資源簡介

(共18張PPT)
2.3　空間向量基本定理及坐標(biāo)表示
1.共面向量的概念:一般地,能平移到同一平面內(nèi)的向量叫作共面向量.
2.平面向量基本定理:如果兩個(gè)向量e1,e2不共線,那么向量p與向量e1,e2共面的充要
條件是存在有序?qū)崝?shù)組(x,y),使得p=xe1+ye2.
3.相關(guān)結(jié)論:在三個(gè)向量a,b,c中,某個(gè)向量為0,或者某兩個(gè)向量平行,則這三個(gè)向量共面.
1 | 共面向量
　　設(shè)e1,e2,e3是空間中三個(gè)不共面向量,則空間中任意一個(gè)向量p可以分解成這三
個(gè)向量的實(shí)數(shù)倍之和:p=xe1+ye2+ze3,此表達(dá)式中的系數(shù)x,y,z由p唯一確定,即若p=
xe1+ye2+ze3=x'e1+y'e2+z'e3,則x=x',y=y',z=z'.
我們把{e1,e2,e3}稱為空間的一組基,e1,e2,e3叫作基向量,(x,y,z)稱為向量p=xe1+ye2+ze3在基{e1,e2,e3}下的坐標(biāo).
2 | 空間向量的基本定理
1.標(biāo)準(zhǔn)正交基:空間任意三個(gè)兩兩垂直、長度均為1的向量i,j,k不共面,可將它們組
成空間的一組基,我們把這組基稱為標(biāo)準(zhǔn)正交基.
2.向量的坐標(biāo):空間每個(gè)向量p都可以分解成基向量的實(shí)數(shù)倍之和: p=xi+yj+zk,系
數(shù)x,y,z按順序排成的實(shí)數(shù)組(x,y,z),稱為向量p的坐標(biāo),記為p=(x,y,z).
3.與向量坐標(biāo)有關(guān)的結(jié)論:一個(gè)空間向量在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo),等于表示這
個(gè)空間向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去它的起點(diǎn)的坐標(biāo).
3 | 空間向量的直角坐標(biāo)表示
1.空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則
　　設(shè)a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2).
運(yùn)算 坐標(biāo)表示
加法 a+b=(x1+x2,y1+y2,z1+z2)
減法 a-b=(x1-x2,y1-y2,z1-z2)
數(shù)乘 λa=(λx1,λy1,λz1)(λ∈R)
數(shù)量積 a·b=x1x2+y1y2+z1z2
4 | 空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示
結(jié)論 坐標(biāo)表示
共線 a∥b(a≠0) x2=λx1,y2=λy1,z2=λz1,λ∈R
向量模長公式 |a|=
向量夾角公式 cos=
=
垂直 a⊥b a·b=0 x1x2+y1y2+z1z2=0
2.空間向量常用結(jié)論的坐標(biāo)表示
　　設(shè)a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2).
知識拓展
1.四點(diǎn)共面的充要條件
空間中任一點(diǎn)P位于平面MAB內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(x,y),使 =x +
y ,或?qū)臻g中任一點(diǎn)O,有 = +x +y (或 =(1-x-y)· +x +y ).
2.定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式
已知A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)兩點(diǎn),點(diǎn)M在直線AB上, =λ (λ∈R且λ≠-1),則稱點(diǎn)M
為有向線段 的定比分點(diǎn),其坐標(biāo)為 .
1.空間向量的基是唯一的嗎
不是.由空間向量基本定理可知,任意三個(gè)不共面的向量都可以組成空間的一組
基,所以空間向量的基不是唯一的.
2.在空間直角坐標(biāo)系中,向量 的坐標(biāo)與其終點(diǎn)B的坐標(biāo)相同,對嗎
不對.當(dāng)且僅當(dāng)起點(diǎn)A與原點(diǎn)O重合時(shí),向量 的坐標(biāo)才與其終點(diǎn)B的坐標(biāo)相同.
3.若向量a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),能否說“a∥b = = ”
不能.當(dāng)x2,y2,z2都不為0時(shí),a∥b = = 才成立,否則有些分式無意義.
4.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算與空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算有什么聯(lián)系與區(qū)別
平面向量與空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算均有加減、數(shù)乘、數(shù)量積運(yùn)算,其算法是相同
的.但空間向量比平面向量多一個(gè)豎坐標(biāo),豎坐標(biāo)的處理方式與橫、縱坐標(biāo)是一
樣的.
