資源簡介

(共58張PPT)
北師大版 數學 選擇性必修第一冊
課程標準 1.通過實例,了解離散型隨機變量的含義.
2.了解離散型隨機變量的性質、兩點分布的概念.
3.會求簡單的離散型隨機變量的分布列.
基礎落實·必備知識一遍過
知識點1　離散型隨機變量
取值能夠　　　　　　　　　　的隨機變量稱為離散型隨機變量.
名師點睛
離散型隨機變量的特征
(1)可用數值表示;
(2)試驗之前可以判斷其可能出現的所有值;
(3)試驗之前不能確定取何值;
(4)試驗結果能一一列出.
一一列舉出來
思考辨析
離散型隨機變量的取值必須是有限個嗎
提示 不一定,離散型隨機變量的取值可以一一列舉出來,所取值可以是有限個,也可以是無限個.
自主診斷
1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)
(1)一只大熊貓一年內的體重是離散型隨機變量.(　　)
(2)離散型隨機變量的取值可以是某一區間內的任意值.(　　)
×
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2.[人教A版教材習題]在某項體能測試中,跑1 km時間不超過4 min為優秀.某位同學跑1 km所花費的時間X是離散型隨機變量嗎 如果只關心該同學是否能夠取得優秀成績,應該如何定義隨機變量
解 該同學跑1 km所花費的時間X不是離散型隨機變量.如果我們只關心該同學是否能夠取得優秀成績,可以定義如下的隨機變量:
Y是離散型隨機變量,
事件{Y=1}表示該同學跑1 km所花費的時間不超過4 min,能夠取得優秀成績;事件{Y=0}表示該同學跑1 km所花費的時間大于4 min,不能夠取得優秀成績.
知識點2　離散型隨機變量的分布列
1.定義 即為隨機變量取值及其相應概率的列表
若離散型隨機變量X的取值為x1,x2,…,xn,…,隨機變量X取xi的概率為pi(i=1,2,…,n,…),記作P(X=xi)=pi(i=1,2,…,n,…).①
①式也可以列成表,如表所示:
xi x1 x2 … xn …
P(X=xi) p1 p2 … pn …
上表或①式稱為離散型隨機變量X的分布列,簡稱為X的分布列.
如果隨機變量X的分布列為上表或①式,我們稱隨機變量X服從這一分布列,記作
2.性質
(1)pi>0(i=1,2,…,n,…);
(2)p1+p2+…+pn+…=1.
名師點睛
對于性質的理解
(1)pi表示的是事件X=xi發生的概率,因此每一個pi都是正數.
(2)因為分布列給出了隨機變量能取的每一個值,而且隨機變量取不同的值時的事件是互斥的,所以p1+p2+…+pn+…=1.另一方面,由此可以得出隨機變量在某一范圍內取值的概率等于它取這個范圍內各個值的概率之和.
思考辨析
在擲一枚質地均勻的骰子的隨機試驗中,X表示向上的點數,X的取值有哪些 X取每個值的概率分別是多少
提示 列成表的形式
自主診斷
1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)
(1)在離散型隨機變量分布列中隨機變量的每一個可能值對應的概率可以為任意的實數.(　　)
(2)在離散型隨機變量分布列中,在某一范圍內取值的概率等于它取這個范圍內各值的概率之積.(　　)
(3)在離散型隨機變量分布列中,取各個值的概率之和為1.(　　)
(4)離散型隨機變量的各個可能值表示的事件是彼此互斥的.(　　)
×
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√
√
2.[人教A版教材習題]籃球比賽中每次罰球命中得1分,不中得0分.已知某運動員罰球命中的概率為0.7,求他一次罰球得分的分布列.
解 設該運動員一次罰球得分為X,其分布列為
X 0 1
P 0.3 0.7
3.[人教A版教材習題]某種資格證考試,每位考生一年內最多有3次考試機會.一旦某次考試通過,便可領取資格證書,不再參加以后的考試,否則就繼續參加考試,直到用完3次機會.小李決定參加考試,如果他每次參加考試通過的概率依次為0.6,0.7,0.8,且每次考試是否通過相互獨立.試求:
(1)小李在一年內參加考試次數X的分布列;
(2)小李在一年內領到資格證書的概率.
解 (1)考試次數X的可能取值為1,2,3,且P(X=1)=0.6,P(X=2)=(1-0.6)×0.7 =0.28, P(X=3)=(1-0.6)×(1-0.7)=0.12.
∴X的分布列為
X 1 2 3
P 0.6 0.28 0.12
(2)P=0.6+0.28+0.12×0.8=0.976.
或P=1-0.4×0.3×0.2=0.976.
知識點3　伯努利試驗與兩點分布
若在某個試驗中,每次試驗只有兩個相互對立的結果,可以分別稱為“成功”和“失敗”,每次“成功”的概率均為p,每次“失敗”的概率均為1-p,則稱這樣的試驗為伯努利試驗.
