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(共51張PPT)
北師大版 數(shù)學 選擇性必修第一冊
課程標準 1.通過對具體情境的分析,結(jié)合古典概型,了解條件概率的定義.
2.掌握簡單的條件概率的計算問題.
3.能利用條件概率公式解決簡單的實際問題.
基礎落實·必備知識一遍過
知識點　條件概率 可看作古典概型,此時將A看作一個樣本空間
設A,B是兩個事件,且P(A)>0,則稱P(B|A)= 為在事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的條件概率.P(B|A)讀作A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率.顯然,0≤P(B|A)≤1.
從集合的角度看,若事件A已發(fā)生,則為使B也發(fā)生,試驗結(jié)果必須是既在A中又在B中的樣本點,即此點必屬于AB(如圖).由于已知A已經(jīng)發(fā)生,故A成為計算條件概率P(B|A)新的樣本空間.
名師點睛
1.事件B在“事件A發(fā)生”這個附加條件下發(fā)生的概率與沒有這個附加條件下發(fā)生的概率一般是不同的.
2.設P(A)>0,則(1)P(Ω|A)=1;(2)如果B和C是兩個互斥事件,則P[(B∪C)|A]=P(B|A)+P(C|A);(3)設 和B互為對立事件,則P( |A)=1-P(B|A).
思考辨析
1.三張獎券中只有一張能中獎,現(xiàn)分別由三名同學不放回地抽取一張,那么最后一名同學中獎的概率是否比前兩位小
提示 設三張獎券為x1,x2,Y,其中Y表示中獎獎券且Ω為所有結(jié)果組成的全體,那么該試驗的樣本空間Ω={x1Yx2,x2Yx1,x1x2Y,x2x1Y,Yx1x2,Yx2x1}.設“最后一名同學中獎”為事件B,則B={x1x2Y,x2x1Y},∴P(B)= .
2.如果已經(jīng)知道第一名同學沒有中獎,那么最后一名同學中獎的概率是多少 與上一題的結(jié)果對比你發(fā)現(xiàn)了什么
提示 樣本空間Ω={x1Yx2,x2Yx1,x1x2Y,x2x1Y,Yx1x2,Yx2x1},可設“第一名同學沒有中獎”為事件A,則A={x1Yx2,x2Yx1,x1x2Y,x2x1Y},“最后一名同學中獎”為事件B,則B={x1x2Y,x2x1Y},所求概率為
與上一題的概率結(jié)果不一樣,A表示事件“第一名同學沒有抽到中獎獎券”,B表示事件“最后一名同學抽到中獎獎券”.在這個問題中,第一名同學沒有抽到中獎獎券一定會發(fā)生,從而影響了事件B發(fā)生的概率.
自主診斷
1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)
(1)若事件A,B互斥,則P(B|A)=1.(　　)
(2)P(A|B)=P(B|A).(　　)
×
×
2.[人教A版教材習題]設A B,且P(A)=0.3,P(B)=0.6.根據(jù)事件包含關系的意義及條件概率的意義,直接寫出P(B|A)和P(A|B)的值,再由條件概率公式進行驗證.
3.[人教A版教材習題]袋子中有10個大小相同的小球,其中7個白球,3個黑球.每次從袋子中隨機摸出1個球,摸出的球不再放回.求:
(1)在第1次摸到白球的條件下,第2次摸到白球的概率;
(2)兩次都摸到白球的概率.
重難探究·能力素養(yǎng)速提升
探究點一　　利用定義計算條件概率
【例1】 (1)已知甲在上班途中要經(jīng)過兩個路口,在第一個路口遇到紅燈的概率為0.5,兩個路口連續(xù)遇到紅燈的概率為0.3,則甲在第一個路口遇到紅燈的條件下,第二個路口遇到紅燈的概率為(　　)
A.0.6 B.0.7 C.0.8 D.0.9
A
解析 設事件A表示“甲在第一個路口遇到紅燈”,事件B表示“甲在第二個路口遇到紅燈”.由題意得P(AB)=0.3,P(A)=0.5,所以
★(2)設某動物由出生算起活到20歲的概率為0.8,活到25歲的概率為0.4,現(xiàn)有一個20歲的這種動物,則它活到25歲的概率是(　　)
A.0.4 B.0.5 C.0.6 D.0.8
B
解析 設“動物活到20歲”的事件為A,“活到25歲”的事件為B,則P(A)=0.8,P(B)=0.4,P(AB)=P(B),所以活到20歲的動物活到25歲的概率是
規(guī)律方法　用定義法求條件概率P(B|A)的步驟
分析題意,弄清概率模型,理清事件
　　↓
計算P(A)和P(AB)
　　↓
代入公式P(B|A)= 即可
變式訓練1甲、乙兩市都位于長江下游,根據(jù)一百多年來的氣象記錄,了解到一年中下雨天的比例甲市是20%,乙市是18%,兩地同時下雨是12%,設事件A表示“甲市下雨”,事件B表示“乙市下雨”,所以
P(A)=0.2,P(B)=0.18,P(AB)=0.12,則P(A|B)=　　　　,P(B|A)=　　　　.
