資源簡介

第2章　空間向量與立體幾何
2.4　空間向量在立體幾何中的應用
2.4.1　空間直線的方向向量和平面的法向量
2.4.2　空間線面位置關系的判定
　　　　　　　　　　　　　　　　基礎過關練
題組一　直線的方向向量與平面的法向量
1.已知平面上兩點A(1,2,3),B(-1,1,1),則下列向量是直線AB的方向向量的是(　　)
A.(-1,1,1) B.(1,2,3)
C.(1,2,1) D.(2,1,2)
2.已知平面α內有一點M(1,-1,2),平面α的一個法向量為n=(6,-3,6),則下列坐標對應的點在平面α內的是(　　)
A.(2,3,3) B.(-2,0,1)
C.(-4,4,0) D.(3,-3,4)
3.已知A(3,4,0),B(2,5,2),C(0,3,2),則平面ABC的一個單位法向量是　　　　.
題組二　向量與垂直
4.已知兩平面α,β的法向量分別為u=(3,-1,z),v=(-2,-y,1),若α⊥β,則y+z的值是(　　)
A.-3 B.6 C.-6 D.-12
5.已知直線l的一個方向向量為d=(2,3,5),平面α的一個法向量為u=(-4,m,n),若l⊥α,則m=　　　　,n=　　　　.
6.如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=2BC=2CC1=2,以D為坐標原點,向量,,的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向,1為單位長度,建立空間直角坐標系,點P在平面A1B1C1D1上,若DP⊥平面ACD1,則點P的坐標是　　　　.
7.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為棱DD1的中點,求證:
(1)BD1⊥平面AB1C;
(2)平面EAC⊥平面AB1C.
題組三　向量與平行
8.已知直線l的一個方向向量是a=(-3,2,1),平面α的一個法向量是n=(1,2,-1),則l與α的位置關系是　(　　)
A.l⊥α
B.l∥α
C.l∥α或l α
D.l與α相交但不垂直
9.如圖,正方形ABCD與矩形ACEF所在平面互相垂直,AB=,AF=1,M在EF上,且AM∥平面BDE,則點M的坐標為(　　)
A.(1,1,1) B.
C. D.
10.如圖所示,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD為等腰梯形,AB∥CD,AB=4,BC=CD=2,AA1=2,E,E1,F分別是棱AD,AA1,AB的中點.求證:
(1)直線EE1∥平面FCC1;
(2)平面ADD1A1∥平面FCC1.
題組四　利用空間向量研究線面位置關系
11.(多選)下列利用方向向量、法向量判斷線面位置關系的結論中,正確的是(　　)
A.若兩條不重合的直線l1,l2的一個方向向量分別是a=(2,-2,-1),b=(-2,-2,1),則l1∥l2
B.若直線l的一個方向向量是a=(1,1,2),平面α的一個法向量是n=(-2,-2,-4),則l⊥α
C.若直線l的一個方向向量是a=(0,2,0),平面α的一個法向量是n=(-2,0,2),則l∥α
D.若兩個不同的平面α,β的一個法向量分別是m=(3,-4,2),n=(-2,0,3),則α⊥β
12.如圖,四邊形ABCD為正方形,PD⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AB=PD,則平面PQC與平面DCQ的位置關系為(　　)
A.平行 B.垂直
C.相交但不垂直 D.不確定
13.如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別在A1D,AC上,且A1E=A1D,AF=AC,則(　　)
A.EF至多與A1D,AC之一垂直
B.EF⊥A1D,EF⊥AC
C.EF與BD1相交
D.EF與BD1異面
能力提升練
題組　用空間向量研究線面位置關系
1.(多選)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分別為BC,CC1,A1D1,C1D1的中點,則下列結論中正確的是(　　)
A.A1E⊥AC1
B.BF∥平面ADD1A1
C.BF⊥DG
D.GE∥HF
2.已知正方體ABCD-A1B1C1D1,P是線段A1C上一點,下列說法正確的是(　　)
A.若=,則直線AP∥平面BC1D
B.若=,則直線AP∥平面BC1D
C.若=,則直線BP⊥平面ACD1
D.若=,則直線BP⊥平面ACD1
3.(多選)如圖,在四棱錐A-BCED中,已知EC=BC=AC=4,BD=1,且AC⊥EC,AC⊥BC,BC⊥EC,BC⊥BD.取BC的中點O,過點O作OQ⊥DE于點Q,則(　　)
A.OD⊥OE
B.四棱錐A-BCED的體積為40
C.BQ⊥平面ACQ
D.AQ⊥BQ
4.在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面是邊長為4的菱形,∠ABC=60°,AA1=4,過點B與直線AC1垂直的平面交直線AA1于點M,則三棱錐A-MBD的外接球的表面積為　　　　.
