資源簡介

(共44張PPT)
北師大版 數(shù)學(xué) 選擇性必修第一冊
課程標(biāo)準(zhǔn) 1.通過具體實例理解離散型隨機(jī)變量的方差及標(biāo)準(zhǔn)差的概念和實際意義.
2.會用方差解決一些實際問題.
基礎(chǔ)落實·必備知識一遍過
知識點　離散型隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差
注意兩個概念的區(qū)別與聯(lián)系
1.定義
若離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表:
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
方差
標(biāo)準(zhǔn)差
2.意義
隨機(jī)變量的方差DX和標(biāo)準(zhǔn)差σX都反映了隨機(jī)變量的取值偏離于均值的平均程度.方差(標(biāo)準(zhǔn)差)越小,則隨機(jī)變量偏離于均值的平均程度越小;反之,方差(標(biāo)準(zhǔn)差)越大,則隨機(jī)變量的取值越分散.
名師點睛
特例 方差 意義
a=0 Db=0 常數(shù)的方差等于0
a=1 D(X+b)=DX 隨機(jī)變量與常數(shù)之和的方差與隨機(jī)變量的方差相同
b=0 D(aX)=a2DX 常數(shù)與隨機(jī)變量的乘積的方差是隨機(jī)變量的方差的a2倍
若X是隨機(jī)變量,Y=aX+b也是隨機(jī)變量,則DY=D(aX+b)=a2DX.
思考辨析
1.甲、乙兩個工人生產(chǎn)同一產(chǎn)品,在相同的條件下,他們生產(chǎn)100件產(chǎn)品中的不合格產(chǎn)品數(shù)分別用X,Y表示,X,Y的分布列如下:
X 0 1 2 3
P 0.6 0.2 0.1 0.1
Y 0 1 2 3
P 0.5 0.3 0.2 0
如何比較甲、乙兩人的技術(shù)高低
提示 EX=0×0.6+1×0.2+2×0.1+3×0.1=0.7, EY=0×0.5+1×0.3+2×0.2+3×0=0.7,它們的均值相等,只根據(jù)均值無法區(qū)分甲、乙兩人的技術(shù)高低,可以根據(jù)樣本方差區(qū)分,方差刻畫了樣本數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性.
2.隨機(jī)變量ξ的期望與方差的關(guān)系是什么 你能給出證明嗎
自主診斷
1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)
(1)離散型隨機(jī)變量的方差越大,隨機(jī)變量越穩(wěn)定.(　　)
(2)若a是常數(shù),則Da=0.(　　)
(3)離散型隨機(jī)變量的方差反映了隨機(jī)變量偏離于期望的平均程度.(　　)
(4)標(biāo)準(zhǔn)差與隨機(jī)變量本身有相同的單位,在實際問題中應(yīng)用廣泛. (　　)
×
√
√
√
2.設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為
X -1 0 1
P
若Y=2X+2,則DY等于(　　)
D
3.[人教A版教材習(xí)題]甲、乙兩個班級同學(xué)分別目測數(shù)學(xué)教科書的長度,其誤差X和Y(單位:cm)的分布列如下:
甲班的目測誤差分布列
X -2 -1 0 1 2
P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
乙班的目測誤差分布列
Y -2 -1 0 1 2
P 0.05 0.15 0.6 0.15 0.05
先直觀判斷X和Y的分布哪一個離散程度大, 再分別計算X和Y的方差,驗證你的判斷.
解 直觀判斷X的分布離散程度較大.
由題意,得EX=EY=0,
∴DX=(-2)2×0.1+(-1)2×0.2+0×0.4+12×0.2+22×0.1=1.2,
DY=(-2)2×0.05+(-1)2×0.15+0×0.6+12×0.15+22×0.05=0.7,
∴EX=EY且DX>DY,
∴X的分布離散程度比Y大.
重難探究·能力素養(yǎng)速提升
探究點一　　求離散型隨機(jī)變量的方差
【例1】 袋中有20個大小相同的球,其中記為0號的有10個,記上n號的有n個(n=1,2,3,4).現(xiàn)從袋中任取一球,ξ表示所取球的標(biāo)號,求ξ的分布列、均值和方差.
變式探究在本例條件下,若η=aξ+b,Eη=1,Dη=11,試求a,b的值.
解 由D(aξ+b)=a2Dξ=11,
E(aξ+b)=aEξ+b=1,及Eξ=1.5,Dξ=2.75,
得2.75a2=11,1.5a+b=1,
解得a=2,b=-2或a=-2,b=4.
規(guī)律方法　1.求離散型隨機(jī)變量X的方差的步驟
2.對于變量間存在關(guān)系的方差,在求解過程中應(yīng)注意方差性質(zhì)的應(yīng)用,如D(aξ+b)=a2Dξ,這樣處理既避免了求隨機(jī)變量η=aξ+b的分布列,又避免了繁雜的計算,簡化了計算過程.
