資源簡介

第3章　概率
3.2　離散型隨機變量及其分布列
3.2.2　幾個常用的分布
基礎(chǔ)過關(guān)練
　　　　　　　　　　　　　　　　
題組一　兩點分布
1.(多選)下列選項中的隨機變量服從兩點分布的是(　　)
A.拋擲一枚骰子,所得點數(shù)X
B.某射擊手射擊一次,擊中目標的次數(shù)X
C.從裝有除顏色外其余均相同的5個紅球、3個白球的袋中任取1個球,設X=
D.某醫(yī)生做一次手術(shù),手術(shù)成功的次數(shù)X
2.已知離散型隨機變量X服從兩點分布,且P(X=0)=3-4P(X=1)=a,則a=(　　)
A. B. C. D.
3.已知袋內(nèi)有5個白球和6個紅球,從中摸出2個球,記X=求X的分布列.
題組二　伯努利試驗及其概率計算
4.伯努利試驗應滿足的條件:
①各次試驗之間是相互獨立的;
②每次試驗只有兩種結(jié)果;
③各次試驗成功的概率是相同的;
④每次試驗發(fā)生的事件是互斥的.
其中正確的是(　　)
A.①② B.②③
C.①②③ D.①②④
5.甲、乙兩隊進行羽毛球決賽,現(xiàn)在的情形是甲隊只要再贏一局就獲得冠軍,乙隊需要再贏兩局才能獲得冠軍,若甲隊每局獲勝的概率為,則甲隊獲得冠軍的概率為(　　)
A. B. C. D.
6.某高校進行強基招生面試,共設3道題,設某學生每道題答對的概率都為,則該學生在面試時恰好答對2道題的概率是　　　　.
7.甲、乙兩人各射擊一次,擊中目標的概率分別是,.假設兩人射擊是否擊中目標相互之間沒有影響,每人每次射擊是否擊中目標相互之間也沒有影響.
(1)若甲連續(xù)射擊,命中為止,求甲恰好射擊3次結(jié)束射擊的概率;
(2)若乙連續(xù)射擊,命中2次為止,求乙恰好射擊3次結(jié)束射擊的概率.
題組三　二項分布
8.設隨機變量X~B,則P(X=3)等于(　　)
A. B. C. D.
9.圍棋起源于中國,據(jù)先秦典籍《世本》記載:“堯造圍棋,丹朱善之”,至今已有四千多年歷史.圍棋不僅能陶冶情操、修身養(yǎng)性、生慧增智,而且還與天象易理、兵法策略、治國安邦等相關(guān)聯(lián),蘊含著中華文化的豐富內(nèi)涵.在某次國際圍棋比賽中,甲、乙兩人進入最后決賽.比賽采取五局三勝制,即先勝三局的一方獲得比賽冠軍,比賽結(jié)束.假設每局比賽甲勝乙的概率都為,且各局比賽的勝負互不影響,則在不超過4局的比賽中甲獲得冠軍的概率為(　　)
A. B. C. D.
10.某地區(qū)實施人工降雨以后降水量超過200 mm的概率為.現(xiàn)在由于干旱,要對該地區(qū)實施連續(xù)4天的人工降雨,則在這4天中至少有2天的降水量超過200 mm的概率為(　　)
A. B. C. D.
11.將五枚質(zhì)地、大小完全一樣的硬幣向上拋出,則正面向上的硬幣枚數(shù)為2或者3的概率為　　　　.
12.某人參加一次考試,共有4道試題,至少答對其中3道試題才算合格.若他答每道題的正確率均為0.5,并且答每道題之間相互獨立,則他能合格的概率為　　　　.
13.在某公司的一次招聘中,應聘者都要經(jīng)過A,B,C三個獨立項目的測試,通過其中的兩個或三個項目的測試即可被錄用.若甲、乙、丙三人通過A,B,C每個項目測試的概率都是.
(1)求甲恰好通過兩個項目測試的概率;
(2)設甲、乙、丙三人中被錄用的人數(shù)為X,求X的分布列.
14.某公園種植了4棵棕櫚樹,各棵棕櫚樹成活與否是相互獨立的,且成活率均為,設ξ為成活棕櫚樹的棵數(shù).
(1)求ξ的分布列;
(2)若有2棵或2棵以上的棕櫚樹未成活,則需要補種,求需要補種棕櫚樹的概率.
題組四　超幾何分布
15.(多選)下列隨機變量中,服從超幾何分布的有(　　)
A.在10件產(chǎn)品中有3件次品,從中不放回地依次任意取出4件,記取到的次品數(shù)為X
B.從3臺甲型彩電和2臺乙型彩電中任取2臺,記X表示所取的2臺彩電中甲型彩電的臺數(shù)
C.一名學生騎自行車上學,途中有6個紅綠燈路口,記此學生途中遇到紅燈的次數(shù)為隨機變量X
D.從10名男生,5名女生中選3人參加植樹活動,記其中男生人數(shù)為X
16.一個班級共有30名學生,其中有10名女生,現(xiàn)從中任選3名學生代表班級參加學校開展的某項活動,假設選出的3名代表中女生的人數(shù)為變量X,男生的人數(shù)為變量Y,則P(X=2)+P(Y=2)等于(　　)
A.
B.
C.
D.
17.有10件產(chǎn)品,其中3件是次品,從中任取2件,若X表示取得次品的件數(shù),則P(X<2)等于(　　)
A. B.
C. D.
18.(多選)在4件產(chǎn)品中,有一等品2件,二等品1件(一等品與二等品都是正品),次品1件,現(xiàn)從中任取2件,則下列說法正確的是(　　)
A.2件都是一等品的概率是
B.2件中有1件是次品的概率是
C.2件都是正品的概率是
D.2件中至少有1件是一等品的概率是
19.某外語學校的一個社團中有7名同學,其中2人只會法語,2人只會英語,3人既會法語又會英語,現(xiàn)選派3人到法國的學校交流訪問.求:
(1)在選派的3人中恰有2人會法語的概率;
(2)在選派的3人中既會法語又會英語的人數(shù)X的分布列.
