資源簡介

(共62張PPT)
北師大版 數(shù)學 選擇性必修第一冊
課程標準 1.了解空間直角坐標系,理解空間向量的坐標表示.
2.掌握空間向量運算的坐標表示.
3.掌握空間向量垂直與平行的條件及其應用.
4.掌握空間向量的模、夾角以及兩點間距離公式,能運用公式解決問題.
基礎(chǔ)落實·必備知識一遍過
知識點1　空間向量運算的坐標表示 　 向量的坐標運算是形與數(shù)的轉(zhuǎn)化
1.標準正交基
在空間直角坐標系O-xyz中,分別沿x軸、y軸、z軸正方向作單位向量i,j,k,這三個互相垂直的單位向量就構(gòu)成空間向量的一組基{i,j,k},這組基叫作標準正交基.
根據(jù)空間向量基本定理,對于任意一個向量p,都存在唯一的三元有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),使得p=xi+yj+zk.
把三元有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)叫作向量p在標準正交基{i,j,k}下的坐標,記作p=(x,y,z). 中間的“=”不能省略,即不能寫成p(x,y,z)
單位向量i,j,k都叫作坐標向量.
2.若點A的坐標為(x1,y1,z1),點B的坐標為(x2,y2,z2),則
=(x2-x1,y2-y1,z2-z1).
也就是說:一個向量在空間直角坐標系中的坐標等于表示這個向量的有向線段的終點的坐標減去起點的坐標.
3.空間向量運算的坐標表示
設(shè)向量a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),根據(jù)空間向量的運算法則,不難得到:
(1)a+b=(x1+x2,y1+y2,z1+z2);
(2)a-b=(x1-x2,y1-y2,z1-z2);
(3)λa=(λx1,λy1,λz1),λ∈R;
(4)a·b=x1x2+y1y2+z1z2.

