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第2章　空間向量與立體幾何
2.4　空間向量在立體幾何中的應(yīng)用
2.4.4　向量與距離
基礎(chǔ)過關(guān)練
　　　　　　　　　　　　　　　　
題組一　點到直線的距離
1.已知A(3,1,0),B(5,2,2),C(2,0,3),則點C到直線AB的距離為　(　　)
A.3 B. C.2 D.
2.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,點E是A1B1的中點,則點A到直線BE的距離是　(　　)
A. B. C. D.
題組二　點到平面的距離與直線到平面的距離
3.已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),D(1,1,2),則點D到平面ABC的距離為(　　)
A. B. C. D.
4.如圖,在正四棱錐P-ABCD中,O為底面中心,PO=AO=3,M為PO的中點,=2.
(1)求證:DM∥平面EAC;
(2)求直線DM到平面EAC的距離.
題組三　兩平行線間的距離
5.如圖,在棱長為1的正方體ABCD-A'B'C'D'中,已知E為CC'上一點,且2CE=EC',在平面CDD'C'內(nèi)作EF∥A'B,交C'D'于點F,則直線EF與A'B之間的距離為　　　　.
6.如圖,已知=(1,0,-1),=(-1,2,1),則以O(shè)A,OB為鄰邊的平行四邊形的兩條高的長度分別為　　　　.
題組四　兩平行平面間的距離
7.在空間直角坐標(biāo)系中,A(0,0,0),B(1,1,1),C(1,0,0),D(-1,2,1),其中A∈α,B∈α,C∈β,D∈β,已知平面α∥平面β,則平面α與平面β間的距離為(　　)
A. B. C. D.
8.如圖,已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,E,F,G分別為AB,BC,BB1的中點.
(1)求證:平面A1DC1∥平面EFG;
(2)求平面A1DC1與平面EFG間的距離.
能力提升練　　
題組　用空間向量求空間中的距離
1.已知△ABC的三個頂點分別為A(1,-1,2),B(5,-6,2),C(1,3,-1),則AC邊上的高BD的長等于(　　)
A.3 B.4 C.5 D.6
2.在如圖所示的幾何體中,AD⊥平面PDC,△PDC是等腰直角三角形,四邊形ABCD為平行四邊形,且PD=DC=AD=2,則點C到平面PAB的距離為(　　)
A.1 B. C. D.
3.(多選)在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中,A(-1,0,0),B(1,2,-2),C(0,0,-2),則(　　)
A.·=3
B.點B到平面AOC的距離是2
C.異面直線OC與AB所成角的余弦值為
D.點O到直線AB的距離是
4.如圖,在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中,P為A1D1的中點,Q為A1B1上任意一點,E,F為CD上的兩個動點,且EF的長為定值,則點Q到平面PEF的距離　(　　)
A.等于a
B.和EF的長度有關(guān)
C.等于a
D.和點Q的位置有關(guān)
5.如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是平行四邊形,∠ABC=45°,CF⊥BC,CF=BC=2,PA=PB,平面PAB⊥平面ABCD,E,F分別是PD,AB的中點.
(1)求證:EF∥平面PBC;
(2)若CE與平面PCF所成的角θ為30°,求點B到平面CEF的距離d.
答案與分層梯度式解析
第2章　空間向量與立體幾何
2.4　空間向量在立體幾何中的應(yīng)用
2.4.4　向量與距離
基礎(chǔ)過關(guān)練
1.D　易得=(2,1,2),=(-1,-1,3),所以=1.設(shè)點C到直線AB的距離為d,則d==.故選D.
2.B　如圖所示,建立空間直角坐標(biāo)系,
則B(0,0,0),A(0,2,0),E(0,1,2),
∴=(0,2,0),=(0,1,2),
設(shè)∠ABE=θ,則cos θ===,
∴sin θ==,
∴點A到直線BE的距離d=||sin θ=2×=.
3.A　依題意,=(-1,1,0),=(-1,0,1),=(0,1,2),
設(shè)平面ABC的法向量為n=(x,y,z),
則令x=1,得y=1,z=1,
則n=(1,1,1)為平面ABC的一個法向量,
則點D到平面ABC的距離d===,
所以點D到平面ABC的距離為.故選A.
4.解析　(1)證明:連接BD,則O為BD的中點,且AC⊥BD,
在正四棱錐P-ABCD中,PO⊥平面ABCD,AC,BD 平面ABCD,所以PO⊥AC,PO⊥BD,所以PO,AC,BD兩兩垂直.
以點O為坐標(biāo)原點,OA,OB,OP所在直線分別為x軸、y軸、z軸,1為單位長度,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
則A(3,0,0),C(-3,0,0),D(0,-3,0),M,E(0,2,1),所以=,=(6,0,0),=(-3,2,1),
設(shè)平面EAC的法向量為m=(x,y,z),
則取y=1,則x=0,z=-2,則m=(0,1,-2)為平面EAC的一個法向量,
因為·m=3-3=0,所以⊥m,又因為DM 平面EAC,所以DM∥平面EAC.
(2)由(1)知DM∥平面EAC,所以直線DM到平面EAC的距離即為點D到平面EAC的距離.由(1)知=(3,3,0),平面EAC的一個法向量為m=(0,1,-2),所以點D到平面EAC的距離d===.故直線DM到平面EAC的距離為.
