資源簡介

(共33張PPT)
北師大版 數學 選擇性必修第一冊
課程標準 1.通過實例,了解隨機變量的概念及含義.
2.會用隨機變量表示隨機事件.
基礎落實·必備知識一遍過
知識點　隨機變量的概念
在隨機試驗中,我們確定了一個對應關系,使得樣本空間的每一個樣本點都用一個確定的數值表示.在這個對應關系下,數值隨著試驗結果的變化而變化.像這種取值隨著試驗結果的變化而變化的量稱為隨機變量.隨機變量常用字母X,Y,ξ,η等表示.
隨機變量是試驗結果數量化,變量的一個取值代表一個隨機事件
名師點睛
隨機變量可將隨機試驗的結果數量化
所謂的隨機變量不過是建立起樣本空間與實數的一個對應關系.如設隨機變量X表示擲骰子擲出的點數,則X=1,2,3,4,5,6,或者說X的取值范圍是{1,2,3,4,5,6}.
思考辨析
下述現象有哪些共同特點
①某人在射擊訓練中,射擊一次,命中的環數X是1,2,3,…,10中的某一個數;
②拋擲一顆骰子,向上的點數Y是1,2,3,4,5,6中的某一個數;
③新生嬰兒的性別,抽查的結果可能是男,也可能是女.如果將男嬰用0表示,女嬰用1表示,那么抽查的結果Z是0和1中的某一個數.
提示 現象中的X,Y,Z,實際上是把每個隨機試驗的樣本點都對應一個確定的實數,即在試驗結果(樣本點)與實數之間建立了一個對應關系.
自主診斷
1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)
(1)隨機變量的取值可以是有限個,也可以是無限可列個.(　　)
(2)某加工廠加工的某種鋼管的外徑與規定的外徑尺寸之差是隨機變量.
(　　)
(3)袋中有大小相同的紅球6個,白球5個,從袋中無放回地每次任意取出一個球,直到取出的球是白色為止,所需要的取球次數為隨機變量X,則X的可能取值為1,2,3,4,5,6.(　　)
√
√
×
2.[人教A版教材習題]下列隨機試驗的結果能否用離散型隨機變量表示 若能,請寫出各隨機變量可能的取值,并說明這些值所表示的隨機試驗的結果.
(1)拋擲2枚骰子,所得點數之和;
(2)某足球隊在5次點球中射進的球數;
(3)任意抽取一瓶標有1 500 mL的飲料,其實際含量與規定含量之差.
解 (1)能用離散型隨機變量表示.點數之和X可能的取值為2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12.
{X=k}表示擲出的點數之和為k.
(2)能用離散型隨機變量表示.進球個數Y可能的取值為0,1,2,3,4,5.{Y=k}表示射進k個球.
(3)不能用離散型隨機變量表示.
3.[人教A版教材習題]張同學從學校回家要經過4個紅綠燈路口,每個路口可能遇到紅燈或綠燈.
(1)寫出隨機試驗的樣本空間;
(2)設他可能遇到紅燈的次數為X,寫出X的可能取值,并說明這些值所表示的隨機事件.
解 (1)樣本空間={(紅,紅,紅,紅),(紅,紅,紅,綠),(紅,紅,綠,紅),(紅,綠,紅,紅), (綠,紅,紅,紅),(紅,紅,綠,綠),(紅,綠,紅,綠),(紅,綠,綠,紅),(綠,綠,紅,紅),(綠,紅,綠,紅),(綠,紅,紅,綠),(紅,綠,綠,綠),(綠,紅,綠,綠),(綠,綠,紅,綠),(綠,綠,綠,紅), (綠,綠,綠,綠)},共含16 個樣本點.
(2)X的可能取值為0,1,2,3,4.事件{X=0}表示4個路口遇到的都不是紅燈;事件{X=1}表示路過的4個路口中只有1個路口遇到紅燈;事件{X=2}表示路過的4個路口中只有2個路口遇到紅燈;事件{X=3}表示路過的4個路口中只有3個路口遇到紅燈;事件{X=4}表示4個路口遇到的都是紅燈.
重難探究·能力素養速提升
探究點一　　隨機變量的判定
【例1】 判斷下列各個量,哪些是隨機變量,哪些不是隨機變量,并說明
理由.
