資源簡介

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北師大版 數學 選擇性必修第一冊
課標定位
素養闡釋 1.結合實例,了解樣本相關系數的統計含義.
2.了解樣本相關系數與標準化數據向量夾角的關系.
3.結合實例,會通過樣本相關系數比較多組成對數據的相關性.
4.通過標準化數據向量的夾角余弦值推導樣本相關系數公式,體現數學抽象素養.
5.通過計算多組成對數據的樣本相關系數,加強數學運算素養.
自主預習 新知導學
相關系數
【問題思考】
1.給定兩個隨機變量(X,Y)的6組成對數據:(-2,4),(-1,1),(0,0),(1,1),(2,4),(3,9).
(1)請利用最小二乘法,求Y關于X的線性回歸方程.
(2)請畫出散點圖,判斷隨機變量X和Y是否具有線性關系.
提示:如答圖7-2-1.從散點圖發現,X和Y不具有線性關系.
答圖7-2-1
(3)有的散點圖的各點并不集中在一條直線的附近,但按照求線性回歸方程的步驟仍然求得回歸直線,那么這樣的回歸直線有沒有實際意義呢 在怎樣的情況下求得的線性回歸方程才有實際意義呢
提示:沒有,需要對X,Y的線性相關性進行檢驗,在具有線性相關的前提下求得的線性回歸方程才有實際意義.
(3)樣本(線性)相關系數r的性質:
①r的取值范圍: [-1,1] .
②|r|值越接近 1 ,隨機變量之間的線性相關程度越強;|r|值越接近 0 ,隨機變量之間的線性相關程度越弱.
③當r>0時,兩個隨機變量的值總體上變化趨勢 相同 ,此時稱兩個隨機變量正相關;
當r<0時,兩個隨機變量的值總體上變化趨勢 相反 ,此時稱兩個隨機變量 負相關;
當r=0時,此時稱兩個隨機變量 線性不相關 .
答案:0
【思考辨析】
判斷下列說法是否正確,正確的在它后面的括號里畫“√”,錯誤的畫“×”.
(1)通過散點圖一定可以看出兩個變量之間的線性相關性強弱.(　　)
(2)通過散點圖可以看出正相關與負相關有明顯的區別.(　　)
(3)兩個隨機變量之間的線性相關程度越強,樣本相關系數r越接近1.(　　)
(4)在散點圖中,若點散布在從左下角到右上角的區域,則這兩個隨機變量正相關.(　　)
(5)樣本相關系數r可以定量地反映出變量間的線性相關程度,明確地給出有無必要建立兩變量間的線性回歸方程.(　　)
×
√
×
√
√
合作探究 釋疑解惑
探究一
判斷兩變量間的相關性
【例1】為了研究鋼鐵碳含量與電阻的關系,隨機抽取了7組數據,如表7-2-1:
(1)畫出散點圖,判斷碳含量與電阻之間的相關性;
碳含量/% 0.10 0.30 0.40 0.55 0.70 0.80 0.95
20℃時電阻/μΩ 15 18 19 21 22.6 23.8 26
表7-2-1
分析:(1)以x軸表示碳含量,y軸表示電阻,作出散點圖直觀判斷.(2)利用公式計算樣本相關系數r,用|r|與0或1比較,進而作出判斷.
解:(1)畫出散點圖如答圖7-2-2.
由散點圖可以看出,這些點大致分布在一條直線的附近,具有很強的正相 關性.
答圖7-2-2
(2)列表如下:
1.判斷兩個變量之間的線性關系的方法:一是用散點圖直觀觀察,二是計算樣本相關系數r,|r|值越接近1,隨機變量之間的線性相關程度越強.準確的判斷方法是先用散點圖定性分析,再用樣本相關系數r進行定量研究.
2.利用樣本相關系數r判斷相關關系,需要應用公式計算出r的值,由于數據較大,需要借助計算器,計算應該特別細心,不能出現計算錯誤.
【變式訓練1】 表7-2-2是隨機抽取的8對母女的身高數據,試根據這些數據探討Y與X之間的關系.
表7-2-2
母親身高X/cm 154 157 158 159 160 161 162 163
女兒身高Y/cm 155 156 159 162 161 164 165 166
解:以x軸表示母親身高,y軸表示女兒身高,可得相應的散點圖,如答圖7-2-3.由散點圖可知,母親身高和女兒身高之間有很強的正相關性.
