資源簡介

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北師大版 數學 選擇性必修第一冊
課標定位
素養闡釋 1.理解拋物線的定義及焦點、準線的概念.
2.掌握拋物線的標準方程及其推導過程.
3.明確p的幾何意義,并能解決簡單的求拋物線標準方程問題,提升邏輯推理和數學運算素養.
自主預習 新知導學
一、拋物線的定義
【問題思考】
1.如圖2-3-1,我們在黑板上畫一條直線EF,然后取一個三角板和一條拉鏈,拉鏈的長度與三角板的一條直角邊AB相等.將三角板的另一條直角邊貼在直線EF上,拉鏈的一端固定在三角板頂點B處,另一端固定在黑板上的點C處.在拉鏈D處放置一支粉筆,沿著直線EF上下拖動三角板,粉筆會畫出一條曲線.
圖2-3-1
(1)畫出的曲線是什么形狀
提示:拋物線.
(2)|DA|是點D到直線EF的距離嗎 為什么
提示:是.因為AB是直角三角形的一條直角邊.
(3)點D在移動過程中,到直線EF的距離和到點C的距離在數量上滿足什么關系 .
提示:相等.
2.平面內與一個定點F和一條定直線l(l不經過點F)的距離相等的點的集合(或軌跡)叫作 拋物線 .這個定點F叫作拋物線的 焦點 ,這條定直線l叫作拋物線的 準線 .
3.一動圓的圓心在拋物線y2=8x上且恒與直線x+2=0相切,則動圓必過定點(　　).
A.(4,0) B.(2,0) C.(0,2) D.(0,-2)
解析:直線x+2=0為拋物線的準線,所以動圓過拋物線的焦點(2,0).故選B.
答案:B
二、拋物線的標準方程
【問題思考】
1.(1)拋物線方程中p(p>0)的幾何意義是什么
提示:p的幾何意義是焦點到準線的距離.
(2)到定點A(3,0)和定直線l:x=-3距離相等的點的軌跡是什么 軌跡方程又是什么
提示:軌跡是拋物線,軌跡方程為y2=12x.
(3)如何確定拋物線的焦點位置和開口方向
提示:一次項變量為x(或y),則焦點在x軸(或y軸)上;若系數為正,則焦點在正半軸上;系數為負,則焦點在負半軸上,焦點確定,開口方向也隨之確定.
2.拋物線的標準方程 表2-3-1
3.拋物線y2=2x的焦點坐標是　　　　　,準線方程是　　　　　.
【思考辨析】
判斷下列說法是否正確,正確的在它后面的括號里畫“√”,錯誤的畫“×”.
(1)并非所有二次函數的圖象都是拋物線.(　　)
(2)拋物線是雙曲線的一支.(　　)
(3)平面內到一定點距離與到一定直線距離相等的點軌跡一定是拋物線.
(　　)
(4)拋物線y2=20x的焦點坐標是(0,5).(　　)
×
×
×
×
合作探究 釋疑解惑
探究一
求拋物線的焦點或準線
【例1】 求下列拋物線的焦點坐標和準線方程.
(1)y2=40x;(2)4x2=y;(3)6y2+11x=0.
已知拋物線方程求焦點坐標和準線方程的方法
先將所給方程化為標準形式,由標準方程得到參數p,從而得焦點坐標和準線方程.需注意p>0,焦點所在位置由標準方程一次項的系數確定,系數為正,焦點在正半軸;系數為負,焦點在負半軸.
【變式訓練1】 指出下列拋物線的焦點坐標和準線方程并說明拋物線的開口方向.
(1)y= x2;
(2)x=ay2(a≠0).
探究二
求拋物線的標準方程
【例2】 根據下列條件確定拋物線的標準方程.
(1)關于y軸對稱且過點(-1,-3);
(2)過點(4,-8);
(3)焦點在直線x-2y-4=0上;
(4)頂點在原點,以坐標軸為對稱軸,焦點到準線的距離為 .
(2)由題意,可設所求拋物線方程為y2=2px(p>0)或x2=-2p'y(p'>0).將點(4,-8)的坐標代入y2=2px,得p=8.將點(4,-8)的坐標代入x2=-2p'y,得p'=1.
故所求拋物線方程為y2=16x或x2=-2y.
1.求拋物線方程,先判斷焦點位置,通常用待定系數法.
(1)若能確定拋物線的焦點位置,則直接設出拋物線的標準方程,求出p的值即可;
(2)若拋物線的焦點位置不確定,則要分情況討論.
2.焦點在x軸上的拋物線方程可設為y2=ax(a≠0),焦點在y軸上的拋物線方程可設為x2=ay(a≠0).
【變式訓練2】 求適合下列條件的拋物線的標準方程:
(1)過點M(-6,6);
(2)焦點F在直線l:3x-2y-6=0上.
解:(1)∵點M(-6,6)在第二象限,
∴過點M的拋物線開口向左或開口向上.
若拋物線開口向左,則焦點在x軸上,設其方程為y2=-2px(p>0),將點M(-6,6)的坐標代入,可得36=-2p×(-6),解得p=3.∴拋物線的方程為y2=-6x.
若拋物線開口向上,則焦點在y軸上,設其方程為x2=2py(p>0),將點M(-6,6)的坐標代入,可得36=2p×6,解得p=3,∴拋物線的方程為x2=6y.
