資源簡(jiǎn)介

第3章　概率
3.2　離散型隨機(jī)變量及其分布列
3.2.4　離散型隨機(jī)變量的方差
基礎(chǔ)過關(guān)練
　　　　　　　　　　　　　　　　
題組一　離散型隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差
1.已知隨機(jī)變量ξ的分布列如下表,則D(ξ)=(　　)
ξ 1 3 5
P 0.4 0.1 0.5
A.0.95 B.3.2 C.0.7 D.3.56
2.某高科技公司所有雇員的工資情況如下表所示.
年薪 (萬元) 135 95 80 70 60 52 40 31
人數(shù) 1 1 2 1 3 4 1 12
該公司雇員年薪的標(biāo)準(zhǔn)差約為(　　)
A.24.5 B.25.5 C.26.5 D.27.5
3.若隨機(jī)事件X的概率分布列為P(X=i)=a·(i=1,2,3,4),則D(X)=(　　)
A.3 B.10 C.9 D.1
4.若隨機(jī)變量X的分布列如下表:
X 1 0 -1
P
則當(dāng)實(shí)數(shù)a在(0,1)內(nèi)增大時(shí),D(X)(　　)
A.增大 B.減小
C.先增大后減小 D.先減小后增大
題組二　離散型隨機(jī)變量的方差的性質(zhì)
5.已知隨機(jī)變量X的分布列為P(X=k)=,k=1,2,3,則D(3X+5)=　　　　.
6.已知離散型隨機(jī)變量ξ的分布列如下表:
ξ -2 0 2
P a b
若隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望E(ξ)=,則b=　　　　,D(2ξ+1)=　　　　.
7.已知η的分布列為
η 0 10 20 50 60
P
(1)求η的方差及標(biāo)準(zhǔn)差;
(2)設(shè)Y=2η-E(η),求D(Y).
題組三　幾個(gè)特殊分布的方差
8.已知ξ~B,并且η=3ξ+2,則η的方差D(η)=　(　　)
A.8 B.10 C. D.
9.從裝有3個(gè)白球和7個(gè)紅球的口袋中任取1個(gè)球,用X表示是否取到白球,即X=則X的方差D(X)為(　　)
A. B. C. D.
10.袋中有2個(gè)白球,3個(gè)紅球,5個(gè)黃球,這10個(gè)小球除顏色外完全相同.
(1)從袋中任取3個(gè)球,求恰好取到2個(gè)黃球的概率;
(2)從袋中任取2個(gè)球,記取到紅球的個(gè)數(shù)為ξ,求ξ的分布列、數(shù)學(xué)期望E(ξ)和方差D(ξ).
11.“石頭、剪刀、布”是一種廣泛流傳于我國(guó)民間的古老游戲,其規(guī)則:用三種不同的手勢(shì)分別表示石頭、剪刀、布,兩個(gè)玩家同時(shí)出示1次手勢(shì)記為1次游戲,“石頭”勝“剪刀”,“剪刀”勝“布”,“布”勝“石頭”;雙方出示的手勢(shì)相同時(shí),不分勝負(fù).假設(shè)玩家甲、乙雙方在游戲時(shí)出示三種手勢(shì)都是等可能的.
(1)求在1次游戲中玩家甲勝玩家乙的概率;
(2)若玩家甲、乙共進(jìn)行了3次游戲,將其中玩家甲勝玩家乙的次數(shù)記作隨機(jī)變量X,假設(shè)每次游戲的結(jié)果互不影響,求X的分布列和方差.
題組四　期望與方差的簡(jiǎn)單應(yīng)用
12.若X是離散型隨機(jī)變量,P(X=x1)=,P(X=x2)=,且x1A. B. C.3 D.
13.將3個(gè)小球放入3個(gè)盒子中,盒子的容量不限,且每個(gè)小球放入每個(gè)盒子的概率相等.記X為分配后所?？蘸械膫€(gè)數(shù),Y為分配后不空盒子的個(gè)數(shù),則(　　)
A.E(X)=E(Y),D(X)=D(Y)
B.E(X)=E(Y),D(X)≠D(Y)
C.E(X)≠E(Y),D(X)=D(Y)
D.E(X)≠E(Y),D(X)≠D(Y)
14.甲、乙兩名射手在一次射擊中的得分為兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量ξ與η,且ξ,η的分布列如下:
ξ 1 2 3
P a 0.1 0.6
η 1 2 3
P 0.3 b 0.3
(1)求a,b的值;
(2)計(jì)算ξ,η的數(shù)學(xué)期望與方差,并以此分析甲、乙的技術(shù)狀況.
能力提升練
　　　　　　　　　　　　　　　　
題組一　離散型隨機(jī)變量的方差
1.已知離散型隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2,3,且P(X≥1)=,P(X=3)=,若X的數(shù)學(xué)期望E(X)=,則D(4X-3)=(　　)
A.19 B.16 C. D.
2.(多選)已知m,n均為正數(shù),隨機(jī)變量X的分布列如下表:
X 0 1 2
P m n m
則下列結(jié)論一定成立的是(　　)
A.P(X=1)B.E(X)=1
C.mn≤
D.D(X+1)<1
3.已知隨機(jī)變量ξ的分布列如下表所示,其中≤p≤.當(dāng)p=　　　　時(shí),E(ξ)取得最大值;當(dāng)p=　　　　時(shí),D(ξ)取得最大值.
ξ 1 2 3
P p -p
4.已知隨機(jī)變量X的分布列如下:
X 0 1 2
P a b c
在①a=b-c,②E(X)=1這兩個(gè)條件中任選一個(gè)作為已知,判斷當(dāng)a在內(nèi)增大時(shí),D(X)是否隨著a的增大而增大,并說明理由.
題組二　離散型隨機(jī)變量的期望與方差的實(shí)際應(yīng)用
5.如圖,某工人的住所在A處,上班的企業(yè)在D處,開車上、下班時(shí)有三條路程幾乎相等的路線可供選擇:環(huán)城南路經(jīng)過路口C,環(huán)城北路經(jīng)過路口F,中間路線經(jīng)過路口G.如果開車到B,C,E,F,G五個(gè)路口時(shí)因遇到紅燈而堵車的概率分別為,,,,,此外再無別的路口會(huì)遇到紅燈.
(1)為了減少開車到路口時(shí)因遇到紅燈而堵車的次數(shù),這位工人應(yīng)該選擇哪條行駛路線
(2)對(duì)于(1)中所選擇的路線,求其堵車次數(shù)的方差.
6.某高校設(shè)計(jì)了一個(gè)實(shí)驗(yàn)學(xué)科的考核方案:考生從6道備選題中一次性隨機(jī)抽取3道題,按照題目要求獨(dú)立完成全部實(shí)驗(yàn)操作,規(guī)定至少正確完成其中2道題才可提交通過.已知6道備選題中考生甲有4道題能正確完成,2道題不能完成;考生乙每道題正確完成的概率都是,且每道題正確完成與否互不影響.
(1)分別寫出甲、乙兩位考生正確完成實(shí)驗(yàn)操作的題數(shù)的分布列,并計(jì)算均值;
(2)試從甲、乙兩位考生正確完成實(shí)驗(yàn)操作的題數(shù)的均值、方差及至少正確完成2道題的概率幾個(gè)方面比較兩位考生的實(shí)驗(yàn)操作能力.
