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(共73張PPT)
北師大版 數(shù)學(xué) 選擇性必修第一冊(cè)
課程標(biāo)準(zhǔn) 1.能用向量語(yǔ)言描述直線(xiàn)和平面,理解直線(xiàn)的方向向量與平面的法向量.
2.會(huì)用直線(xiàn)的方向向量與平面的法向量解題.
基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過(guò)
知識(shí)點(diǎn)1　直線(xiàn)的方向向量與直線(xiàn)的向量表示
1.直線(xiàn)的方向向量
如圖,設(shè)點(diǎn)A,B是直線(xiàn)l上不重合的任意兩點(diǎn),稱(chēng) 為直線(xiàn)l的方向向量.顯然,一條直線(xiàn)有無(wú)數(shù)個(gè)方向向量,根據(jù)平行向量的定義可知:這些方向向量都平行,因此與 平行的任意非零向量a也是直線(xiàn)l的方向向量.
2.直線(xiàn)l的向量表示
已知點(diǎn)M是直線(xiàn)l上的一點(diǎn),非零向量a是直線(xiàn)l的一個(gè)方向向量,那么對(duì)于直線(xiàn)l上的任意一點(diǎn)P,一定存在實(shí)數(shù)t,使得 =ta.
反之,由幾何知識(shí)不難確定,滿(mǎn)足上式的點(diǎn)P一定在直線(xiàn)l上.因此,我們把這個(gè)式子稱(chēng)為直線(xiàn)l的向量表示.
思考辨析
1.在空間中,如何用向量表示一個(gè)點(diǎn)


2.在空間中,怎樣可以確定一條直線(xiàn)
提示 兩點(diǎn)可以確定一條直線(xiàn);直線(xiàn)上的一個(gè)定點(diǎn)及這條直線(xiàn)的方向向量也可以確定一條直線(xiàn).
自主診斷
1.判斷正誤.(正確的畫(huà)√,錯(cuò)誤的畫(huà)×)
(1)直線(xiàn)的方向向量是唯一的.(　　)
(2)若兩直線(xiàn)平行,則它們的方向向量方向相同或相反.(　　)
(3)若向量a是直線(xiàn)l的一個(gè)方向向量,則向量ka也是直線(xiàn)l的一個(gè)方向向量.(　　)
×
√
×
2.(多選題)如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,則(　　)
A.直線(xiàn)DD1的一個(gè)方向向量為(0,0,1)
B.直線(xiàn)AB的一個(gè)方向向量為(0,0,1)
C.直線(xiàn)BC1的一個(gè)方向向量為(0,1,1)
D.直線(xiàn)B1D的一個(gè)方向向量為(1,1,1)
AC
3.[人教A版教材習(xí)題]在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,
,O是BD1與B1D的交點(diǎn).以{a,b,c}為空間的一組基,求直線(xiàn)OA的一個(gè)方向向量.
知識(shí)點(diǎn)2　平面的法向量及其應(yīng)用
1.平面法向量的定義
我們已經(jīng)知道,給定一點(diǎn)和一個(gè)方向可以唯一確定一條直線(xiàn).類(lèi)似地,空間中給定一點(diǎn)和一條直線(xiàn)后,可以唯一確定過(guò)此點(diǎn)與這條直線(xiàn)垂直的平面.因此,如果一條直線(xiàn)l與一個(gè)平面α垂直,那么就把直線(xiàn)l的方向向量n叫作平面α的法向量,則n⊥α.
2.平面的向量表示式
如圖,設(shè)點(diǎn)M是平面α內(nèi)給定的一點(diǎn),向量n是平面α的一個(gè)法向量,那么對(duì)于平面α內(nèi)任意一點(diǎn)P,必有 ·n=0.此式稱(chēng)為平面α的一個(gè)向量表示式.
　
平面α的一個(gè)法向量垂直于與平面α共面的所有向量
思考辨析
1.給定一點(diǎn)和一個(gè)方向可以唯一確定一條直線(xiàn).類(lèi)似地,給定一點(diǎn)和一條直線(xiàn)后,能否確定過(guò)此點(diǎn)和這條直線(xiàn)垂直的平面
2.空間中兩條直線(xiàn)a,b,若a∥b且a⊥α,則b與α的位置關(guān)系是什么
提示 能,并且此平面是唯一的.