如果隨機變量X的分布列如表所示:
X 1 0
P p q
其中0思考辨析
若隨機變量X的分布列為
X 1 2
P
那么X服從兩點分布嗎
提示 不服從兩點分布,兩點分布中X的取值只能是0,1.
自主診斷
1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)
(1)伯努利試驗的結果只有兩個,這兩個結果互為對立事件.(　　)
(2)兩點分布又稱0—1分布或伯努利分布.(　　)
√
√
2.已知一批200件的待出廠產品中,有1件不合格品,現從中任意抽取2件進行檢查,若用隨機變量X表示抽取的2件產品中的次品數,求X的分布列.
重難探究·能力素養速提升
探究點一　　離散型隨機變量的判定
【例1】 指出下列隨機變量是不是離散型隨機變量,并說明理由.
(1)某座大橋一天某個時段內經過的車輛數X;
(2)某超市5月份某天的銷售額;
(3)某加工廠加工的一批某種鋼管的外徑與規定的外徑尺寸之差ξ;
(4)長江某水位監測站所測水位在(0,29]這一范圍內變化,該水位站所測水位ξ.
解 (1)車輛數X的取值可以一一列出,故X為離散型隨機變量.
(2)某超市5月份某天銷售額取值可以一一列出,故為離散型隨機變量.
(3)實際測量值與規定值之間的差值無法一一列出,不是離散型隨機變量.
(4)不是離散型隨機變量.水位在(0,29]這一范圍內變化,不能按次序一一列舉.
規律方法　“三步法”判定離散型隨機變量
(1)依據具體情境分析變量是否為隨機變量.
(2)由條件求解隨機變量的值域.
(3)判斷變量的取值能否被一一列舉出來,若能,則是離散型隨機變量;否則,不是離散型隨機變量.
變式訓練1指出下列隨機變量是不是離散型隨機變量,并說明理由.
(1)從10張已編好號碼的卡片(從1號到10號)中任取一張,被取出的卡片的
號碼;
(2)一個袋中裝有4個白球和3個黑球,從中任取3個,其中所含白球的個數;
(3)某林場樹木最高達30 m,此林場中樹木的高度.

解 (1)只要取出一張,便有一個號碼,因此被取出的卡片號數可以一一列出,是離散型隨機變量.
(2)從7個球中取3個球,所得的結果有以下幾種:3個白球;2個白球和1個黑球;1個白球和2個黑球;3個黑球,即所含白球的個數可以一一列出,是離散型隨機變量.
(3)林場樹木的高度是一個隨機變量,它可以取(0,30]內的一切值,無法一一列舉,不是離散型隨機變量.
【例2】 拋擲兩枚骰子一次,記第一枚骰子擲出的點數減去第二枚骰子擲出的點數之差為X,那么“X≤-4”表示的隨機事件的結果不可能是(　　)
A.第一枚1點,第二枚4點
B.第一枚2點,第二枚6點
C.第一枚1點,第二枚5點
D.第一枚1點,第二枚6點
A
解析 拋擲兩枚骰子,點數之差滿足小于等于-4的只有三種情況:第一枚為1點、第二枚為6點;第一枚為1點、第二枚為5點;第一枚為2點、第二枚為6點.故選A.
變式探究例2中,如果擲出的點數之差的絕對值為隨機變量X,X取值有哪些
解 X=0,1,2,3,4,5.
規律方法　關于離散型隨機變量取值的意義
關鍵是明確隨機試驗產生隨機變量的方法,就可以反推隨機變量的取值對應的試驗結果.這個試驗結果對于求隨機變量取值對應的概率至關重要.
變式訓練2一個袋中裝有5個白球和5個黑球,從中任取3個,其中所含白球的個數為ξ.
(1)列表說明可能出現的結果與對應的ξ的值;
(2)若規定抽取3個球中,每抽到一個白球加5分,抽到黑球不加分,且最后結果都加上6分,求最終得分η的可能取值,并判定η是否為離散型隨機變量.
解 (1)
ξ 0 1 2 3
結果 取得3個黑球 取得1個白球,2個黑球 取得2個白球,1個黑球 取得3個白球
(2)由題意可得η=5ξ+6,而ξ可能的取值為{0,1,2,3},所以η對應的各值是5×0+6,5×1+6,5×2+6,5×3+6.故η的可能取值為6,11,16,21.其結果可以一一列出,符合離散型隨機變量的定義.顯然,η為離散型隨機變量.
探究點二　　求離散型隨機變量的分布列
【例3】 某班有學生45人,其中O型血的有15人,A型血的有10人,B型血的有12人,AB型血的有8人.將O,A,B,AB四種血型分別編號為1,2,3,4,現從中抽1人,其血型編號為隨機變量X,求X的分布列.
規律方法　求離散型隨機變量分布列的一般步驟
(1)確定X的所有可能取值xi(i=1,2,…)以及每個取值所表示的意義.
(2)利用概率的相關知識,求出每個取值相應的概率P(X=xi)=pi(i=1,2,…).
(3)寫出分布列.
(4)根據分布列的性質對結果進行檢驗.