5.如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB∥DC,DA⊥AB,AB=AP=2,DA=DC=1,E為PC上一點,且PE=PC.
(1)求證:AE⊥平面PBC;
(2)求證:PA∥平面BDE.
6.如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,四邊形AA1C1C是邊長為的正方形,CC1⊥BC,BC=1,AB=2.
(1)證明:平面A1BC⊥平面ABC1;
(2)在線段A1B上是否存在點M,使得CM⊥BC1 若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.
7.在如圖所示的幾何體中,四邊形CDEF為正方形,四邊形ABCD為等腰梯形,AB∥CD,AB=2BC,∠ABC=60°,AC⊥FB.
(1)求證:AC⊥平面FBC;
(2)在線段ED上是否存在點Q,使平面EAC⊥平面QBC 證明你的結論.
8.如圖,在多面體ABCDEF中,平面ADEF⊥平面ABF,四邊形ADEF為正方形,四邊形ABCD為梯形,且AD∥BC,∠BAF=90°,AB=AD=1,BC=3.
(1)求證:BF⊥AD;
(2)在線段BD上是否存在點M,使得直線CE∥平面AFM 若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.
答案與分層梯度式解析
第2章　空間向量與立體幾何
2.4　空間向量在立體幾何中的應用
2.4.1　空間直線的方向向量和平面的法向量
2.4.2　空間線面位置關系的判定
基礎過關練
1.D　易得=(-2,-1,-2),因為與向量(2,1,2)平行,所以選D.
2.A　設點P(x,y,z)在平面α內,則=(x-1,y+1,z-2).
∵n=(6,-3,6)是平面α的一個法向量,
∴n⊥,∴n·=6(x-1)-3(y+1)+6(z-2)=6x-3y+6z-21=0,即2x-y+2z=7.
把各選項的坐標數據代入上式驗證可知A適合.
故選A.
3.答案　(答案不唯一)
解析　=(-1,1,2),=(-3,-1,2),
若m=(x,y,z)是平面ABC的法向量,
則
取y=-1,則x=1,z=1,則m=(1,-1,1)是平面ABC的一個法向量,故平面ABC的一個單位法向量可以是=,答案不唯一.
B　因為α⊥β,所以u·v=0,即(3,-1,z)·(-2,-y,1)=0,所以3×(-2)+
(-1)×(-y)+z×1=0,
所以y+z=6.故選B.
5.答案　-6;-10
解析　∵l⊥α,∴d∥u,又∵d=(2,3,5),u=(-4,m,n),∴==,解得m=-6,n=-10.
6.答案　
解析　由題意得,D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,2,0),D1(0,0,1),則=(0,2,
-1),=(-1,2,0),因為點P在平面A1B1C1D1上,所以設點P(m,n,1),則=(m,n,1),若DP⊥平面ACD1,則即解得所以點P的坐標是.
7.證明　以D為坐標原點,建立如圖所示的空間直角坐標系D-xyz.設正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,則E(0,0,1),A(2,0,0),C(0,2,0),B1(2,2,2),B(2,2,0),D1(0,0,2).
(1)易得=(-2,2,0),=(0,2,2),=(-2,-2,2).
