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北師大版 數(shù)學(xué) 選擇性必修第一冊(cè)
課標(biāo)定位
素養(yǎng)闡釋 1.通過實(shí)例,理解2×2列聯(lián)表的統(tǒng)計(jì)意義.
2.通過實(shí)例,了解2×2列聯(lián)表獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想.
3.通過對(duì)典型案例的分析,了解χ2統(tǒng)計(jì)量在兩個(gè)變量的獨(dú)立性檢驗(yàn)中的應(yīng)用.
4.通過理解獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想,體現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).
5.通過計(jì)算χ2,加強(qiáng)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).
自主預(yù)習(xí) 新知導(dǎo)學(xué)
獨(dú)立性檢驗(yàn)
【問題思考】
1.怎樣判斷事件A與事件B相互獨(dú)立
提示:通過P(AB)=P(A)P(B)是否成立判斷.
2.(1)2×2列聯(lián)表:一張2行2列的表,在統(tǒng)計(jì)中稱為2×2列聯(lián)表.
(2)獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想:設(shè)A,B為兩個(gè)變量,每一個(gè)變量都可以取兩個(gè)值,變量A:A1,A2= ;變量B:B1,B2= .得到如表7-3-1的數(shù)據(jù):
A B 總計(jì)
B1 B2
A1 a b a+b
A2 c d c+d
總計(jì) a+c b+d n=a+b+c+d
表7-3-1
②當(dāng)χ2≤2.706時(shí),沒有充分的證據(jù)判斷變量A,B有關(guān)聯(lián),可以認(rèn)為變量A,B是沒有關(guān)聯(lián)的;
當(dāng)χ2>2.706時(shí),有90%的把握判斷變量A,B有關(guān)聯(lián);
當(dāng)χ2>3.841時(shí),有95%的把握判斷變量A,B有關(guān)聯(lián);
當(dāng)χ2>6.635時(shí),有99%的把握判斷變量A,B有關(guān)聯(lián).
3.(1)表7-3-2是一個(gè)2×2列聯(lián)表:
則表中a,b處的值分別為　 .
x y 總計(jì)
y1 y2
x1 a 21 73
x2 8 25 33
總計(jì) b 46
表7-3-2
(2)根據(jù)表7-3-3計(jì)算(單位:人):
χ2≈　　　　　.(結(jié)果精確到0.001)
性別 看電視情況
不看電視 看電視
男 37 85
女 35 143
解析:(1)∵a+21=73,∴a=52,b=a+8=52+8=60.
答案:(1)52　60　　(2)4.514
表7-3-2
【思考辨析】
判斷下列說法是否正確,正確的在它后面的括號(hào)里畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”.
(1)在獨(dú)立性檢驗(yàn)中,χ2越大,則兩個(gè)變量有關(guān)系的可能性越大.(　　)
(2)2×2列聯(lián)表是借助兩個(gè)變量之間頻率大小差異說明兩個(gè)變量之間是否有關(guān)聯(lián).(　　)
(3)應(yīng)用獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想對(duì)兩個(gè)變量間的關(guān)系作出的推斷一定是正確的.(　　)
√
√
×
合作探究 釋疑解惑
探究一
用2×2列聯(lián)表分析兩變量間的關(guān)系
【例1】 在對(duì)人們飲食習(xí)慣的一次調(diào)查中,共調(diào)查了124人,其中六十歲及以上的有70人,六十歲以下的有54人.六十歲及以上的人中有43人的飲食以蔬菜為主,另外27人則以肉類為主;六十歲以下的人中有21人的飲食以蔬菜為主,另外33人則以肉類為主.請(qǐng)根據(jù)以上數(shù)據(jù)作出飲食習(xí)慣與年齡的列聯(lián)表,并利用
分析:利用相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式判斷.
解:2×2列聯(lián)表如下:
飲食情況 年齡 總計(jì)
年齡在六十歲以上B1 年齡在六十歲以下B2
飲食以蔬菜為主A1 43 21 64
飲食以肉類為主A2 27 33 60
總計(jì) 70 54 124
顯然,29%≠35%,且這兩個(gè)數(shù)相差較大,據(jù)此可以得出,飲食習(xí)慣與年齡有關(guān)的可能性較大.
