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1.連續型隨機變量的概念
并非所有的隨機變量的取值都能一一列出,如電燈泡的壽命X的可能取值是任何
一個非負實數,我們是無法一一列出的.
一般地,如果隨機變量可以取某一區間內的一切值,這樣的變量叫作連續型隨機變量.顯然電燈泡的壽命X就是一個連續型隨機變量.
2.離散型隨機變量與連續型隨機變量的聯系與區別
聯系:都是用來刻畫隨機試驗可能出現的結果的.
區別:離散型隨機變量的可能值或者是有限個,或者是可數無窮多個,而連續型隨
機變量的取值不是有限個或可數無窮多個.
3.3　正態分布
1 | 連續型隨機變量
1.正態曲線的概念
當隨機變量X的概率密度曲線呈現“中間高,兩邊低,左右大致對稱”的特點時,我
們把具有這種特性的曲線叫作正態分布密度曲線,簡稱正態曲線.
2.正態分布的概念
正態曲線的函數表達式為p(x)= (-∞0,μ
∈R.p(x)稱為概率密度函數.此時,我們稱隨機變量X服從參數為μ和σ2的正態分布,
簡記為X~N(μ,σ2).
2 | 正態分布
3.正態分布密度曲線的特點
(1)曲線位于x軸上方,與x軸不相交;
(2)曲線是單峰的,它關于直線x=μ對稱;
(3)p(x)在x=μ處達到最大值 ;
(4)當σ一定時,曲線隨著μ的變化而沿x軸平移;
(5)σ越大,正態曲線越扁平,σ越小,正態曲線越尖陡;
(6)曲線與x軸之間所夾區域的面積等于1.
4.標準正態分布
數學期望μ=0,方差σ2=1時的正態分布稱為標準正態分布,其密度函數記為φ(x)=
(-∞1.若X~N(μ,σ2),則隨機變量X在μ的附近取值的概率較大,在離μ較遠處取值的概率較小,且
P(μ-σ2.3 σ原則
在實際應用中,通常認為服從正態分布N(μ,σ2)的隨機變量X只取(μ-3σ,μ+3σ)之間的值,并簡稱為3σ原則.
因為P(μ-3σ3 | 3σ原則
1.概率密度函數p(x)最值的情況是怎樣的
由概率密度函數p(x)的圖象可知,p(x)有最大值,最大值為 , 但無最小值.
2.若隨機變量X~N(μ,σ2),則X可能是離散型隨機變量嗎
不可能.X為連續型隨機變量.
3.X的概率密度函數中的參數μ,σ分別是指X的數學期望和方差,對嗎
不對.μ是指X的數學期望或均值,但σ是指X的標準差.
4.概率密度曲線與離散型隨機變量的分布列在刻畫隨機變量X的取值及概率方
面的作用相同,對嗎
對.它們均能反映隨機變量X的取值規律以及它的取值在某個區間的概率.
知識辨析
在正態分布下求概率的關鍵在于恰當地利用正態曲線的對稱性,把待求概率的區間轉化為已知概率的區間.當條件中無已知概率時,則要將區間轉化為三個特殊區間:(μ-σ,μ+σ),(μ-2σ,μ+2σ),(μ-3σ,μ+3σ),利用隨機變量X在這三個特殊區間取值的概率進行計算.
一般地,若隨機變量X服從正態分布N(μ,σ2),則
(1)P(X≥a)=1-P(X(2)對任意的實數a,有P(X≤μ-a)=P(X≥μ+a);
(3)P(a≤X≤b)=P(X≤b)-P(X1 正態分布的概率問題
典例 (1)已知隨機變量X服從正態分布N(2,σ2),且P(X<4)=0.8,則P(0A.0.6　 B.0.4　 C.0.3　 D.0.2
(2)某地區一次聯考的數學成績X近似地服從正態分布N(85,σ2),已知P(X≤122)=0.96,現隨機從這次考試的成績中抽取一個容量為100的樣本,則成績低于48分的個體數大約為 (　 )
A.6　 B.4　 C.94　 D.96
(3)在某項測量中,測量結果X服從正態分布N(1,4),則X在(-1,1)內取值的概率約為
　　 .(若X~N(μ,σ2),則P(μ-σ解析 (1)∵隨機變量X服從正態分布N(2,σ2),∴μ=2,即正態曲線的對稱軸是直線x=2.
