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第4章　統計
4.3 獨立性檢驗
基礎過關練
　　　　　　　　　　　　　　　　
題組一　分類變量與列聯表
1.假設有兩個分類變量x與y,它們的2×2列聯表如下:
y1 y2
x1 a b
x2 c d
對同一樣本,以下數據能說明x與y有關系的可能性最大的一組為(　　)
A.a=5,b=4,c=3,d=2
B.a=5,b=3,c=4,d=2
C.a=2,b=3,c=4,d=5
D.a=2,b=3,c=5,d=4
2.為了做好某次國際會議的對外宣傳工作,會務組選聘了50名記者擔任對外翻譯工作,在如下表所示的“性別與會外語”的2×2列聯表中,d=　　　　.
會外語 不會外語 合計
男 a b 20
女 6 d
合計 18 50
題組二　獨立性檢驗及其應用
3.(2022河南南陽聯考)對變量X與Y的統計量χ2的值的說法,正確的是(　　)
A. χ2越大,“X與Y有關系”的可信程度越小
B. χ2越小,“X與Y有關系”的可信程度越大
C. χ2越小,“X與Y有關系”的可信程度越小
D. χ2越大,“X與Y無關”的可信程度越大
4.下列關于回歸分析與獨立性檢驗的說法正確的是(　　)
A.回歸分析和獨立性檢驗沒有什么區別
B.回歸分析是對兩個變量之間確定性關系的分析,而獨立性檢驗是分析兩個變量之間的不確定性關系
C.回歸分析研究的是兩個變量之間的相關關系,獨立性檢驗是對兩個變量是否具有某種關系的一種檢驗
D.獨立性檢驗一定可以確定兩個變量之間是否具有某種關系
5.根據分類變量x與y的觀察數據,計算得到χ2=2.974,依據給出的臨界值表做出下列判斷,其中正確的是　(　　)
P(χ2≥x0) 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
x0 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
A.有95%的把握認為變量x與y獨立
B.有95%的把握認為變量x與y不獨立
C.認為變量x與y獨立,這個結論犯錯誤的概率不超過10%
D.認為變量x與y不獨立,這個結論犯錯誤的概率不超過10%
6.某大學餐飲中心對全校一年級新生的飲食習慣進行抽樣調查,調查結果如下:南方學生喜歡甜品的有60人,不喜歡甜品的有20人;北方學生喜歡甜品的有10人,不喜歡甜品的有10人.那么至少有　　　　%的把握認為“南方學生和北方學生在選用甜品的飲食習慣方面有差異”.
附:χ2=,其中n=a+b+c+d.
P(χ2≥x0) 0.10 0.05 0.01 0.005
x0 2.706 3.841 6.635 7.879
7.茶樹根據其茶葉產量可分為優質茶樹和非優質茶樹,某茶樹種植研究小組選取了甲、乙兩塊試驗田來檢驗某種茶樹在不同環境條件下的生長情況.研究人員將100株該種茶樹幼苗在甲、乙兩塊試驗田中進行種植,成熟后統計每株茶樹的茶葉產量,將所得數據整理,如下表所示:
優質茶樹 非優質茶樹
甲試驗田 a 25
乙試驗田 10 b
已知甲試驗田中優質茶樹的比例為50%.
(1)求表中a,b的值;
(2)根據表中數據,是否有99%的把握認為甲、乙兩塊試驗田的環境差異對茶樹的生長有影響
附:χ2=,其中n=a+b+c+d.
P(χ2≥x0) 0.10 0.05 0.01
x0 2.706 3.841 6.635
8.某校在高一部分學生中調查了男女同學對某項體育運動的喜好情況,其二維條形圖如圖所示(灰色代表喜歡,白色代表不喜歡).
(1)寫出2×2列聯表;
(2)根據圖中數據判斷喜歡這項體育運動是否與性別有關;
(3)在這次調查中,從喜歡這項體育運動的一名男生和兩名女生中任選兩人進行專業培訓,求選出的兩人恰是一男一女的概率.
臨界值表及公式:
P(χ2≥x0) 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005
x0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
χ2=,其中n=a+b+c+d.
