資源簡介

(共44張PPT)
北師大版 數學 選擇性必修第一冊
課標定位
素養闡釋 1.理解并掌握雙曲線的定義,了解雙曲線的焦點、焦距.
2.掌握雙曲線的標準方程及其推導過程,能利用定義求標準方程及分析解決有關問題,培養學生的數學抽象、直觀想象素養.
3.進一步體會用待定系數法求軌跡方程及分類討論、數形結合的數學思想方法的運用.
自主預習 新知導學
一、雙曲線的定義
【問題思考】
1.如圖2-2-1,觀察下圖,思考問題:
(1)在點M移動的過程中,||MF1|-|MF2||的值發生變化嗎
提示:不變.
(2)動點M的軌跡是什么
提示:雙曲線.
(3)雙曲線的定義中強調平面內動點到兩定點的距離差的絕對值為常數,若沒有絕對值,則動點的軌跡是什么
提示:雙曲線的一支.
圖2-2-1
(4)在雙曲線的定義中,必須要求“常數大于零且小于|F1F2|”,那么“常數等于|F1F2|”“常數大于|F1F2|”和“常數為0”時,動點的軌跡分別是什么
提示:①如果定義中常數等于|F1F2|,此時動點的軌跡是以F1或F2為端點的兩條射線(包括端點).
②如果定義中常數大于|F1F2|,此時動點軌跡不存在.
③如果定義中常數為0,此時動點軌跡為線段F1F2的垂直平分線.
2.平面內到兩個定點F1,F2的距離之 差的絕對值 等于常數(大于零且小于|F1F2|)的點的集合(或軌跡)叫作雙曲線.這 兩個定點F1,F2 叫作雙曲線的焦點, 兩個焦點間的距離|F1F2| 叫作雙曲線的焦距.
3.已知兩個定點F1(-3,0),F2(3,0),平面內動點P滿足下列條件的軌跡,是雙曲線的是(　　).
A.||PF1|-|PF2||=5 B.||PF1|-|PF2||=6
C.||PF1|-|PF2||=7 D.||PF1|-|PF2||=0
解析:A中,∵|F1F2|=6,∴||PF1|-|PF2||=5<|F1F2|,故動點P的軌跡是雙曲線;
B中,∵||PF1|-|PF2||=6=|F1F2|,
∴動點P的軌跡是以F1或F2為端點的射線(含端點);
C中,∵||PF1|-|PF2||=7>|F1F2|,
∴動點P的軌跡不存在;
D中,∵||PF1|-|PF2||=0,即|PF1|=|PF2|,根據線段垂直平分線的性質,動點P的軌跡是線段F1F2的垂直平分線.故選A.
答案:A
二、雙曲線的標準方程
【問題思考】
1.(1)以直線F1F2為x軸,線段F1F2的垂直平分線為y軸,建立平面直角坐標系,類比橢圓標準方程的推導過程,思考怎樣求雙曲線的標準方程.
提示:設M(x,y)是雙曲線上任意一點,F1(-c,0),F2(c,0)(c>0),由||MF1|-|MF2|| =2a(a>0),可得(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2).
提示:若x2的系數為正,則焦點在x軸上;若y2的系數為正,則焦點在y軸上.
(3)橢圓標準方程和雙曲線標準方程中的a,b,c之間的關系有什么區別
提示:在橢圓中a2=b2+c2,在雙曲線中c2=a2+b2.
3.已知點F1(-4,0),F2(4,0),曲線上的動點P到F1,F2的距離之差為6,則曲線方程為(　　).
答案:A
【思考辨析】
判斷下列說法是否正確,正確的在它后面的括號里畫“√”,錯誤的畫“×”.
(1)平面內到兩定點距離的差的絕對值等于常數的點的軌跡是雙曲線.
(　　)
(2)平面內到兩定點F1,F2的距離之差等于常數(大于零且小于|F1F2|)的點的軌跡是雙曲線.(　　)
×
×
√
×
合作探究 釋疑解惑
探究一
求雙曲線的標準方程
用待定系數法求雙曲線方程的步驟
【變式訓練1】 (1)求以橢圓 的短軸的兩個端點為焦點,且經過點A(4,-5)的雙曲線的標準方程;
(2)已知雙曲線經過M(1,1),N(-2,5)兩點,求雙曲線的標準方程.
探究二
由雙曲線的標準方程求參數
【例2】 求適合下列條件的參數的值或取值范圍:
②若方程表示焦點在x軸上的雙曲線,則1③若方程表示焦點在y軸上的雙曲線,則k<-3.
1.題設中k的正負未定,不能誤以為 就是雙曲線的標準方程,需分類討論.有時要注意對焦點在x軸、y軸上進行分類討論,不要漏解.
2.方程Ax2+By2=1(A,B≠0)表示橢圓的充要條件為A>0,B>0,且A≠B.表示雙曲線的充要條件為AB<0,若A>0,B<0,則方程表示焦點在x軸上的雙曲線;若A<0,B>0,則方程表示焦點在y軸上的雙曲線.即雙曲線的焦點位置是由x2,y2的系數的正負決定的.
