資源簡介

第3章　概率
3.1　條件概率與事件的獨(dú)立性
3.1.2　事件的獨(dú)立性
3.1.3　乘法公式
　　　　　　　　　　　　　　　　
題組一　事件獨(dú)立性的判斷
1.拋擲兩枚硬幣,設(shè)事件A=“第一枚正面朝上”,B=“第二枚反面朝上”,則(　　)
A.事件A和B互斥
B.事件A和B互相對(duì)立
C.事件A和B相互獨(dú)立
D.事件A和B相等
2.現(xiàn)有6個(gè)相同的球,分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6,從中有放回地隨機(jī)取兩次,每次取1個(gè)球.記A事件為“第一次取出的球的數(shù)字是3”,B事件為“第二次取出的球的數(shù)字是2”,C事件為“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”,D事件為“兩次取出的球的數(shù)字之和是6”,則(　　)
A.A與C相互獨(dú)立
B.A與D相互獨(dú)立
C.B與D相互獨(dú)立
D.C與D相互獨(dú)立
3.(多選)拋擲一個(gè)骰子,將“向上的點(diǎn)數(shù)大于3”記為事件A,“向上的點(diǎn)數(shù)小于4”記為事件B,“向上的點(diǎn)數(shù)是3的倍數(shù)”記為事件C,則(　　)
A.A與B對(duì)立
B.B與C互斥
C.A與C相互獨(dú)立
D.A+C=B+C
題組二　相互獨(dú)立事件的概率
4.從高中應(yīng)屆畢業(yè)生中選拔飛行員,已知這批學(xué)生體型合格的概率為,視力合格的概率為,其他標(biāo)準(zhǔn)合格的概率為,從中任選一名學(xué)生,則該學(xué)生三項(xiàng)均合格的概率為(假設(shè)三項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)互不影響)(　　)
A. B. C. D.
5.如圖,兩個(gè)轉(zhuǎn)盤的指針落在每個(gè)數(shù)所在區(qū)域的機(jī)會(huì)均等,如果兩個(gè)轉(zhuǎn)盤互不影響,那么兩個(gè)指針同時(shí)落在奇數(shù)所在區(qū)域的概率是(　　)
A. B. C. D.
6.已知從甲袋內(nèi)摸出1個(gè)紅球的概率是,從乙袋內(nèi)摸出1個(gè)紅球的概率是,從兩袋內(nèi)各摸出1個(gè)球,則2個(gè)球中至少有1個(gè)紅球的概率是(　　)
A. B. C. D.
7.體育課上定點(diǎn)投籃項(xiàng)目測試規(guī)則:每位同學(xué)有3次投籃機(jī)會(huì),一旦投中,則停止投籃,并視為合格,否則一直到投滿3次為止,每次投中與否相互獨(dú)立.某同學(xué)每次投籃投中的概率均為p,若該同學(xué)本次測試合格的概率為0.784,則p=　　　　.
8.為了實(shí)現(xiàn)中國夢的構(gòu)想,在社會(huì)主義新農(nóng)村建設(shè)中,某市決定在一個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)投資農(nóng)產(chǎn)品加工、綠色蔬菜種植和水果種植三個(gè)項(xiàng)目,據(jù)預(yù)測,三個(gè)項(xiàng)目成功的概率分別為,,,且三個(gè)項(xiàng)目是否成功相互獨(dú)立.
(1)求恰有兩個(gè)項(xiàng)目成功的概率;
(2)求至少有一個(gè)項(xiàng)目成功的概率.
題組三　事件的獨(dú)立性與條件概率的關(guān)系
9.當(dāng)P(A)>0時(shí),若P(B|A)+P()=1,則事件A與B的關(guān)系是(　　)
A.互斥 B.對(duì)立
C.相互獨(dú)立 D.無法判斷
10.已知事件A與B相互獨(dú)立,當(dāng)P(A)>0時(shí),若P(B|A)=0.68,則P()=(　　)
A.0.34 B.0.68 C.0.32 D.1
11.已知A,B相互獨(dú)立,且P(AB)=,P(B)=,則P(|B)=　　　　.
