資源簡介

(共56張PPT)
北師大版 數學 選擇性必修第一冊
課程標準 1.通過實例,了解分類加法計數原理與分步乘法計數原理及其意義.
2.會用這兩個原理分析和解決一些簡單的實際計數問題.
基礎落實·必備知識一遍過
知識點1　分類加法計數原理
1.內容:完成一件事,可以有n類辦法,在第1類辦法中有m1種方法,在第2類辦法中有m2種方法……在第n類辦法中有mn種方法,那么,完成這件事共有
N=　　　　　　　　種方法.(也稱“加法原理”)
2.特點:①完成一件事有若干種方法,這些方法可以分成n類,且類與類之間兩兩不交;
　 分類標準明確,做到不重不漏
②用每一類中的每一種方法都可以完成這件事;③把各類的方法數　　　　　,就可以得到完成這件事的所有方法數.
m1+m2+…+mn
相加
名師點睛
1.定性:(1)明確原理中所指的“完成一件事”是什么事;(2)怎樣才算完成這件事;(3)完成這件事可以有哪些辦法.
2.獨立性:(1)完成這件事的n類辦法是相互獨立的;(2)每一類辦法中的方法都可以單獨完成這件事,不需要用到其他的方法.
3.分類:這是利用分類加法計數原理解題的關鍵,分類必須明確標準,(1)每一種方法都必須屬于某一類,不同類的任意兩種方法是不同的;(2)每一類中的任意兩種方法也不相同.
思考辨析
從甲地到乙地,可以乘飛機,可以乘火車,也可以乘輪船,還可以乘汽車.每天有4個班次的飛機,有5個班次的火車,有3個班次的輪船,有2個班次的汽車.那么,乘坐以上交通工具中的一種從甲地到乙地,在一天中共有多少種選擇呢
提示 所有方法可以分成乘飛機、火車、輪船、汽車4類辦法,每類辦法中分別有4,5,3,2種方法.于是,乘坐以上交通工具從甲地到乙地,共有4+5+3+2=14(種)方法.
自主診斷
1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)
(1)在分類加法計數原理中,兩類不同方案中的方法可以相同.(　　)
(2)在分類加法計數原理中,每類方案中的方法都能完成這件事.(　　)
×
√
2.[人教B版教材例題]某班班委由2位女同學、3位男同學組成,現要從該班班委里選出2人去參加學校組織的培訓活動,要求至少要有1位女同學參加,則不同的選法共有多少種
解 按照選擇的女同學人數分為兩種情況,即2位都是女同學和只有1位女同學.
2位都是女同學的選法顯然只有1種.
只有1位女同學的選法,可以分為兩步完成:先從2位女同學中選出1人,有2種選法;再從3位男同學中選出1人,有3種選法.依據分步乘法計數原理,共有不同的安排方法2×3=6(種).
依據分類加法計數原理,不同的選法共有6+1=7(種).
3.[人教A版教材習題]一個商店銷售某種型號的電視機,其中本地的產品有4種,外地的產品有7種.要買1臺這種型號的電視機,有多少種不同的選法
解 這件事情是“買1臺某種型號的電視機”,根據分類加法計數原理,選法有4+7=11(種).
知識點2　分步乘法計數=原理
1.內容:完成一件事需要經過n個步驟,缺一不可,做第1步有m1種不同的方法,做第2步有m2種不同的方法……做第n步有mn種不同的方法,那么,完成這件事共有N=　　　　 種方法(也稱“乘法原理”).
2.特點:①完成一件事需要經過n個步驟,缺一不可;②完成每一步有若干方法;③把各個步驟的方法數　　　　,就可以得到完成這件事的所有方法數.　　
這n個步驟都要完成
m1·m2·…·mn
相乘
名師點睛
1.定性:(1)明確原理中所指的“完成一件事”是什么事;(2)要經過幾步才能完成這件事.
2.相關性:(1)完成這件事需要分成若干個步驟;(2)只有每個步驟都完成了,才算完成這件事,缺少任一步驟,這件事都不可能完成.