　兩個空間向量的數(shù)量積等于它們對應坐標的乘積之和
思考辨析
自主診斷
1.[人教A版教材習題]已知a=(-3,2,5),b=(1,5,-1),求:
(1)a+b;(2)6a;(3)3a-b;(4)a·b.
解 (1)a+b=(-2,7,4).
(2)6a=(-18,12,30).
(3)3a-b=(-10,1,16).
(4)a·b=2.
2.已知{e1,e2,e3}是標準正交基,分別寫出下列空間向量的坐標:
(1)p=2e1+3e2+e3;
(2)q=-e1+e2-2e3;
(3)r=-2e2-e3;
(4)0.
解 (1)p=(2,3,1).
(2)q=(-1,1,-2).
(3)r=(0,-2,-1).
(4)因為0=0e1+0e2+0e3,所以0=(0,0,0).
3.[人教A版教材習題]已知a=(2,-3,1),b=(2,0,3),c=(0,0,2).求:
(1)a·(b+c);(2)a+6b-8c.
解 (1)∵b=(2,0,3),c=(0,0,2),∴b+c=(2,0,5).
又a=(2,-3,1),
∴a·(b+c)=2×2+0×(-3)+5×1=4+0+5=9.
(2)a+6b-8c=(2,-3,1)+6(2,0,3)-8(0,0,2)=(2,-3,1)+(12,0,18)-(0,0,16)=(14,-3,3).
知識點2　空間向量平行(共線)和垂直的條件
我們知道,當b≠0時,a∥b λ∈R,使得a=λb.
共線向量基本定理
使用此式時注意分母不能為0
類似地,可得a⊥b a·b=0 x1x2+y1y2+z1z2=0.
思考辨析
平面向量中的結(jié)論:已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a∥b x1y2-x2y1=0.此結(jié)論在空間向量中能推廣嗎
提示 不能推廣.
自主診斷
1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)
(1)若a=(2,0,1),b=(-2,3,0),則a⊥b.(　　)
×
×
×
2.(多選題)已知a=(2,-3,1),則下列向量中與a平行的是(　　)
A.(1,1,1)　　　　　
B.(-4,6,-2)
C.(2,-3,5)
D.(-2,3,-1)
BD
3.已知向量a=(1,2,1),b=(1,1,0)且b⊥(ka+b),則k=(　　)
D
解析 ∵向量a=(1,2,1),b=(1,1,0),∴ka+b=(k+1,2k+1,k).
∵b⊥(ka+b),∴b·(ka+b)=k+1+2k+1=0,解得k=- .
知識點3　空間向量長度與夾角的坐標表示
設(shè)向量a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),根據(jù)空間向量運算的坐標表示,可以得到以下結(jié)論:
思考辨析
1.你能利用空間向量運算的坐標表示推導空間兩點間的距離公式嗎
提示 如圖,建立空間直角坐標系O-xyz,
2.平面向量夾角的坐標表示是否可以推廣到空間向量夾角的坐標表示
提示 可以.
自主診斷
1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)
(1)若a=(1,2,0),b=(-2,0,1),則|a|=|b|.(　　)
(2)設(shè)a=(1,-1,1),b=(-2,0,1),則cos= .(　　)
√
√
2.[人教A版教材習題]求證:以A(4,1,9),B(10,-1,6),C(2,4,3)為頂點的三角形是等腰直角三角形.
3.[人教A版教材習題]如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別為棱A1A和B1B的中點,求CM和D1N所成角的余弦值.
重難探究·能力素養(yǎng)速提升
探究點一　　空間向量的坐標表示
【例1】 (1)已知a=(-1,2,1),b=(2,0,1),則(2a+3b)·(a-b)=　　　　.
-4
解析 易得2a+3b=(4,4,5),a-b=(-3,2,0),
則(2a+3b)·(a-b)=4×(-3)+4×2+5×0=-4.
規(guī)律方法　用坐標表示空間向量的步驟如下:
變式訓練1(1)如圖,在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,取點D為原點建立空間直角坐標系,O,M分別是AC,DD1的中點,寫出下列向量的坐標.
(-2,0,1)
(1,1,2)
★(2)如圖,已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面,M,N分別是AB,PC的中點,并且PA=AD=1,建立空間直角坐標系,求向量 的坐標.
解 以A為原點,AD,AB,AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系如圖所示,
探究點二　　空間向量的坐標運算
【例2】 已知在空間直角坐標系中,點A(1,-2,4),B(-2,3,0),C(2,-2,-5).
規(guī)律方法　空間向量的坐標運算注意以下幾點:
(1)一個向量的坐標等于這個向量的終點坐標減去起點坐標.
(2)空間向量的坐標運算類似于平面向量的坐標運算,牢記運算公式是應用的關(guān)鍵.
(3)運用公式可以簡化運算:(a±b)2=a2±2a·b+b2;(a+b)·(a-b)=a2-b2.
探究點三　　空間向量的平行與垂直
所以2a-b=-2c,所以(2a-b)∥c.
②由①知ka+b=(k-1,k,2),ka-2b=(k+2,k,-4).
又因為(ka+b)⊥(ka-2b),所以(ka+b)·(ka-2b)=0,即(k-1,k,2)·(k+2,k,-4) =2k2+k-10=0.
變式探究1若本例3(2)中的PQ⊥AE改為B1Q⊥EQ,其他條件不變,結(jié)果如何
變式探究2本例3(2)中若點G是A1D的中點,點H在平面xOy上,且GH∥BD1,試判斷點H的位置.
規(guī)律方法　1.判斷兩向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要條件;已知兩向量平行或垂直求參數(shù)值,則利用平行、垂直的充要條件,將位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為坐標關(guān)系,列方程(組)求解.
2.利用向量證明直線、平面平行或垂直,要建立恰當?shù)目臻g直角坐標系,求出相關(guān)向量的坐標,利用向量平行、垂直的充要條件證明.
變式訓練3(1)已知△ABC的頂點分別為A(1,-1,2),B(5,-6,2),C(1,3,-1),則邊AC上的高BD的長為(　　)
A
★(2)如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點P在線段A1D上,點Q在線段AC上,線段PQ與直線A1D和AC都垂直,求證:PQ∥BD1.
證明 以點D為坐標原點,分別以直線DA,DC,DD1為x軸,y軸,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,設(shè)正方體的棱長為1,則
探究點四　　空間向量夾角與模的計算
【例4】 如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M,N分別是AA1,CB1的中點.求:
(1)BM,BN的長;
(2)△BMN的面積.
解 以C為原點,CA,CB,CC1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系(如圖),
規(guī)律方法　向量夾角與模的計算方法
利用坐標運算解決空間向量夾角與長度的計算問題,關(guān)鍵是建立恰當?shù)目臻g直角坐標系,寫出有關(guān)向量的坐標,然后利用夾角與模的計算公式進行
求解.
變式訓練4已知空間三點A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).
學以致用·隨堂檢測促達標
1
2
3
4
5
1.已知a=(-1,2,1),b=(2,0,1),則(2a+3b)·(a-b)=(　　)
A.4 B.2
C.-2 D.-4
D
解析 因為2a+3b=(-2,4,2)+(6,0,3)=(4,4,5),a-b=(-3,2,0),
所以(2a+3b)·(a-b)=-12+8+0=-4.
1
2
3
4
5
2. 已知a=(1,-4,-4),b=(m,2,-2m+1),若a∥b,則m的值為(　　)
C
1
2
3
4
5
3.(多選題)對于任意非零向量a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),以下說法錯誤的是
(　　)
A.若a⊥b,則x1x2+y1y2+z1z2=0
BD
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
4.向量a=(2,1,x),b=(2,y,-1),若|a|= ,且a⊥b,則x+y的值為　　　　.
-4
1
2
3
4
5
5.已知向量a=(0,-1,1),b=(4,1,0),|λa+b|= ,且λ>0,則λ等于　　　　.
3

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