∵P(X<4)=0.8,∴P(X≥4)=P(X≤0)=0.2,
∴P(0∴P(0故選C.
(2)由P(X≤122)=0.96,可得P(X>122)=0.04,
所以P(X<48)=0.04,
所以成績低于48分的個體數大約為100×0.04=4.
故選B.
(3)由題意得μ=1,σ=2,
所以P(-1因為此正態曲線關于直線x=1對稱,
所以P(-1答案 (1)C (2)B (3)0.341 35
2 正態分布的實際應用
利用服從正態分布N(μ,σ2)的隨機變量X在三個特殊區間上取值的概率,可以解決兩類實際問題:
一類是估計在某一范圍內的數量,具體方法是先確定隨機變量在該范圍內取值的概率,再乘樣本容量.
另一類是利用3σ原則做決策.決策步驟如下:①確定一次試驗中取值a是否落入范圍(μ-3σ,μ+3σ);②做出判斷,若a∈(μ-3σ,μ+3σ),則接受統計假設,若a (μ-3σ,μ+3σ),則拒絕統計假設.
典例　法國數學家龐加萊是個喜歡吃面包的人,他每天都會到同一家面包店購買一個面包.該面包店的面包師聲稱自己所出售的面包的平均質量是1 000 g,上下浮動不超過
50 g.這句話用數學語言來表達就是:每個面包的質量服從均值為1 000 g,標準差為50 g的正態分布.
(1)已知如下結論:若X~N(μ,σ2),從X的取值中隨機抽取k(k∈N+,k≥2)個數據,記這k個數據的平均值為Y,則隨機變量Y~N .利用該結論解決下面問題.
(i)假設面包師的說法是真實的,隨機購買25個面包,記這25個面包的平均值為Y,求P(Y<
980).
(ii)龐加萊每天都會將買來的面包稱重并記錄,25天后,得到的數據都落在(950,1 050)內,并經計算得這25個面包的質量的平均值為978.72 g.龐加萊通過分析舉報了該面包師,從概率角度說明龐加萊舉報該面包師的理由.
(2)假設有兩箱面包(面包除顏色外,其他都一樣),已知第一箱中共裝有6個面包,其中黑色面包有2個;第二箱中共裝有8個面包,其中黑色面包有3個.現隨機挑選一箱,然后從該箱中隨機取出2個面包.求取出黑色面包的個數的分布列及數學期望.附:①若隨機變量η服從正態分布N(μ,σ2),則P(μ-σ<η<μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ<η<μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ<η<μ+3σ)≈0.997 3;
②通常把發生概率小于0.05的事件稱為小概率事件,并認為小概率事件基本不會發生.
解析 (1)(i)因為 =100,所以Y~N(1 000,102),
因為P(μ-2σ所以P(Y<μ-2σ)= =0.022 75,
因為980=1 000-2×10,
所以P(Y<980)=P(Y<μ-2σ)=0.022 75.
(ii)由(i)知P(Y<980)=P(Y<μ-2σ)=0.022 75,龐加萊計算得這25個面包的質量的平
均值為978.72 g,978.72<980,而0.022 75<0.05,故從面包店隨機購買25個面包,這25
個面包的質量的平均值小于978.72 g,為小概率事件,小概率事件基本不會發生,這
就是龐加萊舉報該面包師的理由.
