資源簡介

(共67張PPT)
北師大版 數(shù)學(xué) 選擇性必修第一冊
課程標準 1.通過誤差模型,了解服從正態(tài)分布的隨機變量.借助頻率分布直方圖,了解正態(tài)分布的特征及均值、方差.
2.掌握正態(tài)分布的定義,會利用正態(tài)分布解決實際問題.
3.借助正態(tài)分布中的“3σ原則”計算正態(tài)分布X~N(μ,σ2)在某一區(qū)間內(nèi)取值的概率.
基礎(chǔ)落實·必備知識一遍過
知識點1　正態(tài)分布的概念及特點
1.概念 　　　　 　 與之前學(xué)過的離散型隨機變量區(qū)分
由誤差引起的連續(xù)型隨機變量其分布密度函數(shù)圖象如圖所示,對應(yīng)的分布
密度函數(shù)解析式為φμ, ,x∈(-∞,+∞),其中實數(shù)μ,σ(σ>0)為
參數(shù),這一類隨機變量X的分布密度(函數(shù))稱為正態(tài)分布密度(函數(shù)),簡稱　　　　　　　　,對應(yīng)的圖象為正態(tài)分布密度曲線,簡稱　　　　　　.
正態(tài)分布
正態(tài)曲線
正態(tài)分布是最常見、最重要的連續(xù)型隨機變量的分布,是刻畫誤差分布的重要模型,因此也稱為　　　　　　　　.
如果隨機變量X服從正態(tài)分布,記為　　　　　　　　　,其中EX=　　　,DX=　　　.
誤差模型
X~N(μ,σ2)　
μ
σ2
2.特點
如果一個隨機變量X服從正態(tài)分布,那么對于任何實數(shù)a,b(a思考辨析
1.正態(tài)分布函數(shù)中的μ,σ的含義是什么
2.頻率分布直方圖隨著組距的增多其形狀會越來越像一條鐘形曲線,那么這條曲線是否存在函數(shù)解析式呢
提示 若X~N(μ,σ2),則EX=μ,DX=σ2,其中μ反映隨機變量取值的平均水平,σ衡量隨機變量總體波動大小.
提示 存在.
自主診斷
1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)
(1)正態(tài)分布是對連續(xù)型隨機變量而言的.(　　)
(2)正態(tài)分布密度函數(shù)中的參數(shù)μ和σ的意義分別是樣本的均值和方差.
(　　)
√
×
2.[人教A版教材習(xí)題]舉出兩個服從正態(tài)分布的隨機變量的例子.
解 答案不唯一.
(1)某地區(qū)16歲男孩的身高分布可以近似看成服從正態(tài)分布;
(2)某年某地區(qū)考生的高考成績的分布近似看成服從正態(tài)分布.
知識點2　正態(tài)曲線的性質(zhì)
正態(tài)曲線有如下性質(zhì):
(1)曲線在x軸的上方,與x軸不相交.
(2)曲線是單峰的,關(guān)于直線x=μ對稱.
(3)曲線的最高點位于x=μ處.
(4)當(dāng)x<μ時,曲線上升;當(dāng)x>μ時,曲線下降;并且當(dāng)曲線向左、右兩邊無限延伸時,以x軸為漸近線(如圖).
因為正態(tài)分布完全由μ和σ確定,所以正態(tài)曲線還具有下列特點:
(1)當(dāng)σ一定時,曲線的位置由μ確定,曲線隨著μ的變化而沿x軸平移.
(2)當(dāng)μ一定時,曲線的形狀由σ確定.σ越大,曲線越“矮胖”,表示總體的分布越分散;σ越小,曲線越“高瘦”,表示總體的分布越集中.
思考辨析
[人教A版教材習(xí)題]設(shè)隨機變量X~N(0,22),隨機變量Y~N(0,32),畫出正態(tài)分布密度曲線草圖,你能指出P(X≤-2)與P(X≤2)的關(guān)系,以及P(|X|≤1)與P(|Y|≤1)之間的大小關(guān)系嗎
提示
正態(tài)分布密度曲線草圖如圖所示.
∵X~N(0,22),
∴P(X≤-2)=P(X≥2),
∴P(X≤2)=1-P(X≥2)=1-P(X≤-2),
∴P(X≤-2)+P(X≤2)=1.
