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(共30張PPT)
第一章 三角形的初步知識
1.3.2 證明
01
教學(xué)目標(biāo)
02
新知導(dǎo)入
03
新知講解
04
課堂練習(xí)
05
課堂小結(jié)
06
作業(yè)布置
01
教學(xué)目標(biāo)
01
02
1、進(jìn)一步體會證明的含義；
2、探索并理解三角形內(nèi)角和定理的幾何證明；
3、通過一些簡單命題的證明，訓(xùn)練學(xué)生的邏輯推理能力，進(jìn)一步熟練證明的方法和表述；
4、體驗從實驗幾何向推理幾何的過渡.
02
新知導(dǎo)入
要判定一個命題是真命題，往往需要從命題的條件出發(fā)，根據(jù)已知的定義、基本事實、定理，一步一步推出結(jié)論成立，這樣的推理過程叫做證明 。
【問題1】證明的定義：
【問題2】我們在小學(xué)已經(jīng)知道，任意一個三角形的內(nèi)角和等于180°.
除了度量以外，你還有什么辦法可以驗證三角形的內(nèi)角和為180°呢
還可以用拼接的方法，你知道怎樣操作嗎？
新課探究
例3
A
B
C
M
N
證明命題“三角形三個內(nèi)角的和等于180°”是真命題.
已知：∠BAC，∠B，∠C是△ABC的三個內(nèi)角.
求證：∠BAC+∠B+∠C=180°.
新課探究
實驗1：先將紙片三角形一角折向其對邊，使頂點(diǎn)落在對邊上，折線與對邊平行（圖1），然后把另處兩角相向?qū)φ郏蛊漤旤c(diǎn)與已折角的頂點(diǎn)相嵌合（圖2）、（圖3），最后得到（圖4）所示的結(jié)果。
A
C
B
圖1
B
A
C
圖2
BA
C
圖3
BAC
圖4
03
新知講解
1
1
2
A
B
D
2
3
C
1
2
實驗2： 將紙片三角形頂角剪下，隨意將它們拼湊在一起。
03
新知講解
在證明三角形內(nèi)角和時，小明的想法是把三個角“湊”到A處，他過點(diǎn)A作直線DE//BC，（如圖）。他的想法可行嗎？
A
B
C
E
D
證明　過點(diǎn)A作DE∥BC.則
∠C＝∠CAE，∠B＝∠BAD（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）
∴∠BAC+∠B+∠C＝∠BAC+∠BAD+∠CAE
　＝∠DAE＝180 （平角的定義）
你還有其他的證明方法么？
輔助線
03
新知講解
已知：如圖， △ABC.
求證：∠Ａ+∠Ｂ+∠Ｃ＝180°
證明: 作BC的延長線CD，過點(diǎn)C作射線CE//AB，則
還有其他證法嗎？
∠1＝∠Ａ（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）
∠2＝∠Ｂ（兩直線平行，同位角相等）
∵∠1+∠2+∠ACB＝180°
∴∠Ａ+∠Ｂ+∠ACB＝180°
A
B
C
1
2
D
E
03
新知講解
已知：如圖， △ABC.
求證：∠Ａ+∠Ｂ+∠Ｃ＝180°
你還能想到其他證法嗎？
證明：在BC上任取一點(diǎn)D，過D作DE//AB，作DF//AC。
A
B
C
∴∠1=∠B，∠2=∠C，∠DEC=∠A，
∵DE∥AB，∴∠3=∠DEC，
∴∠3=∠A，
∵∠1+∠2+∠3=180°
∴∠Ａ+∠Ｂ+∠Ｃ＝180°
03
新知講解
如圖，∠ACD是由△ABC的一條邊BC的延長線和另一條相鄰的邊CA組成的角，這樣的角叫做該三角形的外角.
三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和.
由∠ACD+∠ACB=180°，∠A+∠B+∠ACB=180°，
得∠ACD=∠A+∠B.
A
B
C
D
這是由三角形的內(nèi)角和定理直接推理得到的一個推論.
推論也可以作為推理的依據(jù).
03
新知講解
∠2=∠A+ ∠B
不相鄰內(nèi)角
2
C
A
B
．
D
1
外角
相鄰內(nèi)角
說一說
∠2﹥∠A
∠2﹥∠B
03
新知講解
例4 已知：如圖，∠B+∠D=∠BCD.求證：AB∥DE.
A
B
C
D
E
F
分析 如圖，延長BC，交DE于點(diǎn)F.
根據(jù)平行線的判定定理，只要證明∠B=∠CFD,或∠B+∠BFE=180°，就能證明AB∥DE.
03
新知講解
證明 如圖，延長BC，交DE于點(diǎn)F.
∵∠B+∠D=∠BCD(已知），
又∵∠BCD=∠D+∠CFD(三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和），
∴∠B+∠D=∠D+∠CFD,
∴∠B=∠CFD. ∴AB∥DE(內(nèi)錯角相等，兩直線平行）.
A
B
C
D
E
F
例4 已知：如圖，∠B+∠D=∠BCD.求證：AB∥DE.
03
新知講解
關(guān)于輔助線：
3、添加輔助線，可構(gòu)造新圖形，形成新關(guān)系，找到聯(lián)系已知與未知的橋梁，把問題轉(zhuǎn)化，要根據(jù)需要而定,平時做題時要注意總結(jié).
