資源簡介

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北師大版 數學 選擇性必修第一冊
課標定位
素養闡釋 1.掌握雙曲線的范圍、對稱性、中心、頂點、軸、漸近線、離心率等幾何性質,能夠應用雙曲線的標準方程研究雙曲線的幾何性質.通過學習雙曲線的幾何性質,培養直觀想象、數學運算等素養.
2.掌握根據雙曲線的幾何性質解決有關問題的方法.借助雙曲線幾何性質的應用,提升直觀想象及數學運算、邏輯推理等素養.
自主預習 新知導學
一、雙曲線的幾何性質
【問題思考】
1.類比橢圓的幾何性質,結合圖象(圖略),思考以下問題:
(1)從圖象上可以看出雙曲線是向兩端無限延伸的,那么它是否與橢圓一樣有范圍限制
(2)觀察雙曲線,它是不是軸對稱圖形 對稱軸是哪條直線 是不是中心對稱圖形 對稱中心是哪個點
提示:關于x軸、y軸和原點都是對稱的,x軸、y軸是雙曲線的對稱軸,原點是對稱中心,又叫作雙曲線的中心.
(3)雙曲線的頂點就是雙曲線與坐標軸的交點,這種說法對嗎 為什么
提示:不對,雙曲線的頂點是雙曲線與其對稱軸的交點,只有在標準形式下,坐標軸才是雙曲線的對稱軸,此時雙曲線與坐標軸的交點是雙曲線的頂點.
2.雙曲線的幾何性質
表2-2-1
3.中心在原點,實軸長為10,虛軸長為6的雙曲線的標準方程是(　　).
答案:B
二、雙曲線的離心率
【問題思考】
1.(1)如何用a,b表示雙曲線的離心率
(2)橢圓的離心率反映了橢圓的扁圓程度.那么,雙曲線的離心率與開口大小有關系嗎 怎樣反映這種關系
答案:C
三、雙曲線的漸近線
【問題思考】
1.(1)雙曲線的兩支在向外無限延伸的過程中會不會與它的漸近線相交
提示:雙曲線與它的漸近線無限接近,但永不相交.
(2)漸近線相同的雙曲線是同一條雙曲線嗎
提示:漸近線相同的雙曲線有無數條,不一定是同一條雙曲線,但它們實軸長與虛軸長的比值相同.
(3)雙曲線的離心率和漸近線的斜率有怎樣的關系
答案:C
【思考辨析】
判斷下列說法是否正確,正確的在它后面的括號里畫“√”,錯誤的畫“×”.
(1)橢圓的離心率與雙曲線的離心率取值范圍相同.(　　)
(2)雙曲線有四個頂點,分別是雙曲線與其實軸及虛軸的交點.(　　)
×
×
×
√
合作探究 釋疑解惑
探究一
利用雙曲線的標準方程研究其幾何性質
【例1】 求雙曲線9x2-16y2+144=0的實半軸長、虛半軸長、焦點坐標、離心率和漸近線方程,并大致畫出這個雙曲線.
答圖2-2-1
利用雙曲線的方程研究其幾何性質的解題步驟
(1)先把雙曲線方程化為標準形式.
(2)由標準方程確定焦點位置,確定a,b的值.
(3)由c2=a2+b2求出c的值,從而寫出雙曲線的幾何性質.
注意:求性質時一定要注意焦點的位置.
【變式訓練1】 求雙曲線9y2-4x2=-36的頂點坐標、焦點坐標、實軸長、虛軸長、離心率和漸近線方程.
探究二
根據幾何性質求雙曲線標準方程
【例2】 分別求出適合下列條件的雙曲線的標準方程:
1.求雙曲線的標準方程的方法
(1)解決此類問題的常用方法是先定型(焦點在哪條軸上),再定量(確定a2,b2的值).要特別注意a2+b2=c2的應用,并注意不要與橢圓中的關系相混淆.
(2)如果已知雙曲線的方程為標準方程,但不知焦點所處的位置,也可把雙曲線方程設為mx2-ny2=1(m,n同號),然后由條件求m,n.
2.巧設雙曲線方程的六種方法與技巧
【變式訓練2】 求滿足下列條件的雙曲線的標準方程:
(1)以直線2x±3y=0為漸近線,經過點(1,2);
探究三
求雙曲線的漸近線或離心率
【例3】 如圖如圖2-2-2,已知F1,F2為雙曲線 (a>0,b>0)的焦點,過F2作垂直于x軸的直線交雙曲線于點P,且∠PF1F2=30°,求雙曲線的漸近線方程.
圖2-2-2
分析:由于PF2⊥x軸,因而可先求得點P的縱坐標,即可知|PF2|的值,再結合△PF1F2為直角三角形及雙曲線的定義,求得a,b間的關系,進而求得漸近線的斜率.
若本例條件不變,求此雙曲線的離心率.
1.求雙曲線漸近線方程的兩種方法
2.求雙曲線離心率的方法
(2)若求離心率e的取值范圍,則應由題意尋求a,b,c的不等關系,由此得出關于e的不等式,再進行求解.
規范解答
與雙曲線的離心率有關的問題
在求雙曲線離心率的的齊次方程,若得到的是關于a,c的方程pc2+q·ac+r·a2=0(p,q,r為常數,且p≠0),則轉化為關于e的方程pe2+q·e+r=0
求解.
本題可能會出現因不會對等式c2-2ac-a2=0變形,而求不出e,導致此情形的原因是欠缺對等式進行變形的能力.
隨堂練習
1.實軸長等于虛軸長的雙曲線叫作等軸雙曲線.中心在原點,實軸在x軸上,一個焦點在直線3x-4y+12=0上的等軸雙曲線的方程是(　　).
A.x2-y2=8 B.x2-y2=4
C.y2-x2=8 D.y2-x2=4
解析:在3x-4y+12=0中,令y=0,得x=-4,則等軸雙曲線的一個焦點坐標為(-4,0).于是c=4,
答案:A
2.已知雙曲線9y2-m2x2=1(m>0)的一個頂點到它的一條漸近線的距離為 ,則m=(　　).
A.1 B.2 C.3 D.4
答案:D
答案:B
答案:BCD
答案:(-12,0)
(1)求雙曲線C的標準方程;
(2)求雙曲線C的漸近線方程.

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