提示 b⊥α.反之,若a⊥α,b⊥α,則a∥b.
自主診斷
1.判斷正誤.(正確的畫(huà)√,錯(cuò)誤的畫(huà)×)
(1)平面的法向量是唯一的.(　　)
(2)若向量n1,n2為平面的法向量,則以這兩個(gè)向量為方向向量的直線(xiàn)一定平行.(　　)
×
×
2.[人教B版教材習(xí)題]設(shè)n1,n2分別是空間中兩個(gè)不重合的平面α,β的法向量,分別根據(jù)下列條件判斷平面α,β的位置關(guān)系.
(1)n1=(-2,1,2),n2=(6,-3,-6);
(2)n1=(1,2,3),n2=(3,6,9).
解 (1)∵n1=(-2,1,2),n2=(6,-3,-6)=-3(-2,1,2)=-3n1,∴n1∥n2,∴α∥β(已知α,β 不重合).
(2)∵n1=(1,2,3),n2=(3,6,9)=3(1,2,3)=3n1,
∴n1∥n2,∴α∥β(已知α,β不重合).
3.[人教A版教材習(xí)題]如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC, AB=AC=1,AA1=2.以A為原點(diǎn),建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.
(1)求平面BCC1B1的法向量;
(2)求平面A1BC的法向量.
重難探究·能力素養(yǎng)速提升
探究點(diǎn)一　　直線(xiàn)的方向向量及其應(yīng)用
【例1】 (1)已知直線(xiàn)l1的一個(gè)方向向量為(-7,3,4),直線(xiàn)l2的一個(gè)方向向量為(x,y,8),且l1∥l2,則x=　　　　　,y=　　　　　.
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規(guī)律方法　1.應(yīng)注意直線(xiàn)的方向向量有無(wú)數(shù)個(gè),哪個(gè)易求求哪個(gè).
2.利用直線(xiàn)上的一個(gè)已知點(diǎn)和直線(xiàn)的方向向量可以確定直線(xiàn)的位置,進(jìn)而利用向量的運(yùn)算確定直線(xiàn)上任一點(diǎn)的位置.
變式訓(xùn)練1(1)設(shè)直線(xiàn)l1,l2的方向向量分別為a=(1,2,-2),b=(-2,3,m),若l1⊥l2,則實(shí)數(shù)m等于(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
B
解析 因?yàn)閘1⊥l2,所以a⊥b,則a·b=(1,2,-2)·(-2,3,m)=-2+6-2m=0,解得m=2.故選B.
證明 如圖,連接MO.
∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴O為AC的中點(diǎn),
又M是PC的中點(diǎn),
∴MO∥AP.
∵M(jìn)O 平面BDM,AP 平面BDM,∴AP∥平面BDM.
∵AP 平面PAG,平面PAG∩平面BDM=GH,
∴AP∥GH,
探究點(diǎn)二　　平面的法向量及求法
【例2】 如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是正方形,側(cè)棱PD⊥底面ABCD,PD=DC=1,E是PC的中點(diǎn),求平面EDB的一個(gè)法向量.
變式探究本例條件不變,你能分別求出平面PAD與平面PCD的一個(gè)法向量嗎 它們之間的關(guān)系如何
解 如同例2建系方法,易知平面PAD的一個(gè)法向量為n1=(0,1,0),平面PCD的一個(gè)法向量為n2=(1,0,0),因?yàn)閚1·n2=0,所以n1⊥n2.
規(guī)律方法　1.利用待定系數(shù)法求平面法向量的步驟
2.求平面法向量的三個(gè)注意點(diǎn)
(1)選向量:在選取平面內(nèi)的向量時(shí),要選取不共線(xiàn)的兩個(gè)向量.
(2)取特值:在求法向量的坐標(biāo)時(shí),可令x,y, z中一個(gè)取特殊值,得另兩個(gè)值,就是平面的一個(gè)法向量.