能力提升練
　　　　　　　　　　　　　　　　
題組一　獨立性檢驗及其應用
1.“3+1+2”的新高考模式,其中“3”為全國統考科目:語文、數學和外語;“1”為考生在物理和歷史中選擇一門;“2”為考生在思想政治、地理、化學和生物四門中選擇兩門.某中學調查了高一年級學生的選科傾向,隨機抽取200人,其中選考物理的有120人,選考歷史的有80人,統計各選科人數如下表,則下列說法正確的是(　　)
選考 類別 選擇科目
思想政治 地理 化學 生物
物理類 35 50 90 65
歷史類 50 45 30 35
附:χ2=,其中n=a+b+c+d.
P(χ2≥x0) 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001
x0 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
A.物理類的學生中選擇地理的比例比歷史類的學生中選擇地理的比例高
B.物理類的學生中選擇生物的比例比歷史類的學生中選擇生物的比例低
C.有90%以上的把握認為選擇生物與選考類別有關
D.沒有95%以上的把握認為選擇生物與選考類別有關
2.中共中央辦公廳、國務院辦公廳印發的《關于進一步減輕義務教育階段學生作業負擔和校外培訓負擔的意見》,要求學校做好課后服務工作,結合學生的興趣愛好,開設體育、美術、音樂、書法等特色課程.某初級中學在課后延長一小時開設相關課程,為了解學生選課情況,在該校全體學生中隨機抽取50名學生進行問卷調查,得到如下數據:
喜歡音樂 不喜歡音樂
喜歡體育 20 10
不喜歡體育 5 15
附表:
P(χ2≥x0) 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001
x0 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
根據以上數據,對該校學生的選課情況判斷不正確的是(　　)
A.估計該校既喜歡體育又喜歡音樂的學生約占
B.從這30名喜歡體育的學生中采用隨機數法抽取6人進行訪談,則他們每個個體被抽到的概率都為
C.從不喜歡體育的20名學生中任選4人進行訪談,則事件“至少有2人喜歡音樂”與“至多有1人不喜歡音樂”為對立事件
D.在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下,認為“喜歡體育”與“喜歡音樂”有關系
3.假設2個分類變量X和Y的2×2列聯表如下:
Y 合計
y1 y2
X x1 a 10 a+10
x2 c 30 c+30
合計 a+c 40 100
對于同一樣本,以下數據能說明X和Y有關系的可能性最大的一組是(　　)
A.a=40,c=20 B.a=45,c=15
C.a=35,c=25 D.a=30,c=30
題組二　獨立性檢驗的綜合應用
4.“雙十一”已經成為網民們的網購狂歡節,某電子商務平臺對某市的網民在今年“雙十一”的網購情況進行摸底調查,用隨機抽樣的方法抽取了100人,其消費金額t(百元)的頻率分布直方圖如圖所示.
(1)求網民消費金額t的平均值和中位數t0(同一組中數據用各組區間的中點值作為代表);
(2)把下表中空格里的數填上,并判斷能否有90%的把握認為網購消費與性別有關.
男 女 合計
t≥t0
t合計 45
附表:
P(χ2≥x0) 0.10 0.05 0.01
x0 2.706 3.841 6.635
參考公式:χ2=,其中n=a+b+c+d.
5.某超市為了方便顧客購物,對貨物的分類和分區域擺放進行了重新設計,為了解顧客對新設計的滿意情況,隨機抽取在一段時間內進入超市的120名顧客進行調查,其中男顧客與女顧客的人數之比為5∶7,男顧客中有30人對新設計滿意,女顧客中有10人對新設計不滿意.
(1)完成2×2列聯表,并回答能否有99%的把握認為對新設計是否滿意與性別有關;
滿意 不滿意 合計
男顧客 30
女顧客 10
合計 120
(2)從被調查的對新設計不滿意的顧客中,按照性別進行分層抽樣抽取9名顧客,再在9名顧客中抽取3名征求其對新設計的改進建議,記抽到女顧客的人數為ξ,求ξ的分布列及數學期望.
參考公式:χ2=,其中n=a+b+c+d.
P(χ2≥x0) 0.10 0.05 0.01 0.001
x0 2.706 3.841 6.635 10.828
6.據統計,新型冠狀病毒感染人群的年齡大多數是50歲以上,該病毒進入人體后有潛伏期,潛伏期是指病原體侵入人體至最早出現臨床癥狀的這段時間,潛伏期越長,感染到他人的可能性越高.現對400個病例的潛伏期(單位:天)進行調查,統計發現潛伏期的平均數為7.2,方差為2.252,如果認為超過8天的潛伏期屬于“長潛伏期”,按照年齡統計樣本,50歲以上人數占70%,“長潛伏期”人數占25%,其中50歲以上長潛伏期者有60人.
