a·b=b·a.
(3)分配律:a·(b+c)=a·b+a·c.
5.向量數量積的幾何意義
(1)投影向量與投影長:

　　如圖,將空間任意兩個向量a,b平移到同一個平面內,可得 =a, =b,=
α,過點B作BB1⊥OA,垂足為點B1,則 為 在 方向上的投影向量,投影向量的
模| |=| ||cos α|稱為投影長, 稱| |cos α為 在 方向上的投影.
(2)數量積的幾何意義:a與b的數量積等于a的模|a|與b在a方向上的投影|b|·cos α的
乘積,也等于b的模|b|與a在b方向上的投影|a|cos α的乘積.
知識拓展 空間向量的三角不等式
如果a,b都是空間向量,那么||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.
1.相等向量一定是共線向量嗎
是.若a,b相等,則a=b=1×b,符合共線向量的定義,故a與b是共線向量.
2.當a=0或b=0時,a,b的夾角為0,對嗎
不對.因為零向量的方向可以任取,所以當a=0或b=0時,夾角可以在[0,π]中任
意選定.
3. 在 方向上的投影一定是非負數嗎
不一定. 在 方向上的投影為| |·cos< , >,當< , >為鈍角時,cos< ,
>為負數,此時 在 方向上的投影為負數.
4.對于空間內任意三個向量a,b,c,a·(b·c)=(a·b)·c一定成立嗎
不一定.因為b·c,a·b的結果是實數,所以a·(b·c)是與a共線的向量,(a·b)·c是與c共線
的向量,而a,c不一定共線,所以a·(b·c)與(a·b)·c不一定相等.
知識辨析
空間向量的線性表示的步驟
(1)在空間中選三條不在同一個平面內的向量;
(2)利用向量的線性運算表示空間中的其他向量.
1 空間向量的線性表示
典例　如圖,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,設 =a, =b, =c,M,N,P分別
是AA1,BC,C1D1的中點.試用向量a,b,c表示以下各向量.
(1) ;(2) + .
解析 (1)∵P是C1D1的中點,∴ = ,
∴ = + + =a+ + =a+c+ =a+c+ b.
(2)∵M是AA1的中點,∴ = ,
∴ = + = + =- a+ = a+ b+c.
∵N是BC的中點,∴ = ,∴ = + = + = + = c+a.
∴ + = + = a+ b+ c.
技巧點撥 用已知向量表示未知向量時,一定要結合圖形,以圖形為指導,尤其要
注意利用圖形中的三角形或平行四邊形進行合理轉化.
　　求解兩點間距離問題時,轉化為求以兩點為端點的有向線段表示的向量的模
的問題,然后將此向量表示為已知的幾個向量和或差的形式,求出已知向量兩兩
之間的夾角以及它們的模,利用公式|a|= (推廣公式:|a±b|= =
)求解即可.
2 利用數量積求距離問題
典例　如圖,在平行四邊形ABCD中,AD=4,CD=3,∠D=60°,PA⊥平面ABCD,并
且| |=6,求 及線段PC的長.
解析 易知PA⊥AD,PA⊥DC,且 = + + ,
∴ =( + + )2= + + +2 · +2 · +2 · =62+42+32+0+
0+2| || |cos 120°=61-12=49.∴| |=7.線段PC的長即為 的模,即為7.
1.求空間兩個向量的夾角的方法
(1)結合圖形,平移向量,利用空間向量的夾角定義來求,但要注意向量夾角的范圍;
(2)先求a·b,再利用公式cos= 求cos,最后確定.
2.求兩條異面直線所成的角的步驟
(1)根據題設條件在兩條異面直線上分別取一個有向線段表示的向量;
(2)將異面直線所成角的問題轉化為向量夾角問題;
(3)利用向量的數量積求向量夾角的余弦值;
(4)由于異面直線所成的角為銳角或直角,因此向量夾角的余弦值的絕對值等于
異面直線所成的角的余弦值,進而求出異面直線所成的角的大小.
3 利用數量積求解夾角問題
典例　在三棱柱ABC-A1B1C1中,底面邊長和側棱長都相等,∠BAA1=∠CAA1=60°,
則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為　　　 .
解析 設三棱柱的底面邊長和側棱長都為1,
因為 = + , = - = + - ,
所以| |2=( + )2= +2 · + =2+2cos 60°=3,| |2=( + - )2=
+ + +2 · -2 · -2 · =2,
又因為 · =( + )·( + - )= · + · - + · + -
· = + -1+ +1- =1,
所以cos< , >= = = .