探究點二　　利用縮小樣本空間法計算條件概率
【例2】 已知集合A={1,2,3,4,5,6},甲、乙兩人各從A中任取一個數(shù),若甲先取(不放回),乙后取,在甲抽到奇數(shù)的條件下,求乙抽到的數(shù)比甲抽到的數(shù)大的概率.
解 設甲抽到數(shù)字a,乙抽到數(shù)字b,記作(a,b),甲抽到奇數(shù)的情形有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(3,1),(3,2),(3,4),(3,5),(3,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),
(5,6),共15個樣本點,在這15個樣本點中,乙抽到的數(shù)比甲抽到的數(shù)大的有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(3,4),(3,5),(3,6),(5,6),共9個,所以所求概率
變式探究將例2中的問題改為“乙抽到的數(shù)不小于甲抽到的數(shù)的概率”.
解 因為甲不放回抽取,故甲乙抽到數(shù)不可能相等,所以所求概率仍為
規(guī)律方法　利用縮小樣本空間法求條件概率的方法
(1)縮:將原來的樣本空間Ω縮小為事件A,原來的事件B縮小為AB.
(2)數(shù):數(shù)出事件A中事件AB所包含的樣本點個數(shù).
(3)算:利用 求得結(jié)果.
變式訓練2拋擲紅、藍兩顆骰子,設事件A為“藍色骰子的點數(shù)為3或6”,事件B為“兩顆骰子的點數(shù)之和大于8”.
(1)求P(A),P(B),P(AB);
(2)當已知藍色骰子的點數(shù)為3或6時,兩顆骰子的點數(shù)之和大于8的概率為多少
解 (1)設x為擲紅骰子得的點數(shù),y為擲藍骰子得的點數(shù),則所有可能的事件為(x,y),建立一一對應的關系,如圖,
探究點三　　條件概率的綜合應用
【例3】 在某次考試中,要從20道題中隨機抽出6道題,若考生至少能答對其中4道題即可通過,至少能答對其中5道題就獲得優(yōu)秀.已知某考生能答對其中10道題,并且知道他在這次考試中已經(jīng)通過,求他獲得優(yōu)秀成績的概率.
解 設事件A=“該考生6道題全答對”,事件B=“該考生答對了其中5道題,另1道答錯”,事件C=“該考生答對了其中4道題,另2道題答錯”,事件D=“該考生在這次考試中通過”,事件E=“該考生在這次考試中獲得優(yōu)秀”,則事件A,B,C兩兩互斥,且D=A∪B∪C,E=A∪B,可知P(D)=P(A∪B∪C)
規(guī)律方法　若事件B,C互斥,則P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A),即為了求比較復雜事件的概率,往往可以先把它分解成兩個或若干個互不相容的較簡單事件之和,求出這些簡單事件的概率,再利用加法公式即可求得復雜事件的
概率.
變式訓練3一批同型號產(chǎn)品由甲、乙兩廠生產(chǎn),產(chǎn)品結(jié)構(gòu)如下表:
等級 廠別 總計
甲廠 乙廠
合格品 475 644 1 119
次品 25 56 81
總計 500 700 1 200
(1)從這批產(chǎn)品中隨意地取一件,則這件產(chǎn)品恰好是次品的概率是　　;
(2)已知取出的產(chǎn)品是甲廠生產(chǎn)的,則這件產(chǎn)品恰好是次品的概率是　　.
學以致用·隨堂檢測促達標
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A 級 必備知識基礎練
1. [探究點二]100件產(chǎn)品中有5件次品,不放回地抽取兩次,每次抽1件,已知第一次抽出的是次品,則第二次抽出正品的概率為(　　)
B
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2.[探究點一·2024江蘇豐縣月考]現(xiàn)有甲、乙兩所學校從萬華巖中小學生研學實踐基地、王仙嶺旅游風景區(qū)、雄鷹戶外基地三條線路中隨機選擇一條線路去研學,記事件A為“甲和乙至少有一所學校選擇王仙嶺旅游風景區(qū)”,事件B為“甲和乙選擇的研學線路不同”,則P(B|A)=(　　)
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3. [探究點一]某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測資料表明,一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75,連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6,已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良,則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是(　　)
A.0.8 B.0.75
C.0.6 D.0.45
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4.[探究點二]5個乒乓球,其中3個新的,2個舊的,每次取一個,不放回地取兩次,則在第一次取到新球的條件下,第二次取到新球的概率為　　　　　.
