資源簡介

(共75張PPT)
北師大版 數(shù)學(xué) 選擇性必修第一冊
課程標準 1.了解空間向量的概念.
2.經(jīng)歷由平面向量的運算及其法則推廣到空間向量的過程.
3.掌握空間向量線性運算的法則和運算律.
4.理解空間兩個向量夾角的定義.
5.掌握空間向量數(shù)量積的定義、性質(zhì)、運算律,會求空間向量的數(shù)量積.
基礎(chǔ)落實·必備知識一遍過
知識點1　空間向量的定義及相關(guān)概念
1.定義　
任意一個空間向量都包括大小和方向兩個要素,有關(guān)概念可類比平面向量而得
在空間中,我們把具有　　 　和　 　　的量叫作空間向量,向量的大小叫作向量的　　　　　　　　.
2.空間向量及其模的表示方法
空間向量用字母a,b,c,…表示.若向量a的起點是A,終點是B,則向量a也可以記作向量　　　　,其模用|a|或 表示.
大小
方向
長度或模C
3.空間向量的相關(guān)概念
名稱 概念
零向量 模為0的向量 起點與終點相同的向量
相等向量 方向　　　　　且模　　　　　的向量
相反向量 方向　　　　　且模　　　　　的向量
共線向量 當(dāng)表示向量的兩條有向線段所在的直線平行或重合時,稱這兩個向量互為共線向量(或平行向量)
共面向量 把平行于同一平面的向量叫作共面向量
相同
相等
相反
相等
名師點睛
1.空間向量有大小和方向,同向且等長的有向線段表示同一向量或相等向量,即向量可以在空間中平移.
2.我們規(guī)定:零向量與任意向量平行,即對于任意向量a,都有0∥a.
思考辨析
1.跳傘運動員在降落過程中受到來自不同方向,大小各異的力,如繩索的拉力、風(fēng)力、重力等,這些力在同一平面內(nèi)嗎 在數(shù)學(xué)上,我們怎樣表示這些力
提示 這些力不在同一平面內(nèi).在數(shù)學(xué)上,我們用空間向量表示這些力.
2.空間中任意兩個向量共面嗎 空間中任意三個向量呢
提示 空間中任意兩個向量都是共面的,但空間中任意三個向量不一定
共面.
自主診斷
1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)
(1)零向量與任意向量平行.(　　)
(2)在表示空間向量時,表示該向量的有向線段的起點可任意選取.(　　)
√
√
√
×
2.[人教A版教材習(xí)題]舉出一些表示三個不同在一個平面內(nèi)的向量的實例.
3.[人教A版教材習(xí)題]如圖,在長方體ABCD-A'B'C'D'中,E, F分別為棱AA',AB的中點.
(1)寫出與向量 相等的向量;
(2)寫出與向量 相反的向量;
(3)寫出與向量 平行的向量.
知識點2　
空間向量
的運算
空間向量的數(shù)乘運算 實數(shù)λ與空間向量a的乘積仍然是一個向量,記作λa.求實數(shù)與空間向量的乘積的運算稱為空間向量的數(shù)乘運算,向量λa的長度和方向滿足:
(1)|λa|=　　　　　;
(2)當(dāng)λ>0時,向量λa與向量a方向　　　　　;當(dāng)λ<0時,向量λa與向量a方向　　　　　;當(dāng)λ=0時,λa=　　　　　
運算律 (1)交換律:a+b=b+a
(2)結(jié)合律:(a+b)+c=a+(b+c)
λ(μa)=(λμ)a
(3)分配律:(λ+μ)a=λa+μa
λ(a+b)=λa+λb
其中λ∈R,μ∈R
|λ||a|
相同
相反
0
思考辨析
涉及空間兩個向量的問題,平面向量中的有關(guān)結(jié)論是否仍然適用
提示 適用.
自主診斷
3.[人教A版教材習(xí)題]如圖,已知在四面體ABCD中, E,F分別是BC,CD的中點.化簡下列表達式,并在圖中標出化簡結(jié)果:
知識點3　共線向量基本定理
定理:空間兩個向量a,b(b≠0)共線的充要條件是存在唯一的實數(shù)λ,使得a=λb.通常把這個定理稱為共線向量基本定理.(也稱“一維向量基本定理”)
思考辨析
共線向量基本定理中的限制條件是什么 為什么
提示 共線向量定理中限制條件b≠0,即若b=0,a≠0時,實數(shù)λ不存在.
過關(guān)自診
1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)
(1)空間向量a,b共線的充要條件是存在實數(shù)λ,使a=λb.(　　)
(2)若a∥b,b∥c,則a∥c.(　　)
×
×
2.[人教A版教材習(xí)題]證明:如果向量a,b共線,那么向量2a+b與a共線.
證明 由向量a,b共線,若a為零向量,則結(jié)論成立;
若a為非零向量,則存在實數(shù)λ,使b=λa,從而2a+b=(2+λ)a.
綜上,向量2a+b與a共線.
知識點4　空間向量的夾角
當(dāng)= 時,稱向量
a與b　　　　,記作a⊥b.
