資源簡介

(共52張PPT)
北師大版 數學 選擇性必修第一冊
課程標準 1.通過實例,理解離散型隨機變量的均值的意義和性質.
2.會根據離散型隨機變量的分布列求出均值,并能解決實際問題.
基礎落實·必備知識一遍過
知識點　離散型隨機變量的均值
1.定義
設離散型隨機變量X的分布列如表所示:
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
則稱EX=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn為隨機變量X的均值或數學期望(簡稱期望).
求均值的關鍵是能正確地求出隨機變量的分布列
2.意義
均值EX刻畫的是X取值的“中心位置”,反映了離散型隨機變量X取值的平均水平,是隨機變量X的一個重要特征.
名師點睛
對離散型隨機變量的均值的理解
(1)均值是算術平均值概念的推廣,是概率意義下的平均數.
(2)離散型隨機變量的均值EX是一個數值,是隨機變量X本身固有的一個數字特征,它不具有隨機性,反映的是隨機變量取值的平均水平.
(3)由離散型隨機變量的均值的定義可知,它與離散型隨機變量有相同的單位.
(4)若Y=aX+b(a,b是常數),X是隨機變量,則Y也是隨機變量,它們的分布列為
X x1 x2 … xn …
Y ax1+b ax2+b … axn+b …
P p1 p2 … pn …
于是EY=(ax1+b)p1+(ax2+b)p2+…+(axn+b)pn+…=a(x1p1+x2p2+…+xnpn+…)+b(p1+p2+…+pn+…)=aEX+b,由此,我們得到了期望的一個性質:E(aX+b)=aEX+b.
思考辨析
某商場為滿足市場需求要將單價分別為18元/kg、24元/kg、36元/kg的3種糖果按3∶2∶1的比例混合銷售,其中混合糖果中每一顆糖果的質量都相等,如何對混合糖果定價才合理 假如從這種混合糖果中隨機選取一顆,記ξ為這顆糖果的單價(元/kg),你能寫出ξ的分布列嗎
自主診斷
1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)
(1)隨機變量X的均值EX是個變量,其隨X的變化而變化.(　　)
(2)隨機變量的均值與樣本的平均值相同.(　　)
(3)若隨機變量X的均值EX=2,則E(2X)=4.(　　)
(4)對于結論E(aX+b)=aEX+b,當a=0時,Eb=b,即常數的均值就是這個常數本身.(　　)
×
×
√
√
2.設ξ的分布列為
ξ 1 2 3 4
P
又設η=2ξ+5,則Eη等于(　　)
D
3.[人教A版教材習題]拋擲一枚硬幣,規定正面向上得1分,反面向上得-1分,求得分X的均值.
解 X的分布列為
X -1 1
P 0.5 0.5
所求均值為EX=-1×0.5+1×0.5 =0.
4.[人教A版教材習題]甲、乙兩臺機床生產同一種零件,它們生產的產量相同,在1 h內生產出的次品數分別為X1,X2,其分布列分別為
甲機床次品數的分布列
X1 0 1 2 3
P 0.4 0.3 0.2 0.1
乙機床次品數的分布列
X2 0 1 2
P 0.3 0.5 0.2
哪臺機床更好 請解釋你所得出結論的實際含義.
解 甲機床的平均次品數EX1=0×0.4+1×0.3+2×0.2+3×0.1=1,乙機床的平均次品數EX2=0×0.3+1×0.5+2×0.2=0.9.
由EX1=1,EX2=0.9可知,在1 h內,甲機床平均生產1個次品,乙機床平均生產0.9個次品,因此乙機床更好.
重難探究·能力素養速提升
探究點一　　求離散型隨機變量的均值
★(2)[2021新高考Ⅰ,18]某學校組織“一帶一路”知識競賽,有A,B兩類問題.每位參加比賽的同學先在兩類問題中選擇一類并從中隨機抽取一個問題回答,若回答錯誤則該同學比賽結束;若回答正確則從另一類問題中再隨機抽取一個問題回答,無論回答正確與否,該同學比賽結束.A類問題中的每個問題回答正確得20分,否則得0分;B類問題中的每個問題回答正確得80分,否則得0分.