3.分步:這是利用分步乘法計數原理解題的關鍵,(1)準確確定分步的標準,一般地,分步的標準不同,分成的步驟數也會不同;(2)要注意各步驟之間必須連續;(3)各步驟之間既不能重復,也不能遺漏.
思考辨析
某幼兒園王老師和李老師給小朋友發水果.王老師的果籃里有草莓、蘋果、芒果3種水果.李老師的果籃里有蘋果、櫻桃、香蕉、獼猴桃4種水果.小華可以在兩個老師的果籃里分別選一個水果.小華拿到兩種不同的水果的情況有多少種
提示 分兩種情況:
①小華拿到的水果里沒有蘋果,則在王老師的果籃里有2種選法,在李老師的果籃里有3種選法,共有2×3=6(種)選法;
②小華拿到的水果里有蘋果,再分蘋果來自王老師還是李老師的果籃,共有1×3+2×1=5(種)選法,
由分類加法計數原理知,共有6+5=11(種)選法.
自主診斷
1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)
(1)在分步乘法計數原理中,每個步驟中完成這個步驟的方法是各不相同的.(　　)
(2)在分步乘法計數原理中,事情若是分兩步完成的,那么其中任何一個單獨的步驟都不能完成這件事,只有兩個步驟都完成后,這件事情才算完成.(　　)
√
√
2.一個袋子里放有6個球,另一個袋子里放有8個球,每個球各不相同,從兩個袋子里各取一個球,共有　　　　種不同的取法.
48
解析 由分步乘法計數原理知,共有6×8=48(種)不同的取法.
3.[人教A版教材習題]由數字1,2,3,4,5可以組成多少個三位數(各位上的數字可以重復)
解 分3步來解決.由于各位上的數字可重復,因此三位數中每一位都有5種取法,所以共可以組成5×5×5=125(個)三位數.
重難探究·能力素養速提升
探究點一　　分類加法計數原理
【例1】 個位數字比十位數字大的兩位數有多少個
解 (方法一)按個位數字分類,有以下幾類:
個位是9,則十位可以是1,2,3,…,8中的一個,故有8個;
個位是8,則十位可以是1,2,3,…,7中的一個,故有7個;
同理,個位是7的有6個;
個位是6的有5個;
……
個位是2的有1個.
由分類加法計數原理知,滿足條件的兩位數有1+2+3+4+5+6+7+8=36(個).
(方法二)按十位上的數字分別是1,2,3,4,5,6,7,8的情況分成8類,在每一類中滿足題目條件的兩位數分別有8個,7個,6個,5個,4個,3個,2個,1個.由分類加法計數原理知,滿足條件的兩位數有1+2+3+4+5+6+7+8=36(個).
規律方法　分類加法計數原理的示意圖
集合S共有m1+m2+…+mn個元素
完成事件S共有m1+m2+…+mn種方法
變式訓練1若a,b均屬于{-1,0,1,2},且關于x的方程ax2+2x+b=0有實數解,則有序數對(a,b)的個數為(　　)
A.14 B.13 C.12 D.10
B
解析 因為a,b均屬于{-1,0,1,2},可分為兩類:①當a=0時,b可能為-1或0或1或2,即b有4種不同的選法;②當a≠0時,依題意得Δ=4-4ab≥0,所以ab≤1.當a=-1時,b有4種不同的選法;當a=1時,b可能為-1或0或1,即b有3種不同的選法;當a=2時,b可能為-1或0,即b有2種不同的選法.根據分類加法計數原理,有序數對(a,b)的個數為4+4+3+2=13.
探究點二　　分步乘法計數原理
【例2】 (1)已知x∈{1,2,4},y∈{-2,-3,5},則xy可表示不同的值的個數為
(　　)
A.8 B.9 C.10 D.12
B
解析 x∈{1,2,4},y∈{-2,-3,5},從x中選1個值,從y中選1個值,共有3×3=9(種)運算結果,且沒有相同的運算結果.