(1)請根據以上數據完成2×2列聯表,并判斷是否有95%的把握認為“長潛伏期”與年齡有關;
50歲以下 (含50歲) 50歲 以上 合計
“長潛伏期”
非“長潛伏期”
合計
(2)假設潛伏期X服從正態分布N(μ,σ2),其中μ近似為樣本平均數,σ2近似為樣本方差s2,若規定對入境旅客一律要求隔離14天,請結合3σ原則解釋此規定的合理性.
附:χ2=,其中n=a+b+c+d.
P(χ2≥x0) 0.1 0.05 0.01
x0 2.706 3.841 6.635
若X~N(μ,σ2),則P(μ-σ7.“禮讓斑馬線”是駕駛員應遵守的交通規則.下表是某市一主干路口監控設備所抓拍的5個月內駕駛員不“禮讓斑馬線”行為的統計數據:
月份x 1 2 3 4 5
駕駛員人數y 120 105 100 90 85
(1)請利用所給數據求違章駕駛員人數y與月份x之間的回歸直線方程=x+;
(2)交警從這5個月內通過該路口的駕駛員中隨機抽查了50人,調查駕駛員“禮讓斑馬線”行為與駕齡的關系,并得到如下2×2列聯表:
不禮讓 斑馬線 禮讓 斑馬線 合計
駕齡不超過1年 22 8 30
駕齡1年以上 8 12 20
合計 30 20 50
判斷是否有97.5%的把握認為“禮讓斑馬線”行為與駕齡有關.
參考公式及數據:
=
P(χ2≥x0) 0.1 0.025 0.01 0.005 0.001
x0 2.706 5.024 6.635 7.879 10.828
χ2=,其中n=a+b+c+d.
答案與分層梯度式解析
第4章　統計
4.3　獨立性檢驗
基礎過關練
1.D　對于兩個分類變量x與y而言,|ad-bc|的值越大,說明x與y有關系的可能性越大.
對于A,|ad-bc|=|5×2-4×3|=2,對于B,|ad-bc|=|5×2-3×4|=2,對于C,|ad-bc|=|2×5-3×4|=2,對于D,|ad-bc|=|2×4-3×5|=7,
顯然D中|ad-bc|最大,故選D.
2.答案　24
解析　由題意得所以
3.C　
4.C　
5.D　因為χ2=2.974>2.706,所以在犯錯誤的概率不超過10%的前提下認為變量x與y有關,即認為變量x與y不獨立.故選D.
6.答案　95
解析　由題意得,2×2列聯表如下表所示:
喜歡甜品 不喜歡甜品 合計
南方學生 60 20 80
北方學生 10 10 20
合計 70 30 100
χ2=≈4.762>3.841,所以至少有95%的把握認為“南方學生和北方學生在選用甜品的飲食習慣方面有差異”.
7.解析　(1)由甲試驗田中優質茶樹的比例為50%,可得=50%,解得a=25.
b=100-25-25-10=40.
(2)χ2==≈9.890,
因為9.890>6.635,所以有99%的把握認為甲、乙兩塊試驗田的環境差異對茶樹的生長有影響.
8.解析　(1)觀察題中二維條形圖可得,被調查的男生總共有45人,其中喜歡這項運動的有15人,不喜歡的有30人;被調查的女生總共有45人,其中喜歡這項運動的有5人,不喜歡的有40人.
由此寫出2×2列聯表如下:
喜歡 不喜歡 合計
男 15 30 45
女 5 40 45
合計 20 70 90
(2)提出統計假設H0:喜歡這項體育運動與性別無關.計算可得χ2=≈6.429,
由于5.024<6.429<6.635,查臨界值表可知,我們至少有97.5%的把握認為喜歡這項體育運動與性別有關.
(3)設喜歡這項體育運動的一名男生和兩名女生分別為A,B,C.
任選兩人的情況有(A,B),(A,C),(B,C),
其中是一名男生和一名女生的情況有(A,B),(A,C),
所以選出的兩人恰是一男一女的概率P=.
