資源簡介

(共53張PPT)
北師大版 數(shù)學 選擇性必修第一冊
課標定位
素養(yǎng)闡釋 1.掌握橢圓的中心、頂點、長軸、短軸和離心率的概念,理解橢圓的范圍和對稱性.
2.掌握橢圓的離心率及a,b,c的幾何意義.通過對橢圓性質(zhì)的學習與應(yīng)用,提升數(shù)學運算素養(yǎng).
3.會應(yīng)用橢圓的簡單幾何性質(zhì)解題.借助求解離心率問題,提升直觀想象與邏輯推理素養(yǎng).
自主預(yù)習 新知導(dǎo)學
一、橢圓的幾何性質(zhì)
【問題思考】
1.如圖2-1-2,觀察焦點在x軸上的橢圓 =1(a>b>0)的圖形,思考以下問題:
(1)如何從方程形式判斷曲線的對稱性
提示:在曲線的方程里,
①如果把x換成-x而方程不變,那么曲線關(guān)于y軸對稱.
②如果把y換成-y而方程不變,那么曲線關(guān)于x軸對稱.
③如果曲線具有關(guān)于y軸對稱、關(guān)于x軸對稱和關(guān)于原點對稱中的任意兩種,那么它一定具有第三種對稱.
圖2-1-2
提示:與x軸的交點坐標為(±a,0),與y軸的交點坐標為(0,±b).
(3)借助橢圓圖形,你認為橢圓上到對稱中心距離最近和最遠的點各是哪些
提示:短軸端點B1和B2到中心O的距離最近;長軸端點A1和A2到中心O的距離最遠.
(4)借助橢圓圖形,你認為橢圓上的點到焦點F1的距離的最大值和最小值各是何值
提示:點(a,0),(-a,0)與焦點F1(-c,0)的距離分別是橢圓上的點與焦點F1的最大距離和最小距離,即a+c和a-c.
(2)橢圓與坐標軸的交點坐標是什么
表2-1-1
2.橢圓的幾何性質(zhì)
答案:(1)D　(2)[-5,5]
二、橢圓的離心率
【問題思考】
1.(1)如何用a,b表示離心率
(2)在a不變的情況下,隨c的變化,橢圓的形狀如何變化 若c不變,隨a的變化,橢圓的形狀又如何變化呢
提示:①a不變,c越小,橢圓越圓;c越大,橢圓越扁.
②c不變,a越大,橢圓越圓;a越小,橢圓越扁.
2.規(guī)定橢圓的焦距與長軸長度的比叫作橢圓的 離心率 .用e表示,即 =e.顯然 03.橢圓x2+4y2=1的離心率為(　　).
答案:A
三、共焦點的橢圓的標準方程
【問題思考】
提示:兩個橢圓有公共焦點.
(2)有公共焦點的橢圓的標準方程中a2,b2有怎樣的關(guān)系
提示:a2-b2為常數(shù).
2.共焦點的橢圓系方程
答案:A
【思考辨析】
判斷下列說法是否正確,正確的在它后面的括號里畫“√”,錯誤的畫“×”.
(1)橢圓的頂點是橢圓與它的對稱軸的交點.(　　)
(2)橢圓上的點到焦點的距離的最大值為a+c.(　　)
(3)橢圓的離心率e越接近于1,橢圓越圓.(　　)
(5)有公共焦點的橢圓的標準方程一定相同.(　　)
√
√
×
×
×
合作探究 釋疑解惑
探究一
根據(jù)橢圓的方程研究其幾何性質(zhì)
【例1】 設(shè)橢圓mx2+4y2=4m(m>0)的離心率為 ,試求橢圓的長軸長和短軸長、焦點坐標及頂點坐標.
用橢圓的標準方程研究幾何性質(zhì)的步驟
(1)將橢圓方程化為標準形式.
(2)確定焦點位置(焦點位置不確定的要分類討論).
(3)求出長半軸長a、短半軸長b、半焦距c.
(4)寫出橢圓的幾何性質(zhì).
