資源簡介

(共36張PPT)
北師大版 數(shù)學 選擇性必修第一冊
課標定位
素養(yǎng)闡釋 1.掌握拋物線的范圍、對稱性、頂點、離心率等簡單幾何性質(zhì).
2.通過對拋物線的簡單幾何性質(zhì)的學習,進一步體會數(shù)形結合思想在解題中的應用,并能應用幾何性質(zhì)解決有關問題.
自主預習 新知導學
拋物線的簡單幾何性質(zhì)
【問題思考】
1.類比橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì),結合圖象(圖略),說出拋物線y2=2px(p>0)的下列性質(zhì):
(1)拋物線y2=2px(p>0)的范圍是什么
提示:x≥0,y∈R.
(2)拋物線y2=2px(p>0)的對稱軸是什么 是否存在對稱中心
提示:對稱軸為x軸,不存在對稱中心.
(3)拋物線的頂點有幾個 頂點坐標是什么
提示:只有一個頂點,坐標為(0,0).
(4)拋物線的離心率是多少
提示:e=1.
2.拋物線的簡單幾何性質(zhì)
表2-3-2
3.若拋物線y2=2px上一點的橫坐標為6,這點到焦點的距離為10,則焦點到準線的距離是(　　).
A.4 B.8 C.16 D.32
解析:由拋物線的性質(zhì),可知10=6+ ,則p=8.
所以焦點到準線的距離是8.
答案:B
【思考辨析】
判斷下列說法是否正確,正確的在它后面的括號里畫“√”,錯誤的畫“×”.
(1)拋物線關于頂點對稱.(　　)
(2)拋物線的標準方程雖然各不相同,但是其離心率都相同.(　　)
(3)拋物線的離心率均為1,所以拋物線形狀都相同.(　　)
(4)焦點與準線間的距離p決定拋物線的張口大小,即決定拋物線的形狀.
(　　)
×
√
×
√
合作探究 釋疑解惑
探究一
拋物線的標準方程與幾何性質(zhì)
【例1】 已知拋物線的頂點為坐標原點,對稱軸為x軸,且與圓x2+y2=4相交的公共弦長為2 ,求拋物線的方程.
拋物線的幾何性質(zhì)(對稱性、范圍等)在解決拋物線問題時,有著廣泛的應用,但在解題過程中又容易忽視這些隱含條件,如拋物線的對稱性、準線與對稱軸垂直等,解題時應注意挖掘并充分利用這些隱含條件.
【變式訓練1】 如圖2-3-2,正三角形OAB的一個頂點位于坐標原點,另外兩個頂點在拋物線y2=2px(p>0)上,求這個正三角形的邊長.
圖2-3-2
探究二
拋物線過焦點的弦的問題
【例2】 如圖2-3-3,已知直線l經(jīng)過拋物線y2=6x的焦點F,且與拋物線相交于A,B兩點.
(1)若直線l的傾斜角為60°,求|AB|的值;
(2)取線段AB的中點M,若|AB|=9,求點M到準線的距離.
圖2-3-3
若本例題改為:如圖2-3-4,已知直線l:y=2x-4交拋物線y2=4x于A,B兩點,試在拋物線AOB這段曲線上求一點P,使△PAB的面積最大,并求出這個最大面積.如何求解
圖2-3-4
1.拋物線過焦點的弦的問題的解法
(1)與過焦點的弦有關的問題要注意結合拋物線的定義求解.
(2)與過焦點的弦有關的問題要把過焦點的直線方程與拋物線方程聯(lián)立,再結合根與系數(shù)的關系求解.
(3)求過焦點的弦的長度可以利用兩點間的距離公式,也可以利用弦長公式,但由于弦過焦點,因此可結合拋物線的定義得出弦長.以拋物線y2=2px(p>0)為例,過拋物線的焦點F作直線交拋物線于點A(x1,y1),B(x2,y2),則焦點弦長為x1+x2+p,同時由弦長x1+x2+p≥ +p=2p,當且僅當x1=x2時,取“=”知,通徑是所有弦中最短的弦.
2.拋物線中過焦點的弦的常見結論
如圖2-3-5,AB是過拋物線y2=2px(p>0)焦點F的一條弦,
設點A(x1,y1),B(x2,y2),弦AB的中點M(x0,y0),準線為l.
(1)以AB為直徑的圓必與準線l相切.
(2)|AB|= (焦點弦長與中點關系).
(3)|AB|=x1+x2+p.
(4)若直線AB的傾斜角為α,則
當α=90°時,AB叫作拋物線的通徑,是所有過焦點的弦中最短的.