20.廠家在產(chǎn)品出廠前需對產(chǎn)品進行檢驗,廠家將一批產(chǎn)品發(fā)給商家時,商家按合同規(guī)定也需隨機抽取一定數(shù)量的產(chǎn)品進行檢驗,以決定是否接收這批產(chǎn)品.
(1)若廠家?guī)旆恐?視為數(shù)量足夠多)的每件產(chǎn)品合格的概率為0.7,從中任意取出3件進行檢驗,求至少有2件是合格品的概率;
(2)若廠家發(fā)給商家20件產(chǎn)品,其中有4件不合格,按合同規(guī)定,商家從這20件產(chǎn)品中任取2件進行檢驗,只有2件產(chǎn)品都合格時才接收這批產(chǎn)品,否則拒收.求該商家可能檢驗出的不合格產(chǎn)品的件數(shù)X的分布列,并求該商家拒收這批產(chǎn)品的概率.
能力提升練
　　　　　　　　　　　　　　　　
題組一　二項分布
1.接種疫苗是預防和控制傳染病最經(jīng)濟、有效的公共衛(wèi)生干預措施.根據(jù)實驗數(shù)據(jù),人在接種某種病毒疫苗后,有80%不會感染這種病毒,若有4人接種了這種疫苗,則最多1人被感染的概率為(　　)
A. B.
C. D.
2.(多選)一個口袋內(nèi)有12個大小、形狀完全相同的小球,其中有n個紅球,若有放回地從口袋中連續(xù)取四次球(每次只取一個小球),恰好兩次取到紅球的概率大于,則n的值可能為(　　)
A.5 B.6 C.7 D.8
3.在一次以“二項分布的性質(zhì)”為主題的數(shù)學探究活動中,立德中學高三某小組的學生表現(xiàn)優(yōu)異,他們發(fā)現(xiàn)了正確結(jié)論,并得到老師和同學的一致好評.設隨機變量X~B(n,p),記pk=pk·(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n.在研究pk的最大值時,該小組同學發(fā)現(xiàn):若(n+1)p為正整數(shù),則k=(n+1)p時,pk=pk-1,此時這兩項概率均為最大值;若(n+1)p為非整數(shù),則k取(n+1)p的整數(shù)部分時,pk是唯一的最大值.以此為理論基礎(chǔ),有位同學重復投擲一枚質(zhì)地均勻的骰子并實時記錄點數(shù)1出現(xiàn)的次數(shù).當投擲到第20次時,記錄到此時點數(shù)1出現(xiàn)5次,若再進行80次投擲試驗,則當投擲到第100次時,點數(shù)1總共出現(xiàn)的次數(shù)為　　　　的概率最大.
4.如圖所示,高爾頓釘板是一個關(guān)于概率的模型,每一個黑點表示釘在板上的一顆釘子,它們彼此間的距離均相等,上一層的每一顆的水平位置恰好位于下一層的兩顆釘子的正中間.小球每次下落時,將隨機向兩邊等概率地落下.當有大量的小球都落下時,最終在釘板下面不同位置收集到小球.現(xiàn)有5個小球從正上方落下,則恰有3個小球落到2號位置的概率是　　　　.
5.A,B兩人下棋,每局均無和棋且A獲勝的概率為,某一天這兩個人要進行一場五局三勝的比賽,勝者將贏得2 700元獎金.
(1)分別求A以3∶0、3∶1獲勝的概率;
(2)若前兩局雙方戰(zhàn)成1∶1,后因其他要事而中止比賽,問怎么分獎金才公平
題組二　超幾何分布與二項分布的綜合應用
6.某工廠流水線檢測員每天隨機從流水線上抽取100件新生產(chǎn)的產(chǎn)品進行檢測,某日抽取的100件產(chǎn)品的級別情況如柱狀圖所示:
(1)根據(jù)樣本估計總體的思想,以事件發(fā)生的頻率作為相應事件發(fā)生的概率.若從出廠的所有產(chǎn)品中隨機取出3件,求至少有一件產(chǎn)品是一級品的概率;
(2)現(xiàn)從樣本產(chǎn)品中利用分層抽樣的方法隨機抽取10件產(chǎn)品,再從這10件產(chǎn)品中任意抽取3件,設取到二級品的件數(shù)為ξ,求隨機變量ξ的分布列.
7.某種水果按照果徑大小可分為四類:標準果、優(yōu)質(zhì)果、精品果、禮品果.一般地,果徑越大售價越高.為幫助果農(nóng)創(chuàng)收,提高水果的果徑,某科研小組設計了一套方案,并在兩片果園中進行對比實驗.其中實驗園采用實驗方案,對照園未采用.實驗周期結(jié)束后,分別在兩片果園中各隨機選取100個果實,按果徑分成5組進行統(tǒng)計:[21,26),[26,31),[31,36),[36,41),[41,46](單位:mm).統(tǒng)計后分別制成如下的頻率分布直方圖,并規(guī)定果徑達到36 mm及以上的為“大果”.
(1)估計實驗園的“大果”率;
(2)現(xiàn)采用分層抽樣的方法從對照園選取的100個果實中抽取10個,再從這10個果實中隨機抽取3個,記其中“大果”的個數(shù)為X,求X的分布列;
(3)以頻率估計概率,從對照園這批果實中隨機抽取n(n≥2,n∈N+)個,設其中恰有2個“大果”的概率為P(n),當P(n)最大時,寫出n的值.
