資源簡介

(共12張PPT)
4.1 數學建模實例
新授課
1.通過動手操作，進一步掌握正確的洗滌方法，并懂得怎樣使衣服洗得更干凈.體驗數學在解決實際問題中的價值和作用，培養數學建模的核心素養.
日常洗衣服都要經歷兩個階段，第一階段是用去污劑搓洗衣服，第二階段是漂洗衣服.
一、實際情境
一般來講要漂洗多次，漂洗的次數越多衣服越干凈.
在給定漂洗所用的清水量的前提下，漂洗多少次能使衣服干凈？
二、提出問題
影響漂洗衣服干凈程度的因素有：漂洗前衣服上殘留的污物量，用于漂洗衣服的清水量，漂洗的次數，每次漂洗用的清水量，每次漂洗后衣服上殘留的污物量.
三、相關因素分析及假設
假設：
1.漂洗所用的清水總量是定值，記為A kg；
2.共漂洗n（n∈N+）次，每次漂洗所用的清水量相等，記為a kg；
3.初次漂洗之前衣服上的污物量記為m0 kg，第i（1≤i≤n，且i∈N+）次漂洗后，將衣服擰干，衣服上殘留污物量記為mi kg；
4.每次漂洗擰干后，衣服上留有的清水量相等，記為b kg；
5.每次漂洗，衣服上殘留的污物可均勻地溶解在水中；
6.為了使衣服上的污物能均勻地溶解在水里，每次漂洗時存在用水最小量，記為c kg；
7.衣服上的殘留污物量小于ε kg，則稱衣服被漂洗干凈了.
第1次漂洗前，衣服上有污物m0 kg，衣服上留有的清水量b kg.
四、建立模型
第1次漂洗時加入清水a kg，此時m0 kg污物均勻地溶解在（a+b）kg清水里，漂洗擰干后，衣服上殘留的污物量為m1 kg，滿足 ，即
進而可得
同理
于是，問題轉化為只需要求同時滿足 和 的n值即可，通過對n賦值，得到符合條件的n值，即得結果.
另外，由假設可知，a≥c，即
事實上，為了保證有解，應當滿足條件 其中 表示不超過 的最大整數.
由模型得出的結論可通過實際檢測得到（略）.
五、檢驗
以上過程是一個完整的數學建模活動過程.在這之后，我們還可以做進一步的工作，比如：
1.改進已有模型，可通過改進假設，建立新的模型，使新的模型更接近實際.
2.討論模型的特征，擴大模型的適用范圍，以解決更多的問題.
3.深入分析實際情境，提出新的問題，進行新問題解決的數學建模活動.
在上面的數學建模活動中，做了模型的假設：每次漂洗所用的清水量相等，在本節開始還提及：漂洗的次數越多衣服越干凈，現在，不禁要問：
（1）如果每次漂洗所用的清水量不相等，結果又怎樣呢？
（2）“漂洗的次數越多衣服越干凈”的結論正確嗎？
在這里只討論問題（1）：如果每次漂洗所用的清水量不相等，結果又怎樣呢？
為了簡單起見，只討論漂洗2次，設2次所用的清水量分別為a1 kg，a2 kg，且a1+a2=A，A是定值，比較a1=a2和a1≠a2的漂洗效果.
在漂洗所用的清水量不相等（a1≠a2）時，
我們希望m2盡可能地小，即 盡可能地大.
由基本不等式，得
即
這說明，在只漂洗2次的情況下，所用的清水量相等的漂洗效果最佳.
一般地，在用水總量和漂洗次數都相同的情況下，等量用水漂洗比不等量用水漂洗下的最后殘留污物量要少.
∵這里的 是定值，
∴當且僅當 即a1=a2時， 取得最大值.
根據今天所學，回答下列問題：
1.一個完整的數學建模活動有什么流程？

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