(5)A,B兩點的橫坐標之積、縱坐標之積為定值,即x1x2= ,y1y2=-p2.
圖2-3-5
【變式訓練2】 過拋物線y2=4x的焦點F作直線交拋物線于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點.
(1)如果x1+x2=7,求線段AB的長;
(2)若直線AB的傾斜角為60°,求線段AB的長.
探究三
拋物線的實際應用
【例3】 如圖2-3-6,花壇水池中央有一噴泉,水管|O'P|=1 m,水從噴頭P噴出后呈拋物線狀,先向上至最高點后落下,若最高點距水面2 m,P距拋物線的對稱軸1 m,則水池的直徑至少應設計為多少米 (精確到1 m)
答圖2-3-6
解:如圖2-3-5,建立平面直角坐標系.
設拋物線方程為x2=-2py(p>0).
依題意有P'(1,-1)在此拋物線上,將P' (1,-1)的坐標代入
x2=-2py得p= .
故拋物線方程為x2=-y.
答圖2-3-5
在建立拋物線的方程時,以拋物線的頂點為坐標原點,對稱軸為一條坐標 軸建立平面直角坐標系,這樣可使得方程不含常數(shù)項,形式更為簡單,便于計算.
【變式訓練3】 一條隧道內(nèi)設雙行線公路,其截面由長方形的三條邊和拋物線的一段圍成,為保證安全,要求行駛車輛的頂部(設為平頂)與隧道頂部在豎直方向上的高度之差至少要有0.5 m.
圖2-3-7
(1)以拋物線的頂點為原點O,其對稱軸所在
的直線為y軸,建立平面直角坐標系(如圖),
求該拋物線的方程;
(2)若行車道總寬度|AB|為7 m,請計算通過隧道的車輛限制高度為多少米.(精確到0.1 m)
解:如答圖2-3-6.
(1)依題意,設該拋物線的方程為x2=-2py(p>0),
由圖知,因為點C(5,-5)在拋物線上,
所以該拋物線的方程為x2=-5y.
(2)設車輛的高為h m,
則|DB|=h+0.5,
故D(3.5,h-6.5),
代入方程x2=-5y,
解得h=4.05,
所以車輛通過隧道的限制高度為4.0 m.
答圖2-3-6
規(guī)范解答
利用拋物線中的對稱性求參數(shù)的取值范圍
【典例】 若拋物線y=x2上存在關于直線y=m(x-3)(m≠0)對稱的兩點,求實數(shù)m的取值范圍.
1.解答本題需把握三個關鍵步驟
(1)由題意設出與直線y=m(x-3)(m≠0)垂直且與拋物線y=x2有兩個交點的直線方程,聯(lián)立后得出Δ=1+4m2b>0.
(2)利用線段AB的中點既在線段AB上,又在題中所給直線上,用m表示b.
(3)代入Δ=1+4m2b轉化為關于m的三次不等式.
2.若A,B兩點關于直線對稱,則線段AB與這條直線垂直,且線段AB的中點在這條直線上,即這條直線是線段AB的垂直平分線.解決對稱問題應注意充分利用條件,如斜率和截距等,同時還應注意各量之間的關系.
隨堂練習
1.頂點在原點,對稱軸是y軸,并且頂點與焦點的距離為3的拋物線的標準方程為(　　).
A.x2=±3y B.y2=±6x
C.x2=±12y D.x2=±6y
解析:由題意知拋物線方程為x2=±2py,且 =3,即p=6,因此拋物線方程為x2=±12y.
答案:C
2.已知拋物線C:y2=x的焦點為F,A(x0,y0)是拋物線C上一點,|AF|= x0,則x0=(　　).
A.1 B.2 C.4 D.8
答案:A
3.已知點P在拋物線x2=4y上,則當點P到點Q(1,2)的距離與點P到拋物線焦點距離之和取得最小值時,點P的坐標為(　　).
A.(2,1) B.(-2,1)
解析:根據(jù)拋物線的定義,點P到焦點的距離等于點P到準線的距離,所以要求點P到點Q(1,2)的距離與點P到拋物線焦點距離之和最小,只需求點P到點Q(1,2)的距離與點P到準線的距離之和最小,過點Q(1,2)作準線的垂線,交拋物線于點P,此時距離之和最小,點P的坐標為
答案:D
答案:ACD
5.已知圓(x-2)2+y2=42與拋物線y2=2px(p>0)的準線相切,則p=　　　　　.
答案:4
6.給定拋物線y2=2x,設A(a,0),a≥0,P是拋物線上一點,試求|PA|的最小值.

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