5.答案　
解析　以A為坐標(biāo)原點,AB,AD,AA'所在直線分別為x軸、y軸、z軸,1為單位長度,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖,則A'(0,0,1),B(1,0,0),E,設(shè)F(t,1,1),所以=(1,0,-1),=,因為EF∥A'B,所以∥,所以存在實數(shù)k,使得=k,即=k(1,0,-1),所以解得t=,所以F,所以=,所以cos<,>==,所以sin<,>==,所以直線EF與A'B之間的距離為||·sin<,>=.
6.答案　2,
解析　設(shè)=a,=b,
易得a+b=(0,2,0),則(a+b)·a=0,所以(a+b)⊥a,所以以O(shè)A為底的高的長度為|a+b|=2.
cos===,
所以sin=,
所以以O(shè)B為底的高的長度為|a+b|sin=2×=.
7.A　由已知得=(1,1,1),=(-2,2,1),=(1,0,0),設(shè)向量n=(x,y,z)與向量,都垂直,則即取x=1,則y=3,z=-4,則n=(1,3,-4),
又因為平面α∥平面β,所以平面α與平面β間的距離d===.
故選A.
8.解析　(1)證明:連接AC,∵E是AB的中點,F是BC的中點,
∴EF∥AC.
在正方體ABCD-A1B1C1D1中,AA1 CC1,
∴四邊形ACC1A1是平行四邊形,
∴A1C1∥AC,∴EF∥A1C1,
又∵A1C1 平面A1DC1,EF 平面A1DC1,
∴EF∥平面A1DC1.
連接AB1,同理可得EG∥AB1∥DC1,可得EG∥平面A1DC1,
∵EF∩EG=E,EF,EG 平面EFG,
∴平面A1DC1∥平面EFG﹒
(2)如圖,以D為原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,1為單位長度,建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz,連接A1E.
則D(0,0,0),A1(2,0,2),C1(0,2,2),E(2,1,0),
∴=(2,0,2),=(0,2,2),=(0,1,-2),
設(shè)平面A1DC1的法向量為n=(x,y,z),
則 取x=1,則y=1,z=-1,則n=(1,1,-1)為平面A1DC1的一個法向量,
則平面A1DC1與平面EFG間的距離為==﹒
能力提升練
1.C　由題意得=(4,-5,0),=(0,4,-3),則直線AC的一個單位方向向量為u=,所以AC邊上的高BD的長即點B到AC的距離,為==5.故選C.
2.B　如圖,以D為原點,DC,DP,DA所在直線分別為x軸、y軸、z軸,1為單位長度,建立空間直角坐標(biāo)系,
則A(0,0,2),P(0,2,0),C(2,0,0),B(2,0,2),
則=(2,0,0),=(0,-2,2),=(0,0,2).
設(shè)平面PAB的法向量為n=(x,y,z),
則 令y=1,得x=0,z=1,故n=(0,1,1)為平面PAB的一個法向量,
則點C到平面PAB的距離d===,故選B.
3.BD　因為=(2,2,-2),=(0,0,-2),所以·=4,A錯誤;
在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中,結(jié)合A與C兩點的坐標(biāo)可知y軸與平面AOC垂直,所以n=(0,1,0)為平面AOC的一個法向量,則點B到平面AOC的距離是=2,B正確;
因為|cos<,>|==,所以異面直線OC與AB所成角的余弦值為,C錯誤;
因為=(-1,0,0),
所以=-,
所以點O到直線AB的距離是==,D正確.故選BD.
4.A　取B1C1的中點G,連接PG,CG,DP,則PG∥CD,所以點Q到平面PEF的距離即點Q到平面PGCD的距離.易知A1B1∥平面PGCD,所以點A1到平面PGCD的距離即點Q到平面PGCD的距離,即點Q到平面PEF的距離.
以點D為坐標(biāo)原點,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖,連接DA1,
則C(0,a,0),D(0,0,0),A1(a,0,a),P,∴=(0,a,0),=(a,0,a),=.
設(shè)n=(x,y,z)是平面PGCD的法向量,
由得令z=1,則x=-2,y=0,所以n=(-2,0,1)是平面PGCD的一個法向量.
所以點Q到平面PEF的距離d===,故選A.
5.解析　(1)證明:取PC的中點G,連接EG,BG,因為E是PD的中點,所以EG是三角形PCD的中位線,所以EG∥CD且EG=CD,又因為F是AB的中點,四邊形ABCD是平行四邊形,所以BF∥CD且BF=CD,故EG∥BF,EG=BF,所以四邊形BFEG是平行四邊形,所以EF∥BG,因為EF 平面PBC,BG 平面PBC,所以EF∥平面PBC.
(2)因為PA=PB,F是AB的中點,所以PF⊥AB,因為平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,所以PF⊥平面ABCD,因為CF,BC 平面ABCD,所以PF⊥CF,PF⊥BC,因為CF⊥BC,所以以F為坐標(biāo)原點,FC所在直線為x軸,過點F且平行于BC的直線為y軸,FP所在直線為z軸,1為單位長度,建立空間直角坐標(biāo)系,則F(0,0,0),B(2,-2,0),C(2,0,0),設(shè)P(0,0,m)(m>0),則E,=,=(2,0,0),=(0,2,0),易知平面PCF的一個法向量為n=(0,1,0),則|cos<,n>|=sin 30°===,解得m=2(負(fù)值舍去),則=(-3,2,),
設(shè)平面CEF的法向量為n1=(x,y,z),
則取z=1,則x=0,y=-,所以n1=為平面CEF的一個法向量,則d===.第2章　空間向量與立體幾何
2.4　空間向量在立體幾何中的應(yīng)用
2.4.3　向量與夾角
基礎(chǔ)過關(guān)練
　　　　　　　　　　　　　　　　
題組一　直線與直線的夾角
1.如圖,正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長相等,D為AA1的中點,則異面直線A1B與C1D所成的角為(　　)
A. B. C. D.
2.在四棱錐S-ABCD中,底面ABCD是邊長為2的正方形,頂點S在底面上的投影為底面的中心,側(cè)棱長為,點E為SB的中點,則異面直線AE與SD所成角的余弦值為　　　　.