由圖易知P(|X|>1)1),且P(|X|≤1)=1-P(|X|>1),P(|Y|≤1)=1-P(|Y|>1),故1-P(|X|>1)>1-P(|Y|>1),即P(|X|≤1)>P(|Y|≤1).
自主診斷
1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)
(1)正態(tài)曲線是一條鐘形曲線.(　　)
(2)正態(tài)曲線是單峰的,其與x軸圍成的面積是隨參數(shù)μ,σ的變化而變化的.
(　　)
(3)正態(tài)曲線可以關(guān)于y軸對稱.(　　)
√
×
√
D
知識點3　正態(tài)分布的隨機變量在三個特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值及3σ原則
1.三個常用概率值
如圖,正態(tài)分布隨機變量X在區(qū)間(μ-σ,μ+σ](σ>0)上取值的概率為陰影部分的面積.特別地,P(μ-σP(μ-3σ0.682 6
0.954 4
0.997 4
2.3σ原則
隨機變量X在區(qū)間(μ-3σ,μ+3σ]外取值的概率只有0.3%,通常認為這種情況在一次試驗中幾乎是不可能發(fā)生的,認為是小概率事件.因此,在實際應(yīng)用中,通常認為服從正態(tài)分布N(μ,σ2)的隨機變量X只取區(qū)間(μ-3σ,μ+3σ]之間的值,并稱之為3σ原則.
名師點睛
對小概率事件的正確理解
(1)小概率事件是針對“一次試驗”來說的,如果試驗次數(shù)多了,該事件當(dāng)然是很有可能發(fā)生的;
(2)當(dāng)我們運用“小概率事件幾乎不可能發(fā)生”的原理進行推斷時,也有0.3%犯錯的可能.
思考辨析
如圖,若服從正態(tài)分布的隨機變量X在區(qū)間(μ+σ,+∞)內(nèi)的概率為0.1,則在區(qū)間(μ-σ,μ+σ](σ>0)上的概率是多少
提示 0.8.
自主診斷
1.(多選題)已知在某市的一次學(xué)情檢測中,學(xué)生的數(shù)學(xué)成績X服從正態(tài)分布N(105,100),其中90分為及格線,120分為優(yōu)秀線,下列說法正確的是(　　)(若隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(μ,σ2),則P(μ-σ<ξ≤μ+σ)≈0.682 6,P(μ-2σ<ξ≤μ+2σ)≈0.954 4,P(μ-3σ<ξ≤μ+3σ)≈0.997 4)
A.該市學(xué)生數(shù)學(xué)成績的期望為105
B.該市學(xué)生數(shù)學(xué)成績的標準差為100
C.該市學(xué)生數(shù)學(xué)成績及格率超過0.99
D.該市學(xué)生數(shù)學(xué)成績不及格的人數(shù)和優(yōu)秀的人數(shù)大致相等
AD
2.[人教A版教材習(xí)題]某市高二年級男生的身高X(單位:cm)近似服從正態(tài)分布N(170,52),隨機選擇一名本市高二年級的男生,求下列事件的概率:
(1)165175.
解 ∵X~N(170,52),∴μ=170,σ=5.
∴(1)P(165(3)P(X>175)=P(X≤165)≈0.158 7.
3.[人教A版教材習(xí)題]袋裝食鹽標準質(zhì)量為400 g,規(guī)定誤差的絕對值不超過4 g就認為合格.假設(shè)誤差服從正態(tài)分布,隨機抽取100袋食鹽,誤差的樣本均值為0,樣本方差為4.請你估計這批袋裝食鹽的合格率.
解 設(shè)誤差為X,由題意得X~N(0,4),
∴μ=0,σ=2,∴P(-4≤X≤4)≈0.954 4.
因此估計這批袋裝食鹽的合格率為95.44% .
重難探究·能力素養(yǎng)速提升
探究點一　　正態(tài)分布的概念及正態(tài)曲線的性質(zhì)
A.-2 B.0 C.1 D.2
D
★(2)如圖所示是一個正態(tài)曲線,試根據(jù)該圖象寫出其正態(tài)分布的密度函數(shù)的解析式,求出隨機變量的期望和方差.