7.某烘焙店加工一個(gè)成本為60元的蛋糕,然后以每個(gè)120元的價(jià)格出售,如果當(dāng)天賣不完,剩下的這種蛋糕將作為廚余垃圾處理.
(1)若烘焙店一天加工16個(gè)這種蛋糕,求當(dāng)天的利潤(rùn)y(單位:元)關(guān)于當(dāng)天的需求量n(單位:個(gè),n∈N)的函數(shù)解析式;
(2)烘焙店記錄了100天內(nèi)這種蛋糕的日需求量(單位:個(gè)),整理得下表:
日需求 量n 14 15 16 17 18 19 20
頻數(shù) 10 20 16 16 15 13 10
X表示當(dāng)天的利潤(rùn)(單位:元),以頻率估計(jì)概率.
①若烘焙店一天加工16個(gè)這種蛋糕,求X的分布列、數(shù)學(xué)期望與方差;
②若烘焙店一天加工16個(gè)或17個(gè)這種蛋糕,僅從獲得利潤(rùn)大的角度考慮,你認(rèn)為應(yīng)加工16個(gè)還是17個(gè)這種蛋糕 請(qǐng)說明理由.
答案與分層梯度式解析
第3章　概率
3.2　離散型隨機(jī)變量及其分布列
3.2.4　離散型隨機(jī)變量的方差
基礎(chǔ)過關(guān)練
1.D　
2.B　由題表中數(shù)據(jù)可知,年薪的平均數(shù)為×(135+95+80×2+70+60×3+52×4+40+31×12)=50.4,所以該公司雇員年薪的方差為×[(135-50.4)2+(95-50.4)2+2×(80-50.4)2+(70-50.4)2+3×(60-50.4)2+4×(52-50.4)2+(40-50.4)2+12×(31-50.4)2]=647.76,
所以該公司雇員年薪的標(biāo)準(zhǔn)差為≈25.5.
故選B.
3.D　由題意可得+++=1,解得a=1,
則E(X)=+2×+3×+4×=3,
所以E(X2)=+4×+9×+16×=10,
所以D(X)=E(X2)-[E(X)]2=10-9=1.故選D.
4.B　由題意得E(X)=1×+0×+(-1)×=,
則D(X)=×+×+×=--+1=-(a+1)2+,
∴當(dāng)實(shí)數(shù)a在(0,1)內(nèi)增大時(shí),D(X)減小.
故選B.
5.答案　6
解析　由題意得E(X)=(1+2+3)×=2,
則D(X)=×[(1-2)2+(2-2)2+(3-2)2]=,
所以D(3X+5)=32D(X)=9×=6.
6.答案　;11
解析　由題表中數(shù)據(jù)得E(ξ)=-2a+0×b+2×=,解得a=,則b=,
所以D(ξ)=×+×+×=,
所以D(2ξ+1)=4D(ξ)=11.
7.解析　(1)由題可得E(η)=0×+10×+20×+50×+60×=16,
則D(η)=(0-16)2×+(10-16)2×+(20-16)2×+(50-16)2×+(60-16)2×=384,
∴=8.
(2)∵Y=2η-E(η),
∴D(Y)=D(2η-E(η))=22D(η)=4×384=1 536.
8.A　由ξ~B可得D(ξ)=4××=,因?yàn)棣?3ξ+2,所以D(η)=9D(ξ)=9×=8,故選A.
9.A　由題意可知X服從兩點(diǎn)分布,且P(X=1)=,故D(X)=×=.故選A.
10.解析　(1)從袋中任取3個(gè)球的情況共有種,恰好取到2個(gè)黃球的情況共有種,
故從袋中任取3個(gè)球,恰好取到2個(gè)黃球的概率P==.
(2)由題意可知,ξ的可能取值為0,1,2,
P(ξ=0)==,P(ξ=1)==,P(ξ=2)==,
故ξ的分布列為
ξ 0 1 2
P
數(shù)學(xué)期望E(ξ)=×0+×1+×2=,
方差D(ξ)=×+×+×=.
11.解析　(1)易知玩家甲、乙在1次游戲中出示的手勢(shì)的所有可能結(jié)果有3×3=9(種),
其中玩家甲勝玩家乙的結(jié)果有甲出“石頭”乙出“剪刀”,甲出“剪刀”乙出“布”,甲出“布”乙出“石頭”,共3種,
所以在1次游戲中玩家甲勝玩家乙的概率為=.
(2)易知X的可能取值為0,1,2,3,
P(X=0)==,
P(X=1)==,
P(X=2)==,
P(X=3)==.
所以X的分布列為
X 0 1 2 3
P
因?yàn)閄~B,所以X的方差D(X)=3××=.
方法總結(jié)
　　若離散型隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布,則其均值和方差既可以利用定義求解,也可以代入二項(xiàng)分布的均值和方差的計(jì)算公式求解.
12.C　∵E(X)=,D(X)=,
∴
解得或(不合題意,舍去),
∴x1+x2=3.
13.C　因?yàn)橐还灿?個(gè)盒子,所以X+Y=3,
因此E(X)=E(3-Y)=3-E(Y),D(X)=D(3-Y)=(-1)2D(Y)=D(Y).
由題意可知X的可能取值為0,1,2,
P(X=0)===,
P(X=2)===,
P(X=1)=1-P(X=0)-P(X=2)=1--=,
故E(X)=×0+×2+×1=,
所以E(Y)=3-E(X)=3-=,故選C.
14.解析　(1)由離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)可知a+0.1+0.6=1,∴a=0.3.
同理,0.3+b+0.3=1,解得b=0.4.
(2)易得E(ξ)=1×0.3+2×0.1+3×0.6=2.3,
E(η)=1×0.3+2×0.4+3×0.3=2,
則D(ξ)=(1-2.3)2×0.3+(2-2.3)2×0.1+(3-2.3)2×0.6=0.81,
D(η)=(1-2)2×0.3+(2-2)2×0.4+(3-2)2×0.3=0.6.
由于E(ξ)>E(η),所以在一次射擊中,甲的平均得分比乙高,但D(ξ)>D(η),說明甲得分的穩(wěn)定性不如乙,因此甲、乙兩人的技術(shù)都不夠全面,各有優(yōu)勢(shì)與劣勢(shì).
能力提升練
1.A　由題知P(X=0)=,設(shè)P(X=1)=a,則P(X=2)=--a=-a,因此E(X)=0×+1×a+2×+3×=,解得a=,因此離散型隨機(jī)變量X的分布列如下:
X 0 1 2 3
P
則D(X)=×+×+×+×=,
因此D(4X-3)=16D(X)=19.故選A.
2.BCD　由分布列的性質(zhì)得m+n+m=2m+n=1,P(X=1)=n,P(X≠1)=2m,當(dāng)m=,n=時(shí),P(X=1)=P(X≠1),故A錯(cuò)誤;易得E(X)=n+2m=1,故B正確;因?yàn)閙,n均為正數(shù),所以1=n+2m≥2,即mn≤,當(dāng)且僅當(dāng)n=2m=時(shí),等號(hào)成立,故C正確;由n=1-2m>0,得03.答案　;
解析　由題意可得E(ξ)=1×p+2×+3×=-2p,因?yàn)椤躳≤,所以當(dāng)p=時(shí),E(ξ)取得最大值.