設平面AB1C的法向量為m=(x,y,z),
則取x=1,則y=1,z=-1,
∴m=(1,1,-1)是平面AB1C的一個法向量.
∵=-2m,∴∥m,∴BD1⊥平面AB1C.
(2)易得=(-2,0,1).
設平面EAC的法向量為n=(x',y',z'),
則取x'=1,則y'=1,z'=2,
∴n=(1,1,2)是平面EAC的一個法向量.
由(1)知m=(1,1,-1)是平面AB1C的一個法向量.
∵m·n=1+1-2=0,∴平面EAC⊥平面AB1C.
8.C　因為a·n=-3+4-1=0,所以a⊥n,
所以l與α的位置關系是l∥α或l α,故選C.
易錯警示
　　當直線l的方向向量與平面α的法向量相互垂直時,直線 l也有可能在平面α內,這種情況容易忽略.
9.C　連接OE.設點M的坐標為(x,y,1),
因為AC∩BD=O,
所以O,
又因為E(0,0,1),A(,,0),
所以=,=(x-,y-,1),
因為AM∥平面BDE,AM 平面ACEF,平面BDE∩平面ACEF=OE,所以OE∥AM,即∥,
所以==,即
所以點M的坐標為.
故選C.
10.證明　證法一:(1)因為AB=4,BC=CD=2,F是棱AB的中點,底面ABCD為等腰梯形,
所以BF=BC=CF,所以△BCF為正三角形,
所以∠BAD=∠ABC=60°.
取AF的中點M,連接DM,則DM⊥AB,
所以DM⊥CD.
以D為原點,DM,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,1為單位長度,建立空間直角坐標系,如圖所示,
則F(,1,0),C(0,2,0),C1(0,2,2),E,E1(,-1,1),
所以=(0,0,2),=,=(,-1,0).
設平面FCC1的法向量為n=(x,y,z),
則得z=0,令x=1,得y=,
所以平面FCC1的一個法向量為n=(1,,0),
則n·=1×+×+0×1=0,
所以n⊥.
又因為直線EE1 平面FCC1,
所以直線EE1∥平面FCC1.
(2)易得D(0,0,0),D1(0,0,2),A(,-1,0),
所以=(,-1,0),=(0,0,2).
設平面ADD1A1的法向量為m=(x1,y1,z1),
則得z1=0,
令x1=1,得y1=,
所以平面ADD1A1的一個法向量為m=(1,,0).
結合(1)知m=n,即m∥n,又因為平面ADD1A1與平面FCC1不重合,所以平面ADD1A1∥平面FCC1.
證法二:(1)取A1B1的中點G,連接C1G,GF,CG,A1D.
因為A1G=A1B1,DC=A1B1,A1G∥D1C1,DC∥D1C1,所以A1G DC,
所以四邊形A1DCG為平行四邊形,所以A1D∥CG.
又因為E,E1分別為AD,A1A的中點,所以EE1∥A1D,所以EE1∥CG.
因為EE1 平面FCC1,CG 平面FCC1,
所以EE1∥平面FCC1.
(2)由(1)知A1D∥平面FCC1.
易知DD1∥平面FCC1,
又因為A1D 平面ADD1A1,DD1 平面ADD1A1,且A1D∩DD1=D,
所以平面ADD1A1∥平面FCC1.
11.BD　對于A,因為向量a,b不平行,所以l1,l2不平行,故A不正確;
對于B,因為n=-2a,所以a∥n,故B正確;
對于C,因為a·n=0×(-2)+2×0+0×2=0,所以a⊥n,所以l∥α或l在平面α內,故C不正確;
對于D,因為m·n=-6+0+6=0,所以α⊥β,故D正確.故選BD.