答案與分層梯度式解析
第3章　概率
3.2　離散型隨機變量及其分布列
3.2.2　幾個常用的分布
基礎(chǔ)過關(guān)練
1.BCD　
2.C　由題意得P(X=0)+P(X=1)=1,因為P(X=0)=3-4P(X=1)=a,所以P(X=0)=3-4[1-P(X=0)],解得P(X=0)=,即a=.故選C.
3.解析　由題意得,X的可能取值為0,1,
P(X=0)==,
P(X=1)==.
可得X的分布列如表所示.
X 0 1
P
4.C　
5.B　甲隊獲得冠軍分為以下兩種情況:
①接下來的一局甲隊贏,其概率為;
②接下來的一局甲隊輸,然后下一局甲隊贏,其概率為×=.
∴甲隊獲得冠軍的概率為+=.
故選B.
6.答案　
解析　記Ai(i=1,2,3)表示該學生答對第i道題,則P(Ai)=(i=1,2,3),
所以該學生在面試時恰好答對2道題的概率P=P(A1A2)+P(A1A3)+P(A2A3)=××+××+××=.
7.解析　(1)記“甲恰好射擊3次結(jié)束射擊”為事件A1,
則P(A1)=××=.
所以甲恰好射擊3次結(jié)束射擊的概率為.
(2)記“乙恰好射擊3次結(jié)束射擊”為事件A2,
則P(A2)=××+××=,
所以乙恰好射擊3次結(jié)束射擊的概率為.
8.A　P(X=3)==.故選A.
9.C　記甲以3∶0獲得冠軍為事件A,甲以3∶1獲得冠軍為事件B,易知A與B互斥,
P(A)==,P(B)=××=,
所以在不超過4局的比賽中甲獲得冠軍的概率P=P(A)+P(B)=+=,故選C.
10.B　依題意,所求概率P=+×+=或P=1--××=.故選B.
11.答案　
解析　設X表示五枚硬幣中正面向上的硬幣枚數(shù),
則P(X=2)+P(X=3)=×0.52×(1-0.5)3+×0.53×(1-0.5)2=.
12.答案　 0.312 5
解析　設此人答對的試題數(shù)為X,由題意知,X~B(4,0.5),
所以P(X≥3)=P(X=3)+P(X=4)=×0.54+0.54=0.312 5.
13.解析　(1)甲恰好通過兩個項目測試的概率為=.
(2)因為甲、乙、丙三人被錄用的概率均為×+=,
所以可看作3重伯努利試驗,
甲、乙、丙三人中被錄用的人數(shù)X服從二項分布,即X~B,
所以P(X=0)==,
P(X=1)==,
P(X=2)==,
P(X=3)==.
故X的分布列為
X 0 1 2 3
P
14.解析　(1)易知ξ所有可能的取值為0,1,2,3,4,
且P(ξ=0)==,
P(ξ=1)==,
P(ξ=2)==,
P(ξ=3)==,
P(ξ=4)==,
所以ξ的分布列為
ξ 0 1 2 3 4
P
(2)記“需要補種棕櫚樹”為事件A,由(1)得,P(A)=P(ξ≤2)=++=,
所以需要補種棕櫚樹的概率為.
15.ABD　
16.C　由題意得,P(X=2)=,
P(Y=2)=,
所以P(X=2)+P(Y=2)=.
故選C.
17.D　因為P(X=0)==,P(X=1)==,所以P(X<2)=+=.故選D.
18.ABD　2件都是一等品的概率為=,
2件中有一件是次品的概率為=,
2件都是正品的概率為=,
2件中至少有1件是一等品的概率為=.
故選ABD.
19.解析　(1)由題意知,7名同學中,會法語的人數(shù)為5.
從7人中選派3人,共有種選法,3人中恰有2人會法語,共有種選法,
∴選派的3人中恰有2人會法語的概率P==.
(2)由題意可知,X的所有可能取值為0,1,2,3,
P(X=0)==,P(X=1)==,
P(X=2)==,P(X=3)==,
∴X的分布列為
X 0 1 2 3
P
20.解析　(1)“從中任意取出3件進行檢驗,至少有2件是合格品”記為事件A,
則事件A包含“恰有2件是合格品”和“3件都是合格品”兩個基本事件,
∴P(A)=×0.72×0.3+0.73=0.784.
(2)X的可能取值為0,1,2,
P(X=0)==,P(X=1)==,
P(X=2)==,
∴X的分布列為
X 0 1 2
P
∵只有抽取的2件產(chǎn)品都合格時才接收這批產(chǎn)品,
∴商家拒收這批產(chǎn)品的對立事件為商家任取2件產(chǎn)品檢驗都合格,記“商家拒收這批產(chǎn)品”為事件B,
則P(B)=1-P(X=0)=,
∴商家拒收這批產(chǎn)品的概率為.
能力提升練
1.A　由題意得,最多1人被感染的概率為+××==.
故選A.
2.ABC　設每次取到紅球的概率為p(0由題意得p2(1-p)2>,即p(1-p)>,
解得易知p=,所以n=12p∈(4,8),
所以n=5或n=6或n=7.故選ABC.
3.答案　18
解析　記再進行80次投擲試驗,出現(xiàn)點數(shù)1的次數(shù)為X,則X~B,
由k=(n+1)p=81×==13.5,結(jié)合題中結(jié)論可知,k=13時概率最大,即后面進行的80次投擲試驗中出現(xiàn)13次點數(shù)1的概率最大,
加上前面進行的20次投擲試驗中出現(xiàn)的5次,所以出現(xiàn)18次的概率最大.
4.答案　
解析　由題圖可知,小球從正上方落下共會碰到4次釘子,每次碰到釘子后向左或向右繼續(xù)下落的概率為,若想落到2號位置,則需向左落3次,向右落1次,
所以每個小球落入2號位置的概率為××=,所以5個小球從正上方落下,恰有3個小球落到2號位置的概率為=.