知識辨析
用基向量表示向量的步驟
(1)定基向量:若未給定基向量,則應(yīng)根據(jù)已知條件,確定三個(gè)不共面的向量作為空
間的基向量.
(2)找目標(biāo):用已給定或確定好的基向量表示目標(biāo)向量,需要根據(jù)三角形法則或平
行四邊形法則,結(jié)合相等向量及向量的相關(guān)運(yùn)算進(jìn)行變形、化簡.
(3)下結(jié)論:將變形、化簡后的目標(biāo)向量進(jìn)行整理,得到最終結(jié)果.注意此結(jié)果中只
能含有基向量,不能含有其他形式的向量.
1 利用基向量解決幾何問題
典例　如圖,已知四棱錐P-ABCD,四邊形ABCD為平行四邊形,M,N分別是PC,PD
上的點(diǎn),且 =2,PN=ND,設(shè) =a, =b, =c.
(1)以{a,b,c}為基表示向量 ;
(2)若 =xa+yb+zc,求實(shí)數(shù)x,y,z的值.
解析 (1) = + = + = + ( + + )= - + =- a+
b+ c.
(2) = - = - = ( - )- ( - )= - - ( + )+
=- - + =- a- b+ c,
所以x=- ,y=- ,z= .
方法技巧 用基向量表示空間中其他向量的關(guān)鍵是結(jié)合圖形,運(yùn)用三角形法則、
平行四邊形法則等,逐步把待求向量轉(zhuǎn)化為基向量的“代數(shù)和”.
1.利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算判斷向量平行、垂直
借助向量的坐標(biāo),可將向量的平行與垂直問題代數(shù)化,即借助代數(shù)運(yùn)算達(dá)到判斷
向量平行或垂直的目的.求解此類問題要抓住兩個(gè)核心關(guān)系式:(1) a∥b(a≠0) x2
=λx1,y2=λy1,z2=λz1,λ∈R;(2) a⊥b x1x2+y1y2+z1z2=0.其中,a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2).
2.由平行、垂直求參數(shù)的值
利用平行、垂直關(guān)系和上述的兩個(gè)核心關(guān)系式列出方程,即可求出參數(shù)的值.
3.利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算證明線線平行或垂直
(1)在兩直線上分別取一個(gè)有向線段表示的向量;
(2)利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算判斷兩向量的平行或垂直關(guān)系;
(3)若兩向量平行,且兩直線不重合,則兩直線平行;若兩向量垂直,則兩直線垂直.
2 空間向量平行與垂直的坐標(biāo)表示的應(yīng)用
典例　在正方體ABCD-A1B1C1D1中,已知E,G,H分別是CC1,CD,A1C1的中點(diǎn).
(1)求證:AB1∥GE,AB1⊥EH;
(2)過點(diǎn)B作BM⊥AC1于點(diǎn)M,求點(diǎn)M的坐標(biāo);
(3)若P,Q分別為線段B1D1,BD上的點(diǎn),且3 = ,是否存在λ,使 =λ ,且 ⊥
若存在,求出λ的值;若不存在,請說明理由.
解析 如圖,以A為坐標(biāo)原點(diǎn), , , 的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向,1
為單位長度,建立空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)正方體的棱長為1,則A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),B1(1,0,1),C1(1,1,
1),D1(0,1,1).由中點(diǎn)坐標(biāo)公式,得E ,G ,H .
(1)證明: =(1,0,1), = , = .
因?yàn)?=2 , · =1× +0× +1× =0,
所以 ∥ , ⊥ ,即AB1∥GE,AB1⊥EH.
(2)設(shè)M(x,y,z),則 =(x,y,z), =(x-1,y,z).
又因?yàn)?=(1,1,1),
所以由BM⊥AC1,得 · =0,即x-1+y+z=0.①
因?yàn)辄c(diǎn)M在AC1上,所以設(shè) =μ (0≤μ≤1),可得x=μ,y=μ,z=μ.②
由①②,得μ= ,所以x= ,y= ,z= .
所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為 .
(3)假設(shè)存在滿足條件的λ.設(shè)點(diǎn)P(x1,y1,z1),則 =(x1-1,y1,z1-1), =(-x1,1-y1,1-z1),
由3 = ,得
解得 所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為 .