12.B　因為PD⊥平面ABCD,AD 平面ABCD,CD 平面ABCD,
所以PD⊥AD,PD⊥CD,
因為四邊形ABCD為正方形,
所以CD⊥AD,即PD,AD,CD兩兩垂直,
如圖,以D為原點建立空間直角坐標系,設QA=1,則D(0,0,0),C(0,0,1),Q(1,1,0),P(0,2,0),=(1,1,0),=(0,0,1),=(1,
-1,0),
可得·=1×1+1×(-1)+0×0=0,·=0×1+0×(-1)+1×0=0,所以⊥,⊥,即PQ⊥DQ,PQ⊥DC,
因為DQ∩DC=D,所以PQ⊥平面DCQ,又因為PQ 平面PQC,所以平面PQC⊥平面DCQ.故選B.
13.B　如圖所示,以D為坐標原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x,y,z軸,1為單位長度,建立空間直角坐標系,
設正方體的棱長為3,則E(1,0,1),F(2,1,0),A1(3,0,3),A(3,0,0),C(0,3,0),D(0,0,0),B(3,3,0),D1(0,0,3),
∴=(1,1,-1),=(-3,3,0),=(-3,0,-3),=(-3,-3,3).
∵·=0,·=0,∴⊥,⊥,即EF⊥AC,EF⊥A1D,∴A錯誤,B正確;
∵=-3,∴∥,
∵BD1,EF不在一條直線上,∴EF∥BD1,∴C、D錯誤.
故選B.
能力提升練
1.BCD　以D為坐標原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x,y,z軸,1為單位長度,建立如圖所示的空間直角坐標系,設AB=2,
則A(2,0,0),A1(2,0,2),B(2,2,0),D(0,0,0),C(0,2,0),C1(0,2,2),E(1,2,0),F(0,2,1),G(1,0,2),H(0,1,2).
=(-1,2,-2),=(-2,2,2),則·=2+4-4≠0,A錯誤;
易知平面ADD1A1的一個法向量為=(0,2,0),=(-2,0,1),
∵·=0,
∴⊥,即DC⊥BF,
又∵BF 平面ADD1A1,∴BF∥平面ADD1A1,B正確;
=(1,0,2),則·=-2+2=0,
∴⊥,即BF⊥DG,C正確;
=(0,2,-2),=(0,1,-1),故=2,
∴∥,
又∵GE,HF不重合,∴GE∥HF,D正確.故選BCD.
2.A　以D為坐標原點,,,的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向,1為單位長度,建立如圖所示的空間直角坐標系,
設正方體的棱長為1,則D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),C1(0,1,1),A1(1,0,1),則=(0,0,1),=(-1,1,-1),=(0,-1,0),=(1,1,0),=(0,1,1).
當=時,=+=+=(0,0,1)+(-1,1,-1)=,
設平面BC1D的法向量為m=(x,y,z),則取x=1,則y=-1,z=1,則m=(1,-1,1)為平面BC1D的一個法向量,因為·m=--+=0,所以⊥m,又因為AP 平面BC1D,所以直線AP∥平面BC1D,故A正確,B不正確.
同理可取平面ACD1的一個法向量n=(1,1,1),
當=時,=++=++=(0,-1,0)+(0,0,1)+(-1,1,-1)=,
因為與n不共線,所以直線BP與平面ACD1不垂直,故C不正確;當=時,=++=++=(0,-1,0)+(0,0,1)+(-1,1,-1)=,
因為與n不共線,所以直線BP與平面ACD1不垂直,故D不正確.故選A.
3.ACD　如圖,建立空間直角坐標系,
則O(0,2,0),D(0,4,1),E(0,0,4),B(0,4,0),A(4,0,0),C(0,0,0),
則=(0,-4,3),=(0,2,1),=(0,-2,4),=(4,0,0),
設=λ=(0,-4λ,3λ),0<λ<1,則Q(0,4-4λ,1+3λ),故=(0,2-4λ,1+3λ).
∵OQ⊥DE,∴·=0,
∴0-8+16λ+3+9λ=0,解得λ=,即Q,
∴=,=,
=.
