資源簡介

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北師大版 數學 選擇性必修第一冊
課標定位
素養闡釋 1.結合具體實例,了解一元線性回歸模型的含義,了解模型參數的統計意義.
2.了解最小二乘法,掌握一元線性回歸模型參數的最小二乘估計方法.
3.針對實際問題,會用一元線性回歸模型進行預測.
4.通過散點圖觀察變量間的相關關系,體會直觀想象素養.
5.借助一元線性回歸模型進行預測,增強數學運算素養.
自主預習 新知導學
一、直線擬合
【問題思考】
1.表7-1-1是水稻畝產量與施化肥量的一組觀測數據:
表7-1-1
施化肥量/kg 15 20 25 30 35 40 45
水稻產量/kg 320 330 360 410 460 470 480
如果把施化肥量看作橫坐標、水稻畝產量看作縱坐標.
(1)請在平面直角坐標系中畫出上表中的點.
提示:如答圖7-1-1.
答圖7-1-1
(2)根據坐標系中點的分布,你能發現隨著施化肥量的增加,水稻畝產量基本上呈什么趨勢嗎
提示:直線增長的趨勢.
2.(1)散點圖:每個點對應的一對數據 (xi,yi) ,稱為成對數據.這些 點 構成的圖稱為散點圖.
(2)曲線擬合:從散點圖上可以看出,如果變量之間存在著某種關系,這些點會有一個大致趨勢,這種趨勢通常可以用一條光滑的曲線來近似地描述,這樣近似描述的過程稱為曲線擬合.
(3)直線擬合:若在兩個變量X和Y的散點圖中,所有點看上去都在一條直線附近波動,此時就可以用一條直線來近似地描述這兩個量之間的關系,稱之為直線擬合.
3. 下列圖形中的兩個變量,它們之間的關系可以用直線擬合的是(　　).
A　　　　　　B　　　　　　C　　　 　　D
解析:B中所有點看上去都在一條直線附近波動,故選項B可以用直線擬合.
答案:B
二、一元線性回歸方程
【問題思考】
1.(1)最小二乘法:對于給定的兩個變量X和Y,可以把其成對的觀測值(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)表示為平面直角坐標系中的n個點.現在希望找到一條直線Y=a+bX,使得對每一個xi(i=1,2,…,n),由這個直線方程計算出來的值a+bxi與實際觀測值yi的差異盡可能小.為此,希望
[y1-(a+bx1)]2+[y2-(a+bx2)]2 +…+[yn-(a+bxn)]2 達到最小.換句話說,我們希望a,b的取值能使上式達到最小,這個方法稱為最小二乘法.
2. 若施化肥量X(單位:千克/畝)與水稻產量Y(單位:千克/畝)的回歸方程為Y=250+5X,當施化肥量為80千克/畝時,預計水稻產量為畝產　　　　千克左右.(“畝”非國際通用單位,1畝≈666.7平方米)
解析:當X=80時,Y=250+400=650.
答案:650
【思考辨析】
判斷下列說法是否正確,正確的在它后面的括號里畫“√”,錯誤的畫“×”.
√
×
√
×
合作探究 釋疑解惑
探究一
直線擬合的判斷
【例1】觀察兩個變量得如表7-1-2所示數據:
畫出散點圖,判斷它們是否能用直線擬合.
x -1 -2 -3 -4 -5 5 4 3 2 1
y -9 -7 -5 -3 -1 1 5 3 7 9
表7-1-2
分析:可設x為自變量,y為因變量,作出散點圖直接判斷.
解:由數據可得相應的散點圖如答圖7-1-2:
由散點圖可知,所有點不在一條直線附近,故不能用直線擬合.
答圖7-1-2
判斷兩個變量之間的關系能否用直線擬合,一種常用的簡便可行的方法就是繪制散點圖,根據散點圖很容易看出所有點是否在一條直線附近波動,進而判斷出這兩個變量之間的關系是否能用直線擬合.
【變式訓練1】 5名學生的數學和物理成績如表7-1-3:
表7-1-3
學生 A B C D E
數學成績 80 75 70 65 60
物理成績 70 66 68 64 62
畫出散點圖,并判斷數學成績和物理成績之間近似地呈現什么關系.
解:以x軸表示數學成績,y軸表示物理成績,可得相應的散點圖,如答圖7-1-3.由散點圖可知,數學成績和物理成績之間近似地呈線性關系.
答圖7-1-3
探究二
求線性回歸方程
【例2】 某研究機構對高三學生的記憶力X和判斷力Y進行統計分析,得表7-1-4所示數據:
(1)試用最小二乘法求出Y關于X的線性回歸方程;
(2)如果某學生的記憶力為9,請預測該學生的判斷力是多少.
X 6 8 10 12
Y 2 3 5 6
表7-1-4
解:(1)畫出散點圖,如答圖7-1-4.從散點圖可以看出,表中的兩個變量有近似的線性關系.
答圖7-1-4
i xi yi xiyi
1 6 2 36 12
2 8 3 64 24
3 10 5 100 50
4 12 6 144 72
合計 36 16 344 158
故Y關于X的線性回歸方程為Y=-2.3+0.7X.
(2)由Y=-2.3+0.7X知,當X=9時,Y=-2.3+0.7×9=4,故預測當學生的記憶力為9時,判斷力為4.
1.本例條件不變,如果某學生的判斷力為4,請預測該學生的記憶力是多少.