設(shè)點(diǎn)Q(x2,y2,z2),
則 = , =(x2,y2-1,z2),
又因?yàn)?= , =(-1,1,0),
所以由 ⊥ ,得x2- +y2- + (z2-1)=0,③
由 =λ ,得 ④
由③④知無解,即不存在λ滿足條件.
利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求夾角和線段長的步驟
(1)根據(jù)幾何圖形的特點(diǎn)建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系;
(2)利用題設(shè)條件寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而得相關(guān)向量的坐標(biāo);
(3)利用空間向量的模長公式與夾角公式求解.
3 利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求夾角和線段的長
典例　在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,AA1=2,N為A1A的中點(diǎn).
(1)求BN的長;
(2)求A1B與B1C所成角的余弦值.
解析 以C為坐標(biāo)原點(diǎn), , , 的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向,1為單
位長度,建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz.
(1)依題意得B(0,1,0),N(1,0,1),
∴ =(1,-1,1),
∴BN=| |= = .
(2)依題意得A1(1,0,2),C(0,0,0),B1(0,1,2),B(0,1,0),
∴ =(1,-1,2), =(0,1,2),
∴ · =1×0+(-1)×1+2×2=3,
| |= ,| |= ,
∴cos< , >= = = .
故A1B與B1C所成角的余弦值為 .第2章　空間向量與立體幾何
2.3　空間向量基本定理及坐標(biāo)表示
2.3.2　空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示
基礎(chǔ)過關(guān)練　　　　　　　　　　　　　　　　
題組一　空間向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示
1.已知向量a=(3,0,1),b=(-2,4,0),則3a+2b等于(　　)
A.(5,8,3) B.(5,-6,4)
C.(8,16,4) D.(16,0,4)
2.已知點(diǎn)M(1,2,3),N(2,3,4),P(-1,2,3),若=3,則Q的坐標(biāo)是(　　)
A.(-3,-2,-5) B.(3,4,1)
C.(-4,-1,0) D.(2,5,6)
3.若向量a=(1,-2,2),b=(x,3,0),c=(1,3,3)是共面向量,則實(shí)數(shù)x的值是(　　)
A.- B.-
C. D.
題組二　空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示
4.已知向量a=(-3,2,5),b=(1,5,-1),則a·(a+3b)=(　　)
A.(0,34,10) B.(-3,19,7)
C.44 D.23
5.若a+b=(-2,-1,2),a-b=(4,-3,-2),則a·b等于(　　)
A.5 B.-5 C.7 D.-1
6.如圖,已知棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心為O1,則·的值為　(　　)
A.-1 B.0 C.1 D.2
7.已知空間向量a=(1,0,1),b=(2,-1,2),則向量a在向量b上的投影向量是　　　　.
題組三　利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決平行和垂直問題
8.已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且ka-b與2a+b互相平行,則k=(　　)
A.1 B.-2 C.-1 D.2
9.在△ABC中,∠C=90°,A(1,2,-3k),B(-2,1,0),C(4,0,-2k),則k的值為(　　)
A. B.-
C.2 D.±
10.已知向量=(1,2,3),=(2,λ,3),=(4,2,k),若OA⊥平面ABC,則λ+k的值是(　　)
A. B.
C. D.
11.已知a=(x,-4,2),b=(3,y,-5),若a⊥b,則x2+y2的取值范圍為(　　)
A.[2,+∞) B.[3,+∞)
C.[4,+∞) D.[5,+∞)
題組四　利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決夾角和模的相關(guān)問題
12.若向量a=(2,2,0),b=(1,3,z),=,則z等于(　　)
A. B.- C.± D.±
13.若空間向量=(1,2,-2),=(-1,-1,5),則||=　(　　)
A. B.3 C.2 D.
14.若a=(3x,-5,4)與b=(x,2x,-2)(x≠0)的夾角為鈍角,則x的取值不可能為(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
15.在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中,O為原點(diǎn),已知點(diǎn)A(2,1,0),B(3,2,2),C(-1,1,4),設(shè)向量=a,=b.
(1)求a與b夾角的余弦值;
(2)若a與a-kb互相垂直,求實(shí)數(shù)k的值.
16.如圖,以棱長為1的正方體的三條棱所在直線為坐標(biāo)軸,建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,點(diǎn)P在線段AB上,點(diǎn)Q在線段DC上.
(1)當(dāng)=2,且點(diǎn)P關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為M時(shí),求||;
(2)當(dāng)點(diǎn)P是面對角線AB的中點(diǎn),點(diǎn)Q在面對角線DC上運(yùn)動(dòng)時(shí),探究||的最小值.