題組四　乘法公式
12.某地一農(nóng)業(yè)科技實(shí)驗(yàn)站對(duì)一批新水稻種子進(jìn)行試驗(yàn),已知這批水稻種子的發(fā)芽率為0.8,發(fā)出芽后的幼苗的成活率為0.9,在這批水稻種子中,隨機(jī)地抽取一粒,則這粒水稻種子能成長為幼苗的概率為(　　)
A.0.02 B.0.08 C.0.18 D.0.72
13.10個(gè)考簽中有4個(gè)難簽,3個(gè)同學(xué)每人抽取一簽(不放回),甲先抽,乙再抽,丙最后抽,則甲、乙、丙都抽到難簽的概率為(　　)
A. B. C. D.
14.在100件產(chǎn)品中有5件是次品,從中連續(xù)無放回地抽取3次,每次抽取1件,則第三次才取得次品的概率為　　　　.(結(jié)果保留兩位有效數(shù)字)
15.6個(gè)人用摸彩的方式?jīng)Q定誰得到一張電影票,他們依次摸彩.
(1)已知前兩個(gè)人都沒摸到,則第三個(gè)人摸到的概率為　　　　;
(2)電影票被第三個(gè)人得到的概率為　　　　.
16.一個(gè)盒子中有6個(gè)白球、4個(gè)黑球,每次從中不放回地任取1個(gè)球,連取2次.求:
(1)第一次取得白球的概率;
(2)第一、二次都取得白球的概率;
(3)第一次取得黑球而第二次取得白球的概率.
17.已知某廠家生產(chǎn)的一批產(chǎn)品共有100件,其中有5件是次品.某采購員前來采購,但他不知有幾件次品,為慎重起見,他對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行不放回的抽樣檢查,如果在被他抽查的5件產(chǎn)品中至少有一件是次品,則他拒絕購買這一批產(chǎn)品.求采購員拒絕購買這批產(chǎn)品的概率.
答案與分層梯度式解析
第3章　概率
3.1　條件概率與事件的獨(dú)立性
3.1.2　事件的獨(dú)立性
3.1.3　乘法公式
基礎(chǔ)過關(guān)練
1.C　
2.A　根據(jù)題意得P(A)=,P(B)=,P(C)==,P(D)=,P(AC)=,P(AD)=,P(BD)=,P(CD)=0,
所以P(AC)=P(A)P(C),P(AD)≠P(A)P(D),P(BD)≠P(B)P(D),P(CD)≠P(C)P(D),
所以A與C相互獨(dú)立,A與D,B與D,C與D均不相互獨(dú)立.故選A.
方法總結(jié)
判斷兩事件是否相互獨(dú)立的方法
(1)定義法:若一個(gè)事件的發(fā)生對(duì)另一個(gè)事件發(fā)生的概率沒有影響,則這兩個(gè)事件相互獨(dú)立.
(2)公式法:若P(AB)=P(A)P(B),則事件A與B相互獨(dú)立.
3.AC　拋擲一個(gè)骰子的所有結(jié)果組成的集合U={1,2,3,4,5,6},共6個(gè)樣本點(diǎn),設(shè)事件A包含的樣本點(diǎn)組成的集合為M,事件B包含的樣本點(diǎn)組成的集合為N,事件C包含的樣本點(diǎn)組成的集合為Q,則M={4,5,6},N={1,2,3},Q={3,6},M∩N= ,M∪N=U,故事件A與B對(duì)立,故A正確;
事件B與事件C有相同的樣本點(diǎn),不互斥,故B錯(cuò)誤;
P(A)=,P(C)=,P(AC)=,可得P(AC)=P(A)P(C),則事件A與C相互獨(dú)立,故C正確;
A+C≠B+C,故D錯(cuò)誤.故選AC.