非零
∠AOB

[0,π]
垂直
名師點睛
對空間兩個向量夾角的理解,應(yīng)注意以下幾點:
(1)由概念知兩個非零向量才有夾角,零向量與其他向量之間不定義夾角,并約定0與任意向量a(a≠0)都垂直.
(2)對空間任意兩個非零向量a,b,有:
①==<-a,-b>=<-b,-a>;
②=<-a,b>=π-.
過關(guān)自診
1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)
√
×
2.[人教A版教材習(xí)題]證明:如果向量a,b共線,那么向量2a+b與a共線.
知識點5　空間向量的數(shù)量積
已知兩個空間向量a,b,把|a||b|cos叫作a與b的數(shù)量積,記作a·b,即a·b=|a||b|cos. 規(guī)定零向量與任意向量的數(shù)量積為0
與平面向量類似,空間向量的數(shù)量積也是一個實數(shù),容易得到以下結(jié)論:
(1)cos= (a≠0,b≠0);　　　　求向量夾角
求向量長度
(3)a⊥b a·b=0.　　　垂直的判斷方法
與平面向量類似,空間向量的數(shù)量積運算也滿足如下運算律:
(1)交換律:a·b=b·a;
(2)分配律:a·(b+c)=a·b+a·c;
(3)(λa)·b=λ(a·b)(λ∈R).
自主診斷
1.[人教A版教材習(xí)題]如圖,已知四面體ABCD的所有棱長都等于m,E,F,G分別是棱AB,AD,DC的中點.求:
2.[人教A版教材習(xí)題]如圖,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,若AB= BB1,則AB1與BC1所成角的大小為(　　)　　　　　　　　　　　　　
A.60°
B.90°
C.105°
D.75°
B
3.[人教A版教材習(xí)題]如圖,在平行六面體ABCD-A'B'C'D'中,AB=4,AD=3, AA'=5,∠BAD=90°,∠BAA'=∠DAA'=60°.求:
(1) ;(2)AB'的長;(3)AC'的長.
知識點6　投影向量與投影數(shù)量
1.投影向量
在平面向量中已經(jīng)學(xué)習(xí)過一個向量在另一個向量方向上的投影向量及投影數(shù)量,因為任意兩個空間向量一定是共面向量,所以可以把上述概念直接推廣到空間向量.
當(dāng)為銳角時,|b|cos>0(如圖(1));
當(dāng)為鈍角時,|b|cos<0(如圖(2));
當(dāng)= 時,|b|cos=0(如圖(3)).
2.投影數(shù)量
若用a0表示與向量a(a≠0)同方向的單位向量,則向量b在向量a方向上的投影向量為 =|b|cosa0.
因此,稱|b|cos為投影向量 的數(shù)量,簡稱為向量b在向量a方向上的投影數(shù)量.
結(jié)合空間向量數(shù)量積的定義可知:向量b在向量a方向上的投影數(shù)量為
自主診斷
1.已知|a|=2,向量a與向量b的夾角為120°,則向量a在向量b方向上的投影數(shù)量等于(　　)
A.2
B.120°
C.-1
D.由向量b的長度確定
C
2.已知|b|=5,a·b=12,則向量a在b方向上的投影數(shù)量為　　　　　　.
重難探究·能力素養(yǎng)速提升
探究點一　　空間向量及相關(guān)概念的理解
【例1】 下列命題中,真命題的個數(shù)是　 .
①有向線段就是向量;
②有向線段可用來表示空間向量,有向線段長度越長,其所表示的向量的模就越大;
1
解析 ①我們只是借助有向線段來表示向量,但并不是說有向線段就是向量,所以①是假命題;②由于我們用有向線段的方向表示向量的方向,用有向線段的長度表示向量的模,所以②是真命題;③向量的模為非負實數(shù),能比較大小,但向量只有相等不相等之分,不能比較大小,所以③是假命題.
規(guī)律方法　1.解答空間向量有關(guān)概念問題的關(guān)鍵點及注意點
(1)關(guān)鍵點:緊緊抓住向量的兩個要素,即大小和方向.
(2)注意點:
①零向量不是沒有方向,而是它的方向是任意的.
②單位向量方向雖然不一定相同,但它們的長度都是1.
③兩個向量模相等,不一定是相等向量;反之,若兩個向量相等,則它們不僅模相等,方向也相同.若兩個向量模相等,方向相反,則它們?yōu)橄喾聪蛄?
2.由于方向不能比較大小,因此“大于”“小于”對向量來說是沒有意義的,但向量的模是可以比較大小的.
變式訓(xùn)練1下列說法正確的是(　　)
A.若|a|=|b|,則a,b的長度相同,方向相同或相反
B.若向量a是向量b的相反向量,則|a|=|b|
C.兩個向量相等,若它們的起點相同,則其終點不一定相同
D.若|a|>|b|,|b|>|c|,則a>c
B
解析 兩個向量是相反向量時,它們的模必相等,故選項B正確.