∵·=0×0+2×(-2)+1×4=0,∴⊥,即OD⊥OE,故A正確;
易得直角梯形BCED的面積S===10,
由AC⊥CE,AC⊥BC,CE∩BC=C,可得AC⊥平面BCE,
故四棱錐A-BCED的高h=AC=4,∴四棱錐的體積V=Sh=×10×4=,故B不正確;
∵·=(4,0,0)·=0,·=·=-+=0,
∴⊥,⊥,即BQ⊥CA,BQ⊥CQ,
又∵CA∩CQ=C,∴BQ⊥平面ACQ,故C正確;
∵·=·=0,
∴⊥,即AQ⊥BQ,故D正確.故選ACD.
4.答案　68π
解析　連接AC,設AC∩BD=O,連接OM,建立如圖所示的空間直角坐標系O-xyz.
由題得BD=4,AC=4,
則A(2,0,0),O(0,0,0),C1(-2,0,4),
設M(2,0,z),
則=(-4,0,4),=(2,0,z),
易知AC1⊥BD,若AC1⊥平面BDM,則只需AC1⊥OM,所以·=0,
所以-8+4z=0,所以z=2,
所以當點M是AA1的中點時,AC1⊥平面BDM.
設三棱錐A-MBD的外接球的半徑為R,△ABD的外接圓半徑為r,
則=2r,所以r=4,
所以R2=42+=17.
所以三棱錐A-MBD的外接球的表面積為4πR2=68π.
5.證明　(1)如圖,以A為原點,,,的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向,1為單位長度,建立空間直角坐標系,
則A(0,0,0),B(2,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),P(0,0,2),
所以=(1,1,-2),=(0,0,2),=(1,-1,0),因為PE=PC,
所以=,
所以=+=,
所以·=+-=0,
·=-+0=0,
所以⊥,⊥,即AE⊥PC,AE⊥BC,
又因為PC∩BC=C,
所以AE⊥平面PBC.
(2)由(1)可得=-=-(2,0,0)=,=(0,0,-2),=(-2,1,0).設平面BDE的法向量為u=(x1,y1,z1),
則即
令x1=1,得y1=2,z1=0,則u=(1,2,0)是平面BDE的一個法向量,
因為·u=(0,0,-2)·(1,2,0)=0,
所以⊥u,
因為PA 平面BDE,
所以PA∥平面BDE.
6.解析　(1)證明:在△ABC中,AC=,BC=1,AB=2,因為AC2+BC2=AB2,所以AC⊥BC,
又CC1⊥BC,CC1∩AC=C,
所以BC⊥平面ACC1A1,
又因為AC1 平面ACC1A1,所以BC⊥AC1,
因為四邊形AA1C1C是正方形,
所以AC1⊥A1C,
又因為BC∩A1C=C,所以AC1⊥平面A1BC,
又因為AC1 平面ABC1,所以平面A1BC⊥平面ABC1.
(2)在線段A1B上存在點M,使得CM⊥BC1,且=.
由(1)得,CA,CB,CC1兩兩垂直,以C為原點,CA,CB,CC1所在直線分別為x,y,z軸,1為單位長度,建立空間直角坐標系,如圖所示,則C(0,0,0),B(0,1,0),A1(,0,),C1(0,0,),
∴=(,-1,),=(0,-1,).
設M(x,y,z),=λ,0≤λ≤1,
∴(x,y-1,z)=λ(,-1,),
解得x=λ,y=1-λ,z=λ,
∴=(λ,1-λ,λ),要使CM⊥BC1,則需·=0,即λ-1+3λ=0,解得λ=,故=.
7.解析　(1)證明:∵=+,∴·=·+=2||2×+=0,
∴⊥,即AC⊥BC,又∵AC⊥FB,FB∩BC=B,∴AC⊥平面FBC.
(2)在線段ED上不存在點Q,使平面EAC⊥平面QBC.
證明如下:∵AC⊥平面FBC,∴AC⊥FC.
∵四邊形CDEF為正方形,∴CD⊥FC,∵AC∩CD=C,∴FC⊥平面ABCD,∴FC⊥BC,∴CA,CF,CB兩兩互相垂直,如圖,建立空間直角坐標系C-xyz.
由題易得CB=CD.