D(ξ)=p×+×+×=-4p2+p+,
故當(dāng)p=-=時(shí),D(ξ)取得最大值.
4.解析　若選擇①,則有
可得b=,c=-a,
則E(X)=b+2c=-2a,
所以D(X)=·a+·b+·c=-4a2+2a+=-4+,
所以當(dāng)a∈時(shí),D(X)隨著a的增大而增大,當(dāng)a∈時(shí),D(X)隨著a的增大而減小.
若選擇②,則有
可得a=c,
因此D(X)=a+c=2a,
所以當(dāng)a在內(nèi)增大時(shí),D(X)隨著a的增大而增大.
5.解析　(1)設(shè)這位工人選擇行駛路線A—B—C—D、A—F—E—D、A—B—G—E—D時(shí)堵車的次數(shù)分別為X1,X2,X3,則X1,X2的可能取值均為0,1,2,X3的可能取值為0,1,2,3.
P(X1=0)=×=,
P(X1=1)=×+×=,
P(X1=2)=×=,
所以E(X1)=0×+1×+2×=.
P(X2=0)=×=,
P(X2=1)=×+×=,
P(X2=2)=×=,
所以E(X2)=0×+1×+2×=.
P(X3=0)=××=,
P(X3=1)=××+××+××=,
P(X3=2)=××+××+××=,
P(X3=3)=××=,
所以E(X3)=0×+1×+2×+3×=.
綜上,E(X2)最小,所以這位工人應(yīng)該選擇行駛路線A—F—E—D.
(2)由(1)知E(X2)=,P(X2=0)=,
P(X2=1)=,P(X2=2)=,
則D(X2)=×+×+×=,
所以該條行駛路線堵車次數(shù)的方差為.
6.解析　(1)設(shè)考生甲正確完成實(shí)驗(yàn)操作的題數(shù)為ξ,則ξ的可能取值是1,2,3.
P(ξ=1)==,P(ξ=2)==,P(ξ=3)==,
所以ξ的分布列為
ξ 1 2 3
P
E(ξ)=1×+2×+3×=2.
設(shè)考生乙正確完成實(shí)驗(yàn)操作的題數(shù)為η,
易知η~B,
所以P(η=0)==,P(η=1)=×=,P(η=2)==,P(η=3)==.
所以η的分布列為
η 0 1 2 3
P
E(η)=3×=2.
(2)由(1)知E(ξ)=E(η)=2,D(ξ)=(1-2)2×+(2-2)2×+(3-2)2×=,D(η)=3××=,P(ξ≥2)=+=,P(η≥2)=+=.所以D(ξ)P(η≥2),
故從正確完成實(shí)驗(yàn)操作的題數(shù)的均值方面分析,兩人水平相當(dāng);從正確完成實(shí)驗(yàn)操作的題數(shù)的方差方面分析,甲的水平更穩(wěn)定;從至少正確完成2道題的概率方面分析,甲通過的可能性更大.因此甲的實(shí)驗(yàn)操作能力較強(qiáng).
方法總結(jié)
　　利用數(shù)學(xué)期望與方差研究實(shí)際問題中兩個(gè)變量X,Y水平高低的一般步驟:
(1)分別求出兩個(gè)變量X,Y的分布列;
(2)根據(jù)分布列求得各自的數(shù)學(xué)期望與方差;
(3)分別比較兩個(gè)變量的數(shù)學(xué)期望與方差的大小,再得出相應(yīng)的結(jié)論.
7.解析　(1)由題意,當(dāng)n∈[0,16),且n∈N時(shí),利潤(rùn)y=120n-960;
當(dāng)n∈[16,+∞),且n∈N時(shí),利潤(rùn)y=(120-60)×16=960.
綜上,當(dāng)天的利潤(rùn)y關(guān)于當(dāng)天的需求量n的函數(shù)解
析式為y=
(2)①由(1)可得,
當(dāng)n=14時(shí),利潤(rùn)X=120×14-960=720;
當(dāng)n=15時(shí),利潤(rùn)X=120×15-960=840;
當(dāng)n≥16時(shí),利潤(rùn)X=960,
結(jié)合題中表格可得X的分布列為
X 720 840 960
P 0.1 0.2 0.7
所以E(X)=720×0.1+840×0.2+960×0.7=912;
D(X)=(720-912)2×0.1+(840-912)2×0.2+(960-912)2×0.7=6 336.
②若加工17個(gè)這種蛋糕,
當(dāng)n=14時(shí),利潤(rùn)X=120×14-60×17=660;
當(dāng)n=15時(shí),利潤(rùn)X=120×15-60×17=780;
當(dāng)n=16時(shí),利潤(rùn)X=120×16-60×17=900;
當(dāng)n≥17時(shí),利潤(rùn)X=(120-60)×17=1 020.
故X的分布列為
X 660 780 900 1 020
P 0.1 0.2 0.16 0.54
則E(X)=660×0.1+780×0.2+900×0.16+1 020×0.54=916.8>912,
所以從數(shù)學(xué)期望來看,一天加工17個(gè)這種蛋糕的利潤(rùn)高于一天加工16個(gè)這種蛋糕的利潤(rùn),故應(yīng)加工17個(gè)這種蛋糕.(共19張PPT)
1.定義
一般地,若離散型隨機(jī)變量X的分布列為
則稱E(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn為X的數(shù)學(xué)期望或均值.
離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望刻畫了這個(gè)離散型隨機(jī)變量的平均水平.
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
3.2.3　離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望　　
3.2.4　離散型隨機(jī)變量的方差
1 | 離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望
2.公式
(1)若X~B(1,p),則E(X)= p ;
(2)若X~B(n,p),則E(X)= np ;
(3)若X~H(N,M,n),則E(X)= ;
(4)若Y=aX+b,a,b為常數(shù),則E(Y)= aE(X)+b .
1.離散型隨機(jī)變量的方差
(1)定義:設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為
由數(shù)學(xué)期望的公式可知D(X)=E{[X-E(X)]2}= p1+(x2-E(X))2p2+…+
pn,則稱D(X)為隨機(jī)變量X的方差,并稱 為X的標(biāo)準(zhǔn)差.通常還用σ2
表示方差D(X),用σ表示標(biāo)準(zhǔn)差 .
(2)意義:方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小,則隨機(jī)變量的取值向數(shù)學(xué)期望集中得越好;反之,方差
或標(biāo)準(zhǔn)差越大,則隨機(jī)變量的取值就越分散.
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
2 | 離散型隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差
2.公式
(1)若X~B(1,p),則D(X)= p(1-p) ;
(2)若X~B(n,p),則D(X)= np(1-p) ;
(3)若Y=aX+b,a,b為常數(shù),則D(Y)= a2D(X) ;
(4)在方差的計(jì)算中,利用下面的結(jié)論可簡(jiǎn)化計(jì)算.