5.解析　(1)設A以3∶0、3∶1獲勝的事件分別為C,D.要想3∶0獲勝,則必須從第一局開始連勝3局,因此P(C)==;要想3∶1獲勝,則前3局中只能勝2局,且第4局勝,因此P(D)=×××=.
(2)設前兩局雙方戰(zhàn)成1∶1后A獲勝,B獲勝的事件分別為E,F.若A獲勝,則可能3,4局連勝,或者3,4局只勝1局,且第5局勝,因此P(E)=×+×××=.由于每局均無和棋且A獲勝的概率為,則B獲勝的概率為.若B獲勝,則可能3,4局連勝,或者3,4局只勝1局,且第5局勝,因此P(F)=×+×××=.故獎金應分給A:2 700×=2 000(元),分給B:2 700×=700(元).
方法總結(jié)
　　比賽型問題是一類常見的概率問題,對于此類問題,要注意仔細研究比賽規(guī)則,然后從最后一局開始分析,看最后一局的勝負能否確定,再分析前幾局比賽的勝負情況.6.解析　(1)由題圖可知,抽取的100件產(chǎn)品中一級品的頻率是=,
故從出廠的所有產(chǎn)品中任取1件,該產(chǎn)品是一級品的概率是.
設從出廠的所有產(chǎn)品中隨機取出3件,至少有一件是一級品的事件為A,
則P(A)=1-=.
(2)由題意可知抽取的10件產(chǎn)品中有一級品7件,二級品2件,三級品1件,故ξ的可能取值為0,1,2,
P(ξ=0)==,
P(ξ=1)==,
P(ξ=2)==,
∴ξ的分布列為
ξ 0 1 2
P
7.解析　(1)由題中實驗園的頻率分布直方圖得這100個果實中大果的頻率為(0.110+0.010)×5=0.6,
所以估計實驗園的“大果”率為60%.
(2)由題中對照園的頻率分布直方圖得,這100個果實中大果的個數(shù)為(0.040+0.020)×5×100=30.
采用分層抽樣的方法從對照園選取的100個果實中抽取10個,其中大果有×10=3個,
從這10個果實中隨機抽取3個,其中“大果”的個數(shù)X的可能取值為0,1,2,3,
P(X=0)===,P(X=1)===,P(X=2)===,P(X=3)==,
所以X的分布列為
X 0 1 2 3
P
(3)由題可知P(n)=0.320.7n-2,P(n-1)=×0.320.7n-3,P(n+1)=0.320.7n-1,
要使P(n)最大,則==<1且==<1,
∴1.隨機變量
(1)定義:如果隨機試驗每一個可能結(jié)果e都唯一地對應著一個實數(shù)X(e),則這個隨
著試驗結(jié)果不同而變化的變量稱為隨機變量.
(2)表示:隨機變量通常用X,Y,ξ,η,…表示.
2.離散型隨機變量
如果隨機變量X的所有取值都可以逐個列舉出來,則稱X為離散型隨機變量.
3.2　離散型隨機變量及其分布列
3.2.1　離散型隨機變量及其分布
3.2.2　幾個常用的分布
1 | 集合離散型隨機變量
1.定義:一般地,設離散型隨機變量X的可能取值為x1,x2,…,xn,其相應的概率為p1,p2,…,pn,記P(X=xi)=pi(i=1,2,…,n).(*)
或把(*)式列成下表:
上表或(*)式稱為離散型隨機變量X的概率分布列(簡稱為X的分布列).
2.性質(zhì):(1) pi≥0 ,i=1,2,…,n;
(2)p1+p2+…+pn=1.
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
2 | 離散型隨機變量的分布列
1.兩點分布
如果隨機變量X只取值0或1,且其概率分布是P(X=1)=p,P(X=0)=1-p ,p∈(0,1),則稱
隨機變量X服從兩點分布,記作 X~B(1,p) .兩點分布又稱0-1分布.
2.二項分布
(1)伯努利試驗:一般地,在相同條件下進行n次重復試驗,如果每次試驗只有兩種
可能的結(jié)果A與 ,并且P(A)保持不變,各次試驗的結(jié)果相互獨立,那么稱這樣的試
驗為伯努利試驗,它也是一種n次獨立重復試驗.
(2)二項分布:一般地,在n次獨立重復試驗中,用X表示事件A出現(xiàn)的次數(shù),設每次試
驗中事件A發(fā)生的概率為p,則X有概率分布:P(X=k)= pkqn-k,k=0,1,2,…,n,其中q=1-p.
注意到 pkqn-k正好是二項式(p+q)n的展開式中的第(k+1)項,故稱隨機變量X服從
3 | 幾個常用的分布
二項分布,記作X~B(n,p),其中n,p為參數(shù),p為事件發(fā)生的概率.
(3)二項分布與兩點分布的關(guān)系:兩點分布可看作是一種特殊的二項分布,即n=1的
二項分布.
3.超幾何分布
一般地,若N件產(chǎn)品中有M件次品,
任取n件,其中恰有X件次品,則事件{X=k}發(fā)生的概率為P(X=k)= ,k=0,1,2,
…,l,其中l(wèi)=min{M,n},且M≤N,n≤N-M,n,M,N∈N+,稱分布列
為超幾何分布列.如果隨機變量X的分布列為超幾何分布列,就稱X服從超幾何分
布,記作X~H(N,M,n).