設BC=1,則C(0,0,0),A(,0,0),B(0,1,0),E,
∴=,=(,0,0),=(0,1,0).
設平面EAC的法向量為n=(x,y,z),
則即
取z=1,則x=0,y=2,∴n=(0,2,1),
假設在線段ED上存在點Q,使平面EAC⊥平面QBC,設Q(0≤t≤1),
∴=.
設平面QBC的法向量為m=(a,b,c),
則 ∴
取c=1,得m=,
要使平面EAC⊥平面QBC,只需m·n=0,
即-×0+0×2+1×1=0,此方程無解,
∴在線段ED上不存在點Q,使平面EAC⊥平面QBC.
8.解析　(1)證明:因為四邊形ADEF為正方形,
所以AF⊥AD.
又因為平面ADEF⊥平面ABF,
且平面ADEF∩平面ABF=AF,AD 平面ADEF,
所以AD⊥平面ABF.
因為BF 平面ABF,
所以BF⊥AD.
(2)在線段BD上存在點M,使得直線CE∥平面AFM,且=.
由(1)可知,AD⊥平面ABF,所以AB⊥AD,AF⊥AD.
因為∠BAF=90°,所以AB,AD,AF兩兩垂直.
以A為原點,AB,AD,AF所在直線分別為x,y,z軸,1為單位長度,建立空間直角坐標系(如圖).
因為AB=AD=1,BC=3,
所以A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,3,0),D(0,1,0),E(0,1,1),F(0,0,1),
設=λ,易知λ∈[0,1].
設M(x1,y1,z1),則由=λ,得(x1-1,y1,z1)=λ(-1,1,0),
所以x1=1-λ,y1=λ,z1=0,所以M(1-λ,λ,0),
所以=(1-λ,λ,0).
設平面AFM的法向量為m=(x0,y0,z0),
則
易得=(0,0,1),所以
令x0=λ,則y0=λ-1,所以m=(λ,λ-1,0)為平面AFM的一個法向量.
若在線段BD上存在點M,使得CE∥平面AFM,則存在λ∈[0,1],使得m·=0.
易得=(-1,-2,1),
由m·=0,得-λ-2(λ-1)=0,
解得λ=,
所以在線段BD上存在點M,使得直線CE∥平面AFM,且=.
解后反思
　　處理直線與平面平行的存在性問題的關鍵是假設成立,利用直線與平面平行等價于直線的方向向量與平面的法向量垂直來構造方程,求解未知量.(共20張PPT)
2.4　空間向量在立體幾何中的應用
2.4.1　空間直線的方向向量和平面的法向量
2.4.2　空間線面位置關系的判定
1.位置向量:在空間中,取一定點O作為原點,那么空間中任意一點P的位置就可以
用向量 來表示, 稱為點P的位置向量.
2.直線的方向向量:一般地,如果非零向量v與直線l平行,就稱v為l的方向向量.由此
可知,在直線l上任取兩點A,B,則 (或 )就是直線l的方向向量.
3.平面的法向量:如果非零向量n所在直線與平面α垂直,則稱n為平面α的法向量.
1 | 空間直線的方向向量和平面的法向量
　　設空間兩條直線l1,l2的方向向量分別為v1=(x1,y1,z1),v2=(x2,y2,z2),兩個平面α1,α2
的法向量分別為n1=(a1,b1,c1),n2=(a2,b2,c2),則
2 | 空間線面位置關系的判定
位置關系 向量表示 向量運算 坐標運算
l1⊥l2 v1⊥v2 v1·v2=0 x1x2+y1y2+z1z2=0
l1⊥α1 v1∥n1 n1=kv1 a1=kx1,b1=ky1,c1=kz1,k為非零常數
α1⊥α2 n1⊥n2 n1·n2=0 a1a2+b1b2+c1c2=0
l1∥l2 v1∥v2 v2=kv1 x2=kx1,y2=ky1,z2=kz1,k為非零常數
l1∥α1 v1⊥n1 v1·n1=0 x1a1+y1b1+z1c1=0
α1∥α2 n1∥n2 n2=kn1 a2=ka1,b2=kb1,c2=kc1,k為非零常數
1.點在平面內的射影:過點P作平面α的垂線,則稱垂足P0為點P在平面α內的射影.
