資源簡介

(共33張PPT)
北師大版 數學 選擇性必修第一冊
課標定位
素養闡釋 1.通過實例,理解排列和排列數的概念.
2.能利用分步乘法計數原理推導簡單的排列數.
3.能利用畫“樹形圖”法寫出一些簡單問題的所有排列.
4.通過學習排列的概念,利用“樹形圖”列舉一些簡單問題的所有排列,提升直觀想象和邏輯推理素養.
自主預習 新知導學
一、排列的概念
【問題思考】
1.高二(1)班為了安排正、副班長,先由學生推薦選舉出五名候選人,分別記為A,B,C,D,E,再由班主任選出兩名擔任正、副班長.請思考問題:
(1)若班主任選A,B擔任正、副班長,有幾種安排方法
提示:兩種,即A為正班長、B為副班長,A為副班長、B為正班長.
(2)請你用分步乘法計數原理計算一下班主任共有多少種安排方法.
提示:第1步,安排正班長,有5種方法;第2步,安排副班長,有4種方法.因此,根據分步乘法計數原理,共有5×4=20種.
(3)請用“樹形圖”列舉這五名候選人擔任正、副班長的安排情況.
提示:如答圖5-2-1.
答圖5-2-1
2.排列的概念:一般地,從n個不同元素中取出m(m≤n,且m,n∈N+)個元素,按照 一定的順序 排成一列,叫作從n個不同元素中取出m個元素的一個排列.
3. 下列問題中,是排列問題的是(　　).
A.由1,2,3三個數字組成無重復數字的三位數
B.從40人中選5人組成籃球隊
C.從100人中選2人進行抽樣調查
D.從1,2,3,4,5中選2個數組成集合
解析:選項A中組成的三位數與數字的排列順序有關,選項B,C,D只需取出元素即可,與元素的排列順序無關.故只有A符合.
答案:A
二、排列數的定義
【問題思考】
1.從寫有1,2,3,4的卡片中選取卡片進行數字游戲,試填寫表5-2-1:
表5-2-1
問題 答案
(1) 從4個數字中選取2個,能構成多少個無重復數字的兩位數
(2) 從4個數字中選取3個,能構成多少個無重復數字的三位數 　
(3) 從4個數字中選取4個,能構成多少個無重復數字的四位數 　
提示:(1)4×3=12　(2)4×3×2=24 (3)4×3×2×1=24
2.(1)排列數的定義:我們把從n個不同元素中取出m(m≤n,且m,n∈N+)個元素的所有 不同排列 的個數,叫作從n個不同元素中取出m個元素的排列數,記作　　.
(2)排列問題:我們把有關求排列的 個數 的問題叫作排列問題.
答案:12　6
【思考辨析】
判斷下列說法是否正確,正確的在它后面的括號里畫“√”,錯誤的畫“×”.
(1)兩個排列的元素相同,則這兩個排列是相同的排列.(　　)
(2)從6名學生中選3名學生分別參加數學、物理、化學競賽,共有多少種選法屬于排列問題.(　　)
(3)有12名學生參加植樹活動,要求三人一組,共有多少種分組方案屬于排列問題.(　　)
(4)從3,5,7,9中任取兩個數進行指數運算,可以得到多少個冪屬于排列問題.
(　　)
×
√
×
√
合作探究 釋疑解惑
探究一
排列的概念
【例1】 判斷下列問題是不是排列問題.
(1)北京、上海、廣州三個民航站之間的直達航線的飛機票的價格(假設來回的票價相同)有多少種
(2)從6個小組中選2個小組分別去植樹和種菜,共有多少種安排方式
(3)從6個小組中選2個小組去種菜,共有多少種選法
(4)從60名學生中選10名學生組成一個學習小組,共有多少種選法
(5)從全班45名學生中選3名學生分別擔任班長、學習委員、生活委員,共有多少種安排方式
解:(1)中票價只有三種,以北京—上海和上海—北京為例,雖然機票是不同的,但票價是一樣的,不存在順序問題,所以不是排列問題.