★(2)[蘇教版教材習題]3名同學每人從5本不同的電子書中任選1本,共有多少種不同的選法
分析3名同學選電子書,每名同學依次選電子書要分3步進行.每名同學選電子書都有5種不同的選法.
解 第一名同學選1本電子書有5種不同的選法,第二、第三名同學各選1本電子書,仍各有5種不同的選法.因此,根據分步乘法計數原理,3名同學每人各選1本電子書的不同選法種數是5×5×5=125.
規律方法　利用分步乘法計數原理的解題流程
變式訓練2(1)現有3名教師、8名男學生和5名女學生共16人.若需1名教師和1名學生參加評選會議,則不同的選法種數為(　　)
A.39 B.24 C.15 D.16
A
解析 先從3名教師中任選1名,有3種選法,再從13名學生中任選1名,有13種選法.由分步乘法計數原理知,不同的選法種數為3×13=39.
★(2)給一些書編號,準備用3個字符,其中首字符用A,B,后兩個字符用a,b,c(允許重復),則不同編號的書共有(　　)
A.8本 B.9本
C.12本 D.18本
D
解析 需分三步完成:第一步,首字符有2種編法;第二步,第二個字符有3種編法;第三步,第三個字符有3種編法,故由分步乘法計數原理知不同編號的書共有2×3×3=18(本).
探究點三　　兩個計數原理的綜合應用
【例3】 現有5幅不同的國畫,2幅不同的油畫,7幅不同的水彩畫.
(1)從中任選一幅畫布置房間,有幾種不同的選法
(2)從這些國畫、油畫、水彩畫中各選一幅布置房間,有幾種不同的選法
(3)從這些畫中選出兩幅不同種類的畫布置房間,有幾種不同的選法
解 (1)從國畫中選,有5種不同的選法;從油畫中選,有2種不同的選法;從水彩畫中選,有7種不同的選法.根據分類加法計數原理,共有5+2+7=14(種)不同的選法.
(2)從國畫、油畫、水彩畫各選一幅,分別有5種、2種、7種不同的選法,根據分步乘法計數原理,共有5×2×7=70(種)不同的選法.
(3)第一類是一幅選自國畫,一幅選自油畫,由分步乘法計數原理知,有5×2=10(種)不同的選法;
第二類是一幅選自國畫,一幅選自水彩畫,有5×7=35(種)不同的選法;
第三類是一幅選自油畫,一幅選自水彩畫,有2×7=14(種)不同的選法.
所以共有10+35+14=59(種)不同的選法.
規律方法　1.在處理具體的應用題時,首先必須弄清是“分類”還是“分步”,其次要搞清“分類”或“分步”的具體標準是什么,選擇合理的標準處理事件,關鍵是看能否獨立完成這件事,避免計數的重復或遺漏.
2.對于一些比較復雜的既要運用分類加法計數原理又要運用分步乘法計數原理的問題,我們可以恰當地畫出示意圖或列出表格,使問題更加直觀、清晰.
3.明晰兩個原理,進行正確運算,體現了數學運算的核心素養.
變式訓練3集合A={1,2,-3},B={-1,-2,3,4},從A,B中各取1個元素,作為點P(x,y)的坐標.
(1)可以得到多少個不同的點
(2)這些點中,位于第一象限的有幾個
解 (1)可分為兩類:A中元素為x,B中元素為y或A中元素為y,B中元素為x,則共得到3×4+4×3=24(個)不同的點.
(2)第一象限內的點,即x,y均為正數,所以只能取A,B中的正數,共有2×2+2×2=8(個)不同的點.
學以致用·隨堂檢測促達標
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A 級 必備知識基礎練
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1.[探究點一·2024山東日照月考]某同學從4本不同的科普雜志,3本不同的文摘雜志,2本不同的娛樂新聞雜志中任選1本閱讀,則不同的選法共有(　)
A.24種 B.9種
C.3種 D.26種
B
解析 不同的雜志本數為4+3+2=9,從中任選1本閱讀,共有9種選法.
