資源簡(jiǎn)介

第3章　概率
3.1　條件概率與事件的獨(dú)立性
3.1.1　條件概率
基礎(chǔ)過關(guān)練
　　　　　　　　　　　　　　　　
題組一　利用定義求條件概率
1.某中學(xué)開展主題為“學(xué)習(xí)憲法知識(shí),弘揚(yáng)憲法精神”的知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng),甲同學(xué)答對(duì)第一道題的概率為,連續(xù)答對(duì)兩道題的概率為.用A表示“甲同學(xué)答對(duì)第一道題”,B表示“甲同學(xué)答對(duì)第二道題”,則P(B|A)=(　　)
A. B. C. D.
2.在5道試題中有2道代數(shù)題和3道幾何題,每次從中抽出1道題,抽出的題不再放回,則在第1次抽到代數(shù)題的條件下,第2次抽到幾何題的概率為(　　)
A. B. C. D.
3.為落實(shí)“雙減”政策,某校在課后服務(wù)時(shí)間開展了豐富多彩的興趣小組活動(dòng),其中有2個(gè)課外興趣小組聯(lián)合制作了一個(gè)質(zhì)地均勻的正十二面體模型,并在十二個(gè)面上分別雕刻了十二生肖的圖案,2個(gè)興趣小組各派一名成員將模型隨機(jī)拋出,兩人都希望能拋出虎的圖案(虎的圖案朝上),寓意虎虎生威.2人各拋一次,則在第一人拋出虎的圖案時(shí),兩人意愿均能達(dá)成的概率為(　　)
A. B. C. D.
4.(多選)設(shè)A,B是兩個(gè)事件,若B發(fā)生時(shí)A必定發(fā)生,且0A.P(A+B)=P(B)
B.P(B|A)=
C.P(A|B)=1
D.P(AB)=P(A)
5.已知甲盒中有3個(gè)白球,2個(gè)黑球;乙盒中有1個(gè)白球,2個(gè)黑球.現(xiàn)從這8個(gè)球中隨機(jī)選取一球,該球是白球的概率是　　　　,若選出的球是白球,則該球選自甲盒的概率是　　　　.
6.某校高三(1)班有學(xué)生40人,其中共青團(tuán)員有15人.全班平均分成4個(gè)小組,其中第一組有共青團(tuán)員4人.從該班任選一人作為學(xué)生代表.
(1)求選到的是第一組的學(xué)生的概率;
(2)已知選到的是共青團(tuán)員,求他是第一組學(xué)生的概率.
題組二　用樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)求條件概率
7.盒中有10個(gè)零件,其中8個(gè)是合格品,2個(gè)是不合格品,不放回地抽取2次,每次抽1個(gè).已知第一次抽到的是合格品,則第二次抽到的也是合格品的概率是(　　)
A. B. C. D.
8.中秋節(jié)吃月餅是我國的傳統(tǒng)習(xí)俗,若一盤中共有兩種月餅,其中5塊五仁月餅,6塊棗泥月餅,現(xiàn)從盤中任取3塊,在取到的都是同種月餅的條件下,都是五仁月餅的概率是(　　)
A. B. C. D.
9.已知n是一個(gè)三位正整數(shù),若n的十位數(shù)字大于個(gè)位數(shù)字,百位數(shù)字大于十位數(shù)字,則稱n為三位遞增數(shù).已知a,b,c∈{0,1,2,3,4},設(shè)事件A為“由a,b,c組成三位正整數(shù)”,事件B為“由a,b,c組成三位遞增數(shù)”,則P(B|A)=(　　)
A. B. C. D.
10.6位同學(xué)參加百米短跑比賽,賽場(chǎng)共有6條跑道,已知甲同學(xué)排在第一跑道,則乙同學(xué)排在第二跑道的概率是　　　　.
11.田忌賽馬的故事出自《史記》中的《孫子吳起列傳》.齊國的大將田忌很喜歡賽馬,有一次,他和齊威王約定要進(jìn)行一場(chǎng)比賽.雙方各自有三匹馬,馬都可以分為上、中、下三等.上等馬都比中等馬強(qiáng),中等馬都比下等馬強(qiáng),但是齊威王每個(gè)等級(jí)的馬都比田忌相應(yīng)等級(jí)的馬強(qiáng)一些,比賽共三局,每局雙方各派一匹馬出場(chǎng),且每匹馬只賽一局,勝兩局或三局的一方獲得比賽勝利,在比賽之前,雙方都不知道對(duì)方馬的出場(chǎng)順序.
(1)求在第一局比賽中田忌獲勝的概率;
(2)若第一局齊威王派出場(chǎng)的是上等馬,而田忌派出場(chǎng)的是下等馬,求本場(chǎng)比賽田忌獲勝的概率;
(3)寫出在一場(chǎng)比賽中田忌獲勝的概率(直接寫出結(jié)果).