X 0 1 … l
P …
4.二項分布和超幾何分布的關(guān)系
在產(chǎn)品抽樣檢驗中,若采用有放回抽樣,則抽到的次品數(shù)服從二項分布,若采用不放回抽樣,則抽到的次品數(shù)服從超幾何分布.在實際工作中,抽樣一般采用不放回方式,因此計算抽到的次品數(shù)為k的概率時應該用超幾何分布,但當產(chǎn)品總數(shù)很大而抽樣數(shù)不太大時,不放回抽樣可看作是有放回抽樣,計算超幾何分布可以用計算二項分布來代替.
1.在離散型隨機變量的分布列中,每個隨機變量的取值所對應的概率都可以為任
意的實數(shù)嗎
在離散型隨機變量的分布列中,每個隨機變量的取值所對應的概率均在[0,1]范圍內(nèi).
2.離散型隨機變量的可能取值表示的事件是彼此互斥的嗎
是.
3.二項分布與兩點分布的關(guān)系是什么
二項分布是兩點分布的一般形式,兩點分布可看作是一種特殊的二項分布,即n=1的二項分布.
4.超幾何分布中隨機變量X的取值k的最大值是次品數(shù)M嗎
不一定.當抽取的產(chǎn)品數(shù)n不大于總體中的次品數(shù)M時,k的最大值為n.
知識辨析
求離散型隨機變量的分布列的步驟(其中i=1,2,…,n):
1 求離散型隨機變量的分布列
典例　從甲地到乙地要經(jīng)過三個十字路口,設各路口信號燈工作相互獨立,且在
各路口遇到紅燈的概率分別為 , , .
(1)若有一輛車獨立地從甲地到乙地,求這輛車未遇到紅燈的概率;
(2)記X表示一輛車從甲地到乙地遇到紅燈的個數(shù),求隨機變量X的分布列.
解析 (1)設“一輛車獨立地從甲地到乙地未遇到紅燈”為事件A,則P(A)=
× × = .
(2)隨機變量X的可能取值為0,1,2,3,
則P(X=0)= ,
P(X=1)= × × + × × + × × = ,
P(X=2)= × × + × × + × × = ,
P(X=3)= × × = ,
所以隨機變量X的分布列為
X 0 1 2 3
P
解后反思 (1)確定離散型隨機變量X的分布列的關(guān)鍵是分清X取每一個值對應的隨機事件,從而利用排列、組合知識求出X取每一個值的概率.
(2)在求分布列時,要充分利用分布列的性質(zhì),這樣不但可以減少運算量,還可以檢驗分布列是否正確.
利用二項分布模型解決實際問題的一般步驟
(1)根據(jù)題意設出隨機變量;
(2)分析隨機變量是否服從二項分布;
(3)若服從二項分布,則求出參數(shù)n和p的值;
(4)根據(jù)需要列出相關(guān)式子并解決問題.
2 二項分布
典例　某省食品藥品監(jiān)管局對15個大學食堂的“進貨渠道合格性”和“食品安全”進行量化評估,滿分為10分,大部分大學食堂的評分在7~10分之間,以下表格記錄了它們的評分情況:
(1)現(xiàn)從15個大學食堂中隨機抽取3個,求至多有1個大學食堂的評分不低于9分的概率;
(2)以這15個大學食堂的評分數(shù)據(jù)評估全國的大學食堂的評分情況,若從全國的
大學食堂中任選3個,記X表示抽到評分不低于9分的食堂個數(shù),求X的分布列.
解析 (1)設“至多有1個大學食堂的評分不低于9分”為事件A,
則P(A)= = .
所以至多有1個大學食堂的評分不低于9分的概率為 .
分數(shù)段 [0,7) [7,8) [8,9) [9,10]
食堂個數(shù) 1 3 8 3
(2)任選一個大學食堂,其評分不低于9分的概率為= ,因此X~B ,
所以P(X=0)= × = ,
P(X=1)= × × = ,
P(X=2)= × × = ,
P(X=3)= × = ,
∴X的分布列為
X 0 1 2 3
P
超幾何分布是不放回抽樣,且計數(shù)時無順序之分,這是識別超幾何分布模型的關(guān)鍵.
(1)套用超幾何分布模型時,將實際背景與超幾何分布的模型進行比較,將問題涉
及的對象轉(zhuǎn)化為“產(chǎn)品”“次品”等進行分析,有利于正確使用超幾何模型解題.
(2)得出相應的分布列之后,就可以依據(jù)分布列進行相關(guān)事件的判斷,如“產(chǎn)品合
格的概率”“考試通過的概率”等.
3 超幾何分布
典例　某企業(yè)使用新技術(shù)對某款芯片進行試生產(chǎn),該廠家生產(chǎn)了兩批同種規(guī)格
的芯片,第一批占60%,次品率為6%;第二批占40%,次品率為5%.為確保質(zhì)量,現(xiàn)在
將兩批芯片混合,工作人員從中抽樣檢查.
(1)從混合的芯片中任取1個,求這個芯片是合格品的概率;
(2)若在兩批產(chǎn)品中采取分層抽樣方法抽取一個樣本容量為15的樣本,再從樣本
中抽取3個芯片,求這3個芯片中第二批芯片的個數(shù)X的分布列.
解析 (1)設事件B為“任取一個芯片是合格品”,事件A1為“產(chǎn)品取自第一批”,
事件A2為“產(chǎn)品取自第二批”,則Ω=A1∪A2,且A1,A2互斥,P(A1)=0.6,P(A2)=0.4,P(B|
A1)=0.94,P(B|A2)=0.95.
由全概率公式得P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=0.6×0.94+0.4×0.95=0.944.
(2)由條件可知,樣本中第一批芯片的個數(shù)為9,第二批芯片的個數(shù)為6,
易知X的可能取值為0,1,2,3,
且P(X=0)= = = ,
P(X=1)= = ,
P(X=2)= = ,
P(X=3)= = .
