資源簡介

(共40張PPT)
北師大版 數學 選擇性必修第一冊
課標定位
素養闡釋 1.了解橢圓的實際背景,經歷從具體情境中抽象出橢圓的過程,理解橢圓、焦點、焦距的定義.理解橢圓標準方程的推導與化簡.
2.掌握橢圓的標準方程及幾何圖形.理解參數a,b,c的幾何意義,會求一些簡單的橢圓的標準方程.學好數形結合數學思想的運用.
3.通過對橢圓定義的歸納和標準方程的推導,培養發現規律、認識規律并利用規律解決實際問題的能力,提高探索數學的興趣,激發學習熱情.
自主預習 新知導學
一、橢圓的定義
【問題思考】
1.(1)將一條細繩的兩端用圖釘分別固定在平面內的兩個定點F1,F2上,用筆尖將細繩拉緊并運動,在紙上能得到怎樣的圖形
提示:得到一個橢圓.
(2)筆尖在移動的過程中,筆尖到兩個定點F1和F2的距離之和是一個定值嗎
提示:是.其距離之和始終等于細繩的長度.
2.平面內到兩個定點F1,F2的距離之和等于 常數 (大于|F1F2|)的點的集合(或軌跡)叫作 橢圓 .
這兩個定點F1,F2叫作橢圓的 焦點 ,兩個焦點間的距離|F1F2|叫作橢圓的
焦距 .
3.(多選題)下列命題是真命題的有(　　).
A.已知定點F1(-1,0),F2(1,0),則滿足|PF1|+|PF2|= 的點P的軌跡為橢圓
B.已知定點F1(-2,0),F2(2,0),則滿足|PF1|+|PF2|=4的點P的軌跡為線段
C.到定點F1(-3,0),F2(3,0)距離相等的點的軌跡為橢圓
D.若點P到定點F1(-4,0),F2(4,0)的距離的和等于點M(5,3)到定點F1(-4,0), F2(4,0)的距離的和,則點P的軌跡為橢圓
BD
解析: A項,因為 <2,所以點P的軌跡不存在;B項,因為|F1F2|=4,所以點P的軌跡是線段F1F2;C項,到定點F1(-3,0),F2(3,0)距離相等的點的軌跡是線段F1F2的垂直平分線(y軸);D項,因為點M(5,3)到定點F1(-4,0),F2(4,0)的距離的和為4 >8,所以點P的軌跡為橢圓.故選BD.
二、橢圓的標準方程
【問題思考】
1.(1)根據橢圓的幾何特征,如何建立坐標系求橢圓的方程
提示:以兩定點F1,F2所在的直線為x軸,F1F2的中點為坐標原點建立平面直角坐標系,然后按照直接法求軌跡方程的步驟求出橢圓方程.
(2)在推導橢圓的標準方程的過程中,如何處理等式中的兩個根式
提示:將其中一個根式移到另一端,兩邊平方然后再次平方即可.
3.兩個焦點坐標分別為(2,0)和(-2,0),且經過點(5,0)的橢圓的標準方程為(　　).
答案:C
【思考辨析】
判斷下列說法是否正確,正確的在它后面的括號里畫“√”,錯誤的畫“×”.
(1)平面內與兩個定點的距離之和等于常數的點的軌跡就是橢圓.(　　)
×
×
×
√
合作探究 釋疑解惑
探究一
用待定系數法求橢圓的標準方程
【例1】 求適合下列條件的橢圓的標準方程:
(1)兩個焦點的坐標分別為(-3,0),(3,0),并且橢圓上一點P與兩個焦點的距離的和等于10;
(2)兩個焦點的坐標分別為(0,-2),(0,2),且經過點(4,3 );
求橢圓標準方程的步驟
(1)作判斷:依據條件判斷橢圓的焦點在x軸上還是在y軸上,還是在兩條坐標軸上都有可能.
(2)設方程:
②在不能確定焦點位置的情況下也可設方程為mx2+ny2=1(m>0,n>0,且m≠n).
(3)找關系:依據已知條件,建立關于a,b,c或m,n的方程組.
(4)得方程:解方程組,代入所設方程即為所求.
其主要步驟可歸納為“先定型,再定量”.
【變式訓練1】 求適合下列條件的橢圓的標準方程:
(1)兩個焦點的坐標分別為(-4,0)和(4,0),且橢圓經過點(5,0);
(2)焦點在y軸上,且經過兩個點(0,2)和(1,0);
探究二
用定義法求橢圓的標準方程
【例2】 已知一動圓M與圓Q1:(x+3)2+y2=1外切,與圓Q2:(x-3)2+y2=81內切,試求動圓圓心M的軌跡方程.