(2)植樹和種菜是不同的,存在順序問題,屬于排列問題.
(3)(4)不存在順序問題,不屬于排列問題.
(5)中每名學生的職務不同,例如甲當班長和甲當學習委員是不同的,存在順序問題,屬于排列問題.
所以,上述問題中(2)(5)屬于排列問題.
判斷是不是排列問題的關鍵是選出的元素在被安排時,是否與順序有關.若與順序有關,則是排列問題,否則就不是排列問題.
【變式訓練1】 判斷下列問題是不是排列問題.
(1)某高中高一上學期某個周一6節課(這6節課均不同)的課程安排,共有多少種
(2)在某校的春季運動會上,高一(1)班4×100米接力賽的運動員的安排,共有多少種
(3)某會場有50個座位,要求選出3個座位,有多少種選法 若選出3個座位分別安排3位客人入座,又有多少種選法
解:(1)(2)均為排列問題,因為它們都與順序有關.(3)選出3個座位與順序無關,不是排列問題;“入座”問題同“排隊”問題,與順序有關,故選出3個座位分別安排3位客人入座是排列問題.
探究二
寫出簡單問題的所有排列
【例2】 A,B,C,D 4個人坐成一排照相,有多少種坐法 將它們列出來.
解:第1步,第1個位置可以從A,B,C,D四人中任選1人,有4種方法;第2步,第2個位置從剩余三人中任選1人,有3種方法;第3步,第3個位置從剩余二人中任選1人,有2種方法;第4步,第4個位置安排最后一人,有1種方法.
由分步乘法計數原理,得共有4×3×2×1=24種坐法.
畫出樹形圖,如圖如答圖5-2-2.
答圖5-2-2
由樹形圖可知,所有坐法為ABCD,ABDC,ACBD,ACDB,ADBC,ADCB, BACD,BADC,BCAD,BCDA,BDAC,BDCA,CABD,CADB,CBAD,CBDA,
CDAB,CDBA,DACB,DABC,DBAC,DBCA,DCAB,DCBA,共有24種.
1.在本例中,若在條件中增加一條“A不坐排頭”,則結論如何
解:畫出樹形圖,如答圖5-2-3.
由樹形圖可知,所有坐法為BACD,BADC,BCAD,BCDA,BDAC,BDCA, CABD,CADB,CBAD,CBDA,CDAB,CDBA,DACB,DABC,DBAC,DBCA, DCAB,DCBA,共有18種.
答圖5-2-3
2.在本例中,若在條件中增加一條“A不坐排頭和排尾”,則結論如何
解:畫出樹形圖,如答圖5-2-4.
故所有坐法為BACD,BADC,BCAD,BDAC,CABD,CADB,CBAD,CDAB, DABC,DACB,DBAC,DCAB,共有12種.
答圖5-2-4
3.在本例中,若在條件中增加一條“A,B不相鄰”,則結論如何
解:畫出樹形圖,如答圖5-2-5.
由樹形圖可知,所有坐法為ACBD,ACDB,ADBC,ADCB,BCAD,BCDA,　BDAC,BDCA,CADB,CBDA,DACB,DBCA,共有12種.
答圖5-2-5
利用“樹形圖”解決簡單排列問題的適用范圍及策略
(1)適用范圍:樹形圖在解決排列元素個數不多的問題時,是一種比較有效的表示方式.
(2)策略:在操作中先將元素按一定順序排出,然后以先安排哪個元素為分類標準進行分類,再安排第二個元素,并按此元素分類,依次進行,直到完成一個排列,這樣能做到不重不漏,然后再按樹形圖寫出排列.
【變式訓練2】 從0,1,2,3這4個數字中,每次取出3個數字排成一個三位數.
(1)能組成多少個不同的三位數 并寫出這些三位數.