規(guī)律方法　利用正態(tài)曲線的性質(zhì)可以求參數(shù)μ,σ,具體方法如下:
(1)正態(tài)曲線是單峰的,它關(guān)于直線x=μ對稱,由此性質(zhì)結(jié)合圖象求μ.
(2)正態(tài)曲線在x=μ處達到峰值 ,由此性質(zhì)結(jié)合圖象可求σ.
變式訓(xùn)練1(1)下列函數(shù)是正態(tài)分布密度函數(shù)的是(　　)
B
A.σ1>σ2>σ3
B.σ3>σ2>σ1
C.σ1>σ3>σ2
D.σ2>σ1>σ3
A
解析 由σ的意義可知,圖象越“高瘦”,數(shù)據(jù)越集中,σ2越小,故有σ1>σ2>σ3.
探究點二　　服從正態(tài)分布的變量的概率問題
【例2】 (1)已知隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(2,σ2),且P(ξ<4)=0.8,則P(0<ξ≤2)=(　　)
A.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.2
C
解析 ∵隨機變量X服從正態(tài)分布N(2,σ2),
∴μ=2,圖象的對稱軸是直線x=2.∵P(ξ<4)=0.8,
∴P(ξ≥4)=P(ξ≤0)=0.2,
∴P(0<ξ≤4)=0.6,∴P(0<ξ≤2)=0.3.故選C.
★(2)在某項測量中,測量結(jié)果服從正態(tài)分布N(1,4),求正態(tài)總體X在(-1,1]上取值的概率.
解 由題意得μ=1,σ=2,
所以P(-1又因為正態(tài)曲線關(guān)于x=1對稱,所以P(-1= P(-1規(guī)律方法　利用正態(tài)分布求概率的兩個方法
變式訓(xùn)練2(1)若隨機變量ξ~N(10,σ2),P(9<ξ≤11)=0.4,則P(ξ>11)=　　　　.
0.3
解析 由P(9<ξ≤11)=0.4且正態(tài)曲線以ξ=10為對稱軸知,P(9<ξ≤11)=2P(10<ξ≤11)=0.4,
∴P(10<ξ≤11)=0.2.∵P(ξ≥10)=0.5,∴P(ξ>11)=0.5-0.2=0.3.
★(2)設(shè)隨機變量X~N(2,9),若P(X>c+1)=P(X①求c的值;
②求P(-4解 ①由X~N(2,9)可知,正態(tài)分布密度函數(shù)圖象關(guān)于直線x=2對稱(如圖所示),又P(X>c+1)=P(X故有2-(c-1)=(c+1)-2,所以c=2.
②P(-4探究點三　　正態(tài)分布的實際應(yīng)用
【例3】 在某次大型考試中,某班同學(xué)的成績服從正態(tài)分布N(80,52),已知該班同學(xué)中成績在80~85分的有17人,該班成績在90分以上的同學(xué)有多少人
解 ∵成績服從正態(tài)分布N(80,52),
∴μ=80,σ=5,則μ-σ=75,μ+σ=85.
∴成績在(75,85]上的同學(xué)占全班同學(xué)的68.26%,成績在[80,85]上的同學(xué)占全班同學(xué)的34.13%.
設(shè)該班有x名同學(xué),則x·34.13%=17,解得x≈50.
∵μ-2σ=80-10=70,μ+2σ=80+10=90,
∴成績在(70,90]上的同學(xué)占全班同學(xué)的95.44%,成績在90分以上的同學(xué)占全班同學(xué)的2.28%.
即有50×2.28%≈1(人),即成績在90分以上的僅有1人.
規(guī)律方法　1.本題利用轉(zhuǎn)化的思想方法,把普通的區(qū)間轉(zhuǎn)化為3σ區(qū)間,由特殊區(qū)間的概率值求出.
2.解答正態(tài)分布的實際應(yīng)用題,其關(guān)鍵是如何轉(zhuǎn)化,同時應(yīng)熟練掌握正態(tài)分布在(μ-σ,μ+σ],(μ-2σ,μ+2σ],(μ-3σ,μ+3σ]三個區(qū)間內(nèi)的概率.在此過程中用到歸納思想和數(shù)形結(jié)合思想.
