資源簡介

(共46張PPT)
北師大版 數學 選擇性必修第一冊
課程標準 1.掌握空間向量基本定理.
2.會用空間向量基本定理解決有關問題.
基礎落實·必備知識一遍過
知識點　空間向量基本定理
空間向量基本定理:如果向量a,b,c是空間三個不共面的向量,p是空間任意一個向量,那么存在唯一的三元有序實數組(x,y,z),使得p=xa+yb+zc.
　 p可由a,b,c線性表示
由上述定理可知,如果向量a,b,c是空間三個不共面向量,那么所有的空間向量組成的集合就是{p|p=xa+yb+zc,x,y,z∈R},這個集合可以看成是由向量a,b,c生成的,這時{a,b,c}叫作空間的一組基,其中a,b,c都叫作基向量.
名師點睛
由于零向量與任意一個非零向量共線,與任意兩個不共線的非零向量共面,所以若三個向量不共面,就說明它們都不是零向量.
思考辨析
1. 如果向量a,b與任何向量都不能構成空間的一組基,那么a,b間應有什么關系
提示 a,b與任何向量c(不妨假設任何向量為c)都不能構成空間的一組基,說明a,b,c一定共面.
∵任何兩個向量必共面,c是任意向量,∴a,b必共線.
2. 已知{a,b,c}是空間的一組基,從a,b,c中選哪一個向量,一定可以與向量p=a+b,q=a-b構成空間的另一組基
提示 向量c一定可以與p,q構成另一組基,
因為p=a+b,q=a-b與a,b共面,c不與a,b共面,所以c不與p,q共面.
自主診斷
1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)
(1)空間的任何一個向量都可以用三個給定向量表示.(　　)
(2)若{a,b,c}為空間的一組基,則a,b,c全不是零向量.(　　)
(3)如果向量a,b與任何向量都不能構成空間的一組基,則一定有a與b共線.
(　　)
(4)任何三個不共線的向量都可構成空間的一組基.(　　)
×
√
√
×
D
3.[人教B版教材習題]如果空間向量a,b,c不共面,且3a-2b+c=xa+yb+zc,求x,y,z的值.
重難探究·能力素養速提升
探究點一　　基的判斷
【例1】 (1)設x=a+b,y=b+c,z=c+a,且{a,b,c}是空間的一組基,給出下列向量組:①{a,b,x},②{x,y,z},③{b,c,z},④{x,y,a+b+c}.其中可以作為空間一組基的向量組有(　　)
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
C
規律方法　判斷基的基本思路及方法
變式訓練1 (1)下列各組向量能構成一組基的是(　　)
B
★(2)在長方體ABCD-A1B1C1D1中,設 =c,若x=a+b, y=b+c,z=c+a,給出下列向量組:①{a,b,x},②{x,y,z},③{b,c,z},④{x,y,a+b+c},則其中可以作為空間的一組基的向量組有　　　(填序號).
②③④
解析 如圖,由 .由A,B1,D1,C四點不共面可知向量x,y,z也不共面.同理可知向量b,c,z不共面,向量x,y,a+b+c不共面,可以作為空間的一組基.因為x=a+b,故向量a,b,x共面,故不能作為一組基.
探究點二　　用基表示空間向量
分析 利用圖形尋找待求向量與a,b,c的關系→利用向量運算進行拆分→直至向量用a,b,c表示
變式探究若把本例中的 其他條件不變,則結果是什么
規律方法　用基表示空間向量的解題策略
(1)在空間中,任一向量都可以用一組基表示,且只要基確定,則表示形式是唯一的.
(2)用基表示空間向量時,一般要結合圖形,運用向量加法、減法的平行四邊形法則、三角形法則,以及數乘向量的運算法則,逐步向基向量過渡,直至全部用基向量表示.
(3)在空間幾何體中選擇基時,通常選取公共起點最集中的向量或關系最明確的向量作為基.例如,在正方體、長方體、平行六面體、四面體中,一般選用從同一頂點出發的三條棱所對應的向量作為基.
C
探究點三 　空間向量基本定理的應用
規律方法　由空間向量基本定理可以知道,如果三個向量a,b,c是不共面的向量,則a,b,c的線性組合xa+yb+zc能生成所有的空間向量,并且有序實數組(x,y,z)是唯一的,這是利用空間向量基本定理求參數值的理論基礎.
學以致用·隨堂檢測促達標
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A 級 必備知識基礎練
1.[探究點一·2024吉林長春月考]已知{a,b,c}是空間的一組基,下面向量中與向量a+c,a-c一起能構成空間的另外一組基的是(　　)
A.a B.b+c C.2a+c D.2a-c
B
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2.[探究點二]如圖所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N分別是A1B和B1C1上的點,且BM=3A1M,C1N=2B1N.設 (x,y,z∈R),則x+y+z的值為　　　　　.
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3. [探究點二]若a=e1+e2,b=e2+e3,c=e1+e3,d=e1+2e2+3e3,若e1,e2,e3不共面,當d=αa+βb+γc時,α+β+γ=　　　　.
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4.[探究點三·2024浙江寧波質檢]如圖所示,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=AA1=1,∠A1AB=∠A1AD=∠DAB=60°,則對角線BD1的長為　　　　　.
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B 級 關鍵能力提升練
5. 已知空間向量a,b,c,下列說法正確的個數是(　　)
①若a與b共線,b與c共線,則a與c共線;
②若a,b,c非零且共面,則它們所在的直線共面;
③若a,b,c不共面,那么對任意一個空間向量p,存在唯一有序實數組(x,y,z),使得p=xa+yb+zc;
④若a,b不共線,向量c=λa+μb(λ,μ∈R且λμ≠0),則{a,b,c}可以構成空間的一組基.
A.0 B.1 C.2 D.3
B
解析 對于①,若a與b共線,b與c共線,則當b=0時,a與c不一定共線,故①錯誤;對于②,共面向量的定義是平行于同一平面的向量,∴a,b,c非零且共面,則表示這些向量的有向線段所在的直線不一定共面,故②錯誤;對于③,由空間向量基本定理可知,若a,b,c不共面,那么對任意一個空間向量p,存在唯一有序實數組(x,y,z),使得p=xa+yb+zc,故③正確;對于④,若a,b不共線,向量c=λa+μb(λ,μ∈R且λμ≠0),則c,a,b共面,∴{a,b,c}不可以構成空間的一組基,故④錯誤.故選B.
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7.(多選題)已知{a,b,c}是空間的一組基,在下列向量中,可以與2a-b,a+b構成空間的一組基的向量是(　　)
A.2a B.-b C.c D.a+c
CD
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8.已知向量a,b,c可作為空間的一組基{a,b,c},若d=3a+4b+c,且d在一組基{a+2b,b+3c,c+a}下滿足d=x(a+2b)+y(b+3c)+z(c+a),則x=　　　　　.
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解析 因為d=3a+4b+c,且d=x(a+2b)+y(b+3c)+z(c+a)=(x+z)a+(2x+y)b+(3y+z)c,
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C 級 學科素養創新練
11.如圖,在正方體ABCD -A1B1C1D1中,E,F分別是BB1,D1B1的中點,求證:EF⊥平面B1AC.
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