(2)設取出黑色面包的個數為隨機變量ξ,則ξ的可能取值為0,1,2,
P(ξ=0)= × × + × × = ,
P(ξ=1)= × × ×2+ × × ×2= ,
P(ξ=2)= × × + × × = ,
故ξ的分布列為
ξ 0 1 2
P
數學期望E(ξ)= ×0+ ×1+ ×2= .第3章　概率
3.3　正態分布
　　　　　　　　　　　　　　　　
題組一　正態曲線及其特點
1.若隨機變量ξ~N(μ,σ2),其概率密度函數為φ(x)=(x∈R),則σ的值為(　　)
A.1 B.2 C.4 D.8
2.已知隨機變量X的概率密度函數為f(x)=,若P(X>2a+1)=P(X<1-a),則a=(　　)
A.-2 B.0 C.1 D.2
3.(多選)正態分布N(1,σ2)的密度曲線如圖所示,則下列選項中,可以表示圖中陰影部分面積的是(　　)
A.-P(X≤0)
B.-P(X≥2)
C.P(X≤2)-P(X≤0)
D.-P(1≤X≤2)
4.已知連續型隨機變量Xi~N(μi,)(i=1,2,3),其正態曲線如圖所示,則下列結論正確的是(　　)
A.P(X1≤μ2)B.P(X2≥μ2)>P(X3≥μ3)
C.P(X1≤μ2)D.P(μi-2σi≤Xi≤μi+2σi)=P(-2≤≤+2)(i=1,2)
題組二　標準正態分布
5.設隨機變量X~N(0,1),f(x)=P(X≥x),其中x>0,則下列等式成立的是(　　)
A. f(2x)=2f(x)
B. f(-x)=1-f(x)
C.P(X≤x)=2f(x)-1
D.P(|X|≥x)=2-f(x)
6.若隨機變量X服從正態分布N(0,1),且X在區間(-2,-1)和(1,2)上取值的概率分別為P1,P2,則P1,P2的大小關系為　　　　.
題組三　正態分布的概率計算
7.已知隨機變量X服從正態分布N(3,σ2),且P(X>5)=0.2,則P(1A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4
8.已知隨機變量X~N(5,1),且P(μ-σA.0.135 8 B.0.135 9 C.0.271 6 D.0.271 8
9.若隨機變量ξ服從正態分布N(μ,σ2),則P(μ-σ<ξ< μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ<ξ< μ+2σ)≈0.954 5.設ξ~N(1,σ2),且P(ξ≥3)≈0.158 65,則σ=　　　　.
10.已知隨機變量X~N(μ,σ2),其正態曲線在(-∞,80)上單調遞增,在(80,+∞)上單調遞減,且P(72(1)求參數μ,σ的值;
(2)求P(64題組四　正態分布的應用
11.某城市每年6月份的平均氣溫t(單位:℃)近似服從N(28,σ2),若P(28≤t≤30)=0.3,則可估計該城市6月份平均氣溫低于26 ℃的天數為(　　)
A.8 B.7 C.6 D.5
12.某班有60名學生,一次考試后的數學成績ξ近似服從正態分布N(110,σ2),若P(100≤ξ≤110)=0.35,則估計該班學生數學成績在120分以上的人數為　(　　)
A.10 B.9 C.8 D.7
13.(多選)已知在某市的一次學情檢測中,學生的數學成績X服從正態分布N(100,100),其中90分為及格線,120分為優秀線,下列說法正確的是　(　　)
附:若隨機變量ξ服從正態分布N(μ,σ2),則P(μ-σ<ξ< μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ<ξ< μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ<ξ< μ+3σ)≈0.997 3.
A.該市學生數學成績的標準差為100
B.該市學生數學成績的均值為100
C.該市學生數學成績的及格率超過0.8
D.該市學生數學成績不及格的人數和優秀的人數大致相等
14.已知某校高三女生的身高X(單位:cm)近似地服從正態分布N(163,52).若隨機選擇一名該校的女生,其身高不高于168 cm的概率為　　　　.
注:若X~N(μ,σ2),則P(μ-σ15.在某次數學考試中,考生的成績X近似服從正態分布N(90,100).
(1)求考試成績X位于區間(70,110)內的概率;
(2)若這次考試共有20 000名考生,估計考試成績在(80,100)之間的考生人數.