變式訓(xùn)練1甲、乙兩人進(jìn)行定點投籃游戲,投籃者若投中,則繼續(xù)投籃,否則由對方投籃,第一次由甲投籃;已知每次投籃甲、乙命中的概率分別為
在前3次投籃中,乙投籃的次數(shù)為ξ,求ξ的分布列、均值和方差.
探究點二　　方差的實際應(yīng)用
【例2】 甲、乙兩名工人加工同一種零件,兩人每天加工的零件數(shù)相等,所得次品數(shù)分別為ξ,η,ξ和η的分布列如下:
試對這兩名工人的技術(shù)水平進(jìn)行比較.
規(guī)律方法　均值僅體現(xiàn)了隨機(jī)變量取值的平均大小,而方差則說明了隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定程度.因此,我們可以利用均值和方差的意義分析、解決實際問題.當(dāng)我們希望實際的平均水平比較理想時,不但要比較它們的均值,還應(yīng)看它們相對于均值的偏離程度;如果我們希望隨機(jī)變量比較穩(wěn)定時,應(yīng)先考慮方差,再考慮均值是否接近.
變式訓(xùn)練2袋中有大小相同的四個球,編號分別為1,2,3,4,每次從袋中任取一個球,記下其編號.若所取球的編號為偶數(shù),則把該球編號改為3后放回袋中繼續(xù)取球;若所取球的編號為奇數(shù),則停止取球.
(1)求“第二次取球后才停止取球”的概率;
(2)若第一次取到球的編號為偶數(shù),記第二次和第一次取球的編號之和為X,求X的分布列和方差.
(2)若第一次取到編號為2的球,則第二次取球時袋中有編號為1,3,3,4的四個球;
若第一次取到編號為4的球,則第二次取球時袋中有編號為1,2,3,3的四個球.
所以X的可能取值為3,5,6,7,
所以X的分布列為
學(xué)以致用·隨堂檢測促達(dá)標(biāo)
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A 級 必備知識基礎(chǔ)練
1. [探究點二]有甲、乙兩種水稻,測得每種水稻各10株的分蘗數(shù)據(jù),計算出樣本方差分別為DX甲=11,DX乙=3.4.由此可以估計(　　)
A.甲種水稻比乙種水稻分蘗整齊
B.乙種水稻比甲種水稻分蘗整齊
C.甲、乙兩種水稻分蘗整齊程度相同
D.甲、乙兩種水稻分蘗整齊不能比較
B
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2. [探究點一]已知隨機(jī)變量X的分布列為P(X=k)= ,k=3,6,9,則DX等于
(　　)
A.6 B.9 C.3 D.4
A
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3. [探究點一]隨機(jī)變量X的分布列如下:
D
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4. [探究點一]設(shè)0D
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5. [探究點一]設(shè)隨機(jī)變量X,Y滿足Y=2X+b(b為非零常數(shù)),若EY=4+b,DY=32,則EX=　　　　　,DX=　　　　　.
2
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解析 隨機(jī)變量X,Y滿足Y=2X+b(b為非零常數(shù)),若EY=4+b,DY=32,則EY=2EX+b=4+b,所以EX=2;又因為DY=4DX=32,所以DX=8.
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6. 隨機(jī)變量ξ的概率分布列為P(ξ=k)= ,k=1,2,3,其中c是常數(shù),則D(9ξ-3)的值為(　　)
A.10 B.117 C.38 D.35
C
B 級 關(guān)鍵能力提升練
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7.已知隨機(jī)變量ξ的分布列如表:
ξ -1 0 1
P p1 p2 p3
C
解析 Eξ=(-1)·p1+0·p2+1·p3=p3-p1,
又因為Eξ2=p1+p3,所以Dξ=Eξ2-(Eξ)2=p1+p3-(p3-p1)2
=(p1+p3)-(p1+p3)2+4p1p3,
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8.(多選題)若隨機(jī)變量X服從兩點分布,其中P(X=0)= ,EX,DX分別為隨機(jī)變量X的均值與方差,則下列結(jié)論正確的是(　　)
A.P(X=1)=EX B.E(3X+2)=4
C.D(3X+2)=4 D.DX=
AB
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10.變量ξ的分布列如下:
ξ -1 0 1
P a b c
其中2b=a+c,若Eξ= ,則Dξ的值是　　　　.
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C 級 學(xué)科素養(yǎng)創(chuàng)新練
11.某迷宮有三個通道,進(jìn)入迷宮的每個人都要經(jīng)過一扇智能門.首次到達(dá)此門,系統(tǒng)會隨機(jī)(即等可能)為你打開一個通道,若是1號通道,則需要1小時走出迷宮;若是2號、3號通道,則分別需要2小時、3小時返回智能門.再次到達(dá)智能門時,系統(tǒng)會隨機(jī)打開一個你未到過的通道,直至走出迷宮為止.令ξ表示走出迷宮所需的時間.
(1)求ξ的分布列;
(2)求ξ的均值和方差.
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