D(X)=E(X2)-[E(X)]2.簡(jiǎn)記:方差等于平方的均值減去均值的平方.
1.離散型隨機(jī)變量的方差與樣本的方差都是變量嗎
不都是.樣本的方差隨樣本的不同而變化,是一個(gè)隨機(jī)變量,而離散型隨機(jī)變量的方差是通過大量試驗(yàn)得出的,刻畫了隨機(jī)變量X與其均值E(X)的平均偏離程度,因此它是一個(gè)常數(shù).
2.若c為常數(shù),則E(c),D(c)分別為何值
E(c)=c,D(c)=0.
3.隨機(jī)變量的均值與樣本的均值有何區(qū)別與聯(lián)系
隨機(jī)變量的均值是一個(gè)常數(shù),而樣本的均值依賴于樣本的選擇,是一個(gè)隨機(jī)變量.在大多數(shù)情況下,當(dāng)樣本容量足夠大時(shí),樣本均值會(huì)逐漸接近于總體均值,因此,我們常用樣本均值估計(jì)總體的均值.
知識(shí)辨析
1.求離散型隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望的步驟
(1)理解X的意義,并寫出X的全部可能取值.
(2)求出X取每個(gè)值的概率.
(3)寫出X的分布列(有時(shí)也可省略).
(4)利用E(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn求出E(X).
其中第(1)、(2)條是解答此類題目的關(guān)鍵,在求解過程中要注重運(yùn)用概率的相關(guān)知識(shí).
2.實(shí)際生活中的數(shù)學(xué)期望問題
數(shù)學(xué)期望在實(shí)際生活中有著廣泛的應(yīng)用.對(duì)體育比賽的成績(jī)預(yù)測(cè)、消費(fèi)預(yù)測(cè)、工程方案的預(yù)測(cè)、產(chǎn)品合格率的預(yù)測(cè)、投資收益的預(yù)測(cè)等方面,都可以通過隨機(jī)變量的均值來進(jìn)行估計(jì).
1 求離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望
典例1　“雙減”政策實(shí)施后,為了解某地中小學(xué)生周末體育鍛煉的時(shí)間t(單
位:min),某研究人員隨機(jī)調(diào)查了600名學(xué)生,得到的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下表:
(1)估計(jì)這600名學(xué)生周末體育鍛煉時(shí)間的平均數(shù) ;(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間
的中點(diǎn)值作為代表)
(2)在這600人中,用分層抽樣的方法從周末體育鍛煉時(shí)間在[40,60)內(nèi)的學(xué)生中抽
取15人,再?gòu)倪@15人中隨機(jī)抽取3人,記這3人中周末體育鍛煉時(shí)間在[50,60)內(nèi)的
人數(shù)為X,求X的分布列以及數(shù)學(xué)期望E(X).
周末體育鍛煉時(shí)間t(min) [30,40) [40,50) [50,60) [60,70) [70,80) [80,90)
頻率 0.1 0.2 0.3 0.15 0.15 0.1
解析 (1)估計(jì)這600名學(xué)生周末體育鍛煉時(shí)間的平均數(shù) =35×0.1+45×0.2+55×0.3
+65×0.15+75×0.15+85×0.1=58.5(min).
(2)依題意知,抽取的15人中周末體育鍛煉時(shí)間在[40,50)內(nèi)的學(xué)生有6人,在[50,60)
內(nèi)的學(xué)生有9人,易知X~H(15,9,3),
則P(X=0)= = ,P(X=1)= = ,P(X=2)= = ,P(X=3)= = ,
故X的分布列為
E(X)=0× +1× +2× +3× = 或E(X)= = = .
解后反思 在求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望時(shí),若該分布為特殊分布(如超幾何分布等),
則考慮直接利用相應(yīng)的數(shù)學(xué)期望公式速解.
X 0 1 2 3
P
典例2　某投資公司現(xiàn)提供兩種一年期投資理財(cái)方案,一年后投資盈虧的情況
如下表,已知每種投資方案一年后的投資盈虧只可能出現(xiàn)相應(yīng)表格中列舉的幾種
情況,且兩種投資方案相互獨(dú)立.
(1)甲、乙兩人在投資顧問的建議下分別選擇“投資股市”和“購(gòu)買基金”,若
一年后他們中至少有一人盈利的概率大于 ,求m的取值范圍;
(2)若m= ,某人現(xiàn)有10萬元資金,決定在“投資股市”和“購(gòu)買基金”這兩種方
投資股市 獲利40% 不賠不賺 虧損20%
概率P
購(gòu)買基金 獲利20% 不賠不賺 虧損10%
概率P m n
案中選擇一種,那么選擇何種方案可使得一年后的投資收益的數(shù)學(xué)期望較大 請(qǐng)
說明理由.
思路分析 (1)根據(jù)一年后他們中至少有一人盈利的概率大于 列出關(guān)于m的不
等式,求解該不等式并結(jié)合隨機(jī)變量取不同值的概率和為1得到m的取值范圍;
(2)分別求出兩種方案中收益的數(shù)學(xué)期望,通過比較數(shù)學(xué)期望進(jìn)行選擇.
解析 (1)設(shè)事件A為“甲投資股市且盈利”,事件B為“乙購(gòu)買基金且盈利”,事
件C為“一年后甲、乙中至少有一人盈利”,
則C=(A )∪( B)∪(AB),其中A,B相互獨(dú)立.由題表知P( )= ,P(A)= ,P(B)=m,
P( )=1-m,所以P(C)=P(A )+P( B)+P(AB)= (1-m)+ m+ m= (1+m),
由 (1+m)> ,解得m> .
因?yàn)閙+ +n=1且0≤m≤1,0≤n≤1,
所以0≤m≤ ,故 (2)選擇“投資股市”可使得一年后的投資收益的數(shù)學(xué)期望較大.理由如下:
假設(shè)此人選擇“投資股市”,記一年后的投資收益為ξ萬元,則ξ的分布列為
ξ 4 0 -2
P
則E(ξ)=4× +0× -2× = .
假設(shè)此人選擇“購(gòu)買基金”,記一年后的投資收益為η萬元,則η的分布列為
η 2 0 -1
P
則E(η)=2× +0× -1× = .
因?yàn)镋(ξ)>E(η),
所以選擇“投資股市”可使得一年后的投資收益的數(shù)學(xué)期望較大.
1.求離散型隨機(jī)變量X的方差、標(biāo)準(zhǔn)差的步驟
(1)理解X的意義,寫出X的全部可能取值;
(2)求X取各個(gè)值的概率,寫出分布列;
(3)根據(jù)分布列,求出E(X);
(4)根據(jù)公式計(jì)算D(X)、 .
2.方差的計(jì)算技巧
(1)方差的計(jì)算需要一定的運(yùn)算能力,公式的記憶不能出錯(cuò).在隨機(jī)變量X2的均值比較好計(jì)算的情況下,運(yùn)用關(guān)系式D(X)=E(X2)-[E(X)]2進(jìn)行計(jì)算不失為一種比較實(shí)用的方法.
(2)若X是隨機(jī)變量,則Y=f(X)也是隨機(jī)變量,在求Y的數(shù)學(xué)期望與方差時(shí),可直接應(yīng)用數(shù)學(xué)期望與方差的性質(zhì)求解,而避免了求Y的分布列的運(yùn)算.