1.作2×2列聯(lián)表時(shí),關(guān)鍵是對(duì)涉及的變量分清類別.計(jì)算時(shí)要準(zhǔn)確無誤.
2.利用2×2列聯(lián)表分析兩變量間的關(guān)系時(shí),首先要根據(jù)題中數(shù)據(jù)獲得2×2列聯(lián)表,然后用頻率估計(jì)概率,利用相互獨(dú)立事件的概率公式進(jìn)行判斷,直觀地反映出兩個(gè)變量間是否相互影響.
【變式訓(xùn)練1】 為了了解鉛中毒病人與尿棕色素為陽性是否有關(guān)系,分別對(duì)病人組和對(duì)照組的尿液作尿棕色素定性檢查,結(jié)果如表7-3-4(單位:人):
表7-3-4
組別 尿棕色素 總計(jì)
陽性B1 陰性B2
鉛中毒病人組A1 29 7 36
對(duì)照組A2 9 28 37
總計(jì) 38 35 73
試根據(jù)上面的數(shù)據(jù)分析鉛中毒病人與尿棕色素為陽性是否有關(guān)系.
探究二
獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想
【例2】 某校高三年級(jí)在一次全年級(jí)的大型考試中,數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀和非優(yōu)秀的學(xué)生中,物理、化學(xué)、總分也為優(yōu)秀的人數(shù)如表7-3-5所示,試問:數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀分別與物理、化學(xué)、總分優(yōu)秀之間有關(guān)系嗎
注:該年級(jí)此次考試中數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的有360人,非優(yōu)秀的有880人.
表7-3-5
數(shù)學(xué)成績 物理成績優(yōu)秀 化學(xué)成績優(yōu)秀 總分優(yōu)秀
優(yōu)秀 228 225 267
非優(yōu)秀 143 156 99
解:(1)依題意知,該問題是判斷數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀是否與物理成績優(yōu)秀有關(guān)、是否與化學(xué)成績優(yōu)秀有關(guān)、是否與總分優(yōu)秀有關(guān).根據(jù)已知數(shù)據(jù)列出2×2列聯(lián)表如下:
∴b=360-228=132,d=880-143=737,b+d=132+737=869.
代入公式可得χ2≈270.114>6.635.
數(shù)學(xué)成績 物理成績 總計(jì)
優(yōu)秀 非優(yōu)秀
優(yōu)秀 228 b 360
非優(yōu)秀 143 d 880
總計(jì) 371 b+d 1 240
(2)按照上述方法列出數(shù)學(xué)與化學(xué)成績的2×2列聯(lián)表如下:
代入公式可得χ2≈240.611>6.635.
數(shù)學(xué)成績 化學(xué)成績 總計(jì)
優(yōu)秀 非優(yōu)秀
優(yōu)秀 225 135 360
非優(yōu)秀 156 724 880
總計(jì) 381 859 1 240
(3)列出數(shù)學(xué)與總成績的2×2列聯(lián)表如下:
代入公式可得χ2≈486.123>6.635.
因此有99%的把握判斷數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀分別與物理、化學(xué)、總分優(yōu)秀有關(guān).
數(shù)學(xué)成績 總成績 總計(jì)
優(yōu)秀 非優(yōu)秀
優(yōu)秀 267 93 360
非優(yōu)秀 99 781 880
總計(jì) 366 874 1 240
解獨(dú)立性檢驗(yàn)問題的基本步驟:
(1)認(rèn)真讀題,根據(jù)相關(guān)數(shù)據(jù),得出2×2列聯(lián)表;
(2)根據(jù)2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù),計(jì)算χ2;
(3)將χ2的值與2.706,3.841,6.635進(jìn)行比較;
(4)給出結(jié)論.