所以異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為 .
答案
1.由數量積的性質a⊥b a·b=0可知,要證兩直線垂直,可構造與兩直線分別平行
的非零向量,然后證明這兩個向量的數量積為0即可.
2.用向量法證明垂直關系的步驟
(1)把幾何問題轉化為向量問題;
(2)用已知向量表示所證向量;
(3)結合數量積公式和運算律證數量積為0;
(4)將向量問題回歸到幾何問題.
4 利用數量積證明兩直線垂直
典例　如圖,正四面體V-ABC的高VD的中點為O,求證:AO,BO,CO兩兩垂直.
思路點撥　因為正四面體的各條棱長都相等,且相鄰兩條棱的夾角為60°,所以可
以用同一起點的向量表示 , , ,從而利用數量積的運算證明垂直關系.
證明 設 =a, =b, =c,正四面體的棱長為1,則 = + = + × ( +
)= + ( - + - )= (a+b+c), = - = - = (b+c-5a), = -
= - = (a+c-5b), = - = - = (a+b-5c),
所以 · = (b+c-5a)·(a+c-5b)= (26a·b-4b·c-4a·c-5a2-5b2+c2)= ×(26×1×1×
cos 60°-4×1×1×cos 60°-4×1×1×cos 60°-9)=0,
所以 ⊥ ,即AO⊥BO.
同理,AO⊥CO,BO⊥CO.
所以AO,BO,CO兩兩垂直.第2章　空間向量與立體幾何
2.2　空間向量及其運算
基礎過關練
　　　　　　　　　　　　　　　　
題組一　空間向量的基本概念
1.下列說法正確的是(　　)
A.任一空間向量與它的相反向量都不相等
B.將空間中所有的單位向量平移到同一起點,則它們的終點構成一個圓
C.同平面向量一樣,任意兩個空間向量都不能比較大小
D.不相等的兩個空間向量的模必不相等
2.(多選)下列說法正確的是(　　)
A.向量與的長度相等
B.在空間四邊形ABCD中,與是相反向量
C.空間向量就是空間中的一條有向線段
D.方向相同且模相等的兩個向量是相等向量
3.如圖所示,在四棱柱的上底面ABCD中,=,則下列向量相等的是(　　)
A.與
B.與
C.與
D.與
題組二　空間向量的加減法
4.如圖,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,+-=(　　)
A. B. C. D.
5.已知四邊形ABCD,O為空間中任意一點,且+=+,則四邊形ABCD是(　　)
A.空間四邊形 B.平行四邊形
C.等腰梯形 D.矩形
6.在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,則|-|=　　　　.
7.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,若=a,=b,=c,則=　　　　.(用a,b,c表示)
題組三　向量與實數相乘
如圖,在三棱錐O-ABC中,設=
a,=b,=c,若=,=2,則=(　　)
A.a+b-c
B.-a-b+c
C.a-b-c
D.-a+b+c
9.光岳樓亦稱“余木樓”“鼓樓”“東昌樓”,位于山東省聊城市,其墩臺為磚石砌成的正四棱臺,直觀圖如圖所示,其上下底面邊長之比約為,則++=　　　　.
10.如圖,O是△ABC所在平面外一點,M為BC的中點,若=λ與=++同時成立,則實數λ的值為　　　　.
題組四　數量積的概念及其運算
11.已知a,b,c為空間向量,下列有關說法中正確的是(　　)
A.若a·b=b·c,且b≠0,則a=c
B.(a-b)2=a2-2a·b+b2
C.(a·b)·c=a·(b·c)
D.向量a在向量b方向上的投影一定是正的
12.如圖,已知正方體ABCD-A'B'C'D'的棱長為1,設=a,=b,=c,則a·(a+b+c)=(　　)
A.1 B. C. D.2
13.如圖,正四面體A-BCD的棱長為2,E,F,G分別是AB,AD,CD的中點,則·的值為(　　)
A. B.1 C.2 D.4
題組五　空間向量的數量積的簡單應用
14.已知空間向量a,b,c滿足a+b+c=0,|a|=2,|b|=3,|c|=4,則a與b的夾角為(　　)
A.30° B.45°
C.60° D.以上都不對
15.已知四邊形ABCD為矩形,PA⊥平面ABCD,連接BD,PB,PC,PD,則下列各組向量中,數量積不一定為零的是(　　)
A.與 B.與
C.與 D.與
16.如圖是棱長為1的正四面體O-ABC,M是棱BC的中點,點N在線段OM上,點P在線段AN上,且MN=ON,AP=AN.