所以X的分布列為
X 0 1 2 3
P 第3章　概率
3.2　離散型隨機變量及其分布列
3.2.1　離散型隨機變量及其分布
　　　　　　　　　　　　　　　基礎(chǔ)過關(guān)練　
題組一　隨機變量及離散型隨機變量的概念
1.已知下列隨機變量:
①10件產(chǎn)品中有2件次品,從中任選3件,取到次品的件數(shù)X;
②一位射擊手對目標進行射擊,擊中目標得1分,未擊中目標得0分,該射擊手在一次射擊中的得分X;
③一天內(nèi)的氣溫X;
④在體育彩票的抽獎中,一次搖號產(chǎn)生的號碼X.
其中X是離散型隨機變量的是(　　)
A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.③④
2.(多選)某人進行射擊,共有5發(fā)子彈,擊中目標或子彈打完就停止射擊,記射擊次數(shù)為X,則 “X=5”表示的試驗結(jié)果包括(　　)
A.第5次擊中目標
B.第5次未擊中目標
C.前4次未擊中目標
D.第4次擊中目標
3.袋中有大小相同的5個球,分別標有1,2,3,4,5五個號碼,在有放回抽取的條件下依次取出兩個球,設兩個球的號碼之和為隨機變量X,則X所有可能取值的個數(shù)是(　　)
A.5 B.9 C.10 D.25
4.袋中裝有10個紅球,5個黑球,每次隨機抽取一個球,若取到黑球,則放回袋中,直到取到紅球為止,若抽取的次數(shù)為X,則表示“放回袋中5次”的事件為(　　)
A.X=4 B.X=5 C.X=6 D.X≤4
5.在一個盒子中放有標號分別為1,2,3的三張卡片,現(xiàn)從這個盒子中有放回地先后抽取兩張卡片,標號分別為x,y,記X=|x-2|+|y-x|.寫出隨機變量X的可能取值,并說明隨機變量X所表示的隨機試驗的結(jié)果.
題組二　離散型隨機變量的分布列
6.已知離散型隨機變量X的分布列如下,則P(X≥3)等于(　　)
X 1 2 3 4
P
A. B. C. D.
7.甲、乙兩名籃球運動員每次投籃的命中率分別為0.8,0.7,他們各自投籃1次,設兩人命中總次數(shù)為X,則X的分布列為(　　)
A.
X 0 1 2
P 0.08 0.14 0.78
B.
X 0 1 2
P 0.06 0.24 0.70
C.
X 0 1 2
P 0.06 0.56 0.38
D.
X 0 1 2
P 0.06 0.38 0.56
8.設S是不等式x2-x-6≤0的解集,整數(shù)m,n∈S.
(1)記“有序數(shù)組(m,n)滿足m+n=0”為事件A,試列舉A包含的基本事件;
(2)設X=m2,求X的分布列.
9.某機構(gòu)對于某地區(qū)的10 000戶家庭的年可支配收入的調(diào)查中,獲得如下的統(tǒng)計數(shù)據(jù):60%的家庭將年可支配收入用來購買銀行結(jié)構(gòu)性存款,20%的家庭將年可支配收入存入銀行,其余家庭將年可支配收入用于風險投資.已知銀行結(jié)構(gòu)性存款獲得的年收益率為5%的概率為95%,獲得的年收益率為-2%的概率為5%,存入銀行的年收益率為2%,風險投資的平均年收益率為3%.把頻率當作概率,假設該地區(qū)的每戶家庭的年可支配收入均為10萬元.
(1)求這些家庭將年可支配收入不存入銀行的概率;
(2)每戶家庭獲得的年收益為X萬元,求X的分布列.
10.袋中裝有8個大小相同的小球,其中1個黑球,3個白球,4個紅球.
(1)若從袋中一次摸出2個小球,求恰為異色球的概率;
(2)若從袋中一次摸出3個小球,且3個球中,黑球與白球的個數(shù)都沒有超過紅球的個數(shù),記此時紅球的個數(shù)為X,求X的分布列.
題組三　離散型隨機變量分布列的性質(zhì)
11.若離散型隨機變量ξ的所有可能取值為1,2,3,…,n,且ξ取每一個值的概率相同,若P(2<ξ<5)=0.2,則n的值為(　　)
A.4 B.6 C.9 D.10
12.已知隨機變量X的分布列如表所示,則P(X=2)=(　　)
X 1 2 3
P a 2a 3a
A. B. C. D.
13.已知隨機變量X的分布列如表(其中a為常數(shù)):
X 0 1 2 3 4 5
P 0.1 0.1 a 0.3 0.2 0.1
則P(1≤X≤3)等于(　　)
A.0.4 B.0.5 C.0.6 D.0.7
14.若離散型隨機變量X的分布列為
X 0 1
P 6a2-a 3-7a
則常數(shù)a的值為(　　)
A. B. C.或 D.1或
15.已知離散型隨機變量X的分布列為P=ak(k=1,2,3,4,5).
(1)求常數(shù)a的值;
(2)求P;
(3)求P.
16.已知隨機變量X的分布列如表所示.
X -2 -1 0 1 2 3
P
(1)求隨機變量Y=X2的分布列;
(2)若P(Y能力提升練
　　　　　　　　　　　　　　　　
題組一　離散型隨機變量分布列的性質(zhì)及其應用
1.已知隨機變量X的分布列為P(X=n)=(n=1,2,3,4),其中a為常數(shù),則P的值為　(　　)
A. B. C. D.
2.離散型隨機變量X的分布列中部分數(shù)據(jù)丟失,丟失數(shù)據(jù)以“x”“y”(x,y∈[0,9],且x,y∈N)代替,如下表所示:
X 1 2 3 4 5 6
P 0.20 0.10 0.x5 0.10 0.1y 0.20
則P=(　　)
A.0.25 B.0.35 C.0.45 D.0.55
3.已知隨機變量ξ的分布列如下:
ξ 0 1 2
P a b c
其中a,b,c成等差數(shù)列,則函數(shù)f(x)=x2+2x+ξ有且只有一個零點的概率為(　　)
A. B. C. D.
4.已知隨機變量ξ的分布列如下:
ξ -2 0 2 3
P a
若P(ξ2≤x)=,則實數(shù)x的最小值為　　　　.