能力提升練
1.D　依據題表中數據可知,物理類的學生中選擇地理的比例為=,歷史類的學生中選擇地理的比例為=,因為<,所以物理類的學生中選擇地理的比例比歷史類的學生中選擇地理的比例低,故A錯誤;
物理類的學生中選擇生物的比例為=,歷史類的學生中選擇生物的比例為=,因為>,所以物理類的學生中選擇生物的比例比歷史類的學生中選擇生物的比例高,故B錯誤;
由題中表格可列2×2列聯表如下:
選考生物 不選考生物 合計
物理類 65 55 120
歷史類 35 45 80
合計 100 100 200
故χ2=≈2.083,
由2.083<2.706,知沒有90%以上的把握認為選擇生物與選考類別有關,故C錯誤;
2.083<3.841,知沒有95%以上的把握認為選擇生物與選考類別有關,故D正確.
故選D.
2.C　估計該校既喜歡體育又喜歡音樂的學生約占=,A中判斷正確;
每個個體被抽到的概率為=,B中判斷正確;
“至少有2人喜歡音樂”與“至多有1人喜歡音樂”為對立事件,C中判斷錯誤;
由χ2=≈8.333>7.879,則在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下,認為“喜歡體育”與“喜歡音樂”有關系,故D中判斷正確.故選C.
3.B　χ2==n·,根據2×2列聯表和獨立性檢驗的相關知識,知當b,d 一定時,a,c相差越大,與相差就越大, χ2就越大,即X和Y有關系的可能性越大,結合選項,知B中a-c=30與其他選項相比相差最大.故選B.
4.解析　(1)由題圖易得,網民消費金額t的平均值=2.5×0.2+7.5×0.3+12.5×0.2+17.5×0.15+22.5×0.1+27.5×0.05=11.50(百元).
題圖中第一組、第二組的頻率之和為0.04×5+0.06×5=0.5,
∴網民消費金額t的中位數t0=10.
(2)補充完整的2×2列聯表如下:
男 女 合計
t≥t0 25 25 50
t合計 45 55 100
計算可得χ2==≈1.010<2.706,
所以沒有90%的把握認為網購消費與性別有關.
5.解析　(1)補充完整的2×2列聯表如下:
滿意 不滿意 合計
男顧客 30 20 50
女顧客 60 10 70
合計 90 30 120
計算得χ2=≈10.286>6.635,
所以有99%的把握認為對新設計是否滿意與性別有關.
(2)依題意可知,分層抽樣抽取的9名顧客中,男顧客有6名,女顧客有3名.
ξ的可能取值為0,1,2,3,
P(ξ=0)==,P(ξ=1)==,
P(ξ=2)==,P(ξ=3)==,
所以ξ的分布列為
ξ 0 1 2 3
P
所以E(ξ)=0×+1×+2×+3×=1.
6.解析　(1)補充完整的2×2列聯表如下.
50歲以下 (含50歲) 50歲以上 合計
“長潛伏期” 40 60 100
非“長潛伏期” 80 220 300
合計 120 280 400
計算得χ2=≈6.349>3.841,
所以有95%的把握認為“長潛伏期”與年齡有關.
(2)由題意得μ=7.2,σ=2.25,則μ+3σ=13.95,
又因為P(X≥13.95)≈=0.001 35,
所以潛伏期超過14天的概率很低,因此對入境旅客一律要求隔離14天是合理的.
7.解析　(1)由題表中數據,得=3,=100,
∴===-8.5,
∴=-=125.5,
∴所求的回歸直線方程為=-8.5x+125.5.
(2)由題表中的數據得χ2==≈5.556>5.024,
所以有97.5%的把握認為“禮讓斑馬線”行為與駕齡有關.(共22張PPT)
1.列聯表
一般地,對于兩個分類變量X和Y,X有兩個取值:A和 ,Y也有兩個取值:B和 ,我們可得到下面的頻數分布表:
Y 合計
B X A a b a+b
c d c+d
合計 a+c b+d a+b+c+d
4.3　獨立性檢驗
1 | 列聯表
像上表這樣,將兩個(或兩個以上)分類變量進行交叉分類得到的頻數分布表稱為列聯表,稱X,Y為分類變量.
2.2× 2列聯表
由于所涉及的兩個分類變量X,Y均有兩個變量值,所以稱上表為2×2列聯表.
1.統計量χ2的計算公式
χ2= ,其中n=a+b+c+d.
2.獨立性檢驗的概念
利用統計量χ2來確定在多大程度上可以認為“兩個分類變量有關系”的方法,稱為兩個分類變量的獨立性檢驗.
3.獨立性檢驗的步驟
利用獨立性檢驗推斷“X與Y有關系”,可按下面的步驟進行:
(1)提出統計假設H0:X與Y之間沒有關系;
(2)根據2×2列聯表及χ2的公式計算χ2的觀測值;
(3)查臨界值表確定臨界值x0,然后做出判斷.