能力提升練　　　　　　　　　
題組一　利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決平行、垂直問題
1.如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,O是底面正方形ABCD的中心,M是D1D的中點(diǎn),N是A1B1的中點(diǎn),則直線NO,AM的位置關(guān)系是　(　　)
A.平行 B.相交
C.異面垂直 D.異面不垂直
2.(多選)已知空間中四點(diǎn)A(1,1,0),B(0,1,2),C(0,3,2),D(-1,3,4),則下列說法正確的有(　　)
A.AB⊥BC
B.AB∥CD
C.A,B,C三點(diǎn)共線
D.A,B,C,D四點(diǎn)共面
3.(多選)在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)P為線段AB的中點(diǎn),Q,R分別為線段BC,A1C上的動(dòng)點(diǎn)(含端點(diǎn)),下列結(jié)論正確的是(　　)
A.存在點(diǎn)Q,使得A1P⊥C1Q
B.存在點(diǎn)R,使得A1P⊥D1R
C.當(dāng)Q為BC的中點(diǎn)時(shí),存在點(diǎn)R使得,,共面
D.當(dāng)Q為BC的中點(diǎn)時(shí),存在點(diǎn)R使得C1,Q,D1,R四點(diǎn)共面
4.如圖,已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1⊥平面ABCD,四邊形ABCD是正方形,點(diǎn)E在線段A1D上,且A1E=2ED.
(1)證明:BD1⊥AC;
(2)證明:BD1∥平面ACE.
題組二　利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決長度和夾角問題
5.如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AD∥BC,點(diǎn)E為PA的中點(diǎn),AB=BC=1,AD=2,PA=,則異面直線BE與CD所成角的余弦值為(　　)
A. B.
C. D.
6.在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,M是棱AA1的中點(diǎn),點(diǎn)P在側(cè)面ABB1A1內(nèi),若D1P垂直于CM,則△PBC的面積的最小值為(　　)
A. B. C. D.1
7.如圖,在直三棱柱ABC-A'B'C'中,AB=BC=BB'=2,AB⊥BC,D為AB的中點(diǎn),點(diǎn)E在線段C'D上,點(diǎn)F在線段BB'上,求線段EF長的最小值.
8.如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,AA1=2,∠BCA=90°,M,N分別是A1B1,A1A的中點(diǎn).
(1)求的模;
(2)求cos<,>的值;
(3)求證:A1B⊥C1M.
答案與分層梯度式解析
第2章　空間向量與立體幾何
2.3　空間向量基本定理及坐標(biāo)表示
2.3.2　空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示
基礎(chǔ)過關(guān)練
1.A　
2.D　設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),則=+=+3=(-1,2,3)+3(1,1,1)=(2,5,6).故選D.
3.B　由題意,可知存在實(shí)數(shù)u,v,使得b=ua+vc,
即(x,3,0)=u(1,-2,2)+v(1,3,3),
所以解得故選B.
4.C　
5.B　∵a+b=(-2,-1,2),a-b=(4,-3,-2),
∴兩式相加得2a=(2,-4,0),
∴a=(1,-2,0),∴b=(-3,1,2),
∴a·b=1×(-3)+(-2)×1+0×2=-5,故選B.
6.D　建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
則A(1,0,0),O1,C1(0,1,1),
∴=,=(-1,1,1),
∴·=·(-1,1,1)=++1=2.故選D.
方法總結(jié)
　　求空間幾何體中兩向量的數(shù)量積時(shí),可先建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,再將各向量用坐標(biāo)表示出來,之后便可利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算輕松求解.
7.答案　
解析　向量a在向量b上的投影向量是·=×=.
8.B　根據(jù)題意,得ka-b=k(1,1,0)-(-1,0,2)=(k+1,k,-2),2a+b=2(1,1,0)+(-1,0,2)=(1,2,2),
根據(jù)ka-b與2a+b平行,得==,解得 k=-2.故選B.
9.D　由題意得=(-6,1,2k),=(-3,2,-k),
又∵∠C=90°,∴·=(-6)×(-3)+1×2+2k×(-k)=-2k2+20=0,
∴k=±.
故選D.
10.D　易得=(1,λ-2,0),=(3,0,k-3).
