資源簡介

(共67張PPT)
北師大版 數學 選擇性必修第一冊
課程標準 1.結合古典概型,會用乘法公式計算概率.
2.了解獨立性與條件概率的關系.
3.會求相互獨立事件同時發生的概率.
基礎落實·必備知識一遍過
知識點1　乘法公式　　　條件概率定義的變形
由條件概率的定義P(B|A)= ,則有P(AB)=P(B|A)P(A)(其中P(A)>0).①
同理,P(AB)=P(A|B)P(B)(其中P(B)>0).②
稱公式①②為乘法公式,利用它們可以計算　　　　　　　　　的概率.
兩個事件同時發生
思考辨析
小劉在登錄自己的郵箱時發現忘了密碼的最后一位,只記得是數字0~9中的任意一個.那么當他在嘗試登錄時,第一次失敗,第二次成功的概率是多少
自主診斷
1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)
(1)若P(A)≠0,則P(AB)=P(B|A)·P(A).(　　)
(2)一粒種子發芽的可能性是90%,而發芽后長成苗的概率為80%,則一粒種子長成苗的概率為72%.(　　)
√
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2.[人教A版教材習題]從人群中隨機選出1人,設B=“選出的人患有心臟病”,C=“選出的人是年齡大于50歲的心臟病患者”,請你判斷P(B)和P(C)的大小,并說明理由.
解 P(B)>P(C).理由:設A=“選出的人年齡大于50歲”,則C=AB.因為P(C)=P(AB)=P(B)P(A|B),而0≤P(A|B)<1,所以P(B)>P(C).
3.[人教A版教材習題]已知P(A)>0,P(B)>0,P(B|A)=P(B),證明:P(A|B)=P(A).
知識點2　事件的獨立性
定義
如果事件A(或B)是否發生對事件B(或A)發生的概率沒有影響,這樣的兩個事件就叫作　　　　　　　　　　,兩個相互獨立事件同時發生的概率,等于這兩個事件發生的概率的積,即P(AB)=　　　　.
相互獨立事件
P(A)P(B)
名師點睛
1.如果事件A1,A2,…,An相互獨立,則這n個事件同時發生的概率,等于每個事件發生的概率的積,即P(A1A2…An)=P(A1)·P(A2)…P(An),并且上式中任意多個事件Ai換成其對立事件后,等式仍成立.
2.性質
(3)事件A,B相互獨立的充要條件:事件A與事件B相互獨立 P(AB)=P(A)P(B).
思考辨析
三張獎券中只有一張能中獎,現分別由三名同學有放回地抽取,事件A為“第一名同學沒有抽到中獎獎券”,事件B為“最后一名同學抽到中獎獎券”.事件A的發生會影響事件B發生的概率嗎
提示 當有放回地抽取獎券時,最后一名同學也是從原來的三張獎券中任抽一張,因此第一名同學抽的結果對最后一名同學的抽獎結果沒有影響,即事件A的發生不會影響事件B發生的概率.于是P(B|A)=P(B),P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B).
自主診斷
1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)
(1)P(AB)=P(BA).(　　)
(2)P(AB)=P(A)P(B).(　　)
(3)“P(AB)=P(A)P(B)”是“事件A,B相互獨立”的充要條件.(　　)
√
×
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2.下列說法正確的有　　　　.(填序號)
①對事件A和B,若P(B|A)=P(B),則事件A與B相互獨立;
①②③
3.甲、乙兩人各射擊一次,他們各自擊中目標的概率都是0.6,則他們都擊中目標的概率是(　　) 　　　　　　　　　　　
A.0.6 B.0.36 C.0.16 D.0.84
B
重難探究·能力素養速提升
探究點一　　乘法公式及其應用
【例1】 一袋中裝10個球,其中3個黑球、7個白球,這10個球除顏色外完全相同.先后兩次從中隨意各取一球(不放回),求兩次取到的均為黑球的概率.
解 設事件Ai表示“第i次取到的是黑球”(i=1,2),則事件A1A2表示“兩次取到的均為黑球”.
變式探究1在本例條件不變的情況下,求第一次取得黑球,第二次取得白球的概率.