4.D　根據(jù)題意可得該學(xué)生三項(xiàng)均合格的概率為××=.故選D.
5.A　記“左邊轉(zhuǎn)盤指針落在奇數(shù)所在區(qū)域”為事件A,“右邊轉(zhuǎn)盤指針落在奇數(shù)所在區(qū)域”為事件B,則P(A)==,P(B)==,易知事件A,B相互獨(dú)立,所以兩個(gè)指針同時(shí)落在奇數(shù)所在區(qū)域的概率為×=,
故選A.
C　∵從甲袋內(nèi)摸出1個(gè)紅球的概率是,從乙袋內(nèi)摸出1個(gè)紅球的概率是,
∴從兩袋內(nèi)各摸出1個(gè)球,2個(gè)球中至少有1個(gè)紅球的概率P=1-=.故選C.
7.答案　0.4
解析　由題意可得p+p(1-p)+p(1-p)2=0.784,
整理可得p3-3p2+3p-0.784=0,即(p-0.4)(p2-2.6p+1.96)=0,因?yàn)閜2-2.6p+1.96>0恒成立,
所以該方程存在唯一的實(shí)數(shù)根,即p=0.4.
8.解析　(1)只有農(nóng)產(chǎn)品加工和綠色蔬菜種植兩個(gè)項(xiàng)目成功的概率為××=,
只有農(nóng)產(chǎn)品加工和水果種植兩個(gè)項(xiàng)目成功的概率為××=,
只有綠色蔬菜種植和水果種植兩個(gè)項(xiàng)目成功的概率為××=,
∴恰有兩個(gè)項(xiàng)目成功的概率為++=.
(2)三個(gè)項(xiàng)目全部失敗的概率為××=,
∴至少有一個(gè)項(xiàng)目成功的概率為1-=.
方法總結(jié)
較復(fù)雜事件的概率的求解策略
(1)分解法:將其分解成互斥事件的和或相互獨(dú)立事件的積,再利用相應(yīng)的概率公式求解.
(2)間接法:利用對(duì)立事件的概率公式求解,即將所求事件的概率轉(zhuǎn)化為其對(duì)立事件的概率,這體現(xiàn)了正難則反的思想.
9.C　∵P(B|A)+P()=P(B|A)+1-P(B)=1,∴P(B|A)=P(B),即=P(B),∴P(AB)=P(A)P(B),∴事件A與B相互獨(dú)立.
故選C.
10.C　因?yàn)槭录嗀與B相互獨(dú)立,且P(A)>0,所以P(B|A)===P(B),故P(B)=0.68,所以P()=1-P(B)=0.32.故選C.
11.答案　
解析　因?yàn)锳,B相互獨(dú)立,所以P(AB)=P(A)·P(B)=,
又因?yàn)镻(B)=,所以P(A)=,
所以P(|B)===P()=1-=.
12.D　記“水稻種子發(fā)芽”為事件A,“發(fā)芽的種子成長為幼苗”為事件B,則“水稻種子成長為幼苗”為事件AB.∵P(B|A)=,∴P(AB)=P(B|A)·P(A)=0.9×0.8=0.72.
13.A　設(shè)A,B,C分別表示甲、乙、丙都抽到難簽,則P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)=××=.
14.答案　 0.046
解析　設(shè)Ai表示“第i次取得次品(i=1,2,3)”,B表示“第三次才取得次品”,則B=A3,
∴P(B)=P(A3)=P()P(|)P(A3|)
=××≈0.046.
15.答案　 (1)　(2)
解析　(1)由題意可知,所求概率P=.
(2)設(shè)Ai表示電影票被第i個(gè)人摸到,
則P(A3)=P()P(|)P(A3|)=××=.
解后反思
　　該類問題在概率中被稱為“機(jī)遇問題”,求解的關(guān)鍵是分清事件之間的關(guān)系,充分利用P(A1A2A3…An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)·…·P(An|A1A2…)求解.