【變式訓(xùn)練2】 在一次天氣惡劣的飛行航程中,調(diào)查了男女乘客在飛機(jī)上暈機(jī)的情況:男乘客暈機(jī)的有24人,不暈機(jī)的有31人;女乘客暈機(jī)的有8人,不暈機(jī)的有26人.試問:在天氣惡劣的飛行航程中,暈機(jī)是否與性別有關(guān)
解:根據(jù)題意,列出2×2列聯(lián)表如下:
乘客性別 是否暈機(jī) 總計(jì)
暈機(jī) 不暈機(jī)
男 24 31 55
女 8 26 34
總計(jì) 32 57 89
探究三
獨(dú)立性檢驗(yàn)的綜合應(yīng)用
【例3】 為了調(diào)查某市學(xué)生百米運(yùn)動(dòng)成績,從該市學(xué)生中按照男、女生人數(shù)比隨機(jī)抽取50名學(xué)生進(jìn)行百米測試,學(xué)生成績(均為整數(shù))全部都介于13秒到18秒之間,將測試結(jié)果按如下方式分成五組,第一組[13,14),第二組[14,15),……第五組[17,18],按上述分組方法得到的頻率分布直方圖如圖7-3-1.
圖7-3-1
(1)設(shè)m,n表示樣本中2名學(xué)生的百米測試成績,已知m,n∈[13,14)∪[17,18],求事件“|m-n|>2”的概率;
(2)根據(jù)有關(guān)規(guī)定,成績小于16秒為達(dá)標(biāo).若男、女生使用相同的達(dá)標(biāo)標(biāo)準(zhǔn),則男、女生達(dá)標(biāo)情況如表7-3-6:
是否達(dá)標(biāo) 性別 總計(jì)
男 女
達(dá)標(biāo) 24 6 30
不達(dá)標(biāo) 8 12 20
總計(jì) 32 18 50
試問:成績達(dá)標(biāo)與性別有關(guān)嗎
表7-3-6
分析:識(shí)別頻率分布直方圖 計(jì)算χ2 作出判斷.
1.在判斷兩個(gè)變量關(guān)系的可靠性時(shí)一般利用統(tǒng)計(jì)量χ2,把計(jì)算出的χ2的值與2.706,3.841,6.635三個(gè)值作比較,確定出有多大把握判斷兩個(gè)變量有關(guān).
2.當(dāng)χ2≤2.706時(shí),認(rèn)為變量A,B是沒有關(guān)聯(lián)的;當(dāng)χ2>2.706時(shí),有90%的把握判斷變量A,B有關(guān)聯(lián);當(dāng)χ2>3.841時(shí),有95%的把握判斷變量A,B有關(guān)聯(lián);當(dāng)χ2>6.635時(shí),有99%的把握判斷變量A,B有關(guān)聯(lián).
【變式訓(xùn)練3】 隨著生活水平的提高,人們的休閑方式也發(fā)生了變化.某機(jī)構(gòu)隨機(jī)調(diào)查了n個(gè)人,其中男性占調(diào)查人數(shù)的 .已知男性中有一半的人的休閑方式是運(yùn)動(dòng),而女性中只有 的人的休閑方式是運(yùn)動(dòng).
(1)完成如表7-3-7所示的2×2列聯(lián)表:
表7-3-7
(2)若有95%的把握判斷性別與休閑方式有關(guān),則本次被調(diào)查的人數(shù)至少有多少
性別 運(yùn)動(dòng)情況 總計(jì)
運(yùn)動(dòng) 非運(yùn)動(dòng)
男
女
總計(jì) n
解:(1)補(bǔ)全2×2列聯(lián)表如下:
易錯(cuò)辨析
記錯(cuò)2×2列聯(lián)表中字母的位置致誤
【典例】 有甲、乙兩個(gè)班級(jí)進(jìn)行一門考試,按照學(xué)生考試成績優(yōu)秀和不優(yōu)秀統(tǒng)計(jì)后,得到如表7-3-8所示的列聯(lián)表(單位:人):
表7-3-8
班級(jí) 考試成績 總計(jì)
優(yōu)秀 不優(yōu)秀
甲班 10 35 45
乙班 7 38 45
總計(jì) 17 73 90
試問能有多大把握認(rèn)為“成績與班級(jí)有關(guān)”
以上解答過程中都有哪些錯(cuò)誤 出錯(cuò)的原因是什么 你如何改正 你如何
防范
提示:由于對(duì)2×2列聯(lián)表中a,b,c,d的位置不清楚,在代入公式時(shí)代錯(cuò)了數(shù)值導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果錯(cuò)誤.