(1)用向量,,表示 ;
(2)求||.
17.如圖,空間四邊形OABC的各邊及對角線的長均為2,E是AB的中點,F在OC上,且=2,設=a,=b,=c.
(1)用a,b,c表示;
(2)求向量與向量所成角的余弦值.
能力提升練　　
題組一　利用共線向量解決直線平行、三點共線問題
1.已知向量a,b,且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,則一定共線的三點是(　　)
A.A,B,D B.A,B,C
C.B,C,D D.A,C,D
2.設e1,e2是兩個不共線的空間向量,若=2e1-e2,=3e1+3e2,=e1+ke2,且A,C,D三點共線,則實數k的值為　　　　.
3.如圖,已知M,N分別為四面體A-BCD的面BCD與面ACD的重心,G為AM上一點,且GM∶GA=1∶3.求證:B,G,N三點共線.
4.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點M,N分別在線段A1B,D1B1上,且BM=BA1,B1N=B1D1,P為棱B1C1的中點.求證:MN∥BP.
題組二　利用空間向量的數量積求兩點間的距離(線段的長度)
5.如圖,在四面體A-BCD中,M,N分別為AB和CD的中點,AD=2,BC=4,且向量與向量的夾角為120°,則線段MN的長為(　　)
A. B.
C.或 D.3或3
6.如圖所示,在平面角為120°的二面角α-AB-β中,AC α,BD β,且AC⊥AB,BD⊥AB,垂足分別為A,B,AC=AB=BD=6,則C,D間的距離為　　　　.
7.在三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N分別是A1B,B1C1上的點,且BM=2A1M,C1N=2B1N.設=a,=b,=c.
(1)試用a,b,c表示向量;
(2)若∠BAC=90°,∠BAA1=∠CAA1=60°,AB=AC=AA1=2,求MN的長.
8.如圖所示,四邊形ABCD是矩形,EF∥AB,AB=4,EF=2,△ADE和△BCF都是邊長為2的等邊三角形,G是AD上一動點,求FG的長度的范圍.
題組三　利用空間向量的數量積求異面直線所成的角
9.已知a,b是異面直線,A,B∈a,C,D∈b,AC⊥b,BD⊥b,且AB=2,CD=1,則直線a與b所成的角是(　　)
A.30° B.45° C.60° D.90°
10.在四面體O-ABC中,OA=OB=OC,∠AOB=∠AOC=60°,∠BOC=90°,則OB與AC所成角的大小為(　　)
A.30° B.60° C.120° D.150°
11.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,直線BC1與AC所成角的余弦值為　　　　.
題組四　數量積的綜合應用
12.(多選)如圖是一個形狀為平行六面體的結晶體ABCD-A1B1C1D1,以頂點A為端點的三條棱的長均為6,且它們彼此的夾角都是60°,則下列說法中正確的是(　　)
A.AC1=6
B.AC1⊥BD
C.向量與的夾角是60°
D.BD1與AC所成角的余弦值為
13.如圖,正三棱柱ABC-A1B1C1中,底面邊長為.
(1)設側棱長為1,求證:AB1⊥BC1;
(2)設AB1與BC1的夾角為,求側棱長.
答案與分層梯度式解析
第2章　空間向量與立體幾何
2.2　空間向量及其運算
基礎過關練
1.C　對于A,零向量與它的相反向量相等,故說法錯誤;對于B,將空間中所有的單位向量平移到同一起點,則它們的終點構成一個球面,故說法錯誤;對于C,空間向量與平面向量一樣,既有大小又有方向,不能比較大小,故說法正確;對于D,一個非零空間向量與它的相反向量不相等,但它們的模相等,故說法錯誤.故選C.
2.AD　向量與是相反向量,長度相等,故A正確;
空間四邊形ABCD中,與的模不一定相等,方向也不一定相反,故B錯誤;
空間向量可以用空間中的一條有向線段表示,但不能說空間向量就是有向線段,故C錯誤;
由空間向量的有關概念與性質易知D正確.故選AD.
3.D　因為=,所以四邊形ABCD是平行四邊形,結合平行四邊形的性質及相等向量的定義知,=,=,=,故選D.
4.B　+-=-=+=.故選B.
5.B　由已知可得=,由相等向量的定義可知,四邊形ABCD的一組對邊平行且相等,所以四邊形ABCD是平行四邊形,無法判斷其是不是矩形,故選B.
6.答案　
解析　| -|=|-|=||=||==.
7.答案　b-a-c
解析　如圖,連接CA1,則=-=--=b-a-c.