題組三　條件概率的綜合應(yīng)用
12.從集合{-3,-2,-1,1,2,3,4}中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)記為m,從集合{-2,-1,2,3,4}中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)記為n,則在方程+=1表示雙曲線的條件下,方程+=1表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的概率為(　　)
A. B. C. D.
13.某校對(duì)初三畢業(yè)生的成績(jī)進(jìn)行抽樣調(diào)查得到下表:
樣本 人數(shù) 語文成績(jī)A等 的人數(shù) 英語成績(jī)A等 的人數(shù) 語文和英語成績(jī)都是A 等的人數(shù)
1 000 880 836 748
用樣本頻率來估計(jì)概率,現(xiàn)隨機(jī)抽取一位初三畢業(yè)生進(jìn)行調(diào)查,若該生的語文成績(jī)不是A等,那么他的英語成績(jī)是A等的概率為(　　)
A. B. C. D.
14.在一個(gè)袋子中裝有10個(gè)球,其中1個(gè)紅球,2個(gè)黃球,3個(gè)黑球,4個(gè)白球,這些球除顏色外完全相同,從中依次摸出2個(gè)球,則在摸出的第一個(gè)球?yàn)榧t球的條件下,摸出的第二個(gè)球?yàn)辄S球或黑球的概率為　　　　.
15.某險(xiǎn)種的基本保費(fèi)為a(單位:元),繼續(xù)購買該險(xiǎn)種的投保人稱為續(xù)保人,續(xù)保人本年度的保費(fèi)與其上年度出險(xiǎn)次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下:
上年度 出險(xiǎn)次數(shù) 0 1 2 3 4 ≥5
保費(fèi) 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a
設(shè)該險(xiǎn)種一續(xù)保人一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)與相應(yīng)概率如下:
一年內(nèi) 出險(xiǎn)次數(shù) 0 1 2 3 4 ≥5
概率 0.3 0.15 0.2 0.2 0.1 0.05
(1)求該續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)的概率;
(2)已知該續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi),求其保費(fèi)比基本保費(fèi)高出60%的概率.
16.某學(xué)校為進(jìn)一步規(guī)范校園管理,強(qiáng)化飲食安全,提出了“遠(yuǎn)離外賣,健康飲食”的口號(hào).當(dāng)然,也需要學(xué)校食堂能提供安全豐富的菜品來滿足同學(xué)們的需求.在某學(xué)期期末,校學(xué)生會(huì)為了調(diào)研學(xué)生對(duì)本校食堂的用餐滿意度,從用餐的學(xué)生中隨機(jī)抽取了200人,每人分別對(duì)其評(píng)分,滿分為100分.隨后整理評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù),將得分分成6組:第1組[40,50),第2組[50,60),第3組[60,70),第4組[70,80),第5組[80,90),第6組[90,100],得到頻率分布直方圖如圖.
(1)求得分的中位數(shù)(計(jì)算結(jié)果精確到小數(shù)點(diǎn)后一位);
(2)為進(jìn)一步改善經(jīng)營,從得分在80分以下的四組中,采用分層抽樣的方法抽取8人進(jìn)行座談,再從這8人中隨機(jī)抽取3人參與“端午節(jié)包粽子”實(shí)踐活動(dòng),求在第3組僅抽到1人的情況下,第4組抽到2人的概率.
答案與分層梯度式解析
第3章　概率
3.1　條件概率與事件的獨(dú)立性
3.1.1　條件概率
基礎(chǔ)過關(guān)練
1.D　由題意,可知事件AB表示“甲同學(xué)連續(xù)答對(duì)兩道題”,且P(AB)=,P(A)=,∴P(B|A)===.故選D.
2.D　設(shè)事件A:第1次抽到代數(shù)題,事件B:第2次抽到幾何題,
則P(A)=,P(AB)==,所以P(B|A)===.故選D.
方法總結(jié)
　　利用定義計(jì)算條件概率時(shí),可先分別計(jì)算概率P(AB)和P(A),然后代入公式P(B|A)=.
3.A　設(shè)第一人拋出虎的圖案為事件A,第二人拋出虎的圖案為事件B,
則P(A)==,P(AB)==,
所以P(B|A)===,
即在第一人拋出虎的圖案時(shí),兩人意愿均能達(dá)成的概率為 ,故選A.
4.ABD　若B發(fā)生時(shí)A必定發(fā)生,則P(A+B)=P(A),P(AB)=P(B),故A,D錯(cuò)誤;
P(B|A)==,故B錯(cuò)誤;P(A|B)===1,故C正確.故選ABD.