解:由Y=-2.3+0.7X知,當Y=4時,由4=-2.3+0.7X,解得X=9.
故預測當學生的判斷力為4時,記憶力為9.
2.某研究機構對高三學生的記憶力X和判斷力Y進行統計分析,得到如表7-1-5所示數據:
通過分析可知X,Y有線性關系,且其線性回歸方程為Y=0.7X-2.3,則實數m的值為　　　　　.
∴2+3+m+6=4×4,得m=5.
答案:5
X 6 8 10 12
Y 2 3 m 6
表7-1-5
求線性回歸方程的步驟
(1)作出散點圖,從散點圖直觀判斷變量是否有線性關系.若沒有,則說明兩變量不線性相關,沒有求方程的必要;若有,則繼續下一步.
【變式訓練2】 假設關于某設備的使用年限X(單位:年)和所支出的維修費用Y(單位:萬元)有如表7-1-6的統計資料:
表7-1-6
使用年限X/年 2 3 4 5 6
維修費用Y/萬元 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0
(1)畫出散點圖;
(2)求Y關于X的線性回歸方程;
(3)估計使用年限為10年時的維修費用.
解:(1)作出散點圖,如答圖7-1-5.
答圖7-1-5
(3)由線性回歸方程Y=0.08+1.23X可知,當X=10時,Y=1.23×10+0.08=12.38(萬元),
即估計使用10年時維修費用是12.38萬元.
探究三
利用線性回歸方程對總體進行估計
【例3】表7-1-7提供了某廠節能降耗技術改造后生產甲產品過程中記錄的產量X(單位:噸)與相應的生產能耗Y(單位:噸標準煤)的幾組對照數據:
(1)畫出散點圖;
(2)用最小二乘法求線性回歸方程
(3)已知該廠技改前100噸甲產品的生產能耗為90噸標準煤.試根據(2)求出的線性回歸方程,預測生產100噸甲產品的生產能耗比技改前降低多少噸標準煤.
表7-1-7
產量X/噸 3 4 5 6
生產能耗Y/噸標準煤 2.5 3 4 4.5
分析:(1)以產量為橫坐標,以生產能耗對應的測量值為縱坐標,在平面直角坐標系內畫散點圖;
(2)應用計算公式求得系數 的值;
(3)實際上就是求當X=100時,對應的Y的值.
解:(1)畫出散點圖,如答圖7-1-6.
答圖7-1-6
(3)根據線性回歸方程預測,現在生產100噸甲產品的生產能耗為0.35+0.7×100=70.35(噸標準煤),
故生產能耗降低了90-70.35=19.65(噸標準煤).
回歸分析的三個步驟
(1)判斷兩個變量是否有線性關系,可以利用經驗,也可以畫散點圖.
(2)求線性回歸方程,注意運算的正確性.
(3)根據線性回歸方程進行預測估計:估計值不是實際值,兩者會有一定的誤差.
【變式訓練3】某產品在某零售攤位的零售價X(單位:元)與每天的銷售量Y(單位:個)的統計資料如表7-1-8所示:
表7-1-8
X 16 17 18 19
Y 50 34 41 31
答案:C
易錯辨析
因對回歸直線理解不清致誤
【典例】 已知X,Y的取值如表7-1-9所示,由散點圖分析可知Y與X線性相關,且線性回歸方程為Y=0.95X+2.6,那么表格中的數據m的值為　　　　　.
表7-1-9
X 0 1 3 4
Y 2.2 4.3 4.8 m
錯解:因為Y=0.95X+2.6,所以當X=4時,Y=0.95×4+2.6=6.4.
答案:6.4
以上解答過程中都有哪些錯誤 出錯的原因是什么 你如何改正 你如何
防范
提示:注意線性回歸方程并不是X與Y的函數關系,回歸直線不一定過(4,m)這個樣本點,因此必須利用樣本點的中心求解.
答案:6.7
1.注意回歸直線不一定經過某個樣本點,但一定過樣本點的中心
2.平時學習時一定要對每一個基礎知識理解透徹.
隨堂練習
1.已知變量X,Y之間具有近似的線性關系,其散點圖如圖所示,則其線性回歸方程可能為(　　).
A.Y=1.5X+2
B.Y=-1.5X+2
C.Y=1.5X-2
D.Y=-1.5X-2
答案:B
(第1題)
2.已知X與Y之間的一組數據如下表:
X 0 1 2 3 4
Y 1 3 5 7 9
A.(1,2) B.(5,2)
C.(2,5) D.(2.5,5)
答案:C
3.（多選題）已知X與Y之間的幾組數據如下表:
X 1 2 3 4 5 6
Y 0 2 1 3 3 4
答案:CD
4.有變量X與Y的統計數據如下:
X 2 3 4 5 6
Y 2 4 6 6 7
5.已知線性回歸方程Y=3.2X+1.8,則當X=5時,Y的估計值為　　　　　.
解析:∵線性回歸方程為Y=3.2X+1.8,∴當X=5時,Y=17.8.即當X=5時,Y的估計值為17.8.
答案:17.8
6.一個車間為了規定工時定額,需要確定加工零件所花費的時間,為此進行了5次試驗,測得的數據如下:
零件數X/個 10 20 30 40 50
加工時間Y/分 62 68 75 81 89
(1)如果Y與X具有線性關系,求線性回歸方程;
(2)根據(1)所求線性回歸方程,預測此車間加工這種零件70個時,所需要的加工時間.

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