題組二　直線與平面所成的角
3.已知平面α的一個法向量為n=(1,-1,0),則x軸與平面α所成角的大小為(　　)
A. B. C. D.
4.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為BB1的中點.
(1)求證:BC1∥平面AD1E;
(2)求直線AA1與平面AD1E所成角的正弦值.
題組三　兩個平面所成的角
5.《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著,它在幾何學(xué)中的研究比西方早一千多年,書中將四個面均為直角三角形的四面體稱為鱉臑.如圖,四面體P-ABC為鱉臑,PA⊥平面ABC,AB⊥BC,且PA=AB=1,BC=,則二面角A-PC-B的正弦值為　　　　.
6.如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1=1,AB⊥AC,D是棱BC的中點.
(1)求異面直線AB1與DC1所成角的余弦值;
(2)求平面B1AD與平面AC1D所成的角的余弦值.
能力提升練
題組　用空間向量求解與空間角有關(guān)的問題
1.在《九章算術(shù)》中,將四個面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑,在鱉臑A-BCD中,AB⊥平面BCD,BC⊥CD,且AB=BC=CD,M為AD的中點,則異面直線BM與CD所成角的余弦值為(　　)
A. B.
C. D.
2.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC為等邊三角形, AA1=AB,M是A1C1的中點,則AM與平面BCC1B1所成角的正弦值為(　　)
A. B.
C. D.-
3.在平面角為120°的二面角的棱上有A,B兩點,直線AC,BD分別在這個二面角的兩個半平面內(nèi),且都垂直于AB.已知AB=2,AC=3,BD=4,則CD的長為(　　)
A. B.
C. D.
4.(多選)已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,點M是棱A1D1的中點,點P在底面ABCD內(nèi)(包含邊界),且PM=,則(　　)
A.點P軌跡的長度為2π
B.直線MP與平面B1D1DB所成角的正弦值最大為
C.不存在P,使得MP⊥AC1
D.沿線段MP的軌跡將正方體ABCD-A1B1C1D1切去體積較小的部分,則剩余部分的體積為8-
5.如圖①,在△ABC中,AB⊥BC,且AB=2BC,將△ABC沿中位線EF折起,使得AE⊥BE,連接AB,AC,M為AC的中點,連接ME,MF(如圖②).
(1)證明:MF⊥平面ABC;
(2)求二面角E-MF-C的余弦值.
6.如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=2,D為BC的中點,平面BB1C1C⊥平面ABC.
(1)證明:AD⊥BB1;
(2)已知四邊形BB1C1C是邊長為2的菱形,且∠B1BC=60°,問在線段CC1上是否存在一點E,使得平面EAD與平面EAC的夾角的余弦值為 若存在,求出CE的長度,若不存在,請說明理由.
7.如圖,在四棱錐P-ABCD中,側(cè)面PAD是邊長為2的正三角形且與底面垂直,底面ABCD是菱形,且∠ABC=60°,M為棱PC上的動點,且=λ(λ∈[0,1]).
(1)求證:△PBC為直角三角形;
(2)試確定λ的值,使得平面PAD與平面ADM夾角的余弦值為.
答案與分層梯度式解析
第2章　空間向量與立體幾何
2.4　空間向量在立體幾何中的應(yīng)用
2.4.3　向量與夾角
基礎(chǔ)過關(guān)練
1.D　以C1為原點,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
設(shè)正三棱柱ABC-A1B1C1的棱長為2,則C1(0,0,0),D(2,0,1),A1(2,0,0),B(1,,2),
所以=(2,0,1),=(-1,,2),則·=2×(-1)+0×+1×2=0,所以異面直線A1B與C1D所成的角為.
故選D.
2.答案　
解析　設(shè)底面的中心為O,連接OS,OC.由底面ABCD是邊長為2的正方形,可得OC=,故OS==2.以O(shè)為原點,過點O且平行于AB的直線為x軸,過點O且平行于AD的直線為y軸,OS所在直線為z軸,1為單位長度,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz, 于是A(-1,-1,0),B(1,-1,0),S(0,0,2),D(-1,1,0),E,所以=,=(-1,1,-2).設(shè)異面直線AE與SD所成的角為θ,則cos θ=|cos<,>|==.故異面直線AE與SD所成角的余弦值為.
3.C　易知x軸的一個方向向量為m=(1,0,0),設(shè)x軸與平面α所成的角為θ,則sin θ===,因為θ∈,所以θ=,故選C.
4.解析　(1)證明:在正方體ABCD-A1B1C1D1中,AB∥A1B1且AB=A1B1,A1B1∥C1D1且A1B1=C1D1,
∴AB∥C1D1且AB=C1D1,
∴四邊形ABC1D1為平行四邊形,∴BC1∥AD1,
∵BC1 平面AD1E,AD1 平面AD1E,
∴BC1∥平面AD1E.