2 求離散型隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差
典例　已知X的分布列如下:
(1)求X2的分布列;
(2)計(jì)算X的方差;
(3)若Y=4X+3,求Y的均值和方差.
思路分析 (1)由概率之和等于1,求得a,從而求得X2的分布列;(2)直接利用方差的定義或公式D(X)=E(X2)-[E(X)]2計(jì)算X的方差;(3)根據(jù)均值、方差的性質(zhì)求解.
X -1 0 1
P a
解析 (1)由分布列的性質(zhì),知 + +a=1,解得a= ,從而X2的分布列為
(2)解法一(直接法):由(1)知a= ,所以X的均值E(X)=-1× +0× +1× =- .
故X的方差D(X)= × + × + × = .
解法二(公式法):由(1)知a= ,所以X的均值E(X)=-1× +0× +1× =- ,X2的均值
E(X2)=0× +1× = ,所以X的方差D(X)=E(X2)-[E(X)]2= .
(3)因?yàn)閅=4X+3,所以E(Y)=4E(X)+3=2,D(Y)=42D(X)=11.
X2 0 1
P
利用數(shù)學(xué)期望與方差的意義分析并解決實(shí)際問題的步驟
(1)比較數(shù)學(xué)期望.離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望反映了離散型隨機(jī)變量取值的平
均水平,因此,在實(shí)際決策問題中,需先計(jì)算數(shù)學(xué)期望,看一下誰的平均水平高.
(2)在數(shù)學(xué)期望相等的情況下計(jì)算方差.方差反映了離散型隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定
與波動(dòng)、集中與離散的程度.通過計(jì)算方差,分析一下誰的水平發(fā)揮相對(duì)穩(wěn)定.
(3)下結(jié)論.依據(jù)方差的統(tǒng)計(jì)意義給出結(jié)論.
3 數(shù)學(xué)期望與方差在實(shí)際問題中的綜合應(yīng)用
典例　甲、乙兩名射手在一次射擊中射中的環(huán)數(shù)分別為隨機(jī)變量ξ,η,已知ξ,η相互獨(dú)立且甲、乙兩名射手在每次射擊中射中的環(huán)數(shù)大于6,且甲射中10,9,8,7環(huán)的概率分別為0.5,3a,a,0.1,乙射中10,9,8環(huán)的概率分別為0.3,0.3,0.2.
(1)求ξ,η的分布列;
(2)求ξ,η的數(shù)學(xué)期望與方差,并以此比較甲、乙的射擊技術(shù).
思路分析 (1)由分布列的性質(zhì)先求出a的值和乙射中7環(huán)的概率,再分別列出ξ,η的分布列;(2)要比較甲、乙兩名射手的射擊水平,需先比較兩名射手射中環(huán)數(shù)的均值,再比較其方差.
解析 (1)由題意得0.5+3a+a+0.1=1,解得a=0.1.
因?yàn)橐疑渲?0,9,8環(huán)的概率分別為0.3,0.3,0.2,所以乙射中7環(huán)的概率為1-(0.3+0.3+
0.2)=0.2.
所以ξ,η的分布列分別為
ξ 10 9 8 7
P 0.5 0.3 0.1 0.1
η 10 9 8 7
P 0.3 0.3 0.2 0.2
(2)由(1)得:
E(ξ)=10×0.5+9×0.3+8×0.1+7×0.1=9.2,
E(η)=10×0.3+9×0.3+8×0.2+7×0.2=8.7,
D(ξ)=(10-9.2)2×0.5+(9-9.2)2×0.3+(8-9.2)2×0.1+(7-9.2)2×0.1=0.96,
D(η)=(10-8.7)2×0.3+(9-8.7)2×0.3+(8-8.7)2×0.2+(7-8.7)2×0.2=1.21.
由于E(ξ)>E(η),D(ξ)以甲比乙的射擊技術(shù)好.
第3章　概率
3.2　離散型隨機(jī)變量及其分布列
3.2.3　離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望
基礎(chǔ)過關(guān)練
　　　　　　　　　　　　　　　　
題組一　離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望
1.已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如下:
X 1 2 3
P
則數(shù)學(xué)期望E(X)=(　　)
A. B. C.1 D.2
2.某射手射擊所得環(huán)數(shù)ξ的分布列如下表:
ξ 7 8 9 10
P x 0.1 0.3 y
已知ξ的數(shù)學(xué)期望E(ξ)=8.9,則y的值為(　　)
A.0.2 B.0.5 C.0.4 D.0.3
3.某船隊(duì)出海捕魚,若出海后天氣晴朗,則可獲得5 000元收益;若出海后天氣惡劣,將損失2 000元.若天氣晴朗的概率為0.6,則出海的期望收益是(　　)
A.2 000元 B.2 200元 C.2 400元 D.2 600元
4.在某工廠年度技術(shù)工人團(tuán)體技能大賽中,有甲、乙兩個(gè)團(tuán)體進(jìn)行比賽,比賽分兩輪,每輪比賽必有勝負(fù),沒有平局.第一輪比賽甲團(tuán)體獲勝的概率為0.6,第二輪比賽乙團(tuán)體獲勝的概率為0.7,第一輪獲勝團(tuán)體有獎(jiǎng)金5 000元,第二輪獲勝團(tuán)體有獎(jiǎng)金8 000元,未獲勝團(tuán)體每輪有1 000元鼓勵(lì)獎(jiǎng)金.
(1)求甲團(tuán)體至少勝一輪的概率;
(2)記乙團(tuán)體兩輪比賽獲得的獎(jiǎng)金總額為X元,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.
題組二　離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)
5.已知Y=4X+7,E(Y)=15,則E(X)=(　　)
A.67 B.11 C.2 D.1
6.已知ξ,η為隨機(jī)變量,且η=aξ+b,若E(ξ)=1.6,E(η)=3.4,則a,b可能的值為(　　)
A.2,0.2 B.1,4
C.0.5,1.4 D.1.6,3.4
7.(多選)已知隨機(jī)變量X的分布列為
X 4 a 9 10
P 0.3 0.1 b 0.2
若E(X)=7.5,則以下結(jié)論正確的是(　　)
A.a無法確定 B.b=0.4
C.E(aX)=52.5 D.E(X+b)=7.9
題組三　幾種特殊分布的數(shù)學(xué)期望
8.在擲一枚圖釘?shù)碾S機(jī)試驗(yàn)中,令X=若隨機(jī)變量X的分布列如下表,則E(X)=(　　)
X 0 1
P 0.3 p
A.0.21 B.0.3 C.0.5 D.0.7
9.學(xué)校要從10名候選人中選2名同學(xué)組成學(xué)生會(huì),其中高二(1)班有4名候選人,假設(shè)每名候選人都有相同的機(jī)會(huì)被選到,若X表示選到高二(1)班的候選人的人數(shù),則E(X)=(　　)
A. B. C. D.
10.某學(xué)校要招聘志愿者,參加應(yīng)聘的學(xué)生要從8個(gè)試題中隨機(jī)挑選出4個(gè)進(jìn)行作答,至少答對(duì)其中的3個(gè)才能通過初試.已知甲、乙兩人參加初試,在這8個(gè)試題中甲能答對(duì)6個(gè),乙能答對(duì)每個(gè)試題的概率為,且甲、乙兩人是否答對(duì)每個(gè)試題互不影響.