2.三垂線定理:如果平面內的一條直線與平面的一條斜線在這個平面內的射影垂
直,則它和這條斜線也垂直.可簡記為:垂直于射影,則垂直于斜線.
3.三垂線定理的逆定理:如果平面內的一條直線和這個平面的一條斜線垂直,則它
和這條斜線在平面內的射影也垂直.可簡記為:垂直于斜線,則垂直于射影.
3 | 三垂線定理及其逆定理
1.直線的方向向量和平面的法向量是唯一的嗎 若不唯一,直線的方向向量之間
的關系是怎樣的 平面的法向量之間的關系是怎樣的
直線的方向向量和平面的法向量不是唯一的,直線的不同的方向向量是共線向
量,平面的不同的法向量也是共線向量.
2.若直線l的方向向量為u,平面α的一個法向量為v,且u⊥v,那么l與α平行嗎
不一定.也可能滿足l在α內.
3.若直線l的一個方向向量為a,向量b∥平面α,向量c∥α,且a⊥b,a⊥c,則l與α有怎
樣的位置關系
當b與c不共線時,l⊥α;當b與c共線時,l與α的位置關系不確定.
4.若向量a⊥α,a∥β,則平面α,β有怎樣的位置關系
α⊥β.
知識辨析
1.利用向量法證明線線垂直的兩種思路
(1)坐標法:建立空間直角坐標系,將兩直線的方向向量用坐標表示出來,再證明其
數量積為0.
(2)基向量法:利用向量的線性運算,將要證明的兩條直線的方向向量用基向量表
示出來,再利用數量積運算證明兩方向向量的數量積為0.
2.利用向量法證明線面垂直的兩種思路
(1)求平面的法向量,然后證明直線的方向向量與平面的法向量平行.
(2)證明直線與平面內不共線的兩直線分別垂直,線線垂直則利用向量法證得.
3.利用向量法證明面面垂直的兩種思路
(1)證明一個平面過另一個平面的垂線,其實質是轉化為利用向量法證明線線
垂直.
(2)證明兩個平面的法向量互相垂直.
1 利用空間向量證明垂直關系
典例　在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是BB1,D1B1的中點,求證:EF⊥平面
B1AC.
證明 證法一:設 =a, =b, =c,連接BD,如圖,
則 = + = ( + ) = ( + )= ( + - )= (b+c-a), = +
=a+b,
∵ · = (-a+b+c)·(a+b)= (b2-a2+c·a+c·b)= (|b|2-|a|2+0+0)=0,∴ ⊥ ,即EF
⊥AB1.
同理可證EF⊥B1C.
又∵AB1∩B1C=B1,AB1,B1C 平面B1AC,
∴EF⊥平面B1AC.
證法二:設正方體的棱長為2a,建立如圖所示的空間直角坐標系,
則A(2a,0,0),C(0,2a,0),B1(2a,2a,2a),E(2a,2a,a),F(a,a,2a),
∴ =(-a,-a,a), =(0,2a,2a), =(-2a,2a,0).
∵ · =(-a,-a,a)·(0,2a,2a)=-a×0+(-a)×2a+a×2a=0,
· =(-a,-a,a)·(-2a,2a,0)=2a2-2a2+0=0,
∴EF⊥AB1,EF⊥AC.
又∵AB1∩AC=A,AB1,AC 平面B1AC,
∴EF⊥平面B1AC.
證法三:由證法二,得 =(-a,-a,a),
=(0,2a,2a), =(-2a,2a,0).
設平面B1AC的法向量為n=(x,y,z),
則 得 令y=1,則x=1,z=-1,∴n=(1,1,-1)為平面B1AC的一個
法向量,
∵ =-an,∴ ∥n,∴EF⊥平面B1AC.