若OA⊥平面ABC,則⊥,⊥,
即·=1+2(λ-2)=0,·=3+3(k-3)=0,所以λ=,k=2,故λ+k=.
故選D.
11.C　∵a=(x,-4,2),b=(3,y,-5),a⊥b,
∴a·b=3x-4y-10=0,∴y=x-,
∴x2+y2=x2+=+4≥4,
∴x2+y2的取值范圍為[4,+∞).
故選C.
12.C　由題意得a·b=|a||b|cos =8,
又∵|a|=2,|b|=,
∴·=8,可得z=±.故選C.
13.D　=+=(0,1,3),
∴||==.故選D.
14.D　由題意得a·b=3x2-10x-8<0,解得-若a與b共線,則==,無解,所以a與b不共線,所以-15.解析　(1)由題意得a=(1,1,2),b=(-3,0,4),
故a·b=1×(-3)+1×0+2×4=5,|a|=,|b|=5,
所以cos==,
故a與b夾角的余弦值為.
(2)由a與a-kb互相垂直知,a·(a-kb)=a2-ka·b=0,
由(1)知|a|2=6,a·b=5,故k===.
16.解析　由題意知A(1,0,1),B(1,1,0),C(0,1,0),D(1,1,1).
(1)由=2得P,
所以M,所以||=.
(2)當(dāng)點(diǎn)P是面對角線AB的中點(diǎn)時(shí),P,點(diǎn)Q在面對角線DC上運(yùn)動(dòng),設(shè)點(diǎn)Q(a,1,a),a∈[0,1],
則||=
==,a∈[0,1],
所以當(dāng)a=時(shí),||取得最小值,為,此時(shí)點(diǎn)Q.
方法歸納
　　利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求線段長度的一般步驟:(1)建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系;(2)求出線段端點(diǎn)的坐標(biāo)(或線段對應(yīng)向量的坐標(biāo));(3)利用兩點(diǎn)間的距離公式求出線段的長(或利用向量模的坐標(biāo)公式求出對應(yīng)向量的模).
能力提升練
1.C　由題圖易知,NO,AM為異面直線.建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示.設(shè)正方體的棱長為2,則A(2,0,0),M(0,0,1),O(1,1,0),N(2,1,2),
∴=(-1,0,-2),=(-2,0,1).
∵·=0,∴直線NO,AM的位置關(guān)系是異面垂直.故選C.
2.ABD　易知=(-1,0,2),=(0,2,0),=(-2,2,4),=(-1,0,2),=(-1,2,2).
因?yàn)椤?0,所以 ⊥,即AB⊥BC,所以A正確;
因?yàn)?,且A,B,C,D四點(diǎn)不共線,所以AB∥CD,故B正確;
因?yàn)椴淮嬖趯?shí)數(shù)λ,使=λ,所以 A,B,C三點(diǎn)不共線,故C錯(cuò)誤;
易知當(dāng)=λ+μ(λ,μ∈R)時(shí),A,B,C,D四點(diǎn)共面,即(-1,2,2)=λ(-1,0,2)+μ(-2,2,4),
所以(-1,2,2)=(-λ-2μ,2μ,2λ+4μ),
所以　解得
所以=-+,又因?yàn)?,有公共點(diǎn)A,所以A,B,C,D四點(diǎn)共面,故D正確.
故選ABD.
3.BD　在正方體ABCD-A1B1C1D1中,以D為原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
則C(0,2,0),A1(2,0,2),C1(0,2,2),D1(0,0,2),B(2,2,0),P(2,1,0),
令=m(0≤m≤1),=n(0≤n≤1),則Q(2m,2,0),R(2n,2-2n,2n).
因?yàn)?(0,1,-2),=(2m,0,-2),所以·=4≠0,即與不垂直,A不正確;
又因?yàn)?(2n,2-2n,2n-2),所以·=6-6n,當(dāng)n=1時(shí),·=0,即存在點(diǎn)R,使得A1P⊥D1R,B正確;
當(dāng)Q為BC的中點(diǎn)時(shí),Q(1,2,0),=(1,0,-2),若存在點(diǎn)R使得,,共面,則=x+y,x,y∈R,
即(2n,2-2n,2n-2)=x(0,1,-2)+y(1,0,-2),
故解得n=-1 [0,1],C不正確;
當(dāng)Q為BC的中點(diǎn)時(shí),Q(1,2,0),若C1,Q,D1,R四點(diǎn)共面,則=λ+μ,λ,μ∈R,而=(1,2,-2),則(2n,2-2n,2n-2)=λ(0,2,0)+μ(1,2,-2),即解得n=∈[0,1],D正確.