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2.[探究點二]5名同學報名參加兩個課外活動小組,每名同學限報其中的一個小組,則不同的報名方法共有(　　)
A.10種 B.20種 C.25種 D.32種
D
解析 每名同學限報其中的一個小組,各有2種報名方法,根據分步乘法計數原理,不同的報名方法共有25=32(種).
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3.[探究點三]如果一條直線與一個平面平行,那么稱此直線與平面構成一個“平行線面組”.在一個長方體中,由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構成的“平行線面組”的個數是(　　)
A.60 B.48 C.36 D.24
B
解析 長方體的6個表面構成的“平行線面組”有6×6=36(個),另外含4個頂點的6個面(非表面)構成的“平行線面組”有6×2=12(個),所以共有36+12=48(個).
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4.[探究點二·蘇教版教材習題]若4名學生報名參加數學、計算機、航模興趣小組,每人選報1項,則不同的報名方式有(　　)
A.34種 B.43種
C.3×2×1種 D.4×3×2種
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5.[探究點一]已知a∈{2,4,6,8},b∈{3,5,7,9},則能使logab>1的對數值有
　　　　　個.
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解析 分四類,當a=2時,b取3,5,7,9四種情況;當a=4時,b取5,7,9三種情況;當a=6時,b取7,9兩種情況;當a=8時,b取9一種情況,所以總共有4+3+2+1=10種,又因為log23=log49,所以對數值有9個.
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6.[探究點三]用0到9這十個數字,可以組成沒有重復數字的三位偶數的個數為　　　　　.
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解析 若個位數字為0,則前兩位的排法種數為9×8=72;若個位數字不為0,則確定個位數字有4種方法,確定百位數字有8種方法,確定十位數字有8種方法,所以排法種數為4×8×8=256.所以可以組成256+72=328(個)沒有重復數字的三位偶數.
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7.[探究點一]如圖所示,在A,B間有四個焊接點,若焊接點脫落,則可能導致電路不通.今發現A,B之間線路不通,則焊接點脫落的不同情況有
　　　　種.
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解析 按照焊接點脫落的個數進行分類:第1類,脫落1個,有1,4,共2種;第2類,脫落2個,有(1,4),(2,3),(1,2),(1,3),(4,2),(4,3),共6種;第3類,脫落3個,有(1,2,3),(1,2,4),(2,3,4),(1,3,4),共4種;第4類,脫落4個,有(1,2,3,4),共1種.根據分類加法計數原理,共有2+6+4+1=13(種)焊接點脫落的情況.
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8.[探究點三]有一項活動,需從3位教師、8名男同學和5名女同學中選人參加.
(1)若只需1人參加,則有多少種不同的選法
(2)若需教師、男同學、女同學各1人參加,則有多少種不同的選法
解 (1)選1人,可分3類:第1類,從教師中選1人,有3種不同的選法;第2類,從男同學中選1人,有8種不同的選法;第3類,從女同學中選1人,有5種不同的選法.共有3+8+5=16(種)不同的選法.
(2)選教師、男同學、女同學各1人,分3步進行:第1步,選教師,有3種不同的選法;第2步,選男同學,有8種不同的選法;第3步,選女同學,有5種不同的選法.共有3×8×5=120(種)不同的選法.
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9. [探究點三]已知集合A={2,4,6,8,10},B={1,3,5,7,9},在A中任取一元素m,在B中任取一元素n,組成數對(m,n),問:
(1)有多少個不同的數對
(2)其中m>n的數對有多少個
解 (1)從集合A中先選出m有5種方法,從集合B中再選出n有5種方法,根據分步乘法計數原理知共有5×5=25(個)不同的數對.
(2)在(1)中的25個數對中,m>n的數對可以分類來解,當m=2時,n=1,有1種結果;當m=4時,n=1,3,有2種結果;當m=6時,n=1,3,5,有3種結果;當m=8時,n=1,3,5,7,有4種結果;當m=10時,n=1,3,5,7,9,有5種結果.
綜上所述,共有1+2+3+4+5=15(個)滿足條件的數對.