(1)某機場候機廳中某日的旅客數量;
(2)某路口在某時間段內查處酒駕的人數;
(3)某日濟南到北京的某次長途汽車到北京站的時間;
(4)體積為1 000 cm3的球的半徑長.
解 (1)旅客人數可能是0,1,2,…,出現哪一個結果是隨機的,因此是隨機變量.
(2)所查酒駕的人數可能是0,1,2,…,出現哪一個結果是隨機的,因此是隨機變量.
(3)長途汽車到達的時間可在某一區間內任取一值,是隨機的,因此是隨機變量.
(4)當球的體積為1 000 cm3時,球的半徑為定值,不是隨機變量.
規律方法　隨機變量的辨析方法
變式訓練1(1)下列變量中,不是隨機變量的是(　　)
A.一名射手射擊一次命中的環數
B.在標準狀態下,水沸騰時的溫度
C.拋擲兩枚骰子,所得點數之和
D.某電話總機在時間區間(0,T)內收到的呼叫次數
B
解析 B選項中標準狀態下,水沸騰時的溫度是一個確定值.
(2)10件產品中有3件次品,從中任取2件,可作為隨機變量的是(　　)
A.取到產品的件數
B.取到正品的概率
C.取到次品的件數
D.取到次品的概率
C
解析 選項A中取到產品的件數是一個常量不是變量,選項B,D中的量也是一個定值,而選項C中取到次品的件數可能是0,1,2,是隨機變量.
探究點二　　用隨機變量表示隨機事件的結果
【例2】 寫出下列隨機變量可能的取值,并說明隨機變量所取的值表示的隨機試驗的結果.
(1)一個袋中裝有8個紅球,3個白球,從中任取5個球,其中所含白球的個數
為X;
(2)一個袋中有5個同樣大小的黑球,編號為1,2,3,4,5,從中任取3個球,取出的球的最大號碼記為X.
解 (1){X=0}表示“取5個球全是紅球”;
{X=1}表示“取1個白球,4個紅球”;
{X=2}表示“取2個白球,3個紅球”;
{X=3}表示“取3個白球,2個紅球”.
(2){X=3}表示“取出的球編號為1,2,3”;
{X=4}表示“取出的球編號為1,2,4;1,3,4或2,3,4”;
{X=5}表示“取出的球編號為1,2,5;1,3,5;1,4,5;2,3,5;2,4,5或3,4,5”.
變式探究本例(2)中,若將“最大”改為“最小”,其他條件不變,應如何解答.
解 {X=1}表示“取出的球的編號為1,2,3;1,2,4;1,2,5;1,3,4;1,3,5或1,4,5”.
{X=2}表示“取出的球的編號為2,3,4;2,3,5;2,4,5”.
{X=3}表示“取出的球的編號為3,4,5”.
規律方法　解答此類問題的關鍵在于明確隨機變量的所有可能的取值,以及其取每一個值時對應的意義,即一個隨機變量的取值可能對應一個或多個隨機試驗的結果,解答過程中不要漏掉某些試驗結果.
變式訓練2寫出下列隨機變量可能的取值,并說明隨機變量所取的值表示的隨機試驗的結果.
(1)從學校回家要經過3個紅綠燈路口,可能遇到紅燈的次數ξ;
(2)電臺在每個整點都報時,報時所需時間為0.5分鐘,某人隨機打開收音機對時間,他所等待的時間為ξ分鐘.
解 (1)ξ可取0,1,2,3,
{ξ=0}表示“遇到紅燈的次數為0”;
{ξ=1}表示“遇到紅燈的次數為1”;
{ξ=2}表示“遇到紅燈的次數為2”;
{ξ=3}表示“遇到紅燈的次數為3”.
(2)ξ的可能取值為區間[0,59.5]內任何一個值,每一個可能取值表示他所等待的時間.