16.解析　設(shè)A表示第一次取得白球,B表示第二次取得白球,則AB表示第一、二次都取得白球,B表示第一次取得黑球而第二次取得白球,
則P(B|A)=,P(B|)==.
(1)易得P(A)==.
(2)易得P(AB)=P(A)P(B|A)=×=.
(3)易得P(B)=P()P(B|)=×=.
17.解析　設(shè)Ai={被抽查的第i件產(chǎn)品是次品},i=1,2,3,4,5,A={采購員拒絕購買這批產(chǎn)品},
則A=A1∪A2∪A3∪A4∪A5,從而=,
由題意,得P()=,P(|)=,P(|)=,P(|)=,P(|)=.
∴P()=P()=P(|)P(|)P(|)P(|)P()
=≈0.769 6.
故P(A)=1-P()=0.230 4.(共9張PPT)
1.事件A,B獨(dú)立
若事件A與事件B獨(dú)立,則事件A的發(fā)生不會(huì)影響事件B發(fā)生的概率,即有P(B|A)=
P(B).反之,若P(B|A)=P(B)成立,則P(AB)=P(A) =P(A)·P(B|A)=P(A)P(B).
3.1.2　事件的獨(dú)立性
3.1.3　乘法公式
1 | 事件的獨(dú)立性
2.事件A1,A2,A3,…,An相互獨(dú)立
(1)概念:如果n(n>2)個(gè)事件A1,A2,A3,…,An中任何一個(gè)事件發(fā)生的概率都不受其余
事件發(fā)生與否的影響,則稱A1,A2,A3,…,An相互獨(dú)立.
(2)公式: 一般地,當(dāng)n(n>2)個(gè)事件A1,A2,A3,…,An相互獨(dú)立時(shí),有公式P(A1A2…An)=
P(A1)P(A2)·…·P(An)成立.
注意:上式并不表示A1,A2,A3,…,An相互獨(dú)立.
3.事件的獨(dú)立性的性質(zhì)
(1)若事件A與事件B相互獨(dú)立,則P(B|A)=P(B),P(A|B)=P(A),P(AB)=P(A)P(B).
(2)如果事件A與事件B相互獨(dú)立,那么事件A與 , 與B, 與 也相互獨(dú)立.
1.幾個(gè)概率公式
(1)對(duì)于兩個(gè)事件A,B,由P(B|A)= 可得 P(AB)=P(A)P(B|A),P(A)>0① .
(2)若三個(gè)事件A,B,C不相互獨(dú)立,且P(AB)>0, 則P(ABC)=P(A)P(B|A)·P(C|AB)② .
(3)將①,②式推廣到n個(gè)事件,則有:
若Ai(i=1,2,3,…,n)為隨機(jī)事件,且P(A1A2A3…An-1)>0,則
P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)·…·P(An|A1A2…An-1) ③,③式常稱為概率的乘法公式.
2.概率的乘法公式與相互獨(dú)立事件的概率乘法公式的聯(lián)系
若事件Ai(i=1,2,3,…,n)相互獨(dú)立,則③式變?yōu)?P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)·…·P(An)④ .由此可知,④式實(shí)質(zhì)上是③式的一種特殊情形.④式稱為相互獨(dú)立事件的概率乘法公式.
2 | 事概率的乘法公式
1.兩個(gè)事件相互獨(dú)立與互斥有什么區(qū)別
兩個(gè)事件相互獨(dú)立是指一個(gè)事件的發(fā)生與否對(duì)另一個(gè)事件發(fā)生的概率沒有影響.
兩個(gè)事件互斥是指兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生,而相互獨(dú)立的兩個(gè)事件是可以同時(shí)
發(fā)生的,相互獨(dú)立事件和互斥事件之間沒有必然的聯(lián)系.