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10.某城市在中心廣場建造一個花圃,花圃分為6個部分,如圖所示.現要栽種4種不同顏色的花,每部分栽種一種且相鄰部分不能栽種同樣顏色的花,則不同的栽種方法有(　　)
A.80種 B.120種
C.160種 D.240種
B
B 級 關鍵能力提升練
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解析 第一步,對1號區域,栽種有4種選擇;第二步,對2號區域,栽種有3種選擇;第三步,對3號區域,栽種有2種選擇;第四步,對5號區域,栽種分為三種情況,
①5號與2號栽種相同,則4號栽種僅有1種選擇,6號栽種有2種選擇,②5號與3號栽種相同,情況同上,③5號與2,3號栽種都不同,則4,6號只有1種.
綜上所述,不同的栽種方法有4×3×2×(1×2×2+1×1)=120(種).
故選B.
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11.某單位有4位同事各有一輛私家車,車牌尾數分別是0,1,2,5,為遵守所在城市1月15日至18日4天的限行規定(奇數日車牌尾數為奇數的車通行,偶數日車牌尾數為偶數的車通行),四人商議拼車出行,每天任選一輛符合規定的車,但甲的車(車牌尾數為2)最多只能用一天,則不同的用車方案種數是
(　　)
A.4 B.12
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解析 15日至18日,有2天奇數日和2天偶數日,車牌尾數中有2個奇數和2個偶數.
第一步安排奇數日出行,每天都有2種選擇,共有22=4(種).
第二步安排偶數日出行,分兩類:
第一類,先選1天安排甲的車,另外一天安排其他車,有2種;
第二類,不安排甲的車,只有1種選擇,共計1+2=3(種).
根據分步乘法計數原理,不同的用車方案種數共有4×3=12.
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12.(多選題)已知a∈{2,3,4},b∈{4,6,7},則方程 可表示不同的橢圓的個數用式子表示為(　　)
A.3+3+3 B.3+3+2
C.3×3-1 D.3×3
BC
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13.(多選題)某校實行選課走班制度,張毅同學選擇的是地理、生物學、思想政治這三科,且其所選的生物學課在B層上,該校周一上午選課走班的課程安排如下表所示,張毅選擇三個科目的課各上1節,另外1節上自習,則下列說法正確的是(　　)
第1節 第2節 第3節 第4節
地理1班 化學A層3班 地理2班 化學A層4班
生物學A層1班 化學B層2班 生物學B層2班 歷史B層1班
物理A層1班 生物學A層3班 物理A層2班 生物學A層4班
物理B層2班 生物學B層1班 物理B層1班 物理A層4班
思想政治1班 物理A層3班 思想政治2班 思想政治3班
A.該同學有4種選課方式 B.該同學有5種選課方式
C.自習不可能安排在第2節 D.自習可安排在4節課中的任1節
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解析 由于生物學在B層,只有第2,3節有,故分兩類:
若生物學選第2節,則地理可選第1節或第3節,有2種選法,其他兩節思想政治、自習任意選,故有2×2=4(種)(此種情況自習可安排在第1,3,4節中的某節);若生物學選第3節,則地理只能選第1節,思想政治只能選第4節,自習只能選第2節,故有1種.根據分類加法計數原理可得選課方式有4+1=5(種).綜上,自習可安排在4節課中的任1節.故選BD.
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14.(多選題)用0,1,2,3,4這五個數字組成無重復數字的自然數.如果十位上的數字比百位上的數字和個位上的數字都小,則稱這個數為“凹數”,如301,423等都是“凹數”,則下列結論中正確的是(　　)
A.組成的三位數的個數為60
B.在組成的三位數中,偶數的個數為30
C.在組成的三位數中,“凹數”的個數為20
D.在組成的三位數中,“凹數”的個數為30
BC
解析 對于A,因為百位上的數字不能為零,所以組成的三位數的個數為4×4×3=48,故A錯誤;對于B,將所有三位數中的偶數分為兩類,①個位為0,則有4×3=12(種),②個位為2或4,則有2×3×3=18(種),所以在組成的三位數中,偶數的個數為12+18=30,故B正確;對于C,D,將這些“凹數”分為三類,①十位為0,則有4×3=12(種),②十位為1,則有3×2=6(種),③十位為2,則有2×1=2(種),所以在組成的三位數中,“凹數”的個數為12+6+2=20(種),故C正確,D錯誤.故選BC.