探究點二　　空間向量的線性運算
【例2】 [人教B版教材習(xí)題]已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是平行四邊形,且
A.a+b+c B.-a+b+c
C.a-b+c D.-a+b-c
B
規(guī)律方法　空間向量線性運算的技巧和思路
(1)空間向量加法、減法運算的兩個技巧
①巧用相反向量:向量加減法的三角形法則是解決空間向量加法、減法運算的關(guān)鍵,靈活應(yīng)用相反向量可使有關(guān)向量首尾相接,從而便于運算.
②巧用平移:利用三角形法則和平行四邊形法則進行向量的加法、減法運算時,務(wù)必要注意和向量、差向量的方向,必要時可采用空間向量的自由平移獲得更準確的結(jié)果.
(2)化簡空間向量的常用思路
①分組:合理分組,以便靈活運用三角形法則、平行四邊形法則進行化簡.
②多邊形法則:在空間向量的加法運算中,若是多個向量求和,還可利用多邊形法則,若干個向量的和可以將其轉(zhuǎn)化為首尾相接的向量求和.
③走邊路:靈活運用空間向量的加法、減法法則,盡量走邊路(即沿幾何體的邊選擇途徑).
變式訓(xùn)練2如圖所示,已知空間四邊形OABC,M,N分別是邊OA,BC的中點,點G在MN上,且MG=2GN,設(shè)
探究點三　　共線向量基本定理及其應(yīng)用
分析可通過證明 共線來證明E,F,B三點共線.
規(guī)律方法　利用空間向量共線定理可解決的主要問題
(1)判斷兩向量是否共線:判斷兩向量a,b(b≠0)是否共線,即判斷是否存在實數(shù)λ,使a=λb.
(2)求解參數(shù):已知兩非零向量共線,可求其中參數(shù)的值,即利用“若a∥b,則a=λb(λ∈R)”.
(3)判斷或證明空間中的三點(如P,A,B)是否共線:
變式訓(xùn)練3
如圖所示,已知四邊形ABCD,ABEF都是平行四邊形且不共面,M,N分別是AC,BF的中點,判斷 是否共線.
探究點四　　求空間向量的數(shù)量積
【例4】 如圖所示,已知正四面體OABC的棱長為1,點E,F分別是OA,OC的中點.求下列向量的數(shù)量積:
規(guī)律方法　空間向量運算的方法與步驟
變式訓(xùn)練4如圖,在三棱錐O-ABC中,棱OA,OB,OC兩兩垂直,且OA=1,OB=2, OC=3,點G為△ABC的重心,則
探究點五　利用數(shù)量積求夾角
【例5】 在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是AB,BC的中點,求:
分析求兩個向量的夾角,可以把其中一個向量平移,與另一個向量的起點重合,從而轉(zhuǎn)化為求平面角的大小;也可以用兩個向量的數(shù)量積定義a·b=|a||b|cos,求出cos= 的值,然后確定的大小.
規(guī)律方法　求兩個非零向量夾角的兩個途徑
(1)轉(zhuǎn)化求角:把向量夾角轉(zhuǎn)化為平面幾何中的對應(yīng)角,利用解三角形的知識求解;
(2)利用數(shù)量積求夾角:運用公式cos= 進行求解.
變式訓(xùn)練5(1)若非零空間向量a,b滿足|a|=|b|,(2a+b)·b=0,則a與b的夾角為
(　　)　　　　 　　　　 　　　
A.30° B.60° C.120° D.150°
C
解析 設(shè)a與b的夾角為θ,則由(2a+b)·b=0,得2|a||b|cos θ+|b|2=0.
又因為|a|=|b|,所以cos θ=- ,所以θ=120°.
(2)已知正四面體OABC的棱長等于2,E,F分別為AB,OC的中點,則向量 與向量 夾角的余弦值為　　　　　.
探究點六　投影數(shù)量與投影向量
【例6】 已知非零向量a,b滿足|a-b|=|a+b|,且|a|=1,|b|= ,c=2a-b,則a在c方向上的投影數(shù)量為(　　)
A
解析 ∵|a-b|=|a+b|,
∴|a-b|2=|a+b|2,∴a·b=0.
又|a|=1,|b|= ,c=2a-b,
設(shè)a和c的夾角為α,
變式訓(xùn)練6已知非零向量a,b滿足|a|=4,|b|=2,且a在b方向上的投影數(shù)量與b在a方向上的投影數(shù)量相等,則|a-b|等于(　　)
B
解析 因為a在b方向上的投影數(shù)量與b在a方向上的投影數(shù)量相等,設(shè)這兩個向量的夾角為θ,
學(xué)以致用·隨堂檢測促達標
1
2
3
4
5
A
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2
3
4
5
2.(多選題)下列命題中,真命題是(　　)
A.同平面向量一樣,任意兩個空間向量都不能比較大小
B.兩個相等的向量,若起點相同,則終點也相同
C.只有零向量的模等于0
D.共線的單位向量都相等
ABC
解析 容易判斷D是假命題,共線的單位向量是相等向量或相反向量.
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3.如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=AA1,∠ABC=90°,點E,F分別是棱AB,BB1的中點,則直線EF和BC1所成的角是(　　)
A.45°
B.60°
C.90°
D.120°
B
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4.設(shè)e1,e2是空間兩個不共線的向量,若
且A,B,D三點共線,則實數(shù)k=　　　　　.
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