已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8,能正確回答B類問題的概率為0.6,且能正確回答問題的概率與回答次序無關.
①若小明先回答A類問題,記X為小明的累計得分,求X的分布列;
②為使累計得分的期望最大,小明應選擇先回答哪類問題 并說明理由.
規律方法　求離散型隨機變量X的均值的步驟
變式訓練1(1)口袋中有編號分別為1,2,3的三個大小和形狀相同的小球,從中任取2個,則取出的球的最大編號X的期望為　　　　.
★(2)盒中裝有5節同牌號的五號電池,其中混有2節廢電池.現在不放回地每次取1節電池檢驗,直到取到好電池為止,求抽取次數X的分布列及
均值.
探究點二　　離散型隨機變量均值的性質
【例2】 已知隨機變量X的分布列為
若Y=-2X,則EY=　　　　.
變式探究本例條件不變,若ξ=aX+3,且Eξ=- ,求a的值.
規律方法　若給出的隨機變量ξ與X的關系為ξ=aX+b,a,b為常數.一般思路是先求出EX,再利用公式E(aX+b)=aEX+b求Eξ.也可以利用X的分布列得到ξ的分布列,關鍵由X的取值計算ξ的取值,對應的概率相等,再由定義法求得Eξ.
變式訓練2已知隨機變量ξ和η,其中η=12ξ+7,且Eη=34,若ξ的分布列如下表,則m的值為(　　)
A
探究點三　　離散型隨機變量均值的實際應用
【例2】 已知隨機變量X的分布列為
若Y=-2X,則EY=　　　　.
規律方法　1.實際問題中的期望問題
期望在實際生活中有著廣泛的應用,如對體育比賽的成績預測,消費預測,工程方案的預測,產品合格率的預測,投資收益的預測等方面,都可以通過隨機變量的期望來進行估計.
2.概率模型的三個解答步驟
(1)審題,確定實際問題是哪一種概率模型,可能用到的事件類型,所用的公式有哪些.
(2)確定隨機變量的分布列,計算隨機變量的期望.
(3)對照實際意義,回答概率、均值等所表示的結論.
變式訓練3節日期間,某種鮮花進貨價是每束2.5元,銷售價每束5元;節日賣不出去的鮮花以每束1.6元價格處理.根據前五年銷售情況預測,節日期間這種鮮花的需求量X(單位:束)服從如下表所示的分布:
X 200 300 400 500
P 0.20 0.35 0.30 0.15
若進這種鮮花500束,則利潤的均值為　　　　.
706　
解析 由分布列可以得到EX=200×0.2+300×0.35+400×0.3+500×0.15=340(束),
則利潤是(340×5+160×1.6)-500×2.5=706(元).
學以致用·隨堂檢測促達標
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A 級 必備知識基礎練
1.[探究點二]已知某一隨機變量X的分布列如表所示,若EX=6.3,則a的值
為(　　)
X a 7 9
P b 0.1 0.4
A.4 B.5 C.6 D.7
A
解析 根據分布列的性質可知b+0.1+0.4=1,所以b=0.5.又因為EX=a×0.5+7×0.1+9×0.4=6.3,所以a=4.
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2.[探究點一]設隨機變量X服從兩點分布,若P(X=1)-P(X=0)=0.4,則EX=(　　)
A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.7
D
解析 由題意得P(X=1)+P(X=0)=1,又因為P(X=1)-P(X=0)=0.4,所以解得P(X=1)=0.7,P(X=0)=0.3,所以EX=1×0.7+0×0.3=0.7,故選D.
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3.[探究點二]設ξ的分布列如表所示,又設η=2ξ+5,則Eη等于(　　)
D
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4. [探究點一]一射手對靶射擊,直到第一次命中或子彈用完為止,每次命中的概率為0.6,現有4顆子彈,則停止射擊后剩余子彈數目X的均值為(　　)
A.2.44 B.3.376 C.2.376 D.2.4
C
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5. [探究點一]設離散型隨機變量X可能的取值為1,2,3, P(X=k)=ak+b(k=1,2,3).又因為X的均值EX=3,則a+b=　　　　.