2.公式P(AB)=P(A)P(B),P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)·…·P(An)使用的前提條件是什么
P(AB)=P(A)P(B)使用的前提條件是事件A與事件B相互獨(dú)立,同樣地,只有當(dāng)A1,A2,
…,An相互獨(dú)立時(shí),這幾個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率才等于每個(gè)事件發(fā)生的概率之積,
即P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)·…·P(An).

知識(shí)辨析
求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的方法
(1)利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式直接求解.
(2)正面計(jì)算較煩瑣或難以入手時(shí),可從其對(duì)立事件入手計(jì)算.
1 相互獨(dú)立事件的概率
典例　某田徑隊(duì)有三名短跑運(yùn)動(dòng)員,根據(jù)平時(shí)訓(xùn)練情況統(tǒng)計(jì),甲、乙、丙三人10
0米跑(互不影響)的成績?cè)?3 s內(nèi)(稱為合格)的概率分別為 , , .若對(duì)這三名短
跑運(yùn)動(dòng)員的100米跑的成績進(jìn)行一次檢測,求:
(1)三人都合格的概率;
(2)三人都不合格的概率;
(3)出現(xiàn)幾人合格的概率最大.
解析 設(shè)甲、乙、丙三人100米跑的成績合格分別為事件A,B,C,顯然事件A,B,C
相互獨(dú)立,且P(A)= ,P(B)= ,P(C)= .
設(shè)恰有k人合格的概率為Pk(k=0,1,2,3).
(1)三人都合格的概率為P3=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)= × × = .
(2)三人都不合格的概率為P0=P( )=P( )P( )P( )= × × =
.
(3)恰有兩人合格的概率為P2=P(AB )+P(A C)+P( BC)= × × + ×
× + × × = .
恰有一人合格的概率為P1=1-P0-P2-P3=1- - - = .
結(jié)合(1)(2)的計(jì)算結(jié)果可知,恰有一人合格的概率最大.
技巧點(diǎn)撥 解決此類問題的關(guān)鍵是三個(gè)公式的聯(lián)用:P(A∪B)=P(A)+P(B)(A,B互
斥),P(A)=1-P( ),P(AB)=P(A)·P(B)(A,B相互獨(dú)立).
乘法公式的特點(diǎn)及注意事項(xiàng)
1.若P(A)>0,則已知P(A),P(B|A),P(AB)中的兩個(gè)值就可以求得第三個(gè)值.
2.在利用公式P(A1A2·…·An)=P(A1)·P(A2|A1)P(A3|A1A2)·…·P(An|A1A2·…·An-1)(P(A1A2…
An-1)>0)計(jì)算概率時(shí),注意要根據(jù)題意正確表示出相關(guān)事件并求出其中涉及的概率.
2 乘法公式及其應(yīng)用
典例　在某次空戰(zhàn)演習(xí)中,若甲機(jī)先向乙機(jī)開火,則擊落乙機(jī)的概率是0.2;若乙機(jī)未被擊落,則進(jìn)行還擊,擊落甲機(jī)的概率為0.3;若甲機(jī)未被擊落,則再次進(jìn)攻,擊落乙機(jī)的概率是0.4,分別計(jì)算這幾個(gè)回合中,甲、乙被擊落的概率.
解析 設(shè)A=“乙機(jī)被擊落”,B=“甲機(jī)被擊落”,A1=“乙機(jī)第一回合被擊落”,
A2=“乙機(jī)第二回合被擊落”,由題意知A1,A2互斥,且A=A1∪A2,
依題意,有P(A1)=0.2,P(B| )=0.3,P(A2| )=0.4,
由概率的乘法公式可得P(B)=P( B)=P( )P(B| )=0.8×0.3=0.24,
從而P(A2)=P( A2)=P( )P( | )·P(A2| )=0.8×0.7×0.4=0.224,
由概率的加法公式可得P(A)=P(A1∪A2)=P(A1)+P(A2)=0.424.
即這幾個(gè)回合中,甲、乙被擊落的概率分別為0.24,0.424.

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