5.答案　;
解析　設(shè)事件A:選出的球?yàn)榘浊?事件B:該球選自甲盒,所以P(A)==,P(AB)=,
若選出的球是白球,則該球選自甲盒的概率是P(B|A)===.
6.解析　設(shè)事件A表示“選到的是第一組的學(xué)生”,
事件B表示“選到的是共青團(tuán)員”.
(1)由題意,知P(A)==.
(2)易知P(B)==,P(AB)==,
∴P(A|B)==.
7.C　設(shè)“第一次抽到的是合格品”為事件A,“第二次抽到的是合格品”為事件B,“第一次抽到的是合格品,且第二次抽到的也是合格品”為事件AB,
則P(B|A)====,故選C.
8.C　記事件A:取到的都是同種月餅,事件B:取到的都是五仁月餅,則n(A)=+=30,n(AB)==10,所以P(B|A)===.故選C.
9.B　因?yàn)閍,b,c∈{0,1,2,3,4},
所以由a,b,c組成的三位數(shù)有4×5×5=100個(gè),即n(A)=100.
其中滿足遞增數(shù)的有以下三類:
①當(dāng)百位為2時(shí),有1個(gè);
②當(dāng)百位為3時(shí),有=3個(gè);
③當(dāng)百位為4時(shí),有=6個(gè),
所以n(AB)=1+3+6=10.
因此P(B|A)===.故選B.
10.答案　
解析　記事件A:甲排在第一跑道,事件B:乙排在第二跑道,則P(B|A)===.
11.解析　將田忌的三匹馬按照上、中、下三等分別記為T1,T2,T3,齊威王的三匹馬按照上、中、下三等分別記為W1,W2,W3,并且用馬的記號(hào)表示該馬上場(chǎng)比賽.
(1)設(shè)事件A=“在第一局比賽中田忌勝利”,
由題意得第一場(chǎng)比賽的樣本空間Ω={T1W1,T1W2,T1W3,T2W1,T2W2,T2W3,T3W1,T3W2,T3W3},A={T1W2,T1W3,T2W3},則在第一局比賽中田忌獲勝的概率P(A)==.
(2)設(shè)事件B=“第一局齊威王派出場(chǎng)的是上等馬,而田忌派出場(chǎng)的是下等馬”,
事件C=“田忌獲得本場(chǎng)比賽的勝利”,
由題意得B={(T3W1,T1W2,T2W3),(T3W1,T1W3,T2W2),(T3W1,T2W2,T1W3),(T3W1,T2W3,T1W2)},
BC={(T3W1,T1W2,T2W3),(T3W1,T2W3,T1W2)},
則本場(chǎng)比賽田忌獲勝的概率是P(C|B)==.
(3).
技巧點(diǎn)撥
　　在求概率時(shí),若利用排列組合知識(shí)計(jì)算樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)較為困難時(shí),常直接利用枚舉法逐一列出所有樣本點(diǎn).
12.A　設(shè)事件A為“方程+=1表示雙曲線”,事件B為“方程+=1表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線”,由題意得,P(A)==,P(AB)==,則P(B|A)==.故選A.
13.A　設(shè)事件A1為“該生的語文成績(jī)是A等”,A2為“該生的英語成績(jī)是A等”,則n(A2)=88,n()=120,
所以P(A2|)===.故選A.
14.答案　
解析　設(shè)“摸出的第一個(gè)球?yàn)榧t球”為事件A,“摸出的第二個(gè)球?yàn)辄S球”為事件B,“摸出的第二個(gè)球?yàn)楹谇颉睘槭录﨏.
解法一:P(A)=,P(AB)==,P(AC)==.∴P(B|A)====,
P(C|A)===.
∴P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)=+=.
∴所求的條件概率為.
解法二:∵n(A)=1×=9,n(AB∪AC)=+=5,
∴P(B∪C|A)==.
∴所求的條件概率為.
規(guī)律總結(jié)
　　利用公式P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)可使條件概率的計(jì)算變得簡(jiǎn)單,但應(yīng)注意這個(gè)性質(zhì)的使用前提是“B與C互斥”.
15.解析　(1)設(shè)A表示事件“該續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)”,
則事件A發(fā)生即一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于1,
故P(A)=0.2+0.2+0.1+0.05=0.55.
(2)設(shè)B表示事件“該續(xù)保人本年度的保費(fèi)比基本保費(fèi)高出60%”,
則事件B發(fā)生即一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于3,
故P(B)=0.1+0.05=0.15.
易知P(AB)=P(B),
故P(B|A)====.
16.解析　(1)由0.05+0.05+0.10+0.15+0.45+10a=1,得a=0.020.
設(shè)得分的中位數(shù)為x,易知80≤x<90,
則0.05+0.05+0.10+0.20+(x-80)×0.045=0.5,得x≈82.2.
所以得分的中位數(shù)約為82.2.