(1)求t為何值時,曲線C分別為橢圓、雙曲線;
(2)求證:不論t為何值,曲線C都有相同的焦點.
(2)證明:當|t|>1時,曲線C是橢圓,且t2>t2-1,
因此c2=t2-(t2-1)=1.
于是焦點為F1(-1,0),F2(1,0).
∵c2=t2+1-t2=1,∴焦點為F1(-1,0),F2(1,0).
綜上所述,無論t為何值,曲線C都有相同的焦點.
探究三
雙曲線定義的應用
(1)若雙曲線上一點M到它的一個焦點的距離等于16,求點M到另一個焦點的距離;
(2)若P是雙曲線左支上的點,且|PF1|·|PF2|=32,試求△F1PF2的面積.
(1)由雙曲線的定義,得||MF1|-|MF2||=2a=6,又雙曲線上一點M到它的一個焦點的距離等于16,假設點M到另一個焦點的距離等于d,則|16-d|=6,解得d=10或d=22.故點M到另一個焦點的距離為10或22.
(2)將||PF2|-|PF1||=2a=6兩邊平方得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=36,則|PF1|2+|PF2|2=36+2|PF1|·|PF2|=36+2×32=100.
1.若將本例(1)中條件“距離等于16”改成“距離等于7” ,其他條件不變,求點M到另一個焦點的距離.
得a=3,b=4,c=5.
由雙曲線定義,得||MF1|-|MF2||=2a=6.
假設點M到另一個焦點的距離等于d,則|7-d|=6,解得d=1或d=13.
又d≥5-3=2,即雙曲線上動點到任一個焦點的最短距離為2,所以d=1舍去.故d=13.
2.若將本例(2)中條件“|PF1|·|PF2|=32”改成“∠F1PF2=60°”, ,其他條件不變求△F1PF2的面積.
1.求雙曲線上一點P到某一焦點的距離時,若已知點P的橫、縱坐標,則根據兩點間距離公式可求得結果;若已知點P到另一焦點的距離,則根據||PF1|-|PF2||=2a求解,注意對所求結果進行必要的驗證(負數應該舍去,且所求距離應該不小于c-a).
2.在解決雙曲線中與焦點三角形有關的問題時,要注意兩點:(1)定義中的條件||PF1|-|PF2||=2a的應用;(2)要利用余弦定理、勾股定理或三角形面積公式等知識進行運算,在運算中要注意整體思想和一些變形技巧的應用,如|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1|·|PF2|.
【變式訓練3】 已知F1,F2分別為雙曲線C:x2-y2=2的左、右焦點,點P在雙曲線C上,
(1)若|PF1|=2|PF2|,求∠F1PF2的余弦值;
易錯辨析
因忽視隱含條件導致所求軌跡方程錯誤
【典例】 已知定點A(-3,0)和定圓C:(x-3)2+y2=16,動圓和圓C相外切,并且過定點A,求動圓圓心M的軌跡方程.
錯解:設M(x,y),動圓與圓C的切點為B,則|BC|=4,|MC|=|MB|+|BC|,|MA|=|MB|,
于是|MC|=|MA|+|BC|,
即|MC|-|MA|=|BC|=4<|AC|.
由雙曲線的定義知,點M的軌跡是以A,C為焦點的雙曲線,且a=2,c=3,b2=5.
以上解答過程中都有哪些錯誤 出錯的原因是什么 你如何改正 你如何
防范
提示:上述解法的錯誤在于把動點的軌跡看成雙曲線,忽視了雙曲線定義中“距離的差的絕對值是常數”這一條件,動點軌跡實際上是雙曲線的一支.
正解:設M(x,y),動圓與圓C的切點為B,
則|BC|=4,|MC|=|MB|+|BC|,|MA|=|MB|,
于是|MC|=|MA|+|BC|,
即|MC|-|MA|=|BC|=4<|AC|.
由雙曲線的定義知,點M的軌跡是以A,C為焦點的雙曲線的左支,且a=2,c=3,b2=5.
在求解與雙曲線有關的軌跡問題時,準確理解雙曲線的定義,才能保證解題的正確性.當F1,F2分別為雙曲線的左、右焦點,且||PF1|-|PF2||= 2a<|F1F2|(a>0),即|PF1|-|PF2|=±2a(0<2a<|F1F2|)時,點P的軌跡是雙曲線,其中取正號時軌跡為雙曲線的右支,取負號時軌跡為雙曲線的左支.
隨堂練習
1.若雙曲線 的兩個焦點分別是F1,F2,雙曲線上一點P到F1的距離是12,則點P到F2的距離是(　　).
A.17 B.7
C.7或17 D.2或22
解析:由雙曲線定義知||PF1|-|PF2||=10,
即|12-|PF2||=10,且c-a= -5<2,
所以|PF2|=2或|PF2|=22.
答案:D
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
答案:A
A.±5 B.±3
C.5 D.9
解析:由題意知,焦點在x軸上,34-n2=n2+16,
∴2n2=18,n2=9.∴n=±3.
答案:B
答案:AC

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