故選BD.
4.證明　(1)連接A1C1,B1D1,BD,設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O,A1C1與B1D1交于點(diǎn)O1,連接OO1,設(shè)AB=a,AA1=b.如圖,建立空間直角坐標(biāo)系,
則A,B,C,D,A1,D1,
∴=(-a,0,b),=(0,a,0),
∴·=0,∴⊥,即BD1⊥AC.
(2)設(shè)E(x,y,z),∵A1E=2ED,∴=2,即=2,
解得x=-a,y=-a,z=,
即E,
∴=.
設(shè)=λ+μ(λ,μ∈R),則(-a,0,b)=λ(0,a,0)+μ,
即解得
即=-+3,
∴,,共面.
又∵BD1 平面ACE,∴BD1∥平面ACE.
5.A　由題意可知,AB,AD,AP所在直線兩兩垂直.以A為原點(diǎn),AB,AD,AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸,1為單位長度,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,
則B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),E,
故=(-1,1,0),=,
故|cos<,>|===,
則異面直線BE與CD所成角的余弦值為.故選A.
解后反思
　　用坐標(biāo)法求解立體幾何問題的關(guān)鍵是建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系.建系時(shí),關(guān)鍵是尋找線面垂直、線線垂直的條件,找到兩兩相互垂直的三條直線,將這三條直線分別作為x軸、y軸和z軸,進(jìn)而得到有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)并求解.
6.A　以D為坐標(biāo)原點(diǎn),,,的方向分別為x,y,z軸的正方向,1為單位長度,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖,
依題意有M(2,0,1),C(0,2,0),D1(0,0,2),
設(shè)P(2,a,b),0≤a≤2,0≤b≤2,
則=(-2,2,-1),=(2,a,b-2),
由于CM⊥D1P,故·=0,故-4+2a-b+2=0,
解得b=2a-2.
根據(jù)正方體的性質(zhì)可知,BC⊥BP,
故△PBC為直角三角形,
而B(2,2,0),故=(0,2-a,-b),=(-2,0,0),所以||=,||=2,
所以△PBC的面積為||||==,
當(dāng)a==時(shí),面積取得最小值,為=,故選A.
7.解析　依題意,BA,BC,BB'兩兩垂直,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
則B(0,0,0),D(0,1,0),B'(0,0,2),C'(2,0,2),=(2,-1,2),=(0,0,2),
設(shè)=λ,λ∈[0,1],則E(2λ,1-λ,2λ),
設(shè)F(0,0,z),0≤z≤2,則=(-2λ,λ-1,z-2λ).
若線段EF的長最小,則必滿足EF⊥BB',則有·=0,可得z=2λ,即=
(-2λ,λ-1,0),
因此,||===≤,當(dāng)且僅當(dāng)λ=時(shí)等號成立,所以線段EF長的最小值為.
8.解析　由題意可知,CA,CB,CC1兩兩垂直,以C為原點(diǎn),CA,CB,CC1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,1為單位長度,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
(1)依題意,B(0,1,0),N(1,0,1),
∴=(1,-1,1),∴||=.
(2)依題意,A1(1,0,2),B(0,1,0),C(0,0,0),B1(0,1,2),
∴=(1,-1,2),=(0,1,2),·=1×0-1×1+2×2=3,||=,||=,
∴cos<,>==.
(3)證明:依題意,C1(0,0,2),M,
∴=,
又由(2)可得=(-1,1,-2),
∴·=-++0=0,
∴⊥,∴A1B⊥C1M.第2章　空間向量與立體幾何
2.3　空間向量基本定理及坐標(biāo)表示
2.3.1　空間向量的分解與坐標(biāo)表示
　　　　　　　　　　　　　　基礎(chǔ)過關(guān)練
　　
題組一　空間向量共面問題
1.在下列等式中,使點(diǎn)M與點(diǎn)A,B,C一定共面的是(　　)
A.=--
B.=++
C.++=0
D.+++=0
2.在四面體A-BCD中,P在面ABC內(nèi),Q在面BCD內(nèi),且滿足=x+y,=s+t+u,若=(y,t均不為0),則下面有關(guān)線段AQ與DP的關(guān)系的表述中,正確的是(　　)
A.AQ與DP所在直線是異面直線
B.AQ與DP所在直線平行
C.線段AQ與DP必相交
D.線段AQ與DP延長后相交
3.已知i,j,k是不共面向量,a=2i-j+3k,b=-i+4j-2k,c=7i+5j+λk,若a,b,c三個(gè)向量共面,則實(shí)數(shù)λ等于　　　　.