(1)試通過概率計(jì)算,分析甲、乙兩人誰通過初試的可能性更大;
(2)若答對(duì)一題得5分,答錯(cuò)或不答得0分,記乙的得分為Y,求Y的分布列和數(shù)學(xué)期望.
題組四　數(shù)學(xué)期望的綜合應(yīng)用
11.為響應(yīng)市政府“綠色出行”的號(hào)召,小李工作日上下班的出行方式由自駕改為乘坐公共交通或騎共享單車中的一種.據(jù)統(tǒng)計(jì),小李每次出行乘坐公共交通的概率是0.4,騎共享單車的概率是0.6.乘坐公共交通單程所需的費(fèi)用是3元,騎共享單車單程所需的費(fèi)用是1元.記小李在一個(gè)工作日內(nèi)上下班所花費(fèi)的總交通費(fèi)用為X元,假設(shè)小李上下班選擇出行方式是相互獨(dú)立的(小李上下班各計(jì)一次單程).
(1)求小李在一個(gè)工作日內(nèi)上下班的出行費(fèi)用為4元的概率;
(2)求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X).
12.2022年2月4日至20日,第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)在北京、張家口成功舉辦.這場(chǎng)冰雪盛會(huì)是運(yùn)動(dòng)健兒奮力拼搏的舞臺(tái),也是中外文明交流互鑒的舞臺(tái),折射出我國(guó)更加堅(jiān)實(shí)的文化自信,詮釋著新時(shí)代中國(guó)的從容姿態(tài),傳遞出中華兒女與世界人民“一起向未來”的共同心聲.某學(xué)校統(tǒng)計(jì)了全校學(xué)生觀看北京冬奧會(huì)開幕式和閉幕式的時(shí)長(zhǎng)情況(單位:分鐘),并根據(jù)樣本數(shù)據(jù)得到如下圖所示的頻率分布直方圖.
(1)求頻率分布直方圖中a的值,并估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的第85百分位數(shù);
(2)采用分層抽樣方式,從觀看時(shí)長(zhǎng)在[200,280]內(nèi)的學(xué)生中抽取6人.若從這6人中隨機(jī)抽取3人在全校師生面前交流觀看體會(huì),設(shè)抽取的3人中觀看時(shí)長(zhǎng)在[200,240)內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
13.某采購(gòu)商從采購(gòu)的一批水果中隨機(jī)抽取100個(gè),利用水果的等級(jí)分類標(biāo)準(zhǔn)得到的數(shù)據(jù)如下:
等級(jí) 標(biāo)準(zhǔn)果 優(yōu)質(zhì)果 精品果 禮品果
個(gè)數(shù) 10 30 40 20
(1)若將頻率視為概率,從這100個(gè)水果中有放回地隨機(jī)抽取4個(gè),求恰好有2個(gè)水果是禮品果的概率;(結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示)
(2)用樣本估計(jì)總體,果園老板提出兩種購(gòu)銷方案給采購(gòu)商參考.
方案1:不分類賣出,售價(jià)為20元/kg;
方案2:分類賣出,分類后的水果售價(jià)如下,
等級(jí) 標(biāo)準(zhǔn)果 優(yōu)質(zhì)果 精品果 禮品果
售價(jià) (元/kg) 16 18 22 24
從采購(gòu)商的角度考慮,應(yīng)該采用哪種方案
(3)用分層抽樣的方法從這100個(gè)水果中抽取10個(gè),再?gòu)某槿〉?0個(gè)水果中隨機(jī)抽取3個(gè),X表示抽取的是精品果的數(shù)量,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.
能力提升練
　　　　　　　　　　　　　　　　
題組一　離散型隨機(jī)變量的期望
1.已知隨機(jī)變量X的分布列如下,若隨機(jī)變量Y滿足Y=aX+3,E(Y)=,則a的值為(　　)
X -1 0 1
P
A.4 B.-4 C.2 D.-2
2.林老師等可能地從1~3中抽取一個(gè)數(shù)字,記為X,葉老師等可能地從1~5中抽取一個(gè)數(shù)字,記為Y,已知E(XY)=p1+2p2+…+15p15,其中pk是XY=k的概率,且1≤k≤15,k∈N+,則E(XY)=(　　)
A.3 B.5 C.6 D.8
3.為弘揚(yáng)中國(guó)優(yōu)秀傳統(tǒng)文化,某校計(jì)劃開展“四書”經(jīng)典誦讀比賽活動(dòng).某班有4位同學(xué)參賽,每人從《大學(xué)》《中庸》《論語》《孟子》這4本書中選取1本進(jìn)行準(zhǔn)備,且各自選取的書均不相同.比賽時(shí),若這4位同學(xué)從這4本書中隨機(jī)抽取1本選擇其中的內(nèi)容誦讀,則抽到自己準(zhǔn)備的書的人數(shù)的均值為(　　)
A. B.1 C. D.2
4.(多選)已知隨機(jī)變量X的分布列如下表:
X -1 0 1
P a b
記“函數(shù)f(x)=3sinπ(x∈R)是偶函數(shù)”為事件A,則　　(　　)
A.P(A)= B.E(X)=
C.E(X)=-2a D.E(X2)=
5.小明上學(xué)途中共有n個(gè)紅綠燈,且小明遇到每個(gè)紅燈的概率均為,記小明在某次上學(xué)途中遇到紅燈的次數(shù)為ξ,若小明此次上學(xué)途中恰好遇到兩個(gè)紅燈的概率為,則n=　　　　,E(ξ)=　　　　.
題組二　期望的實(shí)際應(yīng)用
6.某公司打算引進(jìn)一臺(tái)設(shè)備使用一年,現(xiàn)有甲、乙兩種設(shè)備可供選擇.甲設(shè)備每臺(tái)10 000元,乙設(shè)備每臺(tái)9 000元.此外設(shè)備使用期間還需維修,對(duì)于每臺(tái)設(shè)備,一年間三次及三次以內(nèi)免費(fèi)維修,三次以外的維修費(fèi)用均為每次1 000元.該公司統(tǒng)計(jì)了曾使用過的甲、乙各50臺(tái)設(shè)備在一年間的維修次數(shù),得到下面的頻數(shù)分布表,以頻率代替概率.
維修次數(shù) 2 3 4 5 6
甲設(shè)備 5 10 30 5 0
乙設(shè)備 0 5 15 15 15
(1)設(shè)甲、乙兩種設(shè)備一臺(tái)的購(gòu)買費(fèi)用與一年間維修費(fèi)用總額分別為X元和Y元,求X和Y的分布列;
(2)若以數(shù)學(xué)期望為決策依據(jù),希望購(gòu)買設(shè)備和一年間維修的花費(fèi)總額盡量低,且維修次數(shù)盡量少,則需要購(gòu)買哪種設(shè)備 請(qǐng)說明理由.