變式訓(xùn)練3某地高三學(xué)生有15 000名,在一次調(diào)研測試中,數(shù)學(xué)成績ξ服從正態(tài)分布N(100,σ2),已知P(80<ξ<120)=0.70,若以按成績分層隨機抽樣的方式取100份試卷進行分析,則應(yīng)從120分以上的試卷中抽取　　　份.
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解析 根據(jù)正態(tài)分布N(100,σ2),μ=100,P(80<ξ<120)=0.7,所以
根據(jù)分層隨機抽樣,可得120分以上抽取份數(shù)為100×0.15=15.
學(xué)以致用·隨堂檢測促達標
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A 級 必備知識基礎(chǔ)練
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1.[探究點一]如圖所示是當(dāng)σ取三個不同值σ1,σ2,σ3的三種正態(tài)曲線N(0,σ2)的圖象,那么σ1,σ2,σ3的大小關(guān)系是(　　)
A.σ1>1>σ2>σ3>0
B.0<σ1<σ2<1<σ3
C.σ1>σ2>1>σ3>0
D.0<σ1<σ2=1<σ3
D
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2. [探究點二]在某次高三聯(lián)考數(shù)學(xué)測試中,學(xué)生成績ξ服從正態(tài)分布N(100,σ2)(σ>0),若ξ在(85,115]內(nèi)的概率為0.75,則任意選取一名學(xué)生,該學(xué)生成績高于115的概率為(　　)
A.0.25 B.0.1 C.0.125 D.0.5
C
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3. [探究點三](多選題) 已知甲、乙兩個品種的陽山水蜜桃的質(zhì)量(單位:斤)分別服從正態(tài)分布 ,其正態(tài)分布的密度曲線如圖所示,則下列說法正確的是(　　)
A.乙品種水蜜桃的平均質(zhì)量μ2=0.8
B.甲品種水蜜桃的質(zhì)量比乙類水果的質(zhì)量更集中于平均值左右
C.甲品種水蜜桃的平均質(zhì)量比乙類水果的平均質(zhì)量小
D.乙品種水蜜桃的質(zhì)量服從的正態(tài)分布的參數(shù)σ2=1.99
ABC
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4.[探究點二·2024重慶渝中月考]若隨機變量X~N(10,22),則下列選項錯誤的是(　　)
A.P(X≥10)=0.5
B.P(X≤8)+P(X≤12)=1
C.P(8≤X≤12)=2P(8≤X≤10)
D.D(2X+1)=8
D
解析 根據(jù)隨機變量X~N(10,22)可知正態(tài)分布曲線的對稱軸為X=10,均值為10,方差為4,所以P(X≥10)=0.5,故A正確;P(X≤8)+P(X≤12)= P(X≥12)+P(X≤12)=1,故B正確;P(8≤X≤12)=2P(8≤X≤10),C正確; D(2X+1)=4DX=16,故D錯誤.
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5. [探究點三](多選題) 近年來中國進入一個鮮花消費的增長期,某農(nóng)戶貸款承包了一個新型溫室鮮花大棚,種植銷售紅玫瑰和白玫瑰.若這個大棚的紅玫瑰和白玫瑰的日銷量分別服從正態(tài)分布N(μ,302)和N(280,402),則下列選項正確的是(　　)
附:若隨機變量X服從正態(tài)分布N(μ,σ2),則P(μ-σA.若紅玫瑰日銷售量范圍在(μ-30,280]的概率是0.682 6,則紅玫瑰日銷售量的均值約為250
B.紅玫瑰日銷售量比白玫瑰日銷售量更集中
C.白玫瑰日銷售量比紅玫瑰日銷售量更集中
D.白玫瑰日銷售量范圍在(280,320]的概率約為0.341 3
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解析 μ+30=280,μ=250,A正確;
因為σ越小總體分布越集中,且30小于40,B正確,C不正確;
P(2801
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6.[探究點二]設(shè)隨機變量X~N(3,1),若P(X>4)=p,則P(21-2p
解析 由X~N(3,1),得μ=3,所以P(3即P(21
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7. [探究點三]一年時間里,某校高一學(xué)生經(jīng)常利用課余時間參加社區(qū)志愿者公益活動,據(jù)統(tǒng)計,他們參加社區(qū)志愿者公益活動時長X(單位:時)近似服從正態(tài)分布N(50,σ2),且P(301 500
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8.[探究點三]某工廠包裝白糖的生產(chǎn)線,正常情況下包裝出來的白糖質(zhì)量服從正態(tài)分布N(500,52)(單位:g).