(2)以點A為坐標(biāo)原點,AD,AB,AA1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,1為單位長度,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,
設(shè)正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,則A(0,0,0),A1(0,0,2),D1(2,0,2),E(0,2,1),
則=(2,0,2),=(0,2,1),=(0,0,2),
設(shè)平面AD1E的法向量為n=(x,y,z),
由得
令z=-2,則x=2,y=1,則n=(2,1,-2)是平面AD1E的一個法向量.
設(shè)直線AA1與平面AD1E所成的角為θ,
則sin θ=|cos|===.
因此,直線AA1與平面AD1E所成角的正弦值為.
5.答案　
解析　根據(jù)題意建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,0),B(1,0,0),P(0,0,1),C(1,,0),
∴=(1,,0),=(0,0,1),=(0,,0),=(1,0,-1).設(shè)平面APC的法向量為n1=(x1,y1,z1),則∴
令y1=1,則x1=-,∴n1=(-,1,0)為平面APC的一個法向量.
設(shè)平面PBC的法向量為n2=(x2,y2,z2),
則∴
令x2=1,則z2=1,y2=0,∴n2=(1,0,1)為平面PBC的一個法向量.
設(shè)二面角A-PC-B的平面角為α,易知α為銳角,則cos α=|cos|===,
∴sin α==.
6.解析　(1)由題意知,AB,AC,AA1兩兩垂直.以A為原點,,,的方向分別為x,y,z軸的正方向,1為單位長度,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,
則A(0,0,0),B1(1,0,1),D,C1(0,1,1),
則=(1,0,1),=.
設(shè)異面直線AB1與DC1所成的角為θ,
則cos θ=|cos<,>|==,
所以異面直線AB1與DC1所成角的余弦值為.
(2)由(1)中所建坐標(biāo)系可得=,=(1,0,1),=(0,1,1).
設(shè)m=(x,y,z)為平面B1AD的法向量,
則所以
令x=1,則y=-1,z=-1,則m=(1,-1,-1)為平面B1AD的一個法向量,
設(shè)n=(x',y',z')為平面AC1D的法向量,
則所以
令x'=1,則y'=-1,z'=1,則n=(1,-1,1)為平面AC1D的一個法向量,
則cos===,
故平面B1AD與平面AC1D所成的角的余弦值為 .
易錯警示
　　要注意二面角與兩個平面所成的角的區(qū)別:二面角的取值范圍為[0,π];兩個平面相交會形成四個二面角,一般規(guī)定較小的二面角為兩個平面所成的角,故兩個平面所成的角的取值范圍為.
能力提升練
1.C　將四面體A-BCD補(bǔ)形成正方體,并建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系B-xyz,
設(shè)正方體的棱長為2,
則B(0,0,0),C(2,0,0),D(2,2,0),M(1,1,1),
∴=(1,1,1),=(0,2,0),
∴cos<,>===,
∵異面直線所成角的范圍為,∴異面直線BM與CD所成角的余弦值為.
2.B　如圖所示,取BC的中點D,B1C1的中點D1,連接AD,DD1,易知DA,DD1,DC兩兩垂直,以D為原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,1為單位長度,建立空間直角坐標(biāo)系,
不妨設(shè)AC=2,則D(0,0,0),A(,0,0),M,
所以=,易知平面BCC1B1的一個法向量為=(,0,0),
設(shè)AM與平面BCC1B1所成的角為α,
則sin α=|cos<,>|===,即AM與平面BCC1B1所成角的正弦值為.
故選B.
3.B　由已知可得·=0,·=0,<,>=60°,=++,
∴||2=(++)·(++)=||2+||2+||2+2·+2·+2·=32+22+42+2×3×4×=41,∴||=,即CD的長為.故選B.
4.BCD　取AD的中點N,連接MN,NP,則MN⊥平面ABCD,則MN⊥NP,因為MP=,MN=AA1=2,
所以NP==1,所以點P的軌跡是以N為圓心,1為半徑的圓位于正方形ABCD內(nèi)的部分,如圖,建立空間直角坐標(biāo)系,
則A(0,0,0),C(2,2,0),M(0,1,2),C1(2,2,2),
設(shè)P(cos θ,1+sin θ,0).
對于A,點P的軌跡的長度為×2×π×1=π,故A錯誤;
對于B,易知平面B1D1DB的一個法向量為=(2,2,0),又因為=(cos θ,sin θ,-2),所以cos <,>==sin≤,當(dāng)且僅當(dāng)θ=時,等號成立,故B正確;
對于C,=(2,2,2),·=2cos θ+2sin θ-4=2sin-4<0,所以不存在P,使得MP⊥AC1,故C正確;
對于D,易知切去部分為半圓錐,正方體體積V=23=8,切去部分的體積V1=××π×12×2=,故剩余部分的體積為8-,故D正確.
故選BCD.
5.解析　(1)證明:連接EC,設(shè)BC=2,則EF=1,AE=BE=2,AF=FC=,EC=2.
∵AE⊥EF,AE⊥BE,EF∩BE=E,
∴AE⊥平面BCFE,
∵EC 平面BCFE,∴AE⊥EC,
連接BM,BF,∵AC===2,BC=2,AB==2,
∴AC2=BC2+AB2,∴BC⊥AB,
∴BM=AC=,∵AF=FC,∴FM⊥AC,∴MF===,又∵BF===,
∴BF2=MF2+BM2,即MF⊥BM.
∵BM∩AC=M,∴MF⊥平面ABC.