4.如圖所示,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別在B1B和D1D上,且BE=BB1,DF=DD1.
(1)求證:A,E,C1,F四點(diǎn)共面;
(2)若=x+y+z,求x+y+z的值.
題組二　空間向量基本定理及相關(guān)概念的理解
5.已知{a,b,c}能構(gòu)成空間的一組基,則下面的各組向量中,不能構(gòu)成一組基的是(　　)
A.a+b,b,c
B.a,a-b,c
C.a-c,b-c,a-b
D.a,b,a+b+c
6.已知空間中四個(gè)點(diǎn)O,A,B,C,{,,}為空間的一組基,則下列說法正確的是(　　)
A.O,A,B,C四點(diǎn)共線
B.O,A,B,C四點(diǎn)共面,但不共線
C.O,A,B,C四點(diǎn)不共面
D.||=||=||=1
7.已知{a,b,c}是空間的一組基,則下列向量中能與a+b,a-b構(gòu)成一組基的是(　　)
A.a B.b C.c D.a+2b
題組三　空間向量基本定理的應(yīng)用
8.如圖,在四面體O-ABC中,設(shè)=a,=b,=c,=3,若F為BC的中點(diǎn),P為EF的中點(diǎn),則=(　　)
A.a+b+c B.a+b+c
C.a+b+c D.a+b+c
9.在三棱柱ABC-A1B1C1中,=a,=b,=c,若=2,則=(　　)
A.a+b+c B.a+b+c
C.-a+b+c D.a-b+c
10.如圖,在四面體O-ABC中,D,E分別在AB,OC上,且AD=DB,OE=2EC,若=α+β+γ,則α+β+γ=　　　　.
11.如圖,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是正方形,AD=AB=1,AA1=2,∠A1AB=∠DAA1=60°,=3,=2,設(shè)=a,=b,=c.
(1)試用a,b,c表示;
(2)求MN的長度.
題組四　空間向量的坐標(biāo)表示
12.在空間直角坐標(biāo)系中,若M(0,1,3),N(2,1,1),則=(　　)
A.(-2,0,2) B.(2,0,-2)
C.(2,2,0) D.(2,2,-1)
13.若向量p在標(biāo)準(zhǔn)正交基{a,b,c}下的坐標(biāo)是(1,3,2),則p在基{a+b,a-b,c}下的坐標(biāo)是(　　)
A.(4,-2,2) B.(2,1,2)
C.(2,-1,2) D.(1,3,2)
14.在標(biāo)準(zhǔn)正交基{i,j,k}下,已知向量a=-2i+8j+3k,b=-5i+2k,則向量a+2b在i上的投影為　　　　,在j,k上的投影之積為　　　　.
15.如圖,以長方體ABCD-A1B1C1D1的頂點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn),過D的三條棱所在的直線為坐標(biāo)軸,1為單位長度,建立空間直角坐標(biāo)系,若的坐標(biāo)為(4,3,2),則的坐標(biāo)為　　　　.
16.如圖,在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中有一長方體OABC-O'A'B'C',且OA=6,OC=8,OO'=5.
(1)寫出點(diǎn)B'的坐標(biāo),并將用標(biāo)準(zhǔn)正交基{i,j,k}表示;
(2)求的坐標(biāo).
17.設(shè)正四棱錐S-P1P2P3P4的所有棱長均為2,建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,求,的坐標(biāo).
答案與分層梯度式解析
第2章　空間向量與立體幾何
2.3　空間向量基本定理及坐標(biāo)表示
2.3.1　空間向量的分解與坐標(biāo)表示
基礎(chǔ)過關(guān)練
1.C　對于A、B、D,均不滿足=x+y+z,且x+y+z=1,故A、B、D均錯(cuò)誤;
對于C,++=0 =--,因此,,共面,又因?yàn)?,有公共點(diǎn)M,所以M,A,B,C四點(diǎn)共面,故C正確.