解:由已知,得兩定圓的圓心和半徑分別為Q1(-3,0),R1=1,Q2(3,0),R2=9.
設動圓圓心為M(x,y),半徑為R.
由題設有|MQ1|=1+R,|MQ2|=9-R,
所以|MQ1|+|MQ2|=10>|Q1Q2|=6.
由橢圓的定義,知點M在以Q1,Q2為左、右焦點的橢圓上,且a=5,c=3.
所以b2=a2-c2=25-9=16.
故動圓圓心M的軌跡方程為
1.先根據動點滿足的條件,驗證是否符合橢圓的定義,即動點到兩定點的距離之和是不是一個常數,且該常數(定值)是不是大于兩定點間的距離.
2.若符合,則動點的軌跡為橢圓,且兩定點間的距離為焦距2c,動點到兩定點的距離之和是常數2a.從而可以確定橢圓的方程.
【變式訓練2】 一動圓過定點A(2,0),且與圓B:x2+4x+y2-32=0內切,求動圓圓心M的軌跡方程.
解:將圓B的方程化為標準形式為(x+2)2+y2=62,可知圓心為B(-2,0),半徑為6,
如答圖2-1-1,設動圓圓心M的坐標為(x,y),切點為C.
∵|BC|-|MC|=|BM|,|BC|=6,|CM|=|AM|,
∴|BM|+|AM|=6>|AB|=4.
由橢圓定義知,A,B為橢圓的兩個焦點,
∴a=3,c=2,b2=a2-c2=5,
答圖2-1-1
探究三
橢圓定義的應用
1.若將本例中“∠F1PF2=60°”變為“∠F1PF2=90°”,其他條件不變,求△F1PF2的面積.
2.若將本例中“∠F1PF2=60°”變為“∠PF1F2=90°”,其他條件不變,求△F1PF2的面積.
1.橢圓的定義具有雙向作用,即若點P到兩定點F1,F2的距離之和|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|),則點P的軌跡是橢圓;反之,橢圓上任意一點P到兩焦點F1,F2的距離之和必為常數(大于|F1F2|).
2.橢圓中的焦點三角形
橢圓上一點P與橢圓的兩個焦點F1,F2構成的△PF1F2,稱為焦點三角形.在處理橢圓中的焦點三角形問題時,可結合橢圓的定義|PF1|+|PF2|=常數(大于|F1F2|)及三角形中的有關定理和公式(如正弦定理、余弦定理、三角形面積公式等)來求解.
圖2-1-1
|AF1|+|AF2|=2a=10,|BF1|+|BF2|=2a=10,|AF2|+|BF2|=|AB|.
所以△AF1B的周長為|AF1|+|BF1|+|AB|=|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=(|AF1|+|AF2|)+(|BF1|+|BF2|)=2a+2a=20.
易錯辨析
因考慮不全面而致誤
【典例】 已知橢圓兩焦點間的距離為16,且橢圓上某點到兩焦點的距離分別等于9和15,求橢圓的標準方程.
以上解答過程中都有哪些錯誤 出錯的原因是什么 你如何改正 你如何防范
提示:上述解法的錯誤在于忘記本題沒有說明焦點在哪條坐標軸上,解題時易主觀地認為焦點在x軸上,應考慮焦點在x軸、y軸上兩種情形,這是初學者易犯的錯誤.
正解:由題意知,2c=16,2a=9+15=24,所以c=8,a=12.
所以b2=a2-c2=122-82=80.
在求解橢圓問題時,要注意以下常見錯誤:
(1)忽略橢圓定義中的條件2a>|F1F2|.
(2)忽略橢圓標準方程的隱含條件(a>b>0).
(3)主觀地認為焦點在x軸上而忽略討論焦點在y軸上的情況.
(4)忽略對方程的限制條件.
隨堂練習
1.已知橢圓4x2+ky2=4的一個焦點的坐標是(0,1),則實數k的值是(　　).
A.1 B.2 C.3 D.4
答案:B
A.(3,+∞) B.(-∞,-2)
C.(-∞,-2)∪(3,+∞) D.(-6,-2)∪(3,+∞)
答案:D
3.已知點P在焦點為F1(-4,0)和F2(4,0)的橢圓上,若△PF1F2面積的最大值為16,則橢圓的標準方程為(　　).
答案:C
答案:AB
6.已知橢圓的中心在原點,兩個焦點F1,F2在x軸上,且過點A(-4,3).若F1A⊥F2A,求橢圓的標準方程.

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