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5.[探究點三]一個盒子中有4個白球,m個紅球,從中不放回地每次任取1個,連取2次,已知在第二次取到紅球的條件下,第一次也取到紅球的概率為 ,則m=　　　　　.
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6. [探究點二]盒中有25個球,其中10個白的、5個黃的、10個黑的,從盒子中任意取出一個球,已知它不是黑球,則它是黃球的概率為　　　　.
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7. [探究點二]從1,2,…,15中,甲、乙依次任取一數(shù)(不放回),在已知甲取到的數(shù)是5的倍數(shù)的條件下,甲取的數(shù)大于乙取的數(shù)的概率是　　　　　.
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8. [探究點三]某校從學生文藝部7名成員(4男3女)中,挑選2人參加學校舉辦的文藝匯演活動.
(1)求男生甲被選中的概率;
(2)在已知男生甲被選中的條件下,女生乙被選中的概率;
(3)在要求被選中的兩人中必須一男一女的條件下,求女生乙被選中的概率.
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B 級 關鍵能力提升練
9.已知盒中裝有3只螺口燈泡與7只卡口燈泡,這些燈泡的外形都相同且燈口向下放著,現(xiàn)需要一只卡口燈泡,電工師傅每次從中任取一只并不放回,則在第一次抽到的是螺口燈泡的條件下,第二次抽到的是卡口燈泡的概率為(　　)
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10.書架上有三本數(shù)學書和兩本語文書,某同學一共取了兩次書,每次取一本,取后不放回,若“第一次從書架上取出一本語文書”記為事件A,“第二次從書架上取出一本數(shù)學書”記為事件B,那么在第一次取得語文書的條件下第二次取得數(shù)學書的概率P(B|A)的值是(　　)
C
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11.從1,2,3,4,5中任取2個不同的數(shù),事件A為“取到的2個數(shù)之和為偶數(shù)”,事件B為“取到的2個數(shù)均為偶數(shù)”,則P(B|A)等于(　　)
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12.(多選題)將3顆骰子各擲一次,記事件A表示“三個點數(shù)都不相同”,事件B表示“至少出現(xiàn)一個3點”,則(　　)
CD
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13. 假定生男孩和生女孩是等可能的,某家庭有兩個小孩,如果已經(jīng)知道這個家庭有女孩,則這兩個小孩都是女孩的概率是　　　　.
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14.甲、乙兩個小組各10名學生的英語口語測試成績?nèi)缦?單位:分).
甲組:76,90,84,86,81,87,86,82,85,83
乙組:82,84,85,89,79,80,91,89,79,74
現(xiàn)從這20名學生中隨機抽取一人,將“抽出的學生為甲組學生”記為事件A;“抽出的學生的英語口語測試成績不低于85分”記為事件B,則
P(AB)=　　　　,P(A|B)=　　　　.
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15.盒內(nèi)裝有16個大小、形狀完全相同的球,其中6個是玻璃球,10個是木質(zhì)球.玻璃球中有2個是紅色的,4個是藍色的;木質(zhì)球中有3個是紅色的,7個是藍色的.現(xiàn)從中任取1個,已知取到的是藍球,該球是玻璃球的概率是多少
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解 由題意得球的分布如表:
顏色 玻璃球 木質(zhì)球 總計
紅 2 3 5
藍 4 7 11
總計 6 10 16
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16.一袋中共有10個大小相同的黑球和白球.若從袋中任意摸出2個球,至少有1個白球的概率為 ,
(1)求白球的個數(shù);
(2)現(xiàn)從中不放回地取球,每次取1球,取兩次,已知第二次取得白球,求第一次取得黑球的概率.
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C 級 學科素養(yǎng)創(chuàng)新練
17.設b和c分別是拋擲一枚骰子先后兩次得到的點數(shù).
(1)求方程x2+bx+c=0有實根的概率;
(2)求在先后兩次出現(xiàn)的點數(shù)中有5的條件下,方程x2+bx+c=0有實根的概率.
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解 (1)設該試驗的樣本空間為Ω,記“方程x2+bx+c=0沒有實數(shù)根”為事件A,“方程x2+bx+c=0有兩個相等的實數(shù)根”為事件B,“方程x2+bx+c=0有兩個不相等的實數(shù)根”為事件C,則Ω={(b,c)|b,c=1,2,…,6},A={(b,c)|b2-4c<0,b,c=1,2,…,6},B={(b,c)|b2-4c=0,b,c=1,2,…,6},C={(b,c)|b2-4c>0,b,c=1,2,…,6},所以樣本空間Ω中的樣本點個數(shù)為36,A中的樣本點個數(shù)為17,B中的樣本點個數(shù)為2,C中的樣本點個數(shù)為17.又因為B,C是互斥事件,故所求概率
(2)記“先后兩次出現(xiàn)的點數(shù)中有5”為事件D,“方程x2+bx+c=0有實根”為事件E,易得

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