(3)注意0:提前假定法向量n=(x,y,z)的某個(gè)坐標(biāo)為某特定值時(shí),一定要注意這個(gè)坐標(biāo)不為0.
★變式訓(xùn)練2
[人教B版教材例題]如圖所示,已知空間直角坐標(biāo)系中的三棱錐O-ABC中, O(0,0,0),A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c),其中abc≠0,求平面ABC的一個(gè)法向量.
探究點(diǎn)三　　證明平面的法向量
【例3】 在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是BB1,CD的中點(diǎn).求證:
是平面ADE的法向量.
證明 如圖,以D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線(xiàn)分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,則
規(guī)律方法　用向量法證明平面法向量的實(shí)質(zhì)仍然是用向量的數(shù)量積證明線(xiàn)線(xiàn)垂直,因此,其思想方法與證明線(xiàn)線(xiàn)垂直相同,區(qū)別在于必須證明兩次線(xiàn)線(xiàn)垂直.
變式訓(xùn)練3
如圖,正方形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直,AD⊥CD, AB∥CD,AB=AD=2,CD=4,M為CE的中點(diǎn).
求證:BC⊥平面BDE.
證明 ∵平面ADEF⊥平面ABCD,平面ADEF∩平面ABCD=AD,AD⊥ED, ED 平面ADEF,∴ED⊥平面ABCD.
以點(diǎn)D為原點(diǎn),DA,DC,DE所在直線(xiàn)分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則D(0,0,0),B(2,2,0),C(0,4,0),E(0,0,2),
探究點(diǎn)四　平面方程的應(yīng)用
【例4】 在長(zhǎng)方體ABCD-A'B'C'D'中,已知AB=1,AD=2,AA'=3.
(1)在四邊形BCC'B'內(nèi)及其邊界上是否存在一點(diǎn)N,使得AN⊥平面A'BD
(2)求證:AC'與平面A'BD的交點(diǎn)恰為線(xiàn)段AC'的三等分點(diǎn).
(1)解 以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),直線(xiàn)AB,AD,AA'分別為x軸、
y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖.
則B(1,0,0),D(0,2,0),A'(0,0,3).
代入方程①檢驗(yàn)可知,點(diǎn)E的坐標(biāo)滿(mǎn)足平面A'BD的方程,
所以AC'的三等分點(diǎn)E在平面A'BD內(nèi),
即AC'與平面A'BD的交點(diǎn)是線(xiàn)段AC'的三等分點(diǎn).
規(guī)律方法　1.求過(guò)點(diǎn)M(x0,y0,z0)的平面α的方程的關(guān)鍵是確定平面α的法向量n=(A,B,C),然后利用A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0可得.
2.利用直線(xiàn)的向量表示與平面的方程可求出直線(xiàn)與平面的交點(diǎn)坐標(biāo).
變式訓(xùn)練4設(shè)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的平面α的一個(gè)法向量為n=(6,3,2).
(1)求平面α的方程;
(2)若A(a,a,a),C(a,2,3)兩點(diǎn)不在平面α內(nèi),直線(xiàn)AC與平面α的交點(diǎn)為E,且
解 (1)設(shè)平面內(nèi)任一點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y,z),
則平面α的方程為6x+3y+2z=0.
學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)
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A 級(jí) 必備知識(shí)基礎(chǔ)練
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1.[探究點(diǎn)一]若A(2,1,1),B(1,2,2)在直線(xiàn)l上,則直線(xiàn)l的一個(gè)方向向量為(　　)
A.(2,1,1) B.(-2,2,2)
C.(-3,2,1) D.(2,1,-1)
B
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2. [探究點(diǎn)二]在直三棱柱ABC-A1B1C1中,以下向量可以作為平面ABC法向量的是(　　)
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B
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4. [探究點(diǎn)一]已知向量a=(2,4,5),b=(3,x,y)分別是直線(xiàn)l1,l2的方向向量,若l1∥l2,則(　　)
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6. [探究點(diǎn)三]如圖,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1= ,AD=2 ,P為C1D1的中點(diǎn),M為BC的中點(diǎn),則AM與PM的位置關(guān)系是　　　　　.