(2)若組成的這些三位數中,1不能在百位上,2不能在十位上,3不能在個位上,則這樣的三位數共有多少個 并寫出這些三位數.
解:(1)組成不同的三位數可分3步:
第1步,選百位上的數字,0不能排在首位,有3種不同的排法;
第2步,選十位上的數字,有3種不同的排法;
第3步,選個位上的數字,有2種不同的排法.
因此,根據分步乘法計數原理,共有3×3×2=18個不同的三位數.
畫出樹形圖,如答圖5-2-6.
答圖5-2-6
根據樹形圖可知,這些三位數是102,103,120,123,130,132,201,203,210,213,230,231,301,302,310,312,320,321.
(2)直接畫出樹形圖,如答圖5-2-7.
答圖5-2-7
由樹形圖知,符合條件的三位數有8個:201,210,230,231,301,302,310,312.
易錯辨析
忽略限制條件致誤
【典例】 由數字1,2,3,4組成的排列a1a2a3a4中,滿足a1>a2,a3>a2,a3>a4的排列的個數是　　　　　.
錯解:首先注意a1位置的數比a2位置的數大,可以借助樹形圖進行篩選.滿足a1>a2的排列,如圖5-2-1.
圖5-2-1
其次滿足a3>a2的排列,如圖5-2-2.
圖5-2-2
所以滿足條件的排列共有8個:2 143,2 134,3 124,3 142,3 241,4 123,4 132,4 231.
答案:8
以上解答過程中都有哪些錯誤 出錯的原因是什么 你如何改正 你如何
防范
提示:忽視a3>a4的限制條件而致誤.
正解:首先注意a1位置的數比a2位置的數大,可以借助樹形圖進行篩選.滿足a1>a2的排列,如圖5-2-3.
圖5-2-3
其次滿足a3>a2的排列,如圖5-2-4.
圖5-2-4
再次滿足a3>a4的排列有2 143,3 142,3 241,4 132,4 231,共5個.
答案:5
解決約束條件比較多的排列問題,常借助樹形圖,將滿足條件的排列一一列舉出來.注意列舉時不要漏掉限制條件.
【變式訓練】 在編號為1,2,3,4的四塊土地上分別試種編號為1,2,3,4的四個品種的小麥,但1號地不能種1號小麥,2號地不能種2號小麥,3號地不能種3號小麥,則共有　　　　　種不同的試種方案.
解析:畫出樹形圖,如答圖5-2-8.
答圖5-2-8
由樹形圖可知,共有11種不同的試種方案.
答案:11
隨堂練習
1.(多選題)下列問題屬于排列問題的有(　　).
A.從1,2,3,4中任取兩個數作為點的坐標,共有多少個不同的點
B.從甲、乙、丙3名同學中選出2名同學參加一項活動,共有多少種不同的結果
C.從a,b,c,d 4個字母中取出2個字母組成一個密碼,共有多少個密碼
D.從數字5,6,7,8中任取兩個數分別作對數logab的底數與真數,則logab的取值共有多少種
解析:根據排列的概念知A,C,D是排列問題.
答案:ACD
2.有5名男生和3名女生,從中選出5人分別擔任語文、數學、英語、物理、化學學科的科代表,則不同的選法共有　　　　種.
解析:由題意知,從8人中選出5人擔任5個學科的課代表,共有8×7×6×5×4=6 720種不同的選法.
答案:6 720
3.(1)有7本不同的書,從中選3本送給3名同學,每人各1本,共有多少種不同的送法
(2)有7種不同的書,要買3本送給3名同學,每人各1本,共有多少種不同的送法
解:(1)從7本不同的書中選3本送給3名同學,相當于從7個不同元素中任取3個元素的一個排列,所以共有7×6×5=210種不同的送法.
(2)由于有7種不同的書,因此送給每名同學的1本書都有7種不同的選購方法,根據分步乘法計數原理知,共有7×7×7=343種不同的送法.

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