變式探究2在本例條件不變的情況下,求兩次均取得白球的概率.
解 用Bi表示“第i次取得的是白球”(i=1,2),則B1B2表示“兩次取到的均是白球”.
規律方法　乘法公式給出了一種計算“積事件”概率的求法,即當直接計算P(AB)不好計算時,可先求出P(A)及P(B|A)或先求出P(B)及P(A|B),再利用乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)求解即可.
變式訓練1在10道題中有7道選擇題和3道填空題,如果不放回地依次抽取
2道題,求兩次都抽到選擇題的概率.
探究點二　　事件獨立性的判斷
【例2】 某家庭中有若干名小孩,假定生男孩和生女孩是等可能的,令A={某家庭中既有男孩又有女孩},B={某家庭中最多有一名女孩}.對下述兩種情形,討論A與B的獨立性:
(1)某家庭中有2名小孩;
(2)某家庭中有3名小孩.
分析利用相互獨立事件的定義判斷.
規律方法　判斷兩個事件是否相互獨立的方法:
變式訓練2判斷下列各對事件是否是相互獨立事件.
(1)甲組3名男生,2名女生;乙組2名男生,3名女生,現從甲、乙兩組中各選1名同學參加演講比賽,“從甲組中選出1名男生”與“從乙組中選出1名女生”;
(2)擲一顆骰子一次,“出現偶數點”與“出現3點或6點”.
解 (1)“從甲組中選出1名男生”這一事件是否發生,對“從乙組中選出1名女生”這一事件發生的概率沒有影響,所以它們是相互獨立事件.
(2)記事件A為“出現偶數點”,事件B為“出現3點或6點”,則A={2,4,6},B={3,6},AB={6},
∴P(AB)=P(A)P(B),
∴事件A與B相互獨立.即擲一顆骰子一次,“出現偶數點”與“出現3點或6點”是相互獨立事件.
探究點三　　相互獨立事件發生的概率
【例3】 甲、乙2個人獨立地破譯一個密碼,已知他們能譯出密碼的概率分別為 ,求:
(1)2個人都譯出密碼的概率;
(2)2個人都譯不出密碼的概率;
(3)至多1個人譯出密碼的概率.
變式探究在本例條件下,求:
(1)恰有1個人譯出密碼的概率;
(2)至少1個人譯出密碼的概率.
解 (1)“恰有1個人譯出密碼”可以分為兩類,即甲譯出乙未譯出以及甲未譯出乙譯出,且兩個事件為互斥事件,所以恰有1個人譯出密碼的概率為
(2)“至少1個人譯出密碼”的對立事件為“2個人都未譯出密碼”,所以至少1個人譯出密碼的概率為
規律方法　1.求相互獨立事件同時發生的概率的步驟:
(1)首先確定各事件之間是相互獨立的;
(2)確定這些事件可以同時發生;
(3)求出每個事件的概率,再求積.
2.使用相互獨立事件同時發生的概率計算公式時,要掌握公式的適用條件,即各個事件是相互獨立的,而且它們能同時發生.
變式訓練3(1)兩人射擊命中目標的概率分別為 ,現兩人同時射擊目標,則目標被命中的概率為　　　　　.
★(2)俗話說:三個臭皮匠頂個諸葛亮.在某次挑戰大賽中,由甲、乙、丙三人組成“臭皮匠”團隊,挑戰“諸葛亮”,且每個“臭皮匠”解出題目是相互獨立的.其中甲、乙、丙能答對某題目的概率分別為0.5,0.48,0.45,而“諸葛亮”能答對該題目的概率是0.8.比賽規則:各個選手獨立答題,不得商量,“臭皮匠”團隊中只要1人答出該題即為挑戰成功.
①求甲、乙二人中至少有一人解出題目的概率.你能得出什么結論
②求甲、乙、丙三人中至少有一人解出題目的概率.你又能得出什么結論
②事件“甲、乙、丙三人中至少有一人解出題目”可以表示為事件A∪B∪C,
因為P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(CA)+P(ABC) =P(A)+P(B)+P(C)-P(A)P(B)-P(B)P(C)-P(C)P(A)+P(A)P(B)P(C) =0.5+0.48+0.45-0.5×0.48-0.48×0.45-0.45×0.5+0.5×0.48×0.45=0.857,所以甲、乙、丙三人中至少有一人解出題目的概率為0.857.
