資源簡介

(共46張PPT)
北師大版 數學 選擇性必修第一冊
課程標準 1.結合古典概型,會利用全概率公式計算概率.
2.了解貝葉斯公式.
基礎落實·必備知識一遍過
知識點1　全概率公式
1.定義
當直接計算P(A)困難時,可先找出樣本空間的一個劃分

設B1,B2,…,Bn為樣本空間Ω的一個劃分,若P(Bi)>0(i=1,2,…,n),則對任意一個事件A有P(A)= P(Bi)P(A|Bi).稱上式為全概率公式.
如果我們把Bi看成導致事件A發生的各種可能“原因”,那么,全概率公式告訴我們:事件A發生的概率恰好是事件A在這些“原因”下發生的條件概率的平均.
2.運用全概率公式的一般步驟如下:
(1)求出樣本空間Ω的一個劃分B1,B2,…,Bn;
(2)求P(Bi)(i=1,2,…,n);
(3)求P(A|Bi)(i=1,2,…,n);
(4)求目標事件的概率P(A).
名師點睛
全概率公式的直觀解釋
已知事件A的發生有各種可能的情形Bi(i=1,2,…,n),事件A發生的概率,就是各種可能情形Bi發生的概率與已知在Bi發生的條件下事件A發生的概率的乘積之和.在實際問題中,由于隨機事件的復雜性,有時很難直接求得事件A發生的概率,因此我們可以分析事件A發生的各種可能情形,化整為零地去分解事件A,然后借助于全概率公式間接求出事件A發生的概率.
思考辨析
有三個不透明的盒子,分別編號為1,2,3,其中1號盒裝有1個紅球和4個白球,2號盒裝有2個紅球和3個白球,3號盒裝有3個紅球,這些球除顏色外完全相同,某人從中隨機取一盒,再從中任意取出一球,求取得紅球的概率.
提示 設事件Bi表示“球取自i號箱”(i=1,2,3),事件A表示“取得紅球”,其中B1,B2,B3兩兩互斥,A發生總是伴隨著B1,B2,B3之一同時發生,即A=B1A∪B2A∪B3A,且B1A,B2A,B3A兩兩互斥,運用互斥事件概率的加法公式得到P(A)=P(B1A)+P(B2A)+P(B3A),再對求和中的每一項運用乘法公式
自主診斷
1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)
(1)全概率公式為概率論中的重要公式,它將對一個復雜事件B的概率求解問題轉化為在不同情況下發生的簡單事件的概率的求和問題.(　　)
(2)所研究的事件試驗前提或前一步驟有多種可能,在這多種可能中,均有所研究的事件發生,這時要求所研究事件的概率就可用全概率公式.(　　)
(4)全概率公式用于求復雜事件的概率,是求最后結果的概率.(　　)
(5)已知5%的男人和0.25%的女人患色盲,假設男人、女人各占一半,現隨機地挑選一人,則此人恰是色盲的概率為0.052 5.(　　)
√
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√
×
2.[人教A版教材習題]現有12道四選一的單選題,學生小君對其中9道題有思路,3道題完全沒有思路.有思路的題做對的概率為0.9,沒有思路的題只好任意猜一個答案,猜對答案的概率為0.25.小君從這12道題中隨機選擇1題,求他做對該題的概率.
3.[人教A版教材習題]甲和乙兩個箱子中各裝有10個球,其中甲箱中有5個紅球、5個白球,乙箱中有8個紅球、2個白球.擲一枚質地均勻的骰子,如果點數為1或2,從甲箱子中隨機摸出1個球;如果點數為3,4,5,6,從乙箱子中隨機摸出1個球.求摸到紅球的概率.
知識點2　貝葉斯公式
設B1,B2,…,Bn為樣本空間Ω的一個劃分,若P(A)>0,P(Bi)>0(i=1,2,…,n),則
,稱上式為貝葉斯(Bayes)公式.
名師點睛
對貝葉斯公式的理解
P(B)是根據歷史數據發現的,通常稱為先驗概率;獲取了新信息后算出的概率P(B|A),通常稱為后驗概率.貝葉斯公式指出的是,通過先驗概率以及其他信息,可以算出后驗概率.實際上,貝葉斯公式可以看成要根據事件發生的結果找原因,看看這一結果由各種可能原因導致的概率是多少.
自主診斷
1.貝葉斯公式是在觀察到事件A已發生的條件下,尋找導致A發生的每個原因的概率嗎
解 是.
2.[人教A版教材習題]兩批同種規格的產品,第一批占40%,次品率為5%;第二批占60%,次品率為4%.將兩批產品混合,從混合產品中任取1件.
(1)求這件產品是合格品的概率;
(2)已知取到的是合格品,求它取自第一批產品的概率(結果保留小數點后三位).