7.暑假里,大學(xué)二年級(jí)的同學(xué)H去他家附近的某個(gè)大型水果超市打工.他發(fā)現(xiàn)該超市每天以10元/千克的價(jià)格從中心倉(cāng)庫購(gòu)進(jìn)若干A水果,然后以15元/千克的價(jià)格出售,若有剩余,則將剩余的水果以8元/千克的價(jià)格退回中心倉(cāng)庫.同學(xué)H記錄了打工期間A水果在50天內(nèi)的日需求量(單位:千克),整理得下表:
日需求量 140 150 160 170 180 190 200
頻數(shù) 5 10 8 8 7 7 5
以上表中各日需求量的頻率作為各日需求量的概率,解答下面的兩個(gè)問題.
(1)若超市明天購(gòu)進(jìn)A水果150千克,記超市明天所獲利潤(rùn)為X元,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望;
(2)若超市明天可以購(gòu)進(jìn)A水果150千克或160千克,以超市明天所獲利潤(rùn)的期望為決策依據(jù),在150千克與160千克之中應(yīng)當(dāng)選擇哪一個(gè) 若受市場(chǎng)影響,剩余的水果只能以7元/千克的價(jià)格退回中心倉(cāng)庫,又該選擇哪一個(gè) 請(qǐng)說明理由.
8.某夜市街上有“十元套圈”小游戲,游戲規(guī)則為每個(gè)顧客支付十元便可獲得3個(gè)套圈,顧客使用套圈所套得的獎(jiǎng)品可歸顧客所有.獎(jiǎng)品分別擺放在1,2,3三個(gè)相互間隔的區(qū)域中,且1,2,3三個(gè)區(qū)域的獎(jiǎng)品的價(jià)值分別為5元,15元,20元,每個(gè)套圈只能使用一次,每次至多能套中一個(gè).小張付十元參與這個(gè)游戲,假設(shè)他每次在1,2,3三個(gè)區(qū)域套中獎(jiǎng)品的概率分別為0.6,0.2,0.1,且每次的結(jié)果互不影響.
(1)求小張?jiān)?,2,3三個(gè)區(qū)域各套一次后,所獲獎(jiǎng)品不超過1件的概率;
(2)若在1,2,3三個(gè)區(qū)域各套一次為方案甲,所獲獎(jiǎng)品的總價(jià)值為X元;在2區(qū)域連套三次為方案乙,所獲獎(jiǎng)品的總價(jià)值為Y元.以三次所套獎(jiǎng)品總價(jià)值的數(shù)學(xué)期望為依據(jù),小張應(yīng)該選擇方案甲還是方案乙
答案與分層梯度式解析
第3章　概率
3.2　離散型隨機(jī)變量及其分布列
3.2.3　離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望
基礎(chǔ)過關(guān)練
1.D　
2.C　由題意,得
解得故選C.
3.B　由題意知,出海的期望收益為5 000×0.6+(-2 000)×(1-0.6)=3 000-800=2 200(元).
故選B.
4.解析　(1)記第一輪甲團(tuán)體獲勝為事件A,第二輪乙團(tuán)體獲勝為事件B,則P(A)=0.6,P(B)=0.7,P()=1-0.6=0.4,P()=1-0.7=0.3,
第一輪甲勝、第二輪乙勝的概率P(AB)=0.6×0.7=0.42;
第一輪乙勝、第二輪甲勝的概率P()=0.4×0.3=0.12;
第一輪甲勝、第二輪甲勝的概率P(A)=0.6×0.3=0.18,
故甲團(tuán)體至少勝一輪的概率P=0.42+0.12+0.18=0.72.
(2)由已知可得X的可能取值為2 000,6 000,9 000,13 000,
P(X=2 000)=P(A)=0.6×0.3=0.18;
P(X=6 000)=P()=0.4×0.3=0.12;
P(X=9 000)=P(AB)=0.6×0.7=0.42;
P(X=13 000)=P(B)=0.4×0.7=0.28.
所以X的分布列為
X 2 000 6 000 9 000 13 000
P 0.18 0.12 0.42 0.28
則E(X)=2 000×0.18+6 000×0.12+9 000×0.42+13 000×0.28=8 500.
5.C　
6.A　E(η)=E(aξ+b)=aE(ξ)+b=1.6a+b=3.4,
把選項(xiàng)逐個(gè)代入驗(yàn)證,只有A滿足,故選A.
7.BCD　由分布列的性質(zhì),可知0.3+0.1+b+0.2=1,解得b=0.4,故B正確;
∵E(X)=4×0.3+a×0.1+9×0.4+10×0.2=6.8+0.1a=7.5,∴a=7,故A不正確;
由期望的性質(zhì),可知E(aX)=aE(X)=7×7.5=52.5,
E(X+b)=E(X)+b=7.5+0.4=7.9,故C,D均正確.
故選BCD.
8.D　易知0.3+p=1,所以p=0.7,
所以E(X)=0×0.3+1×0.7=0.7.
9.D　由題意得隨機(jī)變量X~H(10,4,2),所以E(X)==.
10.解析　(1)由題意得,甲通過初試的概率P1=+=,
乙通過初試的概率P2=+=.
∵>,∴甲通過初試的可能性更大.
(2)設(shè)乙答對(duì)試題的個(gè)數(shù)為X,則X的可能取值為0,1,2,3,4,且X~B,
∴P(X=0)==,
P(X=1)==,
P(X=2)==,
P(X=3)==,
P(X=4)==,
易知Y=5X,
∴Y的分布列為
Y 0 5 10 15 20
P
E(Y)=5×4×=15.
11.解析　(1)在一個(gè)工作日內(nèi)上下班的出行費(fèi)用為4元,即乘坐公共交通和騎共享單車各一次,
其概率為P(X=4)=2×0.4×0.6=0.48.
(2)依題意,X的可能取值是2,4,6,
P(X=2)=0.6×0.6=0.36,
P(X=4)=0.48,
P(X=6)=0.4×0.4=0.16,
因此X的分布列為
X 2 4 6
P 0.36 0.48 0.16
X的數(shù)學(xué)期望E(X)=2×0.36+4×0.48+6×0.16=3.6.
12.解析　(1)由題圖可知40×(0.000 5+0.002×2+2a+0.006+0.006 5)=1,解得a=0.004.
觀看時(shí)長(zhǎng)在200分鐘以下的占比為40×(0.000 5+0.002+0.004+0.006+0.006 5)=0.76,
觀看時(shí)長(zhǎng)在240分鐘以下的占比為0.76+40×0.004=0.92,
所以樣本數(shù)據(jù)的第85百分位數(shù)位于[200,240)內(nèi),故樣本數(shù)據(jù)的第85百分位數(shù)可估計(jì)為200+40×=222.5.
(2)由題圖知,觀看時(shí)長(zhǎng)在[200,240),[240,280]內(nèi)的頻率分別為0.16和0.08,
所以應(yīng)在這兩個(gè)區(qū)間中分別抽取4人和2人.
于是X的所有可能取值為1,2,3,
P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==.
故X的分布列為
X 1 2 3
P
X的數(shù)學(xué)期望E(X)=1×+2×+3×=2.