2 | 獨立性檢驗
4.臨界值表
表示在H0成立的情況下,事件“χ2≥x0”發生的概率.
5.變量獨立性判斷的依據
(1)如果χ2>10.828,就有不少于99.9%的把握認為“X與Y之間有關系”;
(2)如果χ2>6.635,就有不少于99%的把握認為“X與Y之間有關系”;
(3)如果χ2>2.706,就有不少于90%的把握認為“X與Y之間有關系”;
(4)如果χ2≤2.706時,就認為還沒有充分的證據顯示“X與Y之間有關系”,但也不
能做出結論“H0成立”,即認為X與Y沒有關系.
P(χ2≥x0) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10
x0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706
P(χ2≥x0) 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
x0 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
1.分類變量中的變量與函數中的變量是同一概念嗎
不是.變量的不同“值”表示個體所屬的不同類別,像這樣的變量稱為分類變量,有時可以把分類變量的不同取值用數字表示,但這時的數字除了分類以外沒有其他含義,而函數中的變量分為自變量與因變量,都是數的集合,有它們各自的意義.
2.利用χ2進行獨立性檢驗時,估計值的準確度與樣本容量有關嗎
有關.利用χ2進行獨立性檢驗時,可以對推斷的正確性的概率作出估計,樣本容量越大,這個估計值越準確.如果抽取的樣本容量很小,那么利用χ2進行獨立性檢驗的結果就不具有可靠性.
知識辨析
3.在進行χ2運算后,得到χ2的值為29.78,在判斷變量相關時,P(χ2≥6.635)≈0.01和P(χ2≥7.879)≈0.005兩種說法都正確嗎
兩種說法都正確.P(χ2≥6.635)≈0.01的含義是在犯錯誤的概率不超過0.01的前提
下認為兩變量相關;P(χ2≥7.879)≈0.005的含義是在犯錯誤的概率不超過0.005的
前提下認為兩變量相關.

應用獨立性檢驗解決實際問題大致包括的幾個主要環節
(1)提出統計假設H0:分類變量X和Y無關(相互獨立),并給出在問題中的解釋;
(2)根據抽樣數據整理出2×2列聯表,計算χ2的值,并與臨界值x0比較;
(3)根據檢驗規則得出推斷結論;
(4)在X和Y不獨立的情況下,根據需要,通過比較相應的頻率,分析X和Y間的影響規律.
注意:上述幾個環節的內容可以根據不同情況進行調整.例如,在有些時候,分類變
量的抽樣數據列聯表是問題中給定的.
1 由χ2進行獨立性檢驗
典例　手機給人們的生活帶來便利,但同時也對中學生的生活和學習造成了影響.某校高一幾個學生成立了研究性學習小組,就使用手機對學習成績的影響隨機抽取了該校100名學生的期末考試成績并制成如下的表格,則下列說法正確的是 (　 )
A.在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認為使用手機對學習成績有影響
B.在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認為使用手機對學習成績沒有影響
C.有99.5%的把握認為使用手機對學習成績沒有影響
D.沒有99%的把握認為使用手機對學習成績有影響
成績優秀 成績不優秀 合計
不使用手機 40 10 50
使用手機 5 45 50
合計 45 55 100
解析 提出統計假設H0:使用手機對學習成績沒有影響.由題表中數據得,χ2=
≈49.495>10.828,所以在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下
認為使用手機對學習成績有影響.故選A.
答案 A
通過頻率分布直方圖中的數據作2×2列聯表,從而對事件進行獨立性檢驗,準確讀取頻率分布直方圖中的數據,進行分組統計是解題的關鍵.解決獨立性檢驗的問題要注意明確兩類主體,明確研究的兩類問題,在寫出2×2列聯表中a,b,c,d的值時,注意一定要對應.
2 獨立性檢驗與統計、概率的綜合應用
典例　春節是中華民族最隆重的傳統佳節,為調查某地從外地工作回來過年的市民
(以下稱為“返鄉人員”)的人數情況,現對該地某一區域的居民進行抽樣調查,并按年齡(單位:歲)分成五組,得到如圖所示的頻率分布直方圖,其中年齡在[20,25)內的人數為10.