解 設事件B=“任取1件產品是合格品”,事件A1=“產品取自第一批”, 事件A2=“產品取自第二批”,則Ω=A1∪A2,且A1與A2互斥.
由題意得P(A1)=0.4,P(A2)= 0.6,P(B|A1)=0.95,
P(B|A2)=0.96.
(1)由全概率公式,得
P(B)= P(A1)P(B|A1)+P(A2)·P(B|A2)= 0.4×0.95+0.6×0.96=0.956.
3.[人教A版教材習題]在A,B,C三個地區暴發了流感,這三個地區分別有6%,5%,4%的人患了流感.假設這三個地區的人口數的比為5∶7∶8,現從這三個地區中任意選取一個人.
(1)求這個人患流感的概率;
(2)如果此人患流感,求此人選自A地區的概率.
解 設A=“選取的人患流感”,用B1,B2,B3分別表示選取的人來自A,B,C地區,
重難探究·能力素養速提升
探究點一　　全概率公式及其應用
【例1】 甲、乙、丙三人同時對無人機進行射擊,三人擊中的概率分別為0.4,0.5,0.7.無人機被一人擊中而擊落的概率為0.2,被兩人擊中而擊落的概率為0.6,若三人都擊中,無人機必定被擊落,求無人機被擊落的概率.
解 設B=“無人機被擊落”,Ai=“無人機被i人擊中”,i=1,2,3,則B=A1B+A2B+A3B,P(B|A1)=0.2,P(B|A2)=0.6,P(B|A3)=1,
由全概率公式,得P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3).
為求P(Ai),設H1=“無人機被甲擊中”,H2=“無人機被乙擊中”,H3=“無人機被丙擊中”,
則P(H1)=0.4,P(H2)=0.5,P(H3)=0.7,
規律方法　用全概率公式求概率的規律方法
(1)實質:為了求復雜事件的概率,往往可以把它分解成若干個互斥的簡單事件之和,然后利用條件概率和乘法公式,求出這些簡單事件的概率,最后利用概率可加性,得到最終結果.
(2)應用:把事件A看作某一過程的結果,把B1,B2,…,Bn看作該過程的若干個原因,根據所給資料,每一原因發生的概率(即P(Bn))已知,而且每一原因對結果的影響程度(即P(A|Bn))已知,則可用全概率公式計算結果發生的概率(即P(A)).
★變式訓練1(1)已知有甲、乙、丙三個相同的盒子,其中甲盒中有1個白球、5個黑球,乙盒中有2個白球、4個黑球,丙盒中有1個白球、3個黑球,這些球除顏色外都相同,現從甲、乙、丙中任選一個盒子,從中取出1球恰為白球
的概率為　　　　　.
(2)設一倉庫中有10箱同種規格的產品,其中由甲、乙、丙三廠生產的分別有5箱、3箱、2箱,三廠產品的廢品率依次為0.1,0.2,0.3.從這10箱產品中任取一箱,再從這箱子中任取一件產品,求取得正品的概率.
解 設A為事件“取得的產品為正品”,
B1表示“任取一件產品是甲廠生產的”,B2表示“任取一件產品是乙廠生產的”,B3表示“任取一件產品是丙廠生產的”,
由題設知P(B1)=0.5,P(B2)=0.3,P(B3)=0.2,
P(A|B1)=0.9,P(A|B2)=0.8,P(A|B3)=0.7,
所以P(A)= P(Bi)P(A|Bi)=0.5×0.9+0.3×0.8+0.2×0.7=0.83.所以取得的產品為正品的概率是0.83.
探究點二　　貝葉斯公式及其應用
【例2】 甲、乙、丙三個地區暴發了某種流行病,三個地區感染此病的比例分別為 若三個地區人口相近,現從這三個地區任意抽取一個人.
(1)求此人感染此病的概率;
(2)若此人感染此病,求此人來自乙地區的概率.
解 將甲、乙、丙三個地區依次編號為1,2,3,設Ai=抽取的人來自第i個地區,i=1,2,3;B=抽取的人感染此病.
規律方法　利用貝葉斯公式求概率的方法步驟
變式訓練2一位教授去參加學術會議,他乘坐飛機、動車和汽車的概率分別為0.2,0.5,0.3,現在知道他乘坐飛機、動車和汽車遲到的概率分別為
(1)求這位教授遲到的概率;
(2)現在已經知道他遲到了,求他乘坐的是飛機的概率.
解 設事件A=“遲到”;B1=“乘飛機”;B2=“乘動車”;B3=“乘汽車”.