綜上所述,拋物線的標準方程為y2=-6x或x2=6y.
探究三
拋物線定義的應用
【例3】 已知點P是拋物線y2=2x上的一個動點,求點P到點A(0,2)的距離與點P到該拋物線準線的距離之和的最小值.
分析:利用拋物線的定義,把點P到拋物線準線的距離轉化為到焦點的距離.
如答圖2-3-1 ,設拋物線的準線為l,過點P向直線l作垂線,垂足為Q,連接PF,AF.
由拋物線的定義知,|PA|+|PQ|=|PA|+|PF|≥|AF|,
當且僅當點P在AF上時取等號.
答圖2-3-1
1.若將本例中的“點A(0,2)”改為“點A(3,2)”,其他條件不變,求點P到點A(3,2)的距離與點P到該拋物線焦點的距離之和的最小值.
解:由題意可知,拋物線y2=2x的焦點坐標為 ,設為F.
如如答圖2-3-2,設拋物線的準線為l,過點P向直線l作垂線,垂足為Q,過點A向直線l作垂線,垂足為Q'.
由拋物線的定義知,|PA|+|PF|=|PA|+|PQ|≥|AQ'|,
當且僅當點P在AQ'上時取等號.
答圖2-3-2
2.若將本例中的“點A(0,2)”改為“直線l1:3x-4y+ =0”,其他條件不變,求點P到直線l1的距離與點P到該拋物線的準線的距離之和的最小值.
答圖2-3-3
拋物線定義的兩種應用
(1)實現距離轉化.根據拋物線的定義,拋物線上任意一點到焦點的距離等于它到準線的距離,因此,由拋物線定義可以實現點點距與點線距的相互轉化,從而簡化某些問題.
(2)解決最值問題.在拋物線中求解與焦點有關的兩點間距離和的最小值時,往往用拋物線的定義進行轉化,即化折線為直線解決最值問題.
【變式訓練3】 (1)已知F是拋物線y2=x的焦點,A,B是該拋物線上的兩點,|AF|+|BF|=3,則線段AB的中點到y軸的距離為(　　).
A.橢圓 B.雙曲線 C.拋物線 D.以上都不對
答圖2-3-4
答案:(1)C　(2)C
易錯辨析
因考慮問題不全面而致誤
【典例】已知拋物線上一點(-5,-2 )到焦點F(x,0)的距離是6,則拋物線的標準方程是(　　).
A.y2=-2x或y2=-18x
B.y2=-4x或y2=-36x
C.y2=-4x
D.y2=-18x,y2=-36x
x=-9,則F(-1,0)或F(-9,0).
若F(-1,0),則p=2,方程為y2=-4x;
若F(-9,0),則p=18,方程為y2=-36x.故選B.
答案:B
以上解答過程中都有哪些錯誤 出錯的原因是什么 你如何改正 你如何防范
提示:上述解法的錯誤在于忘記檢驗是否符合拋物線的定義.由已知求出F(-1,0)或F(-9,0),只說明這兩點到點(-5,-2 )的距離為6,并不代表點
(-5,-2 )一定在以F(-1,0)或F(-9,0)為焦點的拋物線上.
整理得x2+10x+9=0,即(x+1)(x+9)=0,
解得x=-1或x=-9.
則F(-1,0)或F(-9,0).
若F(-1,0),則p=2,y2=-4x;
若F(-9,0),則p=18,y2=-36x.顯然,若拋物線的方程為y2=-36x,則它的準線方程為x=9.
由拋物線的定義,點(-5,-2 )到直線x=9的距離應該是6,而點(-5,-2 )到直線x=9的距離為14,矛盾.
故所求拋物線的標準方程為y2=-4x.
答案:C
1.求拋物線的標準方程,常用待定系數法.用待定系數法求拋物線標準方程時,一定要先確定焦點位置與開口方向,如果開口方向不確定時,可設所求拋物線方程為y2=ax(a≠0),或者x2=ay(a≠0).
2.應用分類討論的思想解題時,應注意驗證分類的結果是否都符合題意.
隨堂練習
答案:B
2.已知拋物線y2=24ax(a>0)上有一點M,它的橫坐標是3,它到焦點的距離是5,則拋物線的方程為(　　).
A.y2=8x B.y2=12x
C.y2=16x D.y2=20x
解析:由題意知6a+3=5,解得a= .因此拋物線的方程為y2=8x.
答案:A
3.(多選題)在平面直角坐標系xOy中,拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,準線為l.設l與x軸的交點為K,P為拋物線C上異于O的任意一點,點P在l上的射影為點E,∠EPF的鄰補角的平分線交x軸于點Q,過點Q作QM⊥PF交PF于點M,過點Q作QN⊥EP交線段EP的延長線于點N,則(　　).
A.|PE|=|PF| B.|PF|=|QF|
C.|PN|=|MF| D.|PN|=|KF|
答案:ABD
4.已知O為坐標原點,拋物線C:y2=2px(p>0)上一點A到焦點F的距離為4,點M為拋物線C準線上的動點.若 則p=　　　　　.
答案:3
(第3題答圖)
5.已知拋物線的焦點在x軸上,拋物線上的點M(-3,m)到焦點的距離是5.
(1)求拋物線的方程和實數m的值;
(2)求拋物線的焦點坐標和準線方程.

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