(1)請根據樣本數據將下面的2×2列聯表補充完整,并判斷是否有99.9%的把握認為是否從外地回來過年與性別相關;
返鄉人員 本地人員 合計
男 15
女 10 40
合計
(2)據了解,該地區今年返鄉人員占 .現從該地區居民中隨機抽取3人進行調查,記X為這3人中今年返鄉人員的人數,求X的分布列與數學期望.
參考公式:χ2= ,其中n=a+b+c+d.
參考數據:
P(χ2≥x0) 0.10 0.05 0.010 0.001
x0 2.706 3.841 6.635 10.828
思路點撥 (1)由題意及題中頻率分布直方圖可得2×2列聯表,根據表格中的數據,
代入公式,求出觀測值,同臨界值進行比較即可得出結論.
(2)根據獨立重復試驗的概率計算公式,計算出X取不同值時的概率,得到分布列并
求得數學期望.
解析 (1)由題中頻率分布直方圖可知年齡在[20,25)內的人數占比為1-(0.020×2+
0.060+0.075)×5=0.125,
故參與調查的總人數為 =80.
2×2列聯表如下:
提出統計假設:是否從外地回來過年與性別無關.
根據2×2列聯表中數據可得χ2= ≈11.429>10.828,
所以有99.9%的把握認為是否從外地回來過年與性別相關.
返鄉人員 本地人員 合計
男 25 15 40
女 10 30 40
合計 35 45 80
(2)X的可能取值為0,1,2,3,
P(X=0)= = ,
P(X=1)= = ,
P(X=2)= = ,
P(X=3)= = .
故X的分布列為
X 0 1 2 3
P
于是E(X)=0× +1× +2× +3× = .
素養　綜合應用統計與概率知識解決實際問題,發展直觀想象、數學建模、數學
運算的核心素養

　　在統計與概率的綜合應用問題中,一般要利用散點圖、統計圖表得到相應的
統計信息,通過建立相應的統計與概率模型將實際問題數學化,再利用回歸分析
或獨立性檢驗及概率知識求解,最后還原成實際問題的解,其中涉及的運算有
(1)求概率、分布列、數學期望或方差;(2)求相關系數或回歸直線方程;(3)求平均
數、中位數、眾數等統計量;(4)求統計量χ2.

素養解讀
例題　為推進北方地區冬季清潔取暖,國家發改委制定了煤改氣、煤改電價格
扶植新政策,從而使得煤改氣、煤改電用戶大幅度增加.下面條形圖反映了某省
2021年1~7月份煤改氣、煤改電的用戶總數量(單位:萬戶).
(1) 在下面給定的坐標系中作煤改氣、煤改電用戶總數量y隨月份t變化的散點圖,并判斷y與t是否具有線性相關關系.如果具有線性相關關系,那么是正相關還是負相關
典例呈現
(2)求相關系數,并用相關系數說明y與t之間線性相關的程度;
參考數據:
(3)建立y關于t的回歸方程(系數精確到0.01),并預測2022年11月份該省煤改氣、
煤改電的用戶總數量;
(4)從這7個月的煤改氣、煤改電的用戶總數量數據中隨機抽取2個數據,記其中
煤改氣、煤改電的用戶總數量低于1.3的數據個數為X,求X的分布列與數學期望.
解題思路 (1)通過作散點圖來分析線性相關性.
作散點圖如圖所示:
由圖可知,各散點基本分布在一條直線附近,所以可以認為y與t具有線性相關關系,且是正相關.
(2)由條形圖得出相關數據,求出相關系數,進而判斷相關性.
由題中條形圖中數據和參考數據得
=4, =28, ≈0.53,
(ti- )(yi- )=2.79,
所以 rty= ≈ ≈0.99,
因為y與t的相關系數rty接近1,所以y與t的線性相關性很強,從而可以用一元線性回
歸模型擬合y與t的關系.
(4)求出X取每個值時的概率,列出分布列,利用公式求其數學期望.
易知這7個月中,只有前3個月的煤改氣、煤改電的用戶總數量低于1.3,
故X的可能取值為0,1,2.
P(X=0)= = ,P(X=1)= = ,P(X=2)= = ,
所以X的分布列為
X 0 1 2
P
所以X的數學期望E(X)=0× +1× +2× = .
統計與概率作為考查學生應用意識的重要載體,已成為近幾年高考的一大亮
點和熱點.它與其他知識融合、滲透,情境新穎,充分體現了概率與統計的工具性
和交匯性,在解題時要注意理解實際問題的意義,使之和相應的概率計算對應起
來,從而快速有效地解決問題.
思維升華

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