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(共9張PPT)
1.公式:設Ai(i=1,2,…,n)為n個事件,若滿足
(1)AiAj= (i≠j),
(2) A1∪A2∪A3∪…∪An=Ω(Ω為樣本空間),
(3)P(Ai)>0,i=1,2,…,n,則對任一事件B,有 P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+…+P(An)
P(B|An)= P(Ai)P(B|Ai). 此公式稱為全概率公式.
3.1.4　全概率公式
*3.1.5　貝葉斯公式
1 | 全概率公式
2.公式的直觀意義:如圖,B發生的概率與P(BAi)(i=1,2,…,n)有關,且B發生的概率等
于所有這些概率的和,即P(B)= P(BAi)= P(Ai)P(B|Ai).
(1)對于隨機事件A與B,A發生的條件下B發生的概率為
P(B|A)= .
此公式稱為貝葉斯公式(又稱逆概率公式).
(2)設A1,A2,…,An滿足AiAj= (i≠j),且A1∪A2∪…∪An=Ω.若P(Ai)>0(i=1,2,…,n),則
對任一事件B(其中P(B)>0),由條件概率及全概率公式,有
P(Ai|B)= = (i=1,2,…,n).
2 | 貝葉斯公式*
1.全概率公式中,A1,A2,…,An可以是任意一組隨機事件,對嗎
不對.必須是一組兩兩互斥的隨機事件,且并事件是樣本空間.
2.全概率公式的直觀解釋:已知事件B的發生有各種可能的情形Ai(i=1,2,…,n),事
件B發生的可能性,就是各種可能情形Ai發生可能性的概率之和,對嗎
不對.全概率公式的直觀解釋:已知事件B的發生有各種可能的情形Ai(i=1,2,…,n),事件B發生的可能性,就是各種可能情形Ai發生的可能性與已知在Ai發生的條件下事件B發生的可能性的乘積之和.
3.貝葉斯公式實質是條件概率,對嗎
對.貝葉斯公式是在“結果”已經發生的條件下,尋找各“原因”發生的條件概率.
知識辨析
全概率公式針對的是某一個過程中已知條件求最后結果的概率,解題步驟如下:
先求劃分后的每個小事件的概率,即P(Ai),i=1,2,…,n;再求每個小事件發生的條件下,事件B發生的概率,即P(B|Ai),i=1,2,…,n;最后利用全概率公式計算P(B),即P(B)=
P(Ai)P(B|Ai).
1 全概率公式及其應用
典例　已知某超市的玻璃杯成箱出售,每箱20只,假設各箱含0,1,2只殘次品的概率分別是0.8,0.1,0.1,某顧客欲購一箱玻璃杯,在購買時,售貨員隨機取出一箱,顧客開箱隨機查看4只,若無殘次品,則買下該箱玻璃杯,否則退回,試求顧客買下該箱玻璃杯的概率.
解析 記事件B為顧客買下該箱玻璃杯,事件Ai為取出的一箱中有i只殘次品,i=0,1,2.
則P(A0)=0.8,P(A1)=0.1,P(A2)=0.1,
P(B|A0)=1,P(B|A1)= = ,P(B|A2)= = ,
由全概率公式可得,P(B)=P(A0)P(B|A0)+P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=0.8×1+0.1× +0.1× ≈0.94.
即顧客買下該箱玻璃杯的概率約為0.94.
貝葉斯公式是在條件概率的基礎上尋找事件發生的原因,在運用貝葉斯公式時,一般已知和未知的條件如下:
(1)A的多種情況中到底哪種情況發生是未知的,但是每種情況發生的概率已知,即P(Ai)已知;
(2)事件B是已經發生的確定事實,且A的每種情況發生的條件下B發生的概率已知,即P(B|Ai)已知;
(3)P(B)未知,需要使用全概率公式計算得到;
(4)求解的目標是用A的某種情況Ai的無條件概率求其在B發生的條件下的有條件概率P(Ai|B).
2 各種貝葉斯公式及其應用*
典例　甲盒裝有1個白球2個黑球,乙盒裝有3個白球2個黑球,丙盒裝有4個白球1
個黑球.現采取擲骰子的方式選盒,出現1、2或3點選甲盒,出現4、5點選乙盒,出
現6點選丙盒,在選出的盒里隨機摸出一個球,經過秘密選盒摸球后,宣布摸得一個
白球,求此球來自乙盒的概率.
解析 設A1={摸出的球來自甲盒},A2={摸出的球來自乙盒},A3={摸出的球來自丙
盒},B={摸得白球},則P(A1)= ,P(A2)= ,P(A3)= ,P(B|A1)= ,P(B|A2)= ,P(B|A3)= .
由貝葉斯公式可知此白球來自乙盒的概率為
P(A2|B)= =

= = .第3章　概率
3.1　條件概率與事件的獨立性
3.1.4　全概率公式
*3.1.5　貝葉斯公式
基礎過關練
　　　　　　　　　　　　　　　　
題組一　全概率公式
1.為了提升全民身體素質,某校十分重視學生體育鍛煉.該校一籃球運動員進行投籃練習,若他第1球投進,則第2球投進的概率為,若他第1球投不進,則第2球投進的概率為.若他第1球投進的概率為,則他第2球投進的概率為(　　)
A. B.
C. D.
2.甲、乙兩個箱子里各裝有5個大小、形狀都相同的球,其中甲箱中有3個紅球和2個白球,乙箱中有2個紅球和3個白球.先從甲箱中隨機取出一球放入乙箱中,再從乙箱中隨機取出一球,則從乙箱中取出的球是紅球的概率為(　　)
A. B.
C. D.
3.甲小組有2個男生和4個女生,乙小組有5個男生和3個女生,現隨機從甲小組中抽出1人放入乙小組,然后從乙小組中隨機抽出1人,則從乙小組中抽出女生的概率是　　　　.