解析 ∵P(X=1)=a+b,P(X=2)=2a+b,P(X=3)=3a+b,
∴EX=1×(a+b)+2×(2a+b)+3×(3a+b)=3,∴14a+6b=3.①
又(a+b)+(2a+b)+(3a+b)=1,
∴6a+3b=1.②
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6.[探究點三]一個質地均勻的小正方體,在它的6個面中有三個面上標著數字1,另兩個面上標著數字2,還有一個面上標著數字3,現將此正方體任意拋
擲2次,記向上的面上的數字之和為ξ,則Eξ=　　　　　.
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7. [探究點三]現有甲、乙兩個靶,某射手向甲靶射擊了一次,命中的概率為 ,命中得1分,沒有命中得0分,他向乙靶射擊了兩次,每次命中的概率為 ,每命中一次得2分,沒有命中得0分.該射手每次射擊的結果相互獨立,假設該射手完成了以上三次射擊.
(1)求該射手恰好命中一次的概率;
(2)求該射手的總得分X的數學期望EX.
解 (1)恰好命中一次包含射擊甲靶擊中,射擊乙靶不中和射擊甲靶不擊中,射擊乙靶的兩次中只擊中一次,
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B 級 關鍵能力提升練
8. [探究點三]若對于某個數學問題,甲、乙兩人都在研究,甲解出該題的概率為 ,乙解出該題的概率為 ,設解出該題的人數為ξ,求Eξ.
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9.今有兩臺獨立工作在兩地的雷達,每臺雷達發現飛行目標的概率分別為0.9和0.85,設發現目標的雷達臺數為X,則EX為(　　)
A.0.765 B.1.75 C.1.765 D.0.22
B
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10.(多選題)已知隨機變量X的分布列為
X 4 a 9 10
P 0.3 0.1 b 0.2
若EX=7.5,則以下結論正確的是(　　)
A.a無法確定 B.b=0.4 C.E(aX)=52.5 D.E(X+b)=7.9
BCD
解析 由分布列的性質,可得0.3+0.1+b+0.2=1,解得b=0.4,故B正確;又由EX=4×0.3+0.1a+9×0.4+10×0.2=6.8+0.1a=7.5,解得a=7,故A不正確;由均值的性質,可知E(aX)=aEX=7×7.5=52.5,故C正確;又由E(X+b)=EX+b=7.5+0.4=7.9,故D正確.故選BCD.
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11.已知隨機變量X的分布列如表:
若X的數學期望EX= ,則ab=　　　　　.
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12.袋子里裝有5只球,編號為1,2,3,4,5,從中任取3只球,若用X表示取出的球的最大號碼,則EX=　　　　　.
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13.現有7張卡片,分別寫上數字1,2,2,3,4,5,6.從這7張卡片中隨機抽取3張,記所抽取卡片上數字的最小值為ξ,則P(ξ=2)=　　　　,Eξ=　　　　　.
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14.甲、乙、丙三人進行競技類比賽,每局比賽三人同時參加,有且只有一個人獲勝,約定有人勝兩局(不必連勝)則比賽結束,此人直接贏得比賽.假設每局甲獲勝的概率為 ,乙獲勝的概率為 ,丙獲勝的概率為 ,各局比賽結果相互獨立.
(1)求甲在3局以內(含3局)贏得比賽的概率;
(2)記X為比賽決出勝負時的總局數,求X的分布列和均值(數學期望).
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解 (1)用A表示“甲在3局以內(含3局)贏得比賽”,Ak表示“第k局甲獲勝”,Bk表示“第k局乙獲勝”,Ck表示“第k局丙獲勝”,
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C 級 學科素養創新練
15.某中學選派40名學生參加北京市高中生技術設計創意大賽的培訓,他們參加培訓的次數統計如下表所示:
培訓次數 1 2 3
參加人數 5 15 20
(1)從這40名學生中任選3名,求這3名學生中至少有2名學生參加培訓次數恰好相等的概率;
(2)從這40名學生中任選2名,用X表示這2人參加培訓次數之差的絕對值,求隨機變量X的分布列及數學期望EX.
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