(2)由題意知,AE,BE,EF兩兩垂直.以點E為坐標(biāo)原點,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
則E(0,0,0),C(2,2,0),M(1,1,1),F(0,1,0),
∴=(-1,0,-1),=(1,1,1),=(2,1,0),
設(shè)平面EMF的法向量為n=(x1,y1,z1),平面MFC的法向量為m=(x2,y2,z2),
則 令z1=-1,則x1=1,y1=0,則n=(1,0,-1)是平面EMF的一個法向量.
同理可得m=(1,-2,-1)為平面MFC的一個法向量,則cos===,
結(jié)合題圖可知二面角E-MF-C的平面角為鈍角,故二面角E-MF-C的余弦值為-.
易錯警示
　　由于兩個平面的法向量的夾角與二面角的平面角是相等或互補(bǔ)的關(guān)系,因此要注意結(jié)合圖形判斷所求二面角是銳二面角還是鈍二面角,避免出錯.
6.解析　(1)證明:∵AB=AC,且D為BC的中點,
∴AD⊥BC,
又∵平面BB1C1C⊥平面ABC,平面BB1C1C∩平面ABC=BC,AD 平面ABC,
∴AD⊥平面BB1C1C,
∵BB1 平面BB1C1C,
∴AD⊥BB1.
(2)假設(shè)存在點E滿足題意.
連接B1D,B1C,∵四邊形BB1C1C是邊長為2的菱形,且∠B1BC=60°,
∴△B1BC為等邊三角形.
∵D為BC的中點,
∴B1D⊥BC.
∵平面BB1C1C⊥平面ABC,平面BB1C1C∩平面ABC=BC,B1D 平面BB1C1C,
∴B1D⊥平面ABC,
∵AD 平面ABC,
∴B1D⊥AD,
∴B1D,AD,BC兩兩垂直.
以D為原點,BC,DA,DB1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,1為單位長度,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖.
則D(0,0,0),A(0,,0),C(1,0,0),C1(2,0,),∴=(1,0,),=(1,-,0),=(0,,0).
設(shè)=λ(0≤λ≤1),則=+=(1+λ,-,λ).
設(shè)平面EAD的法向量為n=(x,y,z),
則
令z=1+λ,則x=-λ,y=0,則n=(-λ,0,1+λ)為平面EAD的一個法向量.
設(shè)平面EAC的法向量為m=(x',y',z'),
則
令x'=,則y'=1,z'=-1,則m=(,1,-1)為平面EAC的一個法向量.
設(shè)平面EAD與平面EAC的夾角為θ,則cos θ===.
解得λ=(λ=-1舍去),故點E為CC1的中點,所以CE=1.
所以在線段CC1上存在點E滿足題意,且CE=1.
7.解析　(1)證明:取AD的中點O,連接OP,OC,AC,依題意可知△PAD,△ACD均為正三角形,所以O(shè)C⊥AD,OP⊥AD,又因為OC∩OP=O,OC 平面POC,OP 平面POC,所以AD⊥平面POC,
又因為PC 平面POC,所以AD⊥PC,因為BC∥AD,所以BC⊥PC,即∠PCB=90°,從而△PBC為直角三角形.
(2)由(1)可知OP⊥AD,又因為平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PO 平面PAD,所以PO⊥平面ABCD,又因為OC 平面ABCD,所以O(shè)C⊥PO,所以O(shè)C,PO,AD兩兩垂直.
以O(shè)為原點,建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,如圖所示,
則O(0,0,0),P(0,0,),A(0,-1,0),D(0,1,0),C(,0,0),所以=(,0,-).
由=λ=(λ,0,-λ)可得點M的坐標(biāo)為(λ,0,-λ),
所以=(λ,1,-λ),=(λ,-1,-λ),設(shè)平面ADM的法向量為n=(x,y,z),則即
令z=λ,得x=λ-1,y=0,則n=(λ-1,0,λ)為平面ADM的一個法向量,
顯然平面PAD的一個法向量為=(,0,0),
令|cos|===,
解得λ=或λ=-1(舍去),
所以當(dāng)λ=時,平面PAD與平面ADM夾角的余弦值為.(共37張PPT)
2.4.3　向量與夾角
2.4.4　向量與距離
空間角 向量求法 范圍
異面直線所成的角 設(shè)兩條異面直線所成的角為θ,它們的方向向量分別為v1,v2,則
cos θ=|cos|= (θ與相等或互補(bǔ))
直線與平面所成的角 設(shè)直線l與平面α所成的角為θ,l的方向向量為v,平面α的法向量
為n,則sin θ=|cos|=
兩個平面所成的角 設(shè)平面α,β所成的角為θ,平面α,β的法向量分別為n1,n2,則cos θ= |cos|= (θ與相等或互補(bǔ))
1 | 向量與夾角
說明 (1)當(dāng)直線與平面平行或直線在平面內(nèi)時,直線與平面所成的角為0;
(2)兩個平面相交會形成四個二面角,二面角的取值范圍為[0,π],一般規(guī)定較小的
二面角為兩個平面所成的角.兩個平面平行時,它們所成的角為0.