8.A　連接OM,ON,則=-=(+)-(+)=(+)--=(+)--(-)=+-=a+b-c.故選A.
小題巧解
　　本題還可應用如下結論:如圖,在△ABC中,D為BC邊上一點,若=,則=+.
其解法:=-=(+)-=+-=a+b-c.
9.答案　
解析　如圖,延長EA,FB,GC,HD相交于一點O,則=,=,=,
∴++=++=++=+=+=.
10.答案　
解析　連接OM.∵=++=+×2=+,
∴G為AM的中點,∴=.
又∵=λ,∴λ=.
11.B　a·b=b·c,且b≠0 |a||b|cos=|b|·|c|cos,|b|≠0,則|a|cos=|c|cos,得不出a=c,故A錯誤;
由空間向量數量積的運算性質可知B正確;
(a·b)·c=λc,a·(b·c)=μa,其中λ,μ均為實數,但a,c不一定共線,故(a·b)·c與a·(b·c)不一定相等,故C錯誤;
向量a在向量b方向上的投影為|a|cos,其可以為0,也可以為負數,故D錯誤.故選B.
易錯警示
　　注意向量的投影與投影長的區別,前者可正可負可為0,后者代表投影向量的模,它一定為非負數.
12.A　根據空間向量的加法法則得a+b+c=+=,易知AC'為正方體的體對角線,所以AC'=,所以cos∠BAC'==,所以a·(a+b+c)=·=||||cos∠BAC'=1××=1.故選A.
13.B　設=a,=b,=c,
則a·b=b·c=c·a=2×2×=2.
∵=-=-(+)=a-b-c,
==(-)=a-b,
∴·=·=×(a2-2a·b+b2-a·c+b·c)=1.故選B.
14.D　設a與b的夾角為θ(θ∈[0,π]).由a+b+c=0,得a+b=-c,兩邊平方,得a2+2a·b+b2=c2,所以4+2×2×3cos θ+9=16,解得cos θ=,故選D.
15.A　由PA⊥平面ABCD,四邊形ABCD為矩形,可知DA⊥PB,PD⊥AB,PA⊥CD,故B,C,D選項中兩向量的數量積均為零,無法判斷PC與BD是否存在垂直關系,故選A.
16.解析　(1)=+=+=+××(+)=-++.
(2)=+=+=+(-)=+=+×=+×(+)=++.
因為四面體O-ABC是棱長為1的正四面體,
所以||=||=||=1,
·=·=·=1×1×=,
所以||2==(++)2=(+++2·+2·+2·)=×=,所以||=.
17.解析　(1)由題意可得=-=-(+)=-a-b+c.
(2)因為空間四邊形OABC的各邊及對角線的長均為2,
所以|a|=|b|=|c|=2,且a,b,c三個向量中任意兩個向量的夾角都為,
所以a·b=a·c=b·c=2×2×cos =2.
又因為·=a·=-a2-a·b+a·c=-×22-×2+×2=-,
||2==a2+b2+c2+a·b-a·c-b·c=×22+×22+×22+×2-×2-×2=,即||=,
所以cos<,>===-,
所以向量與向量所成角的余弦值為-.
能力提升練
1.A　因為=+=2a+4b=2(a+2b)=2,所以與共線,又因為與有公共點B,所以A,B,D三點共線.故選A.
2.答案　
解析　因為A,C,D三點共線,所以∥,
因為=+=2e1-e2+3e1+3e2=5e1+2e2,
=e1+ke2,
所以5∶2=1∶k,
所以k=.
技巧點撥
　　對于由空間中三點共線求參數的問題,往往先將其轉化為由這三點確定的兩個向量共線,再利用兩個非零向量共線的充要條件確定參數的值.
3.證明　設 =a,=b,=c,
則=+×(+)=+(+)=+(-+-)=(++)=(a+b+c),
則=+=+=-a+(a+b+c)=-a+b+c,
∵=+=+(+)=-a+b+c,
∴=.由兩個非零向量平行的充要條件,可知∥.又∵BN∩BG=B,∴B,G,N三點共線.
技巧點撥
　　要證明空間中三點共線,可轉化為證明這三點確定的兩個向量共線.
4.證明　易得=++,
又因為BM=BA1,B1N=B1D1,
所以=-++
=-(+)++(+)
=+=+.
又因為P為棱B1C1的中點,
所以=+=+==,
從而與為共線向量.
因為直線MN與BP不重合,
所以MN∥BP.