2、它的作用是把分散的條件集中，把隱含的條件顯現(xiàn)出來，起到牽線搭橋的作用.
1、輔助線是為了證明需要在原圖上添畫的線.（輔助線通常畫成虛線）
03
新知講解
歸納概念
證明幾何命題時，表述格式一般是：
（1）按題意畫出圖形。
（2）分清命題的條件和結(jié)論，結(jié)合圖形，在“已知”中寫出條件，在“求證”中寫出結(jié)論.
（3）在“證明”中寫出推理過程.
04
課堂練習(xí)
【知識技能類作業(yè)】必做題：
1．如圖，下列關(guān)于△ABC的外角的說法正確的是(　　)
A．∠HBA是△ABC的外角
B．∠HBG是△ABC的外角
C．∠DCE是△ABC的外角
D．∠GBA是△ABC的外角
D
04
課堂練習(xí)
【知識技能類作業(yè)】選做題：
2．如圖，∠A，∠1，∠2的大小關(guān)系是(　　)
A．∠A＞∠1＞∠2 B．∠2＞∠1＞∠A
C．∠A＞∠2＞∠1 D．∠2＞∠A＞∠1
B
04
課堂練習(xí)
【知識技能類作業(yè)】選做題：
3.如圖，在五角星圖形中，
求：∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E的度數(shù)．
解：如右圖所示，
∵∠1=∠C+∠2，∠2=∠A+∠D，
∴∠1=∠C+∠A+∠D，
又∵∠1+∠B+∠E=180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°．
故答案是：180°．
04
課堂練習(xí)
【綜合拓展類作業(yè)】
4.星期天，小明見爸爸愁眉苦臉地在看一張圖紙，他便悄悄地來到爸爸身邊，想看爸爸為什么犯愁．爸爸見到他，高興地對他說：“來幫我一個忙，你看這是一個四邊形零件的平面圖，它要求∠BDC等于140°才算合格．”小明通過測量得∠A＝90°，∠B＝19°，∠C＝40°后就下結(jié)論說此零件不合格.于是爸爸讓小明解釋這是為什么？
04
課堂練習(xí)
【綜合拓展類作業(yè)】
小明很輕松地說出了原因，并用如下的兩種方法解出此題．請你代小明分別說出不合格的理由．
①如圖(1)，連結(jié)AD并延長；②如圖(2)，延長CD交AB于E.
04
課堂練習(xí)
【綜合拓展類作業(yè)】
分析：直接利用各個三角形中的外角和等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角和求解．
解：(1)∠BDC＝∠1＋∠2＝∠A＋∠B＋∠C＝90°＋19°＋40°＝149°≠140°，故不合格；
(2)∠BDC＝∠1＋∠B＝∠A＋∠C＋∠B＝149°≠140°，故不合格．
05
課堂小結(jié)
1、三角形內(nèi)角和定理的證明，證明思想是運(yùn)用輔助線將原三角形處于不同位置的三個內(nèi)角集中在一起，拼成一個平角.輔助線是聯(lián)系命題的條件和結(jié)論的橋梁，今后我們還要學(xué)習(xí)它.
2、三角形的外角性質(zhì)，是由三角形的內(nèi)角和定理直接推理得到的一個推論.
06
作業(yè)布置
【知識技能類作業(yè)】必做題：
1．如圖，在△ABC中，∠A＝50°，點(diǎn)E，F(xiàn)在AB，AC上，沿EF向內(nèi)折疊△AEF得到△DEF，則∠1＋∠2等于(　　)
A．130° B．120°
C．65° D．100°
D
06
作業(yè)布置
【知識技能類作業(yè)】選做題：
2.證明命題“三角形不共頂點(diǎn)的三個外角的和等于360°”是真命題.
B
C
A
1
2
3
4
5
6
已知：如圖，△ABC的三個內(nèi)角分別為∠1、 ∠2、 ∠3，相對應(yīng)的外角為∠4、 ∠5、 ∠6.
求證： ∠4+∠5+∠6=360°.
06
作業(yè)布置
【知識技能類作業(yè)】選做題：
證明：∵ ∠1、 ∠2、 ∠3是△ABC的三個內(nèi)角，
∴ ∠1+∠2+∠3=180°（三角形內(nèi)角和定理）,
又∵∠4=∠2+∠3，∠5=∠1+∠3，∠6=∠1+∠2（三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和），
∴∠4+∠5+∠6
=2（∠1+∠2+∠3）
=2×180°=360°.
B
C
A
1
2
3
4
5
6
06
作業(yè)布置
【綜合拓展類作業(yè)】
4.AD是△ABC的高，BE平分∠ABC交AD于O，∠BAC＝50°，∠C＝54°.求：∠AEB和∠AOB的度數(shù)．
06
作業(yè)布置
【綜合拓展類作業(yè)】
解：∵∠BAC＝50°，∠C＝54°，
∴∠ABC＝180°－∠C－∠BAC＝76°，
∵BE平分∠ABC，
在△ABE中，∠AEB＝180°－∠BAC－∠ABE
＝180°－50°－38°＝92°，
∵AD是高線，∠ABD＝76°，∴ ∠BAD＝14°.
在△OBA中，∠AOB＝180°－∠BAO－∠ABO.
∴∠AOB＝128°.
綜上，∠AEB＝92°，∠AOB＝128°.
Thanks!
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