注:P(μ-σ能力提升練
　　　　　　　　　　　　　　　　
題組一　正態分布及其概率計算
1.已知隨機變量ξ服從正態分布N(μ,σ2),若函數f(x)=P(x≤ξ≤x+1)為偶函數,則μ=(　　)
A.- B.0 C. D.1
2.設隨機變量ξ~N(μ,4),函數f(x)=x2+2x-ξ沒有零點的概率是0.5,則P(1<ξ<3)=(　　)
附:若ξ~N(μ,σ2),則P(μ-σA.0.158 7 B.0.135 9
C.0.271 8 D.0.341 3
題組二　正態分布的實際應用
3.江西某中學為測試高三學生的數學水平,組織學生參加了聯考,共有1 000名學生參加,已知該校上次測試中,成績X(滿分150分)服從正態分布N(100,σ2),且120分及以上的人數為160,假設這次考試成績和上次成績的分布相同,那么可推測這次數學成績優異的人數為(成績在140分及以上者為優異)(　　)
注:若X~N(μ,σ2),則P(μ-σA.20 B.25 C.30 D.40
4.(多選)“雜交水稻之父”袁隆平一生致力于雜交水稻技術的研究、應用與推廣,發明了“三系法”秈型雜交水稻,成功研究出“兩系法”雜交水稻,創建了超級雜交稻技術體系,為我國糧食安全、農業科學發展和世界糧食供給做出了杰出貢獻.袁老領銜的科研團隊成功攻破水稻超高產育種難題,不斷刷新畝產量的紀錄,現有甲、乙兩個試驗田,根據數據統計,甲、乙試驗田超級稻畝產量(分別記為ξ,η)均服從正態分布,其中ξ~N(μ1,),η~N(μ2,).如圖,已知μ1=1 150,μ2=1 130,=2 500,=1 600,兩條正態曲線在直線x=μ2左側交于點M(x0,y0),則下列說法正確的是(　　)
A.P(ξ< μ1)B.P(η< μ1)>P(η< μ2)
C.P(ξ>x0)x0)
D.P(ξ>1 250)>P(η<1 050)
5.已知某品牌電子元件的使用壽命X(單位:天)服從正態分布N(98,64).
(1)一個該品牌電子元件的使用壽命超過100天的概率為　　　　;
(2)由三個該品牌的電子元件組成的一條電路(如圖所示)在100天后仍能正常工作(要求K能正常工作,A,B中至少有一個能正常工作,且每個電子元件能否正常工作相互獨立)的概率為　　　　.
注:若X~N(μ,σ2),則P(μ-0.25σ6.為建設粵港澳大灣區教育高地,辦人民滿意的教育,深入推進基礎教育課堂教學改革,提升教育質量,某高中探索了一種課堂教學改進項目.某研究機構為了解實施新項目后的教學效果,通過隨機抽樣調查了該校某年級100位學生,對這些學生的課堂測試成績進行了統計,得到樣本的頻率分布直方圖,如圖所示.
(1)記這些學生課堂測試成績的分數為X,若X近似地服從正態分布N(μ,100),其中μ近似為樣本平均數(同一組中的數據用該組區間的中點值表示),求P(64(2)為進一步了解,研究機構采用分層抽樣的方法從課堂測試成績的分數在[50,60),[60,70),[80,90)內的學生中共抽取10人,再從中任選3人進行調查,求抽到分數在[80,90)內的人數ξ的分布列和數學期望.
參考數據:若X~N(μ,σ2),則P(μ-σ7.某車間生產一批零件,現從中隨機抽取10個零件,測量其內徑Z(單位:cm)的數據如下:
87　　87　　88　　92　　95　　97　　98　　99　　103　　104
設這10個數據的平均值為μ,標準差為σ.
(1)求μ與σ;
(2)假設這批零件的內徑Z(單位:cm)服從正態分布N(μ,σ2).
①從這批零件中隨機抽取5個,設這5個零件中內徑大于107 cm的零件個數為X,求D(2X+1);
②若該車間又購進一臺新設備,安裝調試后,試生產了5個零件,測量其內徑分別為76,85,93,99,108(單位:cm),以原設備生產性能為標準,試問這臺設備是否需要進一步調試 說明你的理由.
參考數據:若X~N(μ,σ2),則P(μ-2σ答案與分層梯度式解析
第3章　概率
3.3　正態分布
基礎過關練
1.B　
2.D　依題意,可得2a+1+1-a=4,解得a=2.故選D.
3.ABC　易知此正態分布密度曲線關于直線x=1對稱,故圖中陰影部分可表示為P(0P(0P(0-P(1≤X≤2)=P(X≤0)=P(X≥2),故D錯誤.
故選ABC.