13.解析　(1)設(shè)“從100個(gè)水果中隨機(jī)抽取1個(gè),抽到禮品果”為事件A,則P(A)==,
現(xiàn)有放回地隨機(jī)抽取4個(gè),設(shè)抽到禮品果的個(gè)數(shù)為Z,則Z~B,
∴恰好抽到2個(gè)禮品果的概率P(Z=2)=×=.
(2)設(shè)方案2中水果的售價(jià)為Y,則
E(Y)=16×+18×+22×+24×==20.6.
∵E(Y)>20,
∴從采購(gòu)商的角度考慮,應(yīng)該采用方案1.
(3)用分層抽樣的方法從100個(gè)水果中抽取10個(gè),則其中精品果4個(gè),非精品果6個(gè).
易知X服從超幾何分布,其可能的取值為0,1,2,3.
P(X=0)==,P(X=1)==,
P(X=2)==,P(X=3)==,
∴X的分布列為
X 0 1 2 3
P
∴E(X)=0×+1×+2×+3×=.
能力提升練
1.A　易得E(X)=-1×+0×+1×=-.
∵Y=aX+3,∴E(Y)=aE(X)+3=a×+3=,
∴a=4,故選A.
2.C　依題意得,P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=,P(Y=1)=P(Y=2)=P(Y=3)=P(Y=4)=P(Y=5)=,所以E(X)=1×+2×+3×=2,E(Y)=1×+2×+3×+4×+5×=3,易知X與Y的獲取相互獨(dú)立,所以E(XY)=E(X)E(Y)=6,故選C.
3.B　記抽到自己準(zhǔn)備的書的學(xué)生人數(shù)為X,則X的可能取值為0,1,2,4,
P(X=0)==;P(X=1)==;
P(X=2)==;P(X=4)==,
則E(X)=0×+1×+2×+4×=1.
故選B.
4.ACD　因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=3sinπ(x∈R)是偶函數(shù),所以π=+kπ,k∈Z,所以X=2k+1,k∈Z,
又因?yàn)閄=-1,0,1,所以事件A表示X=±1,
所以P(A)=a+b=1-=,
E(X)=(-1)×a+0×+1×b=b-a=-2a,
隨機(jī)變量X2的可能取值為0,1,
P(X2=0)=,P(X2=1)=,
所以E(X2)=0×+1×=.
故選ACD.
5.答案　4;
解析　由題意得P(ξ=2)==,
則n(n-1)=,顯然n≥2且n∈N+,
當(dāng)n=2時(shí),2×1×=2≠;當(dāng)n=3時(shí),3×2×=4≠;
當(dāng)n=4時(shí),4×3×=,
因此n=4.易知ξ~B,故E(ξ)=4×=.
6.解析　(1)由題中頻數(shù)分布表可知,X的可能取值為10 000,11 000,12 000,
P(X=10 000)==,
P(X=11 000)==,
P(X=12 000)==.
因此X的分布列為
X 10 000 11 000 12 000
P
Y的可能取值為9 000,10 000,11 000,12 000,
P(Y=9 000)==,
P(Y=10 000)==,
P(Y=11 000)==,
P(Y=12 000)==.
因此Y的分布列為
Y 9 000 10 000 11 000 12 000
P
(2)由(1)可得,E(X)=10 000×+11 000×+12 000×=10 800,
E(Y)=9 000×+10 000×+11 000×+12 000×=10 800.
設(shè)甲、乙兩種設(shè)備一年內(nèi)的維修次數(shù)分別為X1、Y1,
X1的可能取值為2,3,4,5,
P(X1=2)==,P(X1=3)==,
P(X1=4)==,P(X1=5)==.
因此X1的分布列為
X1 2 3 4 5
P
所以E(X1)=2×+3×+4×+5×=3.7.
Y1的可能取值為3,4,5,6,
P(Y1=3)==,P(Y1=4)==,
P(Y1=5)==,P(Y1=6)==.
因此Y1的分布列為
Y1 3 4 5 6
P
所以E(Y1)=3×+4×+5×+6×=4.8.
由于E(X)=E(Y),E(X1)7.解析　(1)若A水果明天的需求量為140千克,則X=140×(15-10)-(150-140)×(10-8)=680,且P(X=680)==0.1;
若A水果明天的需求量不少于150千克,則X=150×(15-10)=750,且P(X=750)=1-0.1=0.9,
故X的分布列為
X 680 750
P 0.1 0.9
故E(X)=680×0.1+750×0.9=743.
(2)若該超市一天購(gòu)進(jìn)A水果160千克,設(shè)當(dāng)天所獲利潤(rùn)為Y元,則Y的可能取值為140×5-20×2=660,150×5-10×2=730,160×5=800,
P(Y=660)==0.1,P(Y=730)==0.2,P(Y=800)==0.7,
故E(Y)=660×0.1+730×0.2+800×0.7=772,
因?yàn)?72>743,所以超市應(yīng)購(gòu)進(jìn)A水果160千克.
當(dāng)剩余水果只能以7元/千克的價(jià)格退回中心倉(cāng)庫時(shí),同理可得X的分布列為
X 670 750
P 0.1 0.9
故E(X)=670×0.1+750×0.9=742.
Y的分布列為
Y 640 720 800
P 0.1 0.2 0.7
故E(Y)=640×0.1+720×0.2+800×0.7=768.
因?yàn)?68>742,所以超市應(yīng)購(gòu)進(jìn)A水果160千克.
方法總結(jié)
　　常利用數(shù)學(xué)期望來解決最優(yōu)方案問題,如果是成本最省問題,則應(yīng)選擇成本的數(shù)學(xué)期望較小的方案;如果是利潤(rùn)最大問題,則應(yīng)選擇總利潤(rùn)的數(shù)學(xué)期望較大的方案.8.解析　記小張分別在1,2,3三個(gè)區(qū)域各套一次便能套中獎(jiǎng)品的事件為A,B,C,
則P(A)=0.6,P(B)=0.2,P(C)=0.1,P()=0.4,P()=0.8,P()=0.9.
(1)因?yàn)槊看蔚慕Y(jié)果互不影響,所以小張?jiān)?,2,3三個(gè)區(qū)域各套一次后,所獲獎(jiǎng)品不超過1件的概率為P()P()P()+P(A)P()P()+P()P(B)·P()+P()P()P(C)=0.824.
(2)若選擇方案甲,則X的可能取值為0,5,15,20,25,35,40,
P(X=0)=P()P()P()=0.288,
P(X=5)=P(A)P()P()=0.432,
P(X=15)=P()P(B)P()=0.072,
P(X=20)=P()P()P(C)+P(A)P(B)P()=0.14,
P(X=25)=P(A)P()P(C)=0.048,
P(X=35)=P()P(B)P(C)=0.008,
P(X=40)=P(A)P(B)P(C)=0.012,
故E(X)=0×0.288+5×0.432+15×0.072+20×0.14+25×0.048+35×0.008+40×0.012=8.
若選擇方案乙,設(shè)小張所獲獎(jiǎng)品的總件數(shù)為Z,則Z~B(3,0.2),Y=15Z,
故E(Z)=3×0.2=0.6,E(Y)=15E(Z)=9,
因?yàn)镋(Y)>E(X),所以小張應(yīng)該選擇方案乙.

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