1.記準(zhǔn)2×2列聯(lián)表中a,b,c,d的位置,以及χ2的計(jì)算公式
2.平時(shí)學(xué)習(xí)時(shí)一定要對(duì)每一個(gè)公式中的字母理解透徹.
【變式訓(xùn)練】 某大學(xué)餐飲中心為了了解新生的飲食習(xí)慣,在全校大一年級(jí)學(xué)生中進(jìn)行了抽樣調(diào)查,調(diào)查結(jié)果如表7-3-9所示(單位:人):
表7-3-9
大一學(xué)生 是否喜歡甜品 總計(jì)
喜歡甜品 不喜歡甜品
來自南方 60 20 80
來自北方 10 10 20
總計(jì) 70 30 100
根據(jù)表中數(shù)據(jù),試問:南方學(xué)生和北方學(xué)生在選用甜品的飲食習(xí)慣方面有差異嗎
因?yàn)?.762>3.841,所以有95%的把握判斷南方學(xué)生和北方學(xué)生在選用甜品的飲食習(xí)慣方面有差異.
隨堂練習(xí)
1.在研究打鼾與患心臟病之間的關(guān)系時(shí),通過收集數(shù)據(jù)、整理分析數(shù)據(jù)得到“打鼾與患心臟病有關(guān)”的結(jié)論,并且有99%的把握認(rèn)為這個(gè)結(jié)論是成立的.下列說法正確的是(　　).
A.100個(gè)心臟病患者中至少有99人打鼾
B.1個(gè)人患心臟病,則這個(gè)人有99%的概率打鼾
C.100個(gè)心臟病患者中一定有打鼾的人
D.100個(gè)心臟病患者中可能一個(gè)打鼾的人都沒有
解析:這是獨(dú)立性檢驗(yàn),有99%的把握認(rèn)為“打鼾與患心臟病有關(guān)”.這只是一個(gè)概率,即打鼾與患心臟病有關(guān)的可能性為99%.根據(jù)概率的意義可知答案應(yīng)選D.
答案:D
2.假設(shè)有兩個(gè)分類變量X與Y,它們的可能取值分別為{x1,x2}和{y1,y2},其2×2列聯(lián)表如下:
X Y
y1 y2
x1 10 18
x2 m 26
則當(dāng)m取下面何值時(shí),X與Y的關(guān)系最弱 (　　)
A.8 B.9 C.14 D.19
解析:χ2越小,X與Y的關(guān)系越弱,由10×26=18m,解得m≈14.4,所以當(dāng)m=14時(shí),X與Y的關(guān)系最弱.
答案:C
答案:BD
4.下表是關(guān)于男嬰與女嬰出生時(shí)間調(diào)查的列聯(lián)表(單位:人):
性別 出生時(shí)間 總計(jì)
晚上 白天
男嬰 45 A B
女嬰 E 35 C
總計(jì) 98 D 180
那么,A=　　　　　,B=　　　　　　,C=　　　　　,D=　　　　　,
E=　　　　　.
答案:47　92　88　82　53
5.某組織對(duì)男、女青年是否喜歡看體育比賽進(jìn)行了一個(gè)調(diào)查,調(diào)查者隨機(jī)調(diào)查了110名青年,得到如下列聯(lián)表(單位:人):
性別 是否喜歡看體育比賽 總計(jì)
喜歡看 不喜歡看
女 10 30
男 70 80
總計(jì) 20 110
將表格填寫完整,試問:喜歡看體育比賽是否與青年的性別有關(guān)
解:將列聯(lián)表補(bǔ)充完整如下:
性別 是否喜歡看體育比賽 總計(jì)
喜歡看 不喜歡看
女 10 20 30
男 10 70 80
總計(jì) 20 90 110

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