(1)求正常情況下,任意抽取一包白糖,質(zhì)量小于485 g的概率約為多少
(2)該生產(chǎn)線上的檢測員某天隨機抽取了兩包白糖,稱得其質(zhì)量均小于485 g,檢測員根據(jù)抽檢結(jié)果,判斷出該生產(chǎn)線出現(xiàn)異常,要求立即停產(chǎn)檢修,檢測員的判斷是否合理 請說明理由.
附:X~N(μ,σ2),則P(μ-σ1
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解 (1)設(shè)正常情況下,該生產(chǎn)線上包裝出來的白糖質(zhì)量為X g,由題意可知X~N(500,52).由于485=500-3×5,所以根據(jù)正態(tài)分布的對稱性與“3σ原則”可知P(X<485)= [1-P(500-3×5(2)檢測員的判斷是合理的.
因為如果生產(chǎn)線不出現(xiàn)異常的話,由(1)可知,隨機抽取兩包檢查,質(zhì)量都小于485 g的概率約為0.001 3×0.001 3=0.000 001 69=1.69×10-6,幾乎為零,但這樣的事件竟然發(fā)生了,所以有理由認為生產(chǎn)線出現(xiàn)異常,檢測員的判斷是合理的.
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9.已知隨機變量X~N(6,1),且P(5B
B 級 關(guān)鍵能力提升練
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10.某中學(xué)有2 000人參加2023年的市模擬考試,其中數(shù)學(xué)考試成績近似服從正態(tài)分布N(105,σ2)(σ>0),試卷滿分150分,統(tǒng)計結(jié)果顯示數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀(高于120分)的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的 ,則此次數(shù)學(xué)考試成績在105分到120分(含105分和120分)之間的人數(shù)約為(　　)
A.300 B.400
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11.[2024廣東佛山月考]某企業(yè)瓷磚生產(chǎn)線上生產(chǎn)的瓷磚某項指標X~N(800,σ2),且P(X<801)=0.6,現(xiàn)從該生產(chǎn)線上隨機抽取10片瓷磚,記Y表示800≤X<801的瓷磚片數(shù),則EY=　　　　　.
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解析 由題意,X~N(800,σ2),所以正態(tài)曲線關(guān)于直線X=800對稱,所以P(X<800)=0.5,因為P(X<801)=P(X<800)+P(800≤X<801)=0.6,所以P(800≤X<801)=0.6-0.5=0.1,由題意,Y~B(10,0.1),所以EY=10×0.1=1.
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12.為了解高三復(fù)習(xí)備考情況,某校組織了一次階段考試.若高三全體考生的數(shù)學(xué)成績近似服從正態(tài)分布N(100,17.52).已知成績在117.5分以上(不含117.5分)的學(xué)生有80人,則此次參加考試的學(xué)生成績低于或等于82.5分的概率為　　　　　;如果成績大于135分的為特別優(yōu)秀,那么本次參加考試的學(xué)生成績特別優(yōu)秀的概率為　　　　　.(若X~N(μ,σ2),則P(μ-σ0.158 7
0.022 8　
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13.某公司生產(chǎn)某種產(chǎn)品,一條流水線年產(chǎn)量為10 000件,該生產(chǎn)線分為兩段,流水線第一段生產(chǎn)的半成品的質(zhì)量指標會影響第二段生產(chǎn)成品的等級,具體見下表:
第一段生產(chǎn)的半成品質(zhì)量指標x x≤74或x>86 74第二段生產(chǎn)的成品為一等品概率 0.2 0.4 0.6
第二段生產(chǎn)的成品為二等品概率 0.3 0.3 0.3
第二段生產(chǎn)的成品為三等品概率 0.5 0.3 0.1
從第一段生產(chǎn)的半成品中抽樣調(diào)查了100件,得到頻率分布直方圖如圖:
若生產(chǎn)一件一等品、二等品、三等品的利潤分別是100元、60元、-100元.