學以致用·隨堂檢測促達標
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A 級 必備知識基礎練
1.[探究點一]袋中有3個白球、5個黑球,從中任取2個球,下列選項中可以用隨機變量表示的是(　　)
A.至少取到1個白球 B.至多取到1個白球
C.取到白球的個數 D.取到球的個數
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2.[探究點二]拋擲兩枚質地均勻的骰子一次,X為第一枚骰子擲出的點數與第二枚骰子擲出的點數之差,則X的所有可能取值為(　　)
A.0≤X≤5,X∈N B.-5≤X≤0,X∈Z
C.1≤X≤6,X∈N D.-5≤X≤5,X∈Z
D
解析 第一枚的最小值為1,第二枚的最大值為6,差為-5,第一枚的最大值為6,第二枚的最小值為1,差為5,故X的所有可能取值是-5≤X≤5,X∈Z,故選D.
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3. [探究點二]盒中有9個正品和3個次品零件,每次從中取一個零件,如果取出的是次品,則不再放回,直到取出正品為止,設取得正品前已取出的次品數為ξ.
(1)寫出ξ的所有可能取值;
(2)寫出{ξ=1}所表示的事件.
解 (1)ξ可能取的值為0,1,2,3.
(2){ξ=1}表示“第一次取得次品,第二次取得正品”.
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4. [探究點二]某籃球運動員在罰球時,命中1球得2分,不命中得0分,且該運動員在5次罰球中命中的次數ξ是一個隨機變量.
(1)寫出ξ的所有取值及每一個取值所表示的結果;
(2)若記該運動員在5次罰球后的得分為η,寫出所有η的取值及每一個取值所表示的結果.
解 (1)ξ可取0,1,2,3,4,5,表示5次罰球中分別命中0次,1次,2次,3次,4次,5次.
(2)η可取0,2,4,6,8,10,表示5次罰球后分別得0分,2分,4分,6分,8分,10分.
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5.袋中有大小相同的紅球6個,白球5個,不放回地從袋中每次任意取出1個球,直到取出的球是白球為止,所需要的取球次數為隨機變量X,則X的可能取值為(　　)
A.1,2,3,…,6 B.1,2,3,…,7
C.0,1,2,…,5 D.1,2,…,5
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B 級 關鍵能力提升練
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6.(多選題)甲、乙兩人下象棋,贏了得3分,平局得1分,輸了得0分,共下三局.用ξ表示甲的得分,則{ξ=3}表示的可能結果為(　　)
A.甲贏三局 B.甲贏一局輸兩局
C.甲、乙平局三次 D.甲贏一局平兩局
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7.一用戶在打電話時忘記了最后3個號碼,只記得最后3個數兩兩不同,且都大于5.于是他隨機撥最后3個數(兩兩不同),設他撥到正確號碼前撥號的次數為X,隨機變量X可能的取值有　　　　個.
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8.設一汽車在開往目的地的道路上需經過5盞信號燈,ξ表示汽車首次停下時已通過的信號燈的盞數,寫出ξ所有可能取值,并說明這些值所表示的試驗結果.
解 ξ可能取值為0,1,2,3,4,5.
{ξ=0}表示“第1盞信號燈就停下”;
{ξ=1}表示“通過了1盞信號燈,在第2盞信號燈前停下”;
{ξ=2}表示“通過了2盞信號燈,在第3盞信號燈前停下”;
{ξ=3}表示“通過了3盞信號燈,在第4盞信號燈前停下”;
{ξ=4}表示“通過了4盞信號燈,在第5盞信號燈前停下”;
{ξ=5}表示“在途中沒有停下,直達目的地”.
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9.在一個盒子中,放有標號分別為1,2,3的三張卡片,現從這個盒子中,有放回地先后抽得兩張卡片的標號分別為x,y,記ξ=|x-2|+|y-x|.寫出隨機變量ξ可能的取值,并說明隨機變量ξ所表示的隨機試驗的樣本點.
C 級 學科素養創新練
解 因為x,y的可能取值為1,2,3,
所以0≤|x-2|≤1,0≤|x-y|≤2,所以0≤ξ≤3,
所以ξ的可能取值為0,1,2,3.
用(x,y)表示第一次抽到的卡片號碼為x,第二次抽到的號碼為y,則隨機變量ξ取各值的意義為
{ξ=0}表示“兩次抽到的卡片編號都是2,即(2,2)”,
{ξ=1}表示“(1,1),(2,1),(2,3),(3,3)”,
{ξ=2}表示“(1,2),(3,2)”,
{ξ=3}表示“(1,3),(3,1)”.
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