空間距離 向量求法
點到直線的距離
設(shè)直線l的方向向量為v,點P為l外一點,點A為l上任一點,則點P到l的距離d=
點到平面的距離 設(shè)n為平面α的法向量,點A為平面α內(nèi)任一點,則平面α外任一點P到平面α的距離d=
兩平行線間的距離 在平行直線m,n上分別任取一點A,P,設(shè)直線m的方向向量為v,則兩平行線m,n間的距離d= (也可轉(zhuǎn)化為點線距求解)
兩平行平面間的距離 在平行平面α,β上各取一點A,B,設(shè)平面α的法向量為n,則兩平行平面α,β之間的距離d= (也可轉(zhuǎn)化為點面距求解)
2 | 向量與距離
1.當(dāng)一條直線l與一個平面α的夾角為0°時,這條直線一定在平面內(nèi)嗎
不一定.這條直線可能與平面平行.
2.為什么求空間角的公式中都帶有絕對值
因為兩異面直線所成的角的范圍是 ,直線與平面所成的角、兩個平面所成
的角的范圍均是 ,而兩個向量的夾角的范圍是[0,π],所以用向量計算空間角
時應(yīng)加絕對值.
3.直線與平面所成的角α和該直線的方向向量與平面的法向量的夾角β一定互余嗎
不一定.當(dāng)直線的方向向量與平面的法向量的夾角β是鈍角時,α和β不互余,而是α
=β- .
知識辨析
4.當(dāng)直線與平面相交時,直線到平面的距離為0嗎
只有當(dāng)直線與平面平行時,才有直線到平面的距離.
5.若一條直線在某一平面外,則該直線上任一點到平面的距離d一定是一個正數(shù)嗎
不一定.直線在平面外時也可能與平面相交,當(dāng)直線與平面相交時,該說法不成立.
　　利用空間向量求空間角時,要注意空間角的范圍與向量夾角的范圍的區(qū)別.
1.兩異面直線所成角的向量求法
(1)基向量法:在一些不容易建立空間直角坐標(biāo)系的題中,我們經(jīng)常用基向量法求
解.求向量v1,v2的夾角時,先把v1,v2用同一組基向量表示出來,再利用向量的夾角公
式求解.
(2)坐標(biāo)法:找出或作兩條異面直線的方向向量,再利用向量夾角的坐標(biāo)公式計算
兩直線的方向向量的夾角.
2.直線與平面所成角的向量求法
法向量法:利用直線的方向向量和平面的法向量求直線與平面所成的角.
1 利用空間向量求空間角
3.求二面角的兩種方法
(1)基向量法:在圖形中找到與二面角的棱都垂直的兩條異面直線,利用向量的線
性運算法則對兩條直線的方向向量進(jìn)行轉(zhuǎn)化,求出兩方向向量的夾角,進(jìn)而求得
二面角的大小.
(2)法向量法:找出或作兩個半平面的法向量,應(yīng)用向量的夾角公式求解.
典例　如圖,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,AA1⊥平面ABCD,且AB=AD=2,AA1
= ,∠BAD=120°.
(1)求異面直線A1B與AC1所成角的余弦值;
(2)求二面角B-A1D-A的正弦值;
(3)求直線AC1與平面BA1D所成角的正弦值.
解析 在平面ABCD內(nèi),過點A作AE⊥AD,交BC于點E.
因為AA1⊥平面ABCD,AE,AD 平面ABCD,所以AA1⊥AE,AA1⊥AD,故AA1,AE,AD
兩兩垂直.
如圖,以A為原點, , , 的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向,1為單位長度,
建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz.
因為AB=AD=2,AA1= ,∠BAD=120°,
所以AE= ,BE=1.
則A(0,0,0),B( ,-1,0),D(0,2,0),E( ,0,0),A1(0,0, ),C1( ,1, ).
(1) =( ,-1,- ), =( ,1, ).
則cos< , >= = =- .
因此異面直線A1B與AC1所成角的余弦值為 .
(2)可知平面A1DA的一個法向量為 =( ,0,0).
設(shè)m=(x,y,z)為平面BA1D的法向量,
所以
又因為 =( ,-1,- ), =(- ,3,0),
所以
不妨取x=3,則y= ,z=2,所以m=(3, ,2)為平面BA1D的一個法向量,
從而cos< ,m>= = = .設(shè)二面角B-A1D-A的大小為θ,則|cos θ|= .
因為θ∈[0,π],所以sin θ= = .因此二面角B-A1D-A的正弦值為 .
(3)易知直線AC1的一個方向向量為 =( ,1, ),
設(shè)直線AC1與平面BA1D所成的角為φ,
則sin φ=|cos< ,m>|= = = ,因此直線AC1與平面BA1D所成角的
正弦值為 .
1.用向量法求點到直線的距離的兩種思路
(1)將求點到直線的距離問題轉(zhuǎn)化為求向量模的問題,過已知點作直線的垂線段,
利用待定系數(shù)法求出垂足的坐標(biāo),然后求出向量的模,這是求各種距離的通法.
(2)直接套用點線距公式求解.
2.用向量法求點面距的步驟
(1)求出平面的一個法向量;
(2)找出從已知點出發(fā)的平面的任一條斜線段對應(yīng)的向量;
(3)求出法向量與斜線段對應(yīng)向量的數(shù)量積的絕對值,再除以法向量的模,即可求
得點到平面的距離.
2 利用空間向量求空間距離
3.用向量法求線線距、線面距、面面距
(1)求線面距、面面距都可轉(zhuǎn)化為求點面距,求兩直線間的距離可轉(zhuǎn)化為求一條
直線上任一點到另一條直線的距離;
(2)求線線距、線面距、面面距的前提分別是線線、線面、面面平行.
典例　已知正方形ABCD的邊長為1,PD⊥平面ABCD,且PD=1,E,F分別為AB,BC
的中點.