(1)以各組的中間值估計為該組半成品的質(zhì)量指標,估算流水線第一段生產(chǎn)的半成品質(zhì)量指標的平均值;
(2)將頻率估計為概率,試估算一條流水線一年能為該公司創(chuàng)造的利潤;
(3)現(xiàn)在市面上有一種設(shè)備可以安裝到流水線第一段,價格是20萬元,使用壽命是1年,安裝這種設(shè)備后,流水線第一段半成品的質(zhì)量指標服從正態(tài)分布N(80,22),且不影響產(chǎn)量.請你幫該公司做出決策,決定是否要購買該設(shè)備.說明理由.
(參考數(shù)據(jù):P(μ-σP(μ-3σ1
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解 (1)平均值為72×0.1+76×0.25+80×0.3+84×0.2+88×0.15=80.2.
(2)由頻率分布直方圖知,第一段生產(chǎn)的半成品質(zhì)量指標
P(X≤74或X>86)=0.25,
P(74設(shè)生產(chǎn)一件產(chǎn)品的利潤為X元,則
P(X=100)=0.2×0.25+0.4×0.45+0.6×0.3=0.41,
P(X=60)=0.3×0.25+0.3×0.45+0.3×0.3=0.3,
P(X=-100)=0.5×0.25+0.3×0.45+0.1×0.3=0.29,
所以生產(chǎn)一件成品的平均利潤是100×0.41+60×0.3-100×0.29=30(元),
所以一條流水線一年能為該公司帶來利潤的估計值是30萬元.
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(3)需購買該設(shè)備.
因為μ-3σ=74,μ-σ=78,μ+σ=82,μ+3σ=86,設(shè)引入該設(shè)備后生產(chǎn)一件成品利潤為Y元,
則P(Y=100)=0.002 6×0.2+0.314 8×0.4+0.682 6×0.6=0.536,
P(Y=60)=0.002 6×0.3+0.314 8×0.3+0.682 6×0.3=0.3,
P(Y=-100)=0.002 6×0.5+0.314 8×0.3+0.682 6×0.1=0.164,
所以引入該設(shè)備后生產(chǎn)一件成品平均利潤為100×0.536+60×0.3-100×0.164=55.2(元),
所以引入該設(shè)備后一條流水線一年能為該公司帶來利潤的估計值是55.2萬元,增加收入55.2-30-20=5.2(萬元),
綜上,應(yīng)該購買該設(shè)備.
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C 級 學(xué)科素養(yǎng)創(chuàng)新練
14.某高校為了解全校學(xué)生的閱讀情況,隨機調(diào)查了200名學(xué)生每周閱讀時間X(單位:小時)并繪制如圖所示的頻率分布直方圖.
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解 (1)
=6×0.03+7×0.1+8×0.2+9×0.35+10×0.19+11×0.09+12×0.04=9,
s2=(6-9)2×0.03+(7-9)2×0.1+(8-9)2×0.2+(9-9)2×0.35+(10-9)2×0.19+(11-9)2×0.09+(12-9)2×0.04=1.78.
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②由①知P(X>10)=1-P(X≤10)=0.226 6,
可得Z~B(20,0.226 6),
P(Z≥2)=1-P(Z=0)-P(Z=1)
=1-(0.773 4+20×0.226 6)×0.773 419
≈0.959 7.
∴Z的數(shù)學(xué)期望EZ=20×0.226 6=4.532.
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15.某市教育局為了了解高三學(xué)生的體育達標情況,對全市高三學(xué)生進行了體能測試(滿分為100分),經(jīng)分析,全市學(xué)生體能測試成績X服從正態(tài)分布N(80,σ2),已知P(X<75)=0.3,P(X>95)=0.1,現(xiàn)從該市高三學(xué)生中隨機抽取三位同學(xué).
(1)求抽到的三位同學(xué)該次體能測試成績在區(qū)間(80,85),(85,95),(95,100)內(nèi)各有一位同學(xué)的概率;
(2)記抽到的三位同學(xué)該次體能測試成績在區(qū)間[75,85)內(nèi)的人數(shù)為ξ,求隨機變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望Eξ.
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解 (1)P(80P(85故所求概率P= 0.2×0.2×0.1=0.024.
ξ 0 1 2 3
P 0.216 0.432 0.288 0.064
Eξ=3×0.4=1.2.

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