5.設ξ為隨機變量,從棱長為1的正方體的12條棱中任取兩條,當兩條棱相交時,ξ=0;當兩條棱平行時,ξ的值為兩條棱之間的距離;當兩條棱異面時,ξ=1,則隨機變量ξ的分布列為　　　　　　　　　.
題組二　求離散型隨機變量的分布列
6.某大型商場為了了解客戶對其銷售的某品牌五種型號電視機的滿意情況,隨機抽取了一些客戶進行回訪,調(diào)查結(jié)果如下表:
電視機 的型號 65E3F 65E3G 65E5G 65E7G 65E8G
回訪客戶 (人數(shù)) 700 150 200 600 350
滿意率 0.5 0.3 0.6 0.3 0.2
滿意率是指:該品牌該型號電視機的回訪客戶中,滿意人數(shù)與總?cè)藬?shù)的比值.假設客戶是否滿意相互獨立,且每種型號電視機的回訪客戶對此型號電視機滿意的概率與表格中該型號電視機的滿意率相等.
(1)從所有的回訪客戶中隨機抽取1人,求這個客戶滿意的概率;
(2)從65E3F型號、65E3G型號電視機的所有回訪客戶中各隨機抽取1人,設其中滿意的人數(shù)為X,求X的分布列.
7.為了讓更多的人了解中國傳統(tǒng)文化,某地舉辦了一場中國傳統(tǒng)文化知識大賽,為了了解本次大賽參賽人員的成績情況,從參賽的人員中隨機抽取n名人員,將他們的成績(滿分100分)作為樣本,對所得數(shù)據(jù)進行分析整理后畫出頻率分布直方圖如圖所示,已知抽取的參賽人員中成績在[50,60)內(nèi)的頻數(shù)為3.
(1)求n的值;
(2)已知抽取的n名參賽人員中,成績在[80,90)和[90,100]內(nèi)的女士都有2人,現(xiàn)從成績在[80,90)和[90,100]內(nèi)的參賽人員中各隨機抽取2人,記這4人中女士的人數(shù)為X,求X的分布列.
8.甲、乙等6個班級參加學校組織的廣播操比賽,若采用抽簽的方式隨機確定各班級的出場順序(序號為1,2,…,6),求:
(1)甲、乙兩班級的出場序號中至少有一個為奇數(shù)的概率;
(2)甲、乙兩班級之間的演出班級(不含甲、乙)的個數(shù)X的分布列.
答案與分層梯度式解析
第3章　概率
3.2　離散型隨機變量及其分布列
3.2.1　離散型隨機變量及其分布
基礎(chǔ)過關(guān)練
1.B　
2.ABC　
3.B　因為在有放回抽取的條件下取出兩個球,所以每次抽取的球的號碼均可能是1,2,3,4,5中的某個,故兩次抽取的球的號碼之和X的可能取值是2,3,4,5,6,7,8,9,10,共9個.故選B.
4.C　根據(jù)題意可知,如果沒有抽到紅球,那么將黑球放回,然后繼續(xù)抽取,抽取次數(shù)X的可能取值為1,2,3,…,所以“放回袋中5次”即前5次都是抽到黑球,第6次抽到了紅球,所以X=6,故選C.
5.解析　因為x,y的可能取值均為1,2,3,所以|x-2|=0或1,|y-x|=0或1或2,
所以X的可能取值為0,1,2,3.
用(x,y)表示第一次抽到的卡片標號為x,第二次抽到的卡片標號為y,則隨機變量X取各值的意義如下:
X=0表示(2,2);
X=1表示(1,1),(2,1),(2,3),(3,3);
X=2表示(1,2),(3,2);
X=3表示(1,3),(3,1).
6.A　P(X≥3)=P(X=3)+P(X=4)=+=.故選A.
7.D　易知X的可能取值為0,1,2,P(X=0)=0.2×0.3=0.06,P(X=1)=0.8×0.3+0.2×0.7=0.38,P(X=2)=0.8×0.7=0.56,
故X的分布列為
X 0 1 2
P 0.06 0.38 0.56
故選D.
8.解析　(1)由x2-x-6≤0,得-2≤x≤3,
即S={x|-2≤x≤3}.
由于m,n∈Z,m,n∈S且m+n=0,所以A包含的基本事件有(-2,2),(2,-2),
(-1,1),(1,-1),(0,0).
(2)m的所有可能取值為-2,-1,0,1,2,3,
所以X=m2的所有可能取值為0,1,4,9,
且P(X=0)=,P(X=1)==,
P(X=4)==,P(X=9)=.
故X的分布列為
X 0 1 4 9
P
9.解析　(1)由已知得,這些家庭將年可支配收入不存入銀行的概率為1-20%=80%.
(2)由已知得,X的可能取值為10×5%=0.5,10×(-2%)=
-0.2,10×2%=0.2,10×3%=0.3,
P(X=0.5)=60%×95%=0.57,
P(X=-0.2)=60%×5%=0.03,
P(X=0.2)=20%=0.2,
P(X=0.3)=1-60%-20%=20%=0.2,
所以X的分布列為
X -0.2 0.2 0.3 0.5
P 0.03 0.2 0.2 0.57
10.解析　(1)摸出的2個小球為異色球的情況種數(shù)為+=19,從8個小球中摸出2個小球的情況種數(shù)為=28,故所求概率 P=.