(1)所求概率為P(A),由全概率公式得P(A)=P(B1)·P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)
學以致用·隨堂檢測促達標
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A 級 必備知識基礎練
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1.[探究點一]設A,B為兩個事件,已知P(B)=0.4,P(A)=0.5,P(B|A)=0.3,則P(B| )=(　　)
A.0.3 B.0.4 C.0.5 D.0.6
C
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2. [探究點二]設某醫院倉庫中有10盒同樣規格的X光片,已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲廠、乙廠、丙廠生產的,且甲、乙、丙三廠生產該種X光片的次品率依次為 ,現從這10盒中任取一盒,則取得的這盒X光片是次品的概率為(　　)
A.0.08 B.0.1 C.0.15 D.0.2
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4. [探究點二]播種用的一等小麥種子中混有2%的二等種子、1.5%的三等種子、1%的四等種子.用一、二、三、四等種子結出的穗含有50顆以上麥粒的概率分別為0.5,0.15,0.1,0.05,這批種子所結的穗含有50顆以上麥粒的概率為　　　　　.
0.482 5
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解析 用B表示事件“這批種子任選一粒所結的穗含有50顆以上麥粒”.從這批種子中任取一粒為一、二、三、四等種子的事件分別記為A1,A2,A3,A4,則P(A1)=95.5%,P(A2)=2%,P(A3)=1.5%,P(A4)=1%,P(B|A1)=0.5, P(B|A2)=0.15,P(B|A3)=0.1,P(B|A4)=0.05,
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5.[探究點一]甲袋中有3個白球,2個黑球,乙袋中有4個白球,4個黑球,今從甲袋中任取2球放入乙袋,再從乙袋中任取1球,則該球是白球的概率
為　　　　　.
解析 設A表示事件“從乙袋中取出的是白球”,Bi表示事件“從甲袋中取出的兩球恰有i個白球”,i=0,1,2.由全概率公式
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6. [探究點一]某藥廠用從甲、乙、丙三地收購而來的藥材加工生產出一種中成藥,三地的供貨量分別占40%,35%和25%,且用這三地的藥材能生產出優等品的概率分別為0.65,0.7和0.85,求從該廠產品中任意取出一件成品是優等品的概率.
解 設事件A1表示“藥材來自甲地”,事件A2表示“藥材來自乙地”,事件A3表示“藥材來自丙地”,事件B表示“抽到優等品”;
P(A1)=0.4,P(A2)=0.35,P(A3)=0.25,
P(B|A1)=0.65,P(B|A2)=0.7,P(B|A3)=0.85,
P(B)=P(B|A1)P(A1)+P(B|A2)P(A2)+P(B|A3)P(A3)
=0.65×0.4+0.7×0.35+0.85×0.25=0.717 5.
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7.甲口袋中有3個紅球,2個白球和5個黑球,乙口袋中有3個紅球,3個白球和4個黑球,先從甲口袋中隨機取出一球放入乙口袋,分別以A1,A2和A3表示由甲口袋取出的球是紅球、白球和黑球的事件;再從乙口袋中隨機取出一球,以B表示由乙口袋取出的球是紅球的事件,則下列結論中正確的是(　　)
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B 級 關鍵能力提升練
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8.(多選題)在一次對二年級學生上、下兩學期數學成績的統計調查中發現,上、下兩學期成績均得優的學生占5%,僅上學期得優的占7.9%,僅下學期得優的占8.9%,則(　　)
A.上、下兩學期均未得優的概率約為0.95
B.上、下兩學期均未得優的概率約為0.782
C.已知某學生上學期得優,則下學期也得優的概率約為0.388
D.已知某學生上學期得優,則下學期也得優的概率約為0.139
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9.有兩箱產品,甲箱的產品中有5個正品和3個次品,乙箱的產品中有4個正品和3個次品.
(1)從甲箱中任取2個產品,求這2個產品都是次品的概率;
(2)若從甲箱中任取2個產品放入乙箱中,然后再從乙箱中任取一個產品,求取出的這個產品是正品的概率.
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(2)設事件A為“從乙箱中取出的1個產品是正品”,事件B1為“從甲箱中取出的2個產品都是正品”,事件B2為“從甲箱中取出1個正品1個次品”,事件B3為“從甲箱中取出的2個產品都是次品”,則事件B1、事件B2、事件B3彼此互斥.
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10.甲袋中有3個紅球、2個白球和1個黑球,乙袋中有4個紅球、1個白球和1個黑球(除顏色外,球的大小、形狀完全相同).先從甲袋中隨機取出1球放入乙袋,再從乙袋中隨機取出1球,分別以A1,A2,A3表示從甲袋取出的球是紅球、白球和黑球的事件,以B表示從乙袋取出的球是紅球的事件,則
P(B|A1)=　　　　　,P(B)=　　　　　.
C 級 學科素養創新練
解析 甲袋中有3個紅球、2個白球和1個黑球,乙袋中有4個紅球、1個白球和1個黑球.
先從甲袋中隨機取出1球放入乙袋,再從乙袋中隨機取出1球,分別以A1,A2,A3表示從甲袋取出的球是紅球、白球和黑球的事件,以B表示從乙袋
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