1.利用向量法證明線線平行的兩種思路
(1)建立空間直角坐標系,利用向量平行的坐標表示證明兩直線的方向向量平行.
(2)用空間的一組基表示兩直線的方向向量,通過向量的線性運算,結合向量共線
的充要條件證明兩直線的方向向量平行.
2.利用向量法證明線面平行的三種思路
(1)設平面α外的直線l的方向向量為v,平面α的法向量為n,要證明l∥α,只需證明v
⊥n,即v·n=0即可.
(2)根據線面平行的判定定理,將線面平行轉化為線線平行,證明線線平行則可轉
化為證明兩直線的方向向量平行.
(3)根據平面向量基本定理,要證線面平行,則只需證明這條直線的方向向量能夠
用平面內的兩個不共線的向量線性表示即可.
2 利用空間向量證明平行關系
3.利用向量法證明面面平行的兩種思路
(1)先分別求出兩平面的法向量,再證明兩法向量平行.
(2)證明一個平面內有兩個不共線的向量平行于另一個平面,轉化為線面平行問題.
典例　在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別是CC1,B1C1的中點.求證:MN∥平面
A1BD.
思路點撥
證明 證法一:以D為坐標原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,1為單
位長度,建立空間直角坐標系.
設正方體的棱長為1,則D(0,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0),M ,N ,
∴ =(1,0,1), =(1,1,0), = .
設平面A1BD的法向量為n=(x,y,z),
則 取x=1,則y=-1,z=-1,
∴平面A1BD的一個法向量為n=(1,-1,-1).
∵ ·n= ·(1,-1,-1)=0,
∴ ⊥n,又∵MN 平面A1BD,
∴MN∥平面A1BD.
證法二: = - = - = ( - )= ,
∴ ∥ ,∴MN∥DA1,
又∵MN 平面A1BD,∴MN∥平面A1BD.
證法三: = - = - = - = ( + )- ( + )= -
.
根據平面向量基本定理可知,MN∥平面A1BD.
解決探索性問題的基本方法
(1)對于存在型問題,應先假設存在,把要成立的結論當作已知條件,據此列方程或
方程組,把“是否存在”問題轉化為“是否有解”或“是否有規定范圍內的解”
的問題.
(2)對于位置探究型問題,通常是借助向量,引入參數,綜合已知條件和結論列方程
或方程組,解出參數,從而確定位置.
3 利用空間向量解決立體幾何中的探索性問題
典例　如圖,正方形ADEF所在平面和等腰梯形ABCD所在的平面互相垂直,已
知BC=4,AB=AD=2.
(1)求證:AC⊥BF;
(2)在線段BE上是否存在一點P,使得平面PAC⊥平面BCEF 若存在,求出 的值;
若不存在,請說明理由.
解析 (1)證明:∵平面ADEF⊥平面ABCD,平面ADEF∩平面ABCD=AD,AF⊥AD,
AF 平面ADEF,∴AF⊥平面ABCD.
∵AC 平面ABCD,∴AF⊥AC.
過A作AH⊥BC于H,則BH=1,AH= ,CH=3,∴AC=2 ,∴AB2+AC2=BC2,∴AC⊥
AB.
∵AB∩AF=A,∴AC⊥平面FAB,
∵BF 平面FAB,∴AC⊥BF.
(2)由(1)知,AF,AB,AC兩兩垂直.
以A為坐標原點, , , 的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向,1為單位長度,
建立如圖所示的空間直角坐標系A-xyz,則A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2 ,0),E(-1, ,2).
假設在線段BE上存在一點P滿足題意,則易知點P不與點B,E重合,設 =λ,則λ>0,
P .
設平面PAC的法向量為m=(x,y,z).
又因為 = ,
=(0,2 ,0),
所以
即 令x=1,則z= ,
∴m= 為平面PAC的一個法向量.
同理,可求得n= 為平面BCEF的一個法向量.
當m·n=0,即1+ =0,即λ= 時,平面PAC⊥平面BCEF,
故存在滿足題意的點P,此時 = .

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