4.假設播種用的一等小麥種子中混有2%的二等種子、1.5%的三等種子、1%的四等種子,所有種子均能結出穗.播種一、二、三、四等種子結出的穗含有50顆以上麥粒的概率分別為0.5,0.15,0.1,0.05,則播種這批種子所結的穗含有50顆以上麥粒的概率為　　　　.
5.2022年北京冬奧會的志愿者中,來自甲、乙、丙三所高校的人員情況:甲高校學生志愿者7名,教職工志愿者2名;乙高校學生志愿者6名,教職工志愿者3名;丙高校學生志愿者5名,教職工志愿者4名.
(1)從這三所高校的志愿者中各任取一名,求這三名志愿者中既有學生又有教職工的概率;
(2)先從這三所高校中任選一所,再從這所高校的志愿者中任取一名,求這名志愿者是教職工志愿者的概率.
題組二　貝葉斯公式*
6.(多選)在某一季節,疾病D1的發病率為2%,病人中40%表現出癥狀S,疾病D2的發病率為5%,病人中18%表現出癥狀S,疾病D3的發病率為0.5%,病人中60%表現出癥狀S.則(　　)
A.任意一位病人有癥狀S的概率為0.02
B.病人有癥狀S時患疾病D1的概率為0.4
C.病人有癥狀S時患疾病D2的概率為0.45
D.病人有癥狀S時患疾病D3的概率為0.25
7.設患肺結核病的患者通過胸透被診斷出的概率為0.95,而未患肺結核病的人通過胸透被誤診為有病的概率為0.002,已知某城市居民患肺結核的概率為0.001.若從該城市居民中隨機選出一人,通過胸透被診斷為患肺結核,求這個人確實患有肺結核的概率.
8.設某公路上經過的貨車與客車的數量之比為2∶1,貨車中途停車修理的概率為0.02,客車中途停車修理的概率為0.01,今有一輛汽車中途停車修理,求該汽車是貨車的概率.
答案與分層梯度式解析
第3章　概率
3.1　條件概率與事件的獨立性
3.1.4　全概率公式
*3.1.5　貝葉斯公式
基礎過關練
1.B　記“籃球運動員第1球投進”為事件A,“籃球運動員第2球投進”為事件B,
由題知,P(B|A)=,P(B|)=,
又知P(A)=,所以P()=,
所以P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)
=×+×==.
故選B.
2.B　設事件A表示從甲箱中隨機取出一球是紅球,事件B表示從甲箱中隨機取出一球是白球,事件C表示從甲箱中隨機取出一球放入乙箱中,再從乙箱中隨機取出一球,取出的球是紅球,則P(A)=,P(C|A)==,P(B)=,P(C|B)==,
所以P(C)=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B)=×+×=,故選B.
3.答案　
解析　根據題意,記事件A1為從甲小組中抽出的1人為男生,事件A2為從甲小組中抽出的1人為女生,事件B為從甲小組中抽出1人放入乙組,再從乙小組中抽出1人,為女生,
則P(A1)=,P(A2)=,
所以P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=×+×=.
4.答案　0.482 5
解析　用B表示事件“從這批種子中任選一粒播種,所結的穗含有50顆以上麥粒”.從這批種子中任取一粒為一、二、三、四等種子的事件分別記為A1,A2,A3,A4,則P(A1)=95.5%,P(A2)=2%,P(A3)=1.5%,P(A4)=1%,P(B|A1)=0.5,P(B|A2)=0.15,P(B|A3)=0.1,P(B|A4)=0.05,
所以P(B)=P(B|Ai)P(Ai)=0.5×95.5%+0.15×2%+0.1×1.5%+0.05×1%=
0.482 5.
5.解析　(1)設事件A為“從這三所高校的志愿者中各任取一名,這三名志愿者全是學生”,則P(A)=××=;
設事件B為“從這三所高校的志愿者中各任取一名,這三名志愿者全是教職工”,則P(B)=××=;
設事件C為“從這三所高校的志愿者中各任取一名,這三名志愿者中既有學生又有教職工”,則P(C)=1-P(A)-P(B)=1--=.
(2)設事件D為這名志愿者是教職工志愿者,事件E1為選甲高校,事件E2為選乙高校,事件E3為選丙高校,
則P(E1)=P(E2)=P(E3)=,P(D|E1)=,P(D|E2)=,P(D|E3)=.
所以這名志愿者是教職工志愿者的概率P(D)=P(E1)P(D|E1)+P(E2)P(D|E2)+P(E3)P(D|E3)=×+×+×=.
6.ABC　由題意得P(D1)=0.02,P(D2)=0.05,P(D3)=0.005,P(S|D1)=0.4,P(S|D2)=0.18,P(S|D3)=0.6,
由全概率公式得P(S)=P(Di)P(S|Di)=0.02×0.4+0.05×0.18+0.005×0.6=0.02.
由貝葉斯公式得P(D1|S)===0.4,
P(D2|S)===0.45,
P(D3|S)===0.15.
故選ABC.
7.解析　設事件A表示“被診斷為患肺結核”,C表示“患有肺結核”.
由題意得,P(C)=0.001, P()=0.999,P(A|C)=0.95,P(A|)=0.002.
由貝葉斯公式得,
P(C|A)==.
8.解析　設事件B表示“汽車中途停車修理”,A1表示“該汽車是貨車”,A2表示“該汽車是客車”,則B=A1B∪A2B,由題意得,P(A1)=,P(A2)=,P(B|A1)=0.02,P(B|A2)=0.01,由貝葉斯公式得,
P(A1|B)=
==.

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