(2)由題意知,隨機變量X的可能取值為1,2,3.符合條件的摸法有以下三種:
①摸得1個紅球,1個黑球,1個白球,共有=12種不同摸法,
②摸得2個紅球,1個其他顏色的球,共有=24種不同摸法,
③摸得的3個球均為紅球,共有=4種不同摸法,
故符合條件的不同摸法有40種.
故P(X=1)==,
P(X=2)==,
P(X=3)==.
可得X的分布列如表所示.
X 1 2 3
P
11.D　 因為P(2<ξ<5)=P(ξ=3)+P(ξ=4)=+=0.2,所以n=10.故選D.
12.C　依題意得a+2a+3a=1,解得a=,
所以P(X=2)=2×=,故選C.
13.C　因為0.1+0.1+a+0.3+0.2+0.1=1,所以a=0.2,
所以P(1≤X≤3)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=0.1+0.2+0.3=0.6.
故選C.
14.A　由離散型隨機變量分布列的性質(zhì)知,
∴a=,
故選A.
易錯警示
　　本題不僅要注意分布列中各概率之和為1,還要注意每一個概率值均在區(qū)間[0,1]內(nèi).
15.解析　由題意得隨機變量X的分布列如表所示.
X 1
P a 2a 3a 4a 5a
(1)由分布列的性質(zhì)得,a+2a+3a+4a+5a=1,解得a=.
(2)解法一:P=P+P+P(X=1)=++=.
解法二:P=1-P=1-=.
(3)∵∴P=P+P
=+=.
16.解析　(1)由隨機變量X的分布列知,Y的可能取值為0,1,4,9,
且P(Y=0)=,
P(Y=1)=+==,
P(Y=4)=+==,
P(Y=9)=.
可得隨機變量Y的分布列如表所示.
Y 0 1 4 9
P
(2)∵P(Y能力提升練
1.B　由已知得+++=1,解得a=,所以P=P(X=3)==,故選B.
2.B　根據(jù)分布列的性質(zhì)可知,隨機變量的所有取值的概率之和為1,得x=2,y=5.故P=P(X=2)+P(X=3)=0.35.
3.B　由題意知a,b,c∈[0,1],且可得b=.
因為函數(shù)f(x)=x2+2x+ξ有且只有一個零點,
所以方程x2+2x+ξ=0有兩個相等的實數(shù)根,可得Δ=4-4ξ=0,解得ξ=1,
所以P(ξ=1)=.故選B.
4.答案　 4
解析　由題意,可得+++a=1,解得a=,
由隨機變量ξ的分布列可知,ξ2的可能取值為0,4,9,
可得P(ξ2=0)=,P(ξ2=4)=+=,P(ξ2=9)=,
因為P(ξ2≤x)=,所以x的取值范圍為4≤x<9,則實數(shù)x的最小值為4.
5.答案　
ξ 0 1
P
解析　ξ的可能取值為0,1,.
若兩條棱相交,則交點必在正方體的頂點處,過任意一個頂點的棱有3條,
所以P(ξ=0)==,
若兩條棱平行,則它們之間的距離為1或,而距離為的棱共有6對,
則P(ξ=)==,
于是P(ξ=1)=1-P(ξ=0)-P(ξ=)=1--=,
所以隨機變量ξ的分布列為
ξ 0 1
P
6.解析　(1)由題意及題表中數(shù)據(jù)知,抽取的回訪客戶的總?cè)藬?shù)是700+150+200+600+350=2 000,
滿意的回訪客戶的人數(shù)為700×0.5+150×0.3+200×0.6+600×0.3+350×0.2=765,
故所求概率為=.
(2)易知X的可能取值為0,1,2.
設事件A為“從65E3F型號電視機的所有回訪客戶中隨機抽取的人滿意”,
事件B為“從65E3G型號電視機的所有回訪客戶中隨機抽取的人滿意”,易知A,B為相互獨立事件.
根據(jù)題意,可知P(A)=0.5,P(B)=0.3,
則P(X=0)=P( )=[1-P(A)][1-P(B)]=0.5×0.7=0.35,
P(X=1)=P(A+B)=P(A)+P(B)=0.5×0.7+0.5×0.3=0.5,
P(X=2)=P(AB)=P(A)P(B)=0.5×0.3=0.15.
故X的分布列為
X 0 1 2
P 0.35 0.5 0.15
解析　(1)由題中頻率分布直方圖知,成績在[50,60)內(nèi)的頻率為1-
(0.040 0+0.030 0+0.012 5+0.010 0)×10=0.075,
∵成績在[50,60)內(nèi)的頻數(shù)為3,
∴n==40.
(2)由(1)及題中頻率分布直方圖知,
抽取的參賽人員中成績在[80,90)內(nèi)的人數(shù)為0.012 5×10×40=5,
成績在[90,100]內(nèi)的人數(shù)為0.010 0×10×40=4,
易知X的可能取值為0,1,2,3,4,
P(X=0)==,
P(X=1)==,
P(X=2)==,
P(X=3)==,
P(X=4)==.
∴X的分布列為
X 0 1 2 3 4
P
技巧點撥
　　求離散型隨機變量的概率分布列的關(guān)鍵是弄清楚離散型隨機變量X取每一個值時對應的隨機事件,然后利用古典概型、排列組合等知識求出X取每個值時的概率,最后列出表格即可.
8.解析　(1)由題意得,甲、乙兩班級的出場序號均為偶數(shù)的概率P1==,故甲、乙兩班級的出場序號中至少有一個為奇數(shù)的概率P2=1-P1=.
(2)易知X的可能取值為0,1,2,3,4,
P(X=0)==,P(X=1)==,
P(X=2)==,P(X=3)==,
P(X=4)==.
故X的分布列為
X 0 1 2 3 4
P

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