(2)第1,2,3,4組的人數(shù)分別為10,10,20,40,
從第1,2,3,4組采用分層抽樣的方法抽取8人,
則從第1,2,3,4組應(yīng)分別抽取的人數(shù)為1,1,2,4.
從8人中抽取3人,記第3組僅抽到1人為事件A,第4組抽到2人為事件B,
則P(B|A)==.
即在第3組僅抽到1人的情況下,第4組抽到2人的概率為.(共9張PPT)

知識(shí)點(diǎn)1　條件概率
1.定義:如果事件A,B是兩個(gè)隨機(jī)事件,且P(A)>0,則在事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)
生的概率叫作條件概率,記為P(B|A).
2.性質(zhì):(1)P(B|A)∈[0,1];
(2)如果B與C為兩個(gè)互斥事件,那么P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A).
3.公式:一般地,在事件A發(fā)生的條件下,事件B發(fā)生的條件概率為P(B|A)=
(P(A)>0).
3.1　條件概率與事件的獨(dú)立性
3.1.1　條件概率
1 | 條件概率
可利用縮小樣本空間的方法計(jì)算條件概率(局限于古典概型),即將原來的樣本空間Ω縮小為已知的事件A,原來的事件B縮小為AB,利用古典概型知識(shí)計(jì)算條件概率:P(B|A)= (n(A)與n(AB)分別表示事件A與AB中的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)).
2 | 由古典概型知識(shí)求條件概率
1.P(A|B)與P(AB)中事件的區(qū)別是什么
區(qū)別是事件A,B的發(fā)生有時(shí)間上的差異,在P(A|B)中,事件A要在事件B發(fā)生的條件下發(fā)生,而在P(AB)中,事件A,B同時(shí)發(fā)生.P(A|B)與P(AB)中事件包含的樣本點(diǎn)是相同的.
2.P(B|A)=P(AB)嗎
不一定.P(B|A)中事件的樣本空間為A,相對(duì)于原來的總空間而言,一般是縮小的,而
P(AB)中事件的樣本空間不變,故該等式不一定成立.
3.P(B|A)和P(A|B)相同嗎
不一定相同.P(B|A)和P(A|B)表示的意義不同,計(jì)算公式也不同,一般情況下,二者不相同.
知識(shí)辨析
利用公式求條件概率P(B|A)的步驟
(1)分析題意,弄清概率模型;
(2)計(jì)算P(A),P(AB);
(3)代入公式P(B|A)= (P(A)>0)求解.
1 利用公式求條件概率
典例　一個(gè)口袋內(nèi)裝有2個(gè)白球和2個(gè)黑球,那么:
(1)先摸出1個(gè)白球不放回,再摸出1個(gè)白球的概率是多少
(2)先摸出1個(gè)白球后放回,再摸出1個(gè)白球的概率是多少
解析 (1)設(shè)“先摸出1個(gè)白球不放回”為事件A,“再摸出1個(gè)白球”為事件B,則
“先后兩次摸出白球”為事件AB,“先摸1個(gè)球不放回,再摸1個(gè)球”共有4×3=12
種結(jié)果,
∴P(AB)= = ,
又∵P(A)= = ,
∴P(B|A)= = = .
(2)設(shè)“先摸出1個(gè)白球后放回”為事件C,“再摸出1個(gè)白球”為事件D,則“兩次
都摸出白球”為事件CD,“先摸1個(gè)球后放回,再摸1個(gè)球”共有4×4=16種結(jié)果,
∴P(CD)= = ,
又∵P(C)= = ,
∴P(D|C)= = = .
易錯(cuò)警示 本題為取球模型,在取球模型的概率計(jì)算中,要特別注意是有放回摸
取還是不放回摸取,是分多次取還是一次性取.
在事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生即積事件AB發(fā)生,要求P(B|A),相當(dāng)于把A看
作樣本空間,計(jì)算事件A及AB中包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù),進(jìn)而求得積事件AB發(fā)生的概
率,即P(B|A)= .
2 由樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)求條件概率
典例　在5道選擇題中有3道單選題和2道多選題,如果不放回地依次抽取2道題,求:
(1)第1次抽到單選題的概率;
(2)第1次和第2次都抽到單選題的概率;
(3)在第1次抽到單選題的條件下,第2次抽到單選題的概率.
解析 設(shè)第1次抽到單選題為事件A,第2次抽到單選題為事件B,則第1次和第2次
都抽到單選題為事件AB.
(1)從5道題中不放回地依次抽取2道題的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為 =20.
事件A包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為 × =12.
故P(A)= = .
(2)事件AB包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為 =6,
所以P(AB)= = .
(3)由(1)(2)可知n(AB)=6,n(A)=12,
所以P(B|A)= = = .

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