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15.回文數是指從左到右與從右到左讀都一樣的正整數,如22,121,3 443,94 249等.顯然2位回文數有9個:11,22,33,…,99,3位回文數有90個: 101,111,121,…,191,202,…,999.則
(1)5位回文數有　　　　　個;
(2)2n(n∈N+)位回文數有　　　　　個.
900
9×10n-1　
解析 (1)5位回文數相當于填5個方格,首尾相同,且不為0,共9種填法,第2位和第4位一樣,有10種填法,中間一位有10種填法,共有9×10×10=900(種)填法,即5位回文數有900個.
(2)根據回文數的定義,結合分步乘法計數原理,知有9×10n-1個回文數.
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16.如圖所示的電路,若合上兩只開關以接通從A到B的電路,則有
　　　　　種不同的接通電路的方法.
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解析 由A到B的通電線路接通方法可分為三類:第一類,上路接通,有2×1=2(種)方法;第二類,中路接通,有1×7=7(種)方法;第三類,下路接通,有2×2=4(種)方法.根據分類加法計數原理,共有2+7+4=13(種)不同的方法.
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17.已知集合P={1,2,3,4,5},若A,B是P的兩個非空子集,則所有滿足A中的最大數小于B中的最小數的集合對{A,B}的個數為多少
解 根據題意,分4種情況討論:
當A中的最大數為1,即A={1}時,B={2},{3},{4},{5},{2,3},{2,4},{2,5},{3,4}, {3,5},{4,5},{2,3,4},{2,3,5},{2,4,5},{3,4,5},{2,3,4,5},即{2,3,4,5}的非空子集的個數為24-1=15(個);
當A中的最大數為2,即A={2},{1,2}時,B={3},{4},{5},{3,4},{3,5},{4,5}, {3,4,5},即2×(23-1)=14(個);
當A中的最大數為3,即A={3},{1,3},{2,3},{1,2,3}時,B={4},{5},{4,5},即4×3=12(個);
當A中的最大數為4,即A={4},{1,4},{2,4},{3,4},{1,2,4},{1,3,4},{2,3,4}, {1,2,3,4}時,B={5},即{1,2,3}的子集的個數為23=8(個).
所以總個數為15+14+12+8=49(個).
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18.用1,2,3,4四個數字(可重復)排成三位數,并把這些三位數由小到大排成一列.
(1)寫出排列后的第11個數.
(2)這些三位數有多少個
(3)若第n個數為341,求n.
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解 (1)排列的第11個數為133.
(2)每個數位上都有4種排法,
則這些三位數共有4×4×4=64(個).
(3)比341小的數有兩類,如下表所示,
①
②
1 × ×
2 × ×
3 1 ×
3 2 ×
3 3 ×
共有2×4×4+1×3×4=44(個).所以n=44+1=45.
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19.某電視臺連續播放6個廣告,其中有3個不同的商業廣告、2個不同的宣傳廣告、1個公益廣告,要求最后播放的不能是商業廣告,且宣傳廣告與公益廣告不能連續播放,兩個宣傳廣告也不能連續播放,則有多少種不同的播放方式 (用1,2,3,4,5,6表示廣告的播放順序)
C 級 學科素養創新練
解 完成這件事有三類方法.
第一類:宣傳廣告與公益廣告的播放順序是2,4,6,分6步完成這件事,共有3×3×2×2×1×1=36(種)不同的播放方式;
第二類:宣傳廣告與公益廣告的播放順序是1,4,6,分6步完成這件事,共有3×3×2×2×1×1=36(種)不同的播放方式;
第三類:宣傳廣告與公益廣告的播放順序是1,3,6,同樣分6步完成這件事,共有3×3×2×2×1×1=36(種)不同的播放方式.
由分類加法計數原理知,6個廣告不同的播放方式有36+36+36=108(種).
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