(1)求點D到平面PEF的距離;
(2)求直線AC到平面PEF的距離.
思路點撥　思路一:求相關(guān)點到平面PEF的垂線段對應(yīng)的向量的模.
思路二:求出平面PEF的法向量,利用點到平面的距離公式求解.
解析 解法一:(1)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
則D(0,0,0),P(0,0,1),A(1,0,0),E ,F ,
∴ = , = , =(0,0,1), = , = .
作DH⊥平面PEF,垂足為H,連接DE,DF,則 =x +y +z =
,其中x+y+z=1.①
易知 · =x+ y+ -z= x+y-z=0,②
· = + x+y-z=x+ y-z=0,③
由①②③解得x=y= ,z= .
∴ = ,∴| |= .
因此,點D到平面PEF的距離為 .
(2)易知AC∥平面PEF,∴直線AC到平面PEF的距離即點A到平面PEF的距離.作
AH'⊥平面PEF,垂足為H',則 ∥ .
由(1)知 = ,
∴設(shè) =λ(2,2,3)=(2λ,2λ,3λ)(λ≠0),連接EH',則 = + = +(2λ,2λ,
3λ)= .
易知 · =4λ2+4λ2-λ+9λ2=0,∴λ= .
∴ = ,| |= .
∴直線AC到平面PEF的距離為 .
解法二:同解法一中建立的空間直角坐標(biāo)系.
(1)易知 = , = , = .
設(shè)平面PEF的法向量為n=(x,y,z),
則 解得
令x=2,則y=2,z=3,則n=(2,2,3)為平面PEF的一個法向量,
∴點D到平面PEF的距離d= = = .
(2)易知AC∥平面PEF,
∴直線AC到平面PEF的距離即點A到平面PEF的距離.
又∵ = ,
∴點A到平面PEF的距離d= = = .
∴直線AC到平面PEF的距離為 .
利用空間向量解決與夾角、距離有關(guān)的探索性問題的解題步驟
(1)假設(shè)存在(或結(jié)論成立);
(2)建立空間直角坐標(biāo)系,得到相關(guān)點的坐標(biāo);
(3)得到有關(guān)向量的坐標(biāo);
(4)利用空間角、空間距離的計算公式列關(guān)系式求解;
(5)根據(jù)解的情況做出判斷.
3 利用空間向理解決與夾角、距離有關(guān)的探索性問題
典例1　如圖,在三棱錐P-ABC中,底面ABC是正三角形,AB=2PA=4,PA⊥底面
ABC,點E,F分別為AC,PC的中點.

(1)求證:平面BEF⊥平面PAC;
(2)在線段PB(不含端點)上是否存在點G,使得平面EFG與平面PBC夾角的正弦值
為 若存在,確定點G的位置;若不存在,請說明理由.
思路點撥 (1)利用面面垂直的判定定理證明.
(2)建系,利用點G在線段PB上設(shè)出點G的坐標(biāo),求出兩個平面的法向量,根據(jù)已知
條件求解方程,方程有解則存在,無解則不存在.
解析 (1)證明:∵底面ABC是正三角形,∴AB=BC,又∵E為AC的中點,∴BE⊥AC.
∵PA⊥平面ABC,BE 平面ABC,
∴PA⊥BE.
∵PA∩AC=A,PA,AC 平面PAC,
∴BE⊥平面PAC,
又∵BE 平面BEF,∴平面BEF⊥平面PAC.
(2)不存在.理由如下:
易知PA⊥BE,PA⊥AC.
∵點E,F分別為AC,PC的中點,
∴EF∥PA,
∴EF⊥BE,EF⊥AC,又∵BE⊥AC,
∴EB,EC,EF兩兩垂直,以E為原點, , , 的方向分別為x,y,z軸的正方向,1為
單位長度,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則A(0,-2,0),P(0,-2,2),B(2 ,0,0),C(0,2,0),E(0,0,0),F(0,0,1),
∴ =(-2 ,-2,2), =(0,0,1), =(-2 ,2,0), =(0,4,-2),
設(shè) =λ =(-2 λ,-2λ,2λ)(0<λ<1),
∴G(2 -2 λ,-2λ,2λ),
∴ =(2 -2 λ,-2λ,2λ).
設(shè)平面EFG的法向量為m=(a,b,c),
則 即
令a=λ,則b= (1-λ),∴m=(λ, - λ,0)是平面EFG的一個法向量.
設(shè)平面PBC的法向量為n=(x,y,z),
則 即 令x=1,則y= ,z=2 ,∴n=(1, ,2 )是平面PBC
的一個法向量.
由|cos|= =
= = ,得λ=1,
又∵λ∈(0,1),
∴在線段PB(不含端點)上不存在點G,使得平面EFG與平面PBC夾角的正弦值為
.
典例2　如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是邊長為2的正方形,PB⊥BC,PD⊥
CD,且PA=2,E為PD的中點.

(1)求證:PA⊥平面ABCD;
(2)求PC與平面ACE所成角的正弦值;
(3)在線段BC上是否存在點F,使得點E到平面PAF的距離為 若存在,確定點F
的位置;若不存在,請說明理由.
思路點撥
(1)分別證明BC⊥平面PAB,CD⊥平面PAD,可得出PA⊥BC,PA⊥CD,再利用線面
垂直的判定定理可證得結(jié)論成立.
(2)結(jié)合(1)中結(jié)論建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法可求得結(jié)果.