結論:因為0.857>0.8,所以三個“臭皮匠”解出題目的能力是可以超過“諸葛亮”的.
所以甲、乙、丙三人中至少有一人解出題目的概率為0.857.
結論:因為0.857>0.8,所以三個“臭皮匠”解出題目的能力是可以超過“諸葛亮”的.
探究點四　　事件獨立性的綜合應用
【例4】 在一段線路中并聯著3個自動控制的常開開關,只要其中1個開關能夠閉合,線路就能正常工作.假定在某段時間內每個開關能夠閉合的概率都是0.7,計算在這段時間內線路正常工作的概率.
解 如圖所示,記“這段時間內開關KA,KB,KC能夠閉合”分別為事件A,B,C.由題意,這段時間內3個開關是否能夠閉合相互之間沒有影響,根據相互獨立事件的概率公式,這段時間內3個開關都不能閉合的概率是
變式探究1若將本例中的“并聯”改為“串聯”,求相應概率.
解 依題意可知所求事件的概率為P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=0.7×0.7×0.7=0.73=0.343.
變式探究2本例中每個開關能夠閉合的概率不變,求如圖所示的線路正常工作的概率.
規律方法　概率問題中的數學思想
(1)正難則反.靈活應用對立事件的概率關系(P(A)+P( )=1)簡化問題,是求解概率問題最常用的方法.
(2)化繁為簡.將復雜事件的概率轉化為簡單事件的概率,即尋找所求事件與已知事件之間的關系.“所求事件”分幾類(考慮加法公式,轉化為互斥事件)還是分幾步組成(考慮乘法公式,轉化為相互獨立事件).
(3)方程思想.利用有關的概率公式和問題中的數量關系,建立方程(組),通過解方程(組)使問題獲解.
變式訓練4甲、乙兩名射擊運動員分別對一目標射擊1次,已知甲射中的概率為0.8,乙射中的概率為0.9,求:
(1)2人都射中目標的概率;
(2)2人中恰有1人射中目標的概率;
(3)2人至少有1人射中目標的概率;
(4)2人至多有1人射中目標的概率.
學以致用·隨堂檢測促達標
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A 級 必備知識基礎練
1. [探究點三]一件產品要經過2道獨立的加工程序,第一道工序的次品率為a,第二道工序的次品率為b,則該產品的正品率為(　　)
A.1-a-b B.1-ab
C.(1-a)(1-b) D.1-(1-a)(1-b)
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2. [探究點二]下列事件中,A,B是相互獨立事件的是(　　)
A.一枚硬幣擲兩次,A表示“第一次為正面”,B表示“第二次為反面”
B.袋中有2白,2黑的小球,不放回地摸兩球,A表示“第一次摸到白球”,B表示“第二次摸到白球”
C.擲一枚骰子,A表示“出現點數為奇數”,B表示“出現點數為偶數”
D.A表示“人能活到20歲”,B表示“人能活到50歲”
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C
解析 記事件A=“下雨”,事件B=“刮風”,AB=“刮風又下雨”,則
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4.[探究點三·教材改編]甲、乙兩名射擊運動員分別對同一目標射擊1次,甲射中的概率為0.8,乙射中的概率為0.9,則2人都射中的概率為(　　)
A.0.72 B.0.18
C.0.03 D.0.97
A
解析 設事件A為“甲射中目標”,事件B為“乙射中目標”,則P(A)=0.8,P(B)=0.9,兩人都射中為事件AB,又因為A與B互相獨立,故P(AB)=P(A)P(B)=0.8×0.9=0.72.
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6. [探究點三]已知1號箱中有2個白球和4個紅球、2號箱中有5個白球和3個紅球,現隨機從1號箱中取出一球放入2號箱,然后從2號箱中隨機取出一
球,則兩次都取到紅球的概率是　　　　　.
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7.[探究點四]袋中裝有4個紅球,5個白球,從中不放回地任取兩次,每次取
一球.
(1)求在第一次取出的是紅球的條件下,第二次取出的也是紅球的概率;
(2)求第二次才取到紅球的概率.