變式訓練3為檢測某產品的質量,現抽取5件產品,測量產品中微量元素x,y的含量(單位:毫克),測量數據如下:
編號 1 2 3 4 5
x 169 178 166 177 180
y 75 80 77 70 81
如果產品中的微量元素x,y滿足x≥177且y≥79時,該產品為優等品.現從上述5件產品中,隨機抽取2件,求抽取的2件產品中優等品數X的分布列.
解 由題意,5件抽測品中有2件優等品,則X的可能取值為0,1,2.
X 0 1 2
P 0.3 0.6 0.1
探究點三　 分布列的性質及其應用
【例4】 設離散型隨機變量X的分布列為
X 0 1 2 3 4
P 0.2 0.1 0.1 0.3 m
求:(1)2X+1的分布列;
(2)|X-1|的分布列.
解 由分布列的性質知0.2+0.1+0.1+0.3+m=1,
∴m=0.3.
根據題意列表為
X 0 1 2 3 4
2X+1 1 3 5 7 9
|X-1| 1 0 1 2 3
從而由上表得
(1)2X+1的分布列為
2X+1 1 3 5 7 9
P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
(2)|X-1|的分布列為
|X-1| 0 1 2 3
P 0.1 0.3 0.3 0.3
規律方法　離散型隨機變量的分布列的性質的應用
(1)通過性質建立關系,求得參數的取值或范圍,進一步求出概率,得出分布列.
(2)求對立事件的概率或判斷某概率是否成立.
變式訓練4(1)已知離散型隨機變量X的分布列為
則k的值為(　　)
B
(2)設隨機變量X的分布列為P(X=i)= (i=1,2,3),則P(X≥2)=　　　　.
解析由已知得隨機變量X的分布列為
探究點四　　伯努利試驗與兩點分布
【例5】 袋內有10個白球,5個紅球,兩種球除顏色不同外均相同,從中摸出2個球,記 求X的分布列.
規律方法　兩步法判斷一個分布是否為兩點分布
變式訓練5若離散型隨機變量X的分布列為
X 0 1
P 2a 3a
C
學以致用·隨堂檢測促達標
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A 級 必備知識基礎練
1. [探究點一](多選題) 下列變量:
①某機場候機室中一天的旅客數量為X;
②某尋呼臺一天內收到的尋呼次數為X;
③某水電站觀察到一天中長江的水位為X;
④某立交橋一天內經過的車輛數為X.
其中是離散型隨機變量的是(　　)
A.①中的X B.②中的X
C.③中的X D.④中的X
BD
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2.[探究點一]已知在下列隨機變量中:
①10件產品中有2件次品,從中任選3件,取到次品的件數X;
②一位射擊手對目標進行射擊,擊中目標得1分,未擊中目標得0分,該射擊手在一次射擊中的得分X;
③一天內的溫度X;
④在體育彩票抽獎中,一次搖號產生的號碼數X.
其中X是離散型隨機變量的是(　　)
A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.③④
B
解析 ①X的可能取值為0,1,2,所以X是離散型隨機變量;
②X的可能取值為0,1,所以X是離散型隨機變量;
③一天內的溫度變化是連續的,所以X不是離散型隨機變量;
④在體育彩票抽獎中,一次搖號產生的號碼數是離散的,所以X是離散型隨機變量.
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3. [探究點三]某科技小組有5名男生、3名女生,從中任選3名同學參加活動,若X表示選出女生的人數,則P(X=2)=　　　　　.
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解析由題意知所給分布列為
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5. [探究點三]若隨機變量X服從兩點分布,且P(X=0)=0.8,P(X=1)=0.2.令Y=3X-2,則P(Y=-2)=　　　　.
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6.[探究點二·教材改編]口袋中有6個同樣大小的黑球,編號為1,2,3,4,5,6,現從中隨機取出4個球,用X表示取出的最大號碼,求X的分布列.
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B 級 關鍵能力提升練
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8.(多選題) 已知隨機變量ξ的分布列如下,則實數a的值為(　　)
BC
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9.某校為緩解學生壓力,舉辦了一場趣味運動會,其中有一個項目為籃球定點投籃,比賽分為初賽和復賽.初賽規則為:每人最多投3次,每次投籃的結果相互獨立.在A處每投進一球得3分,在B處每投進一球得2分,否則得0分.將學生得分逐次累加并用X表示,如果X的值不低于3分就判定為通過初賽,立即停止投籃,否則應繼續投籃,直到投完三次為止.現甲先在A處投一球,以后都在B處投,已知甲同學在A處投籃的命中率為 ,在B處投籃的命中率為 ,求他初賽結束后所得總分X的分布列.
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C 級 學科素養創新練
10.某公司某種新產品搞促銷活動,規定如下:凡購買該產品一件及以上者,可擲兩枚骰子,若兩枚骰子向上的點數之和是3的倍數,則該購買者得1分,并被評為公司嘉賓,否則該購買者得0分.試求購買者得分X的分布列.
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解 兩枚骰子向上的點數所有情況的樣本空間為{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),
(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),
(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)},
故購買者得分X的分布列為

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