資源簡介

(共44張PPT)
北師大版 數學 選擇性必修第一冊
課標定位
素養闡釋 1.了解直線與圓錐曲線的三種位置關系.
2.掌握求解有關直線與圓錐曲線問題的方法.
3.加強數形結合思想方法的訓練與應用,培養學生的直觀想象和數學運算素養.
自主預習 新知導學
一、直線與圓錐曲線的交點
【問題思考】
1.(1)聯立直線方程與橢圓方程得到二次方程,討論其判別式時是否需要討論x2項的系數是不是零 為什么
提示:不需要,因為x2項的系數恒大于零.
(2)聯立直線方程與雙曲線方程或拋物線方程得到二次方程,討論其判別式時是否需要討論x2項的系數是不是零 為什么
提示:需要討論,因為x2項的系數可能等于零.
提示:3條.
3.直線l:x-y+2=0與雙曲線C:x2-4y2=4的交點坐標為　　　　　　　　　　.
二、直線與圓錐曲線的位置關系
【問題思考】
1.(1)若直線與橢圓有一個公共點,則直線與橢圓相切.正確嗎
提示:正確.
(2)若直線與拋物線有一個公共點,則直線與拋物線一定相切嗎
提示:不一定.當直線與拋物線的對稱軸平行時,也只有一個交點.
2.直線與圓錐曲線的位置關系
設直線l的方程為Ax+By+C=0,圓錐曲線M的方程為f(x,y)=0,則由
(1)當a≠0時有:
(2)當a=0時,方程ax2+bx+c=0只有一個解,即直線與圓錐曲線只有一個公共點,此時該直線與圓錐曲線不是相切,而是相交.
位置關系 公共點個數 方程
相交 2 Δ > 0
相切 1 Δ = 0
相離 0 Δ < 0
表2-4-1
3.已知直線y=kx-1與橢圓 相切,則k,a之間的關系式為(　　).
A.4a+4k2=1 B.4k2-a=1 C.a-4k2=1 D.a+4k2=1
答案:D
【思考辨析】
判斷下列說法是否正確,正確的在它后面的括號里畫“√”,錯誤的畫“×”.
(1)平面內到定點與到定直線距離的比為常數的點的軌跡是圓錐曲線.
(　　)
(3)若直線與圓錐曲線只有一個公共點,則直線與圓錐曲線必相切.(　　)
(4)直線與橢圓有一個公共點的充要條件是它們組成的方程組有唯一解.
(　　)
×
×
×
√
合作探究 釋疑解惑
探究一
直線與圓錐曲線的交點
【例1】 已知雙曲線的焦距為4,焦點在x軸上,且過點P(2,3).
(1)求該雙曲線的標準方程;
(2)若直線l經過該雙曲線的右焦點且斜率為1,求直線l與雙曲線的交點坐標.
判斷直線與圓錐曲線是否有交點,可以利用判別式,而要求出交點坐標,則只能聯立方程組,通過解方程組來求解.
答案:C
探究二
根據交點個數求參數的取值范圍
【例2】 (1)判斷直線l:y= x+2和橢圓2x2+3y2=6是否有公共點.
(2)當k為何值時,直線y=kx+2和橢圓2x2+3y2=6有兩個公共點 有一個公共點 沒有公共點
1.已知直線l:y=kx+1,拋物線C:y2=4x,求當k為何值時,l與C:
(1)有一個公共點;
(2)有兩個公共點;
(3)沒有公共點.
①當Δ>0,即k<1,且k≠0時,直線l與拋物線C有兩個公共點,此時直線l與拋物線C相交;
②當Δ=0,即k=1時,直線l與拋物線C有一個公共點,此時直線l與拋物線C相切;
③當Δ<0,即k>1時,直線l與拋物線C沒有公共點,此時直線l與拋物線C相離.
綜上所述,
(1)當k=1或k=0時,直線l與拋物線C有一個公共點;
(2)當k<1且k≠0時,直線l與拋物線C有兩個公共點;
(3)當k>1時,直線l與拋物線C沒有公共點.
2.已知直線l:y=kx+2,雙曲線C:x2-4y2=4,求當k為何值時:
(1)直線l與雙曲線C無公共點;
(2)直線l與雙曲線C有唯一的公共點;
(3)直線l與雙曲線C有兩個不同的公共點.
1.用判別式可以判斷直線與圓錐曲線的位置關系,當Δ>0時,直線與圓錐曲線相交;當Δ=0時,直線與圓錐曲線相切;當Δ<0時,直線與圓錐曲線相離.
2.聯立直線與圓錐曲線的方程消元后,應注意討論二次項系數是不是零.
【變式訓練2】 在平面直角坐標系xOy中,點M到點F(1,0)的距離比它到y軸的距離多1.記點M的軌跡為C.
(1)求軌跡C的方程;
(2)設斜率為k的直線l過定點P(-2,1),求直線l與軌跡C恰好有一個公共點時k的取值范圍.
探究三
圓錐曲線中的最值
答圖2-4-1
求圓錐曲線中范圍、最值的兩種方法
(1)幾何法:若題目中的條件和結論能明顯體現幾何特征和意義,則考慮利用圖形性質來求解.
(2)代數法:若題目中的條件和結論能體現一種明確的函數關系,則可先建立起目標函數,再求這個函數的最值、范圍.
【變式訓練3】 設直線l:y=k(x+1)與橢圓x2+3y2=a2(a>0)相交于A,B兩個不同的點,與x軸相交于點C,記O為坐標原點.
規范解答
直線與橢圓位置關系的應用
圖2-4-1
直線與橢圓的綜合問題常與不等式、三角函數、平面向量以及函數的最值問題等知識聯系在一起綜合考查,解決這類問題常需要挖掘出題目中隱含的數量關系、垂直關系等,然后利用方程根與系數的關系構造等式或函數關系式進行合理的轉化,這其中要注意利用判別式來確定參數的限制條件.
隨堂練習
1.過點(2,4)作直線與拋物線y2=8x只有一個公共點,這樣的直線有(　　).
A.1條 B.2條 C.3條 D.4條
解析:易知點(2,4)在拋物線上,從而這樣的直線有2條,1條為切線,1條與x軸平行.
答案:B
A.相交 B.相切 C.相離 D.不確定
解析:因為直線過定點(1,1),而點(1,1)在橢圓內部,所以直線與橢圓必相交.
答案:A
答案:BD
答案:6
6.已知橢圓x2+4y2=4,直線l:y=x+m.
(1)若直線l與橢圓x2+4y2=4有一個公共點,求m的值;
(2)若直線l與橢圓x2+4y2=4相交于P,Q兩點,且|PQ|等于橢圓的短軸長,求m的值.

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