方法總結
　　證明兩直線平行時,先分別從兩直線上取有向線段來表示兩個向量,然后利用向量的線性運算結合向量共線的充要條件證明兩向量共線,再根據兩有向線段不在同一條直線上得到兩直線平行.
5.A　取AC的中點E,連接ME,EN,又∵M,N分別為AB和CD的中點,
∴ME∥BC,EN∥AD,且ME=BC=2,EN=AD=1,
∵向量與向量的夾角為120°,
∴向量與向量的夾角為120°,
又∵=+,
∴||2=(+)2=+2·+=22+2×2×1×+12=3,
∴||=,即線段MN的長為.故選A.
6.答案　12
解析　因為AC⊥AB,BD⊥AB,所以·=0,·=0,因為二面角α-AB-β的平面角為120°,所以<,>=180°-120°=60°,又因為||2=(++)2=+++2·+2·+2·=3×62+2×62×cos 60°=144,
所以||=12.
7.解析　(1)易得=++=++,
因為=-=c-a,=-=-=b-a,
所以=(c-a)+a+(b-a)=a+b+c.
(2)由∠BAC=90°,∠BAA1=∠CAA1=60°,AB=AC=AA1=2,
得a·b=0,a·c=b·c=2,所以(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2a·c+2b·c=20,即|a+b+c|=2,
由(1)知=a+b+c,故||=|a+b+c|=,即MN的長為.
8.解析　連接AF,過E作EH∥BF,交AB于點H,如圖,易得四邊形EFBH為平行四邊形,
∵EF=2,AB=4,∴AH=2,
又∵AE=2,EH=2,∴∠EAH=60°,
設=x(0≤x≤1),則=-=x-(+)=x--,
∴||=
=
==2,
當x=時,||取得最小值,為;當x=0或x=1時,||取得最大值,為2,
∴FG的長度的范圍是[,2].
9.C　易得=++,∴·=(++)·=·++·=0+12+0=1,又∵||=2,||=1,∴cos< ,>===,∴直線a與b所成的角是60°.故選C.
10.B　在四面體O-ABC中,,,不共面,且=-,令OA=OB=OC=1,
依題意,·=(-)·=·-·=1×1×cos 90°-1×1×cos 60°=-.
設OB與AC所成角的大小為θ,因為OB與AC是異面直線,所以0°<θ≤90°,則cos θ=|cos<,>|==,解得θ=60°,所以OB與AC所成角的大小為60°.故選B.
11.答案　
解析　設正方體的棱長為1,則||=,||=.
·=(+)·(+)=(+)·(+)=·++·+·=0+12+0+0=1.
因為cos<,>===,
所以直線BC1與AC所成角的余弦值為.
12.BD　A選項,由題意可知=++,則==+++2·+2·+2·=62+62+62+2×6×6×cos 60°+2×6×6×cos 60°+2×6×6×cos 60°=216,
∴||=6,∴選項A不正確.
B選項,=-,=++,所以·=(++)·(-)=·++·--·-·=6×6×cos 60°+62+6×6×
cos 60°-62-6×6×cos 60°-6×6×cos 60°=0,∴⊥,即AC1⊥BD,∴選項B正確.
C選項,∵==-,∴||2=|-|2=-2·+=62-2×6×6×cos 60°+62=36,即||=6,又∵·=(-)·
=·-=6×6×cos 60°-62=-18,
∴cos<,>===-,∴向量與的夾角是120°,∴選項C不正確.
D選項,∵=+=-+,=+,∴||2=|-+|2=++-2·+2·-2·=62+62+62-2×6×6×cos 60°+2×6×6×cos 60°-2×6×6×cos 60°=72,即||=6,
||2=|+|2=++2·=62+62+2×6×6×cos 60°=108,即||=6,
·=(-+)·(+)=·+--·+·+·=6×6×cos 60°+62-62-6×6×cos 60°+6×6×
cos 60°+6×6×cos 60°=36.
設BD1與AC所成的角為θ,由BD1與AC為異面直線可知θ∈,則cos θ=|cos<,>|===,∴選項D正確.故選BD.
13.解析　(1)證明:=+,=+.
在正三棱柱中,BB1⊥平面ABC,△ABC為正三角形,
所以·=0,·=0,
<,>=π-<,>=π -=.
因為·=(+)·(+)
=·+·++·
=||·||·cos<,>+
=-1+1=0,
所以⊥,即AB1⊥BC1.
(2)由(1)知·=||·||·cos<,>+=-1.
又因為||====||,
所以cos<,>==,
所以||=2,
即側棱長為2.

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