(3)假設(shè)存在滿足題意的點F,且F(2,t,0)(0≤t≤2),利用向量法得出關(guān)于t的方程,解
方程即可得出結(jié)論.
解析 (1)證明:∵四邊形ABCD為正方形,
∴BC⊥AB,CD⊥AD.
∵PB⊥BC,BC⊥AB,PB∩AB=B,
∴BC⊥平面PAB.
∵PA 平面PAB,
∴PA⊥BC.
∵PD⊥CD,CD⊥AD,PD∩AD=D,
∴CD⊥平面PAD.
∵PA 平面PAD,∴PA⊥CD.
∵BC∩CD=C,∴PA⊥平面ABCD.
(2)由(1)知PA⊥平面ABCD,AB⊥AD,∴以點A為坐標(biāo)原點,AB,AD,AP所在直線分
別為x軸、y軸、z軸,1為單位長度,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則A(0,0,0),C(2,2,0),P(0,0,2),E(0,1,1),∴ =(2,2,0), =(0,1,1), =(2,2,-2).
設(shè)平面ACE的法向量為m=(x,y,z),
則 取y=1,則x=-1,z=-1,∴m=(-1,1,-1)是平面ACE的一個法向量.
cos= = = ,
∴PC與平面ACE所成角的正弦值為 .
(3)假設(shè)存在滿足題意的點F,且F(2,t,0)(0≤t≤2).
易得 =(2,t,0), =(0,0,2), =(0,1,1).
設(shè)平面PAF的法向量為n=(a,b,c),
則
取a=t,則b=-2,c=0,
∴n=(t,-2,0).
∴點E到平面PAF的距離為 = = ,∴t=1.
∴當(dāng)點F為線段BC的中點時,點E到平面PAF的距離為 .
素養(yǎng)　通過對空間向量與立體幾何的研究發(fā)展直觀想象和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)
素養(yǎng)解讀
　　在立體幾何的學(xué)習(xí)中,要逐步建立空間觀念,能借助幾何直觀和空間想象感
知圖形的特征和變化,對空間圖形進(jìn)行分解和組合,能夠判斷并證明空間中點、
線、面的位置關(guān)系.
在立體幾何的綜合題目中,會涉及線面平行與垂直、空間角、空間距離等,求解
思路一般是把這些立體幾何問題通過向量轉(zhuǎn)化為代數(shù)計算,所以熟練準(zhǔn)確地運算
是解題的基本要求,在平時的學(xué)習(xí)中要加強(qiáng)運算能力的訓(xùn)練,養(yǎng)成良好的運算習(xí)
慣.
例題　《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著,它在幾何學(xué)中的研究比西方早1 000
多年.在《九章算術(shù)》中,將底面為直角三角形,且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為
塹堵(qiàn dǔ);將底面為矩形,一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為陽馬;將四個面均
為直角三角形的四面體稱為鱉臑(biē nào).如圖,在塹堵ABC-A1B1C1中,AB⊥AC.

(1)求證:四棱錐B-A1ACC1為陽馬;
(2)若C1C=BC=2,當(dāng)鱉臑C1-ABC的體積最大時,求平面A1BC與平面A1BC1夾角的余
弦值.
主編點評 此題背景取自我國古代數(shù)學(xué)典籍,彰顯了我國古代數(shù)學(xué)文化,但這并
不意味著試題難度增加.題目對“塹堵”“陽馬”“鱉臑”這三個生僻詞進(jìn)行了
典例呈現(xiàn)
定義解釋,可以通過定義掌握空間幾何體的結(jié)構(gòu)特點,再結(jié)合不等式及空間角的
求解公式解決問題,注重培養(yǎng)信息整理、應(yīng)用的能力.
解題思路 (1)證明:易知A1A⊥平面ABC,AB 平面ABC,
∴A1A⊥AB.
又∵AB⊥AC,A1A∩AC=A,
∴AB⊥平面ACC1A1.
又易知四邊形ACC1A1為矩形,
∴四棱錐B-A1ACC1為陽馬.
(2)∵AB⊥AC,BC=2,∴AB2+AC2=4.
易知C1C⊥底面ABC,且C1C=2,
∴ = ·C1C· AB·AC= ·AB·AC≤ · = ,當(dāng)且僅當(dāng)AB=AC= 時,等
號成立.
以A為坐標(biāo)原點,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則B( ,0,0),C(0, ,0),A1(0,0,2),C1(0, ,2),∴ =( ,0,-2), =(- , ,0), =
(0, ,0).
設(shè)平面A1BC的法向量為n1=(x1,y1,z1),
則 即
令x1= ,則y1= ,z1=1,
故平面A1BC的一個法向量為n1=( , ,1).
同理,平面A1BC1的一個法向量為n2=( ,0,1).
∵|cos|= = = ,
∴平面A1BC與平面A1BC1夾角的余弦值為 .
思維升華
　　我們可以通過對實物進(jìn)行觀察、動手畫立體圖形的直觀圖、制作一些幾何
模型來感受空間中點、線、面的位置關(guān)系,也可以借助多媒體等觀察立體圖形的
動態(tài)變化過程,培養(yǎng)空間感,從而提高空間想象能力.
實際解題過程中,當(dāng)圖形垂直特征明顯,坐標(biāo)易求時,優(yōu)先選擇用坐標(biāo)法解決立體
幾何問題,此種方法思路簡單,解法固定,操作方便.特別是在處理探索性問題時,坐
標(biāo)法更具備優(yōu)勢,需要熟練掌握.

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