(1)求橢圓C1的長半軸長、短半軸長、焦點坐標及離心率;
(2)寫出橢圓C2的方程,并研究其性質(zhì).
探究二
根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)求方程
【例2】分別寫出滿足下列條件的橢圓的標準方程:
(3)短軸的一個端點到一個焦點的距離為5,焦點到橢圓中心的距離為3.
利用橢圓的幾何性質(zhì)求標準方程的思路
(1)利用橢圓的幾何性質(zhì)求橢圓的標準方程時,通常采用待定系數(shù)法,其步驟如下:
①確定焦點位置;
②設(shè)出相應(yīng)橢圓的標準方程(焦點位置不確定的橢圓可能有兩個標準方程);
③根據(jù)已知條件構(gòu)造關(guān)于參數(shù)的關(guān)系式,利用方程(組)求參數(shù),列方程(組)時常用的關(guān)系式有b2=a2-c2,e= 等.
(2)在橢圓的簡單幾何性質(zhì)中,軸長、離心率不能確定橢圓的焦點位置,因此僅依據(jù)這些條件求所要確定的橢圓的標準方程可能有兩個.
【變式訓(xùn)練2】 分別求出適合下列條件的橢圓的標準方程:
探究三
橢圓的離心率問題
答案:D
1.若將本例中“PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°”改為“∠PF2F1=75°, ∠PF1F2=45°”,其他條件不變,求橢圓C的離心率.
解:如答圖2-1-2,在△PF1F2中,因為∠PF1F2=45°,∠PF2F1=75°,所以∠F1PF2=60°,設(shè)|PF1|=m,|PF2|=n,|F1F2|=2c,橢圓的長軸長為2a,則m+n=2a,
答圖2-1-2
2.若將本例中“P是橢圓C上的點,PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°”改為“橢圓C上存在點P,使∠F1PF2為鈍角”,其他條件不變,求橢圓C的離心率的取值范圍.
求橢圓離心率及其取值范圍的兩種方法
(1)直接法:若已知a,c,可直接利用e= 求解.若已知a,b或b,c,可借助于a2=b2+c2,求出c或a,再代入公式e= 求解.
(2)方程法:若a,c的值不可求,則可根據(jù)條件建立a,b,c的關(guān)系式,借助于a2=b2+c2,轉(zhuǎn)化為關(guān)于a,c的齊次方程或不等式,再將方程或不等式兩邊同除以a的最高次冪,得到關(guān)于e的方程或不等式,即可求得e的值或范圍.
圖2-1-3
解析:由題意知直線AB的斜率存在,
|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a.
設(shè)BF1=k(k>0),則|AF1|=3k,|AB|=4k,
∴|AF2|=2a-3k,|BF2|=2a-k.
探究四
共焦點的橢圓系方程
根據(jù)已知條件巧設(shè)橢圓的標準方程對求出橢圓的標準方程是很重要的,但必須要注意寫明參數(shù)的取值范圍.
因忽視焦點位置的討論而致誤
答案 4
易錯辨析
以上解答過程中都有哪些錯誤 出錯的原因是什么 你如何改正 你如何防范
提示:上述解法的錯誤在于默認焦點在x軸上,沒有對焦點的位置進行討論,僅根據(jù)橢圓的離心率不能確定焦點的位置.
橢圓的幾何性質(zhì)分為兩類:第一類是與坐標系無關(guān)的性質(zhì),如長軸長、短軸長、焦距、離心率;第二類是與坐標系有關(guān)的性質(zhì),如頂點、焦點、中心坐標.僅根據(jù)第一類的性質(zhì)不能確定焦點的位置,必須分類討論.
隨堂練習
1.與橢圓9x2+4y2=36有相同焦點,且短軸長為2的橢圓的標準方程為(　　).
答案:B
答案:A
答案:A
A.a2=15,b2=16
B.a2=9,b2=25
C.a2=25,b2=9或a2=9,b2=25
D.a2=25,b2=9
答案:D
答案:AD

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