4.D　對于A,P(X1≤μ2)是題中y=f1(x)的圖象在第二條豎向虛線左側的部分與x軸圍成的圖形的面積,P(X2≤μ1)是題中y=f2(x)的圖象在第一條豎向虛線左側的部分與x軸圍成的圖形的面積,
由題圖可知P(X1≤μ2)>P(X2≤μ1),故A錯誤;
對于B,P(X2≥μ2)=,P(X3≥μ3)=,則P(X2≥μ2)=P(X3≥μ3),故B錯誤;
對于C,與A中分析相同,P(X1≤μ2)>P(X2≤μ3),故C錯誤;
對于D,由于正態分布中,隨機變量X落在某區間的概率表示曲線和x軸及對應直線圍成的圖形的面積,與i或i+1無關,
故P(μi-2σi≤Xi≤μi+2σi)=P(-2≤≤+2)(i=1,2)成立,故D正確.
故選D.
5.B　因為隨機變量X~N(0,1),所以此正態曲線關于直線x=0對稱,
因為f(x)=P(X≥x)(x>0),所以根據正態曲線的對稱性可得f(-x)=P(X≤x)=1-f(x),故B正確;f(2x)=P(X≥2x),2f(x)=2P(X≥x),P(X≥2x)與2P(X≥x)不一定相等,故A錯誤;
P(X≤x)=1-P(X≥x)=1-f(x),故C錯誤;
P(|X|≥x)=P(X≥x或X≤-x)=2f(x),故D錯誤.
故選B.
6.答案　 P1=P2
解析　根據標準正態曲線的特點,該曲線關于直線x=0對稱,所以隨機變量X在區間(-2,-1)和(1,2)上取值的概率相等,即P1=P2.
7.C　P(18.B　由隨機變量X~N(5,1)知,μ=5,σ=1,
所以P(4所以P(69.答案　 2
解析　因為0.158 65=≈P(ξ≥μ+σ),且μ=1,所以σ=2.
10.解析　(1)由于X的正態曲線在(-∞,80)上單調遞增,在(80,+∞)上單調遞減,
所以此正態曲線關于直線x=80對稱,即參數μ=80.
又因為P(72(2)由(1)知μ=80,σ=8,故P(μ-2σ又因為P(X≤64)=P(X≥96),
所以P(X≤64)=×(1-0.954 5)=×0.045 5=0.022 75,
所以P(X>64)=0.977 25.
又因為P(X≤72)=[1-P(72=×(1-0.682 7)=0.158 65,
所以P(X>72)=0.841 35,
所以P(64≤X≤72)=P(X>64)-P(X>72)=0.135 9.
11.C　因為該城市每年6月份的平均氣溫t(單位:℃)近似服從N(28,σ2),所以μ=28,因為P(28≤t≤30)=0.3,所以P(26≤t≤28)=0.3,所以P(t<26)=0.5-0.3=0.2,
所以估計該城市6月份平均氣溫低于26 ℃的天數為0.2×30=6.故選C.
12.B　因為數學成績ξ近似服從正態分布N(110,σ2),
所以由P(100≤ξ≤110)=0.35,可得P(110≤ξ≤120)=0.35,
所以該班學生數學成績在120分以上的概率為P(ξ>120)=×(1-0.35-0.35)=0.15,
所以估計該班學生數學成績在120分以上的人數為0.15×60=9.
13.BC　由X服從正態分布N(100,100),可得μ=100,σ=10,故A錯誤,B正確;
P(X≤90)=P(X≤μ-σ)=[1-P(μ-σP(X≥90)=1-P(X<90)=1-0.158 65=0.841 35>0.8,故C正確;
P(X≥120)=P(X≥μ+2σ)≈×(1-0.954 5)=0.022 75,故優秀率約為0.022 75,而及格率約為0.841 35,二者相差很大,人數相差也很大,故D錯誤.故選BC.
14.答案　 0.841 35
解析　由題意可得X~N(163,52),故μ=163,σ=5,
故P(μ-σ所以P(μ又因為P(X≤μ)=P(X≤163)=0.5,
所以P(X≤168)=P(X≤163)+P(16315.解析　(1)∵X~N(90,100),∴μ=90,σ==10,
∴P(70即考試成績X位于區間(70,110)內的概率約為0.954 5.