答圖7-2-3
下面計算樣本相關系數r,列表如下:
探究二
利用樣本相關系數進行線性回歸分析
【例2】 已知某地每單位面積菜地年平均施用氮肥量X(單位:kg)與每單位面積蔬菜年平均產量Y(單位:t)的數據如表7-2-3:
(1)求X與Y之間的樣本相關系數,并檢驗是否線性相關;
(2)若線性相關,求蔬菜產量Y與施用氮肥量X之間的線性回歸方程,并估計每單位面積菜地年平均施氮肥150 kg時,每單位面積蔬菜的年平均產量.
表7-2-3
年份 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015
X/kg 70 74 80 78 85 92 90 95
Y/t 5.1 6.0 6.8 7.8 9.0 10.2 10.0 12.0
年份 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 —
X/kg 92 108 115 123 130 138 145 —
Y/t 11.5 11.0 11.8 12.2 12.5 12.8 13.0 —
解:(1)列出下表,并用科學計算器進行相關計算:
所以線性回歸方程為Y=0.646 3+0.093 7X.所以當每單位面積菜地年平均施氮肥150 kg時,估計每單位面積蔬菜的年平均產量為
0.646 3+0.093 7×150≈14.701(t).
在研究兩個變量之間的關系時,應先進行相關性檢驗,若具備線性相關關系,則再求線性回歸方程.若本身兩個變量不具備線性相關關系,則即使求出線性回歸方程也是毫無意義的,而且用其估計和預測的量也是不可信的.
【變式訓練2】為了分析學生初中升學的數學成績對高一數學學習的影響,在高一年級隨機抽取10名學生,了解他們的入學數學成績和高一期末考試數學成績如表7-2-4: 表7-2-4
學生編號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
入學數學成績X 63 67 45 88 81 71 52 99 58 76
高一期末考試數學成績Y 65 78 52 82 92 89 73 98 56 75
(1)畫出散點圖;
(2)對變量X與Y進行相關性檢驗,如果X與Y之間具有線性相關關系,求出線性回歸方程;
(3)若某學生入學的數學成績為80分,試估計他在高一期末考試中的數學
成績.
解:(1)散點圖如答圖7-2-4.
答圖7-2-4
(3)若某學生入學的數學成績為80分,代入(2)中的方程可求得
Y=22.410 8+0.765 56×80≈84,即這名學生在高一期末考試中的數學成績的預測值為84分.
思想方法
數形結合思想在線性回歸分析中的應用
【典例】 某地10戶家庭的年收入和年飲食支出的統計資料如表7-2-5所示. 表7-2-3
年收入
X/萬元 2 4 4 6 6 6 7 7 8 10
年飲食支出Y/萬元 0.9 1.4 1.6 2.0 2.1 1.9 1.8 2.1 2.2 2.3
根據表中數據,判斷兩個變量是否線性相關,計算樣本相關系數,并刻畫它們的相關程度.
分析:先畫出散點圖,觀察散點圖,可以看出樣本點都集中在一條直線的附近,由此可以判定家庭的年收入和年飲食支出線性相關.
解:作散點圖如圖7-2-1.
圖7-2-1
由散點圖可知家庭的年收入和年飲食支出之間存在近似的線性關系.
根據樣本相關系數的定義,
隨堂練習
1.(多選題)下面的各圖中,散點圖與樣本相關系數r符合的有(　　).
解析:對于A,散點圖上所有點都在一條斜率小于0的直線上,所以樣本相關系數r=-1,A正確;對于B,散點圖上所有點都在一條斜率大于0的直線上,所以樣本相關系數r=1,B錯誤;對于C,散點圖上所有點從左到右是向下的帶狀分布,所以樣本相關系數-1答案:ACD
答案:A
3.為考慮廣告費用X(單位:萬元)與銷售額Y(單位:萬元)之間的關系,抽取了5家餐廳,得到如下數據:
則X與Y之間的樣本相關系數為　　　　.(結果精確到0.000 1)
廣告費用X/萬元 1.0 4.0 6.0 10.0 14.0
銷售額Y/萬元 19.0 44.0 40.0 52.0 53.0
答案:0.858 8
4.某市2018~2022年居民家庭平均年收入X(單位:萬元)與平均年支出Y(單位:萬元)的統計資料如下表所示.
年份 2018 2019 2020 2021 2022
平均年收入X 11.5 12.1 13 13.3 15
平均年支出Y 6.8 8.8 9.8 10 12
根據統計資料,居民家庭平均年收入的中位數是　　　　　,家庭平均年收入與平均年支出的樣本相關系數r=　　　　　(結果精確到0.01).
解析:按照中位數的定義,將5個數據按從小到大的順序排列,則中間一個數是中位數,即中位數為13.
答案:13　0.97

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