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B 級 關鍵能力提升練
8.袋內有3個白球和2個黑球,從中有放回地摸球,用A表示“第一次摸得白球”,如果“第二次摸得白球”記為B,“第二次摸得黑球”記為C,那么事件A與B,A與C間的關系是(　　)
A.A與B,A與C均相互獨立
B.A與B相互獨立,A與C互斥
C.A與B,A與C均互斥
D.A與B互斥,A與C相互獨立
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9.如圖,A,B,C表示三個開關,設在某段時間內它們正常工作的概率分別是0.9,0.8,0.7,那么該系統正常工作的概率是(　　)
A.0.994
B.0.686
C.0.504
D.0.496
B
解析 A,B,C表示三個開關,
在某段時間內它們正常工作的概率分別是0.9,0.8,0.7,
設事件A表示A開關正常工作,事件B表示B開關正常工作,事件C表示C開關正常工作,
則P(A)=0.9,P(B)=0.8,P(C)=0.7,
當系統正常工作時,C正常工作且A,B至少有一個正常工作,C正常工作的概率為P(C)=0.7;
A,B至少有一個正常工作的概率為1-(1-0.9)×(1-0.8)=0.98,
所以這個系統正常工作的概率為P=0.7×0.98=0.686.
故選B.
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10.在某道路的A,B,C三處設有交通信號燈,這三處在1分鐘內開放綠燈的時間分別為25秒、35秒、45秒,某輛車在這段道路上勻速行駛,則在這三處都不停車的概率為(　　)
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12.(多選題)在一次對一年級學生上、下兩學期數學成績的統計調查中發現,上、下兩學期成績均得優的學生占5%,僅上學期得優的占7.9%,僅下學期得優的占8.9%,則(　　)
A.已知某學生上學期得優,則下學期也得優的概率約為0.388
B.已知某學生上學期得優,則下學期也得優的概率約為0.139
C.上、下兩學期均未得優的概率約為0.782
D.上、下兩學期均未得優的概率約為0.95
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13.同學甲參加某科普知識競賽,需回答三個問題,競賽規則規定:答對第一、二、三個問題分別得100分、100分、200分,答錯或不答均得零分.假設同學甲答對第一、二、三個問題的概率分別為0.8,0.6,0.5,且各題答對與否相互之間沒有影響,則同學甲得分不低于300分的概率是　　　　.
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14.本著健康、低碳的生活理念,租自行車騎游的人越來越多.某自行車租車點的收費標準是每車每次租車時間不超過兩小時的免費,超過兩小時的部分每小時收費標準為2元(不足1小時的部分按1小時計算),有甲、乙兩人(相互獨立)來該租車點租車騎游(各租一車一次).設甲、乙不超過兩小時還車的概率分別為 兩小時以上且不超過三小時還車的概率分別為
兩人租車時間都不會超過四小時.則甲、乙兩人所付的租車費用相同的概
率為　　　　.
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15.現有五瓶墨水,其中紅色一瓶,藍色、黑色各兩瓶,某同學從中隨機任取兩瓶,若取出的兩瓶中有一瓶是藍色,求另一瓶是紅色或黑色的概率.
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解 設事件A為“取出的兩瓶中有一瓶是藍色”,事件B為“取出的兩瓶中另一瓶是紅色”,事件C為“取出的兩瓶中另一瓶是黑色”,事件D為“取出的兩瓶中另一瓶是紅色或黑色”,則D=B∪C,且B與C互斥.
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C 級 學科素養創新練
16.某學校組織學習中華傳統文化知識競賽.比賽共分為兩輪,每位參賽選手均須參加兩輪比賽,若其在兩輪比賽中均勝出,則視為贏得比賽.已知在第一輪比賽中,選手甲、乙勝出的概率分別為 ;在第二輪比賽中,甲、乙勝出的概率分別為 .甲、乙兩人在每輪比賽中是否勝出互不影響.
(1)從甲、乙兩人中選取1人參加比賽,派誰參賽贏得比賽的概率更大
(2)若甲、乙兩人均參加比賽,求兩人中至少有一人贏得比賽的概率.
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