2.C　若x=s=0,則=y,=t+u,所以=+u,所以,,共面,又因?yàn)?,有公共點(diǎn)A,所以A,P,D,Q四點(diǎn)共面;若x≠0,且s≠0,則由=得=,令==m,則=m+u,所以,,共面,又因?yàn)?,有公共點(diǎn)A,故A,P,D,Q四點(diǎn)共面,又因?yàn)锳Q與DP所在直線不平行,所以AQ與DP必相交.故選C.
3.答案　
解析　若向量a,b,c共面,則存在x,y∈R,使得a=xb+yc,
∴2i-j+3k=x(-i+4j-2k)+y(7i+5j+λk),
∴
解得λ=.
4.解析　(1)證明:=++=+++=+++=(+)+(+)=+,∴,,共面,
又∵,,有公共點(diǎn)A,
∴A,E,C1,F四點(diǎn)共面.
(2)∵=-=+-(+)
=+--
=-++,
∴x=-1,y=1,z=,∴x+y+z=.
5.C　如圖,可知a-c,b-c,a-b三個(gè)向量共面,不能構(gòu)成空間的一組基,故選C.
方法歸納
　　判斷給出的三個(gè)向量是不是空間的一組基,關(guān)鍵是判斷它們是否共面,若從正面判斷難以入手,則常用反證法或借助一些常見的幾何圖形進(jìn)行判斷.
6.C　∵{,,}為空間的一組基,
∴,,三個(gè)向量不共面,即O,A,B,C四點(diǎn)不共面.,,不一定為單位向量,故選C.
7.C　因?yàn)閍=(a+b)+(a-b),b=(a+b)-(a-b),a+2b=(a+b)-(a-b),所以由空間向量基本定理可知a,b,a+2b均與a+b,a-b共面,不能構(gòu)成一組基,故A、B、D錯(cuò)誤,故選C.
8.A　如圖,連接OF,
因?yàn)镻為EF的中點(diǎn),=3,F為BC的中點(diǎn),
所以=(+)=
=++ =a+b+c,故選A.
9.A　由題意得=++=++=++=++(-)=++=a+b+c.故選A.
10.答案　-
解析　連接OD,∵AD=DB,OE=2EC,
∴=-=-(+)=--+,
∴
∴α+β+γ=-.
11.解析　(1)由題意得=+=+=+(+)=+(+)=a+b+c.
(2)由題意得=++=+-=(++)+-(+)=-+++--=++=a+b+c.
因?yàn)椤螦1AB=∠DAA1=60°,且底面ABCD是正方形,AD=AB=1,AA1=2,
所以·=a·b=0,·=b·c=|b||c|·cos 60°=1,·=a·c=|a||c|cos 60°=1.
因此,||==×=,
所以MN的長度是.
12.B　
13.C　由已知得p=a+3b+2c,
設(shè)p在基{a+b,a-b,c}下的坐標(biāo)是(x,y,z),
則p=x(a+b)+y(a-b)+zc=(x+y)a+(x-y)b+zc,所以(x+y)a+(x-y)b+zc=a+3b+2c,
則所以
所以p在基{a+b,a-b,c}下的坐標(biāo)是(2,-1,2).
14.答案　-12;56
解析　易得a+2b=-12i+8j+7k,所以a+2b在i,j,k上的投影分別為-12,8,7,其在j,k上的投影之積為8×7=56.
15.答案　(-4,3,2)
解析　由D(0,0,0),=(4,3,2),可得B1(4,3,2),即AD=4,CD=3,DD1=2,所以A(4,0,0),C1(0,3,2),因此=(-4,3,2).
16.解析　(1)因?yàn)镺A=6,OC=8,OO'=5,
所以點(diǎn)B'的坐標(biāo)為(6,8,5),
從而=(6,8,5)=6i+8j+5k.
(2)易得點(diǎn)C'的坐標(biāo)為(0,8,5),所以=(0,8,5).
17.解析　如圖所示,建立空間直角坐標(biāo)系,其中O為底面正方形的中心,P1P2⊥Oy,P1P4⊥Ox,SO在Oz軸上.
∵P1P2=2,而P1,P2均在xOy平面內(nèi),∴P1(1,1,0),P2(-1,1,0).
在xOy平面內(nèi),P3與P1關(guān)于原點(diǎn)O對稱,
∴P3(-1,-1,0),
又∵SP1=2,OP1=,
∴在Rt△SOP1中,SO=,∴S(0,0,).
∴=(1,1,-),=(0,-2,0).

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