(2)P(80∵20 000×0.682 7=13 654,
∴考試成績在(80,100)之間的考生大約有13 654人.
能力提升練
C　因為函數f(x)為偶函數,所以f(-x)=f(x),即P(-x≤ξ≤
-x+1)=P(x≤ξ≤x+1),
結合正態曲線的對稱性可知,μ==.故選C.
2.B　函數f(x)=x2+2x-ξ沒有零點,即關于x的一元二次方程x2+2x-ξ=0無實根,
∴Δ=4+4ξ<0,∴ξ<-1,
又∵f(x)=x2+2x-ξ沒有零點的概率是0.5,
∴P(ξ<-1)=0.5,由正態曲線的對稱性知μ=-1,
∴ξ~N(-1,4),
∴μ-σ=-3,μ+σ=1,μ-2σ=-5,μ+2σ=3,
∴P(-3<ξ<1)≈0.682 7,P(-5<ξ<3)≈0.954 5,
∴P(1<ξ<3)=[P(-5<ξ<3)-P(-3<ξ<1)]==0.135 9.故選B.
3.B　因為該校上次測試的成績X服從正態分布N(100,σ2),且120分及以上的人數為160,所以80分及以下的人數也為160,
故P(80所以P(604.BC　由題圖可知P(ξ<μ1)>P(ξ<μ2),P(η<μ1)>P(η<μ2),故A錯誤,B正確;
∵P(ξ>x0)=1-P(ξ≤x0),P(η>x0)=1-P(η≤x0),
由題圖可知P(ξ≤x0)>P(η≤x0),∴P(ξ>x0)x0),故C正確;
∵μ1=1 150,σ1=50,μ2=1 130,σ2=40,
∴P(ξ>1 250)=P(ξ>μ1+2σ1),P(η<1 050)=P(η<μ2-2σ2)=P(η>μ2+2σ2),
根據正態曲線的性質及3σ原則,可知P(ξ>1 250)=P(η<1 050),故D不正確.
故選BC.
5.答案　(1)　(2)
解析　由題可知μ=98,σ=8,
∴P(X>100)==.
由題意,電路能正常工作的概率P=××+××+××=.
6.解析　(1)根據題中頻率分布直方圖得,=(55×0.01+65×0.02+75×0.045+85×0.02+95×0.005)×10=74,
由題意知X~N(74,100),
∴P(64(2)由題圖可知分數在[50,60),[60,70),[80,90)內的頻率之比為1∶2∶2,
故抽取的10人中,分數在[50,60),[60,70),[80,90)內的學生分別有2人,4人,4人,
易知隨機變量ξ的取值可以為0,1,2,3,
P(ξ=0)==,P(ξ=1)==,
P(ξ=2)==,P(ξ=3)==,
故ξ的分布列為
ξ 0 1 2 3
P
∴E(ξ)=0×+1×+2×+3×=.
方法總結
　　解決正態分布中的概率計算問題一定要把握服從正態分布N(μ,σ2)的隨機變量X在三個特殊區間內取值的概率,將所求問題向P(μ-σσ2=×[(87-95)2+(87-95)2+(88-95)2+(92-95)2-(95-95)2+(97-95)2+(98-95)2+(99-95)2+(103-95)2+(104-95)2]=36,
則σ=6.
(2)①由題可知Z~N(95,62),
所以P(Z>107)=P(Z>μ+2σ)=0.5-=0.023,
則X~B(5,0.023),
所以D(X)=5×0.023×(1-0.023)=0.112 355,
故D(2X+1)=4D(X)=0.449 42.
②需要.理由如下:
因為P(μ-3σ所以5個零件中恰有1個零件的內徑不在(μ-3σ,μ+3σ]內的概率為×0.9974×(1-0.997)=×0.99×(1-0.997)=0.014 85.
因為76 (μ-3σ,μ+3σ]=(77,113],所以試生產的5個零件中出現了1個零件的內徑不在(μ-3σ,μ+3σ]內,出現的頻率是=0.2,大概是0.014 85的十三倍,根據3σ原則可知,這臺設備需要進一步調試.

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