PM⊥AM
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解析 以D點(diǎn)為原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線(xiàn)分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
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7.[探究點(diǎn)四]已知平面α經(jīng)過(guò)點(diǎn)O(0,0,0),且e=(1,2,-3)是α的一個(gè)法向量,M(x,y,z)是平面α內(nèi)任意一點(diǎn),則平面α的方程是　 .
x+2y-3z=0　
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8.[探究點(diǎn)二]如圖,在棱長(zhǎng)為3的正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)M在棱C1C上,且CM=2MC1.以D為原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線(xiàn)分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
求:(1)平面ABB1A1的一個(gè)法向量;
(2)平面MBD1的一個(gè)法向量.
解 (1)因?yàn)閤軸垂直于平面ABB1A1,所以n1=(1,0,0)是平面ABB1A1的一個(gè)法向量.
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證明 設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,以D為坐標(biāo)原點(diǎn),直線(xiàn)DA,DC,DD1分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則
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10.已知平面α內(nèi)兩向量a=(1,1,1),b=(0,2,-1)且c=ma+nb+(4,-4,1).若c為平面α的法向量,則m,n的值分別為(　　)
A.-1,2 B.1,-2
C.1,2 D.-1,-2
A
B 級(jí) 關(guān)鍵能力提升練
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11.(多選題)已知直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)P(1,0,-1)且平行于向量a=(2,1,1),平面α過(guò)直線(xiàn)l與點(diǎn)M(1,2,3),則平面α的法向量可能是(　　)
ABC
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12.如圖,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,O為底面中心,A1O⊥平面ABCD,AB=AA1= .平面OCB1的法向量n=(x,y,z)為(　　)
A.(0,1,1)
B.(1,-1,1)
C.(1,0,-1)
D.(-1,-1,1)
C
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14.在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中,已知平面α的一個(gè)法向量是n=(1,-1,2),且平面α過(guò)點(diǎn)A(0,3,1).若P(x,y,z)是平面α上任意一點(diǎn),則點(diǎn)P的坐標(biāo)滿(mǎn)足的方程是　　　　　　　　.
x-y+2z+1=0
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15.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),四面體OABC的頂點(diǎn)A(0,3,5),B(2,2,0),C(0,5,0),直線(xiàn)BD∥CA,并且與坐標(biāo)平面xOz相交于點(diǎn)D,則點(diǎn)D的坐標(biāo)為　　　　　.
(2,0,5)　
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16.已知空間直角坐標(biāo)系O-xyz中的點(diǎn)A(1,1,1),平面α過(guò)點(diǎn)A并且與直線(xiàn)OA垂直,動(dòng)點(diǎn)P(x,y,z)是平面α內(nèi)的任一點(diǎn),則直線(xiàn)OA的一個(gè)方向向量為　　　 　　,點(diǎn)P的坐標(biāo)滿(mǎn)足的條件為　　　　　.
(1,1,1)(答案不唯一)　
x+y+z=3
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17.如圖,四棱錐P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,PD=AD=DC,底面ABCD為正方形,E為PC的中點(diǎn),點(diǎn)F在PB上,問(wèn)點(diǎn)F在何位置時(shí), 為平面DEF的一個(gè)法向量
解 以D為原點(diǎn),DA,DC,DP所在直線(xiàn)分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示,設(shè)DA=2,則D(0,0,0),P(0,0,2),C(0,2,0),
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18.已知M為長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的棱BC的中點(diǎn),點(diǎn)P在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的面CC1D1D內(nèi),且PM∥平面BB1D1D,試探討點(diǎn)P的確切位置.
解 以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn),以DA,DC,DD1所在直線(xiàn)分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
根據(jù)題意可設(shè)DA=a,DC=b,DD1=c,則A(a,0,0),B(a,b,0),D1(0,0,c),P(0,y,z),C(0,b,0),
C 級(jí) 學(xué)科素養(yǎng)創(chuàng)新練
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