資源簡介

(共38張PPT)
北師大版 數學 選擇性必修第一冊
基礎落實·必備知識一遍過
知識點　正方體截面探究
平面與幾何體相交所得平面圖形(包含它的內部)

用一個平面去截幾何體,此平面與幾何體的交集,叫作這個幾何體的截面,此平面與幾何體表面的交集(交線)叫作截線,此平面與幾何體的棱的交集(交點)叫作截點.
1.方法(交線法).該作圖關鍵在于確定截點,有了位于多面體同一表面上的兩個截點即可連接成截線,從而求得截面.
2.作截線與截點的主要根據有:
(1)確定平面的條件.
(2)如果兩個不重合的平面有一個公共點,那么它們相交于過此點的一條
直線.
(3)如果一條直線上的兩點在一個平面內,那么這條直線上所有的點都在這個平面內.
(4)如果一條直線平行于一個平面,經過這條直線的平面與這個平面相交,那么這條直線就和交線平行.
(5)如果兩個平面平行,第三個平面和它們相交,那么兩條交線平行.
正方體被平面所截,截面的形狀是什么
提示 截面可以為三角形、正方形、矩形、梯形、五邊形、六邊形(如圖所示).
思考辨析
自主診斷
判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)
(1)截面的邊是平面與幾何體的交線.(　　)
(2)用一個平面去截正方體最少要經過正方體的三個面,最多經過正方體的六個面.(　　)
(3)平面與正方體的截面是三角形時,三角形可以為銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形.(　　)
√
√
×
重難探究·能力素養速提升
探究點一　　截面經過的三個已知點分別在多面體的棱上,
且其中有兩點在同一個面的棱上
【例1】 如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分別在AB,BC,DD1上,求作過E,F,G三點的截面.
解 作法:(1)在底面ABCD內,過點E,F作直線EF分別與DA,DC的延長線交于點L,M.
(2)在側面A1ADD1內,連接LG交AA1于K.
(3)在側面D1DCC1內,連接GM交CC1于H.
(4)連接KE,FH.則五邊形EFHGK即為所求的截面.
規律方法　作正方體截面的方法
作正方體的截面←截面與正方體各個面的交線
　　　　　　　 ↑
截面與正方體各面的公共點
變式訓練1在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E是棱A1D1的中點,F是棱AB的中點,G是棱BC的中點,作出過E,F,G的平面截得正方體的截面形狀.
解 過E,F,G的平面截得正方體的截面為六邊形EKFGHQ,如圖所示,
作法:觀察所給的條件,發現FG是一條交線,
又因為平面ABCD∥平面A1B1C1D1,第三個平面和它們相交,截面和平面A1B1C1D1的交線一定和FG平行,
而E是A1D1的中點,故取C1D1的中點Q,則EQ也是一條交線,
再延長QE和B1A1的延長線交于點M,
則點M在平面A1B1C1D1和平面ABB1A1的交線上,
連接MF,交A1A于點K,則EK,KF又是兩條交線,
同理可以找到QH,HG兩條交線,
因此,六邊形EKFGHQ就是所求截面.
探究點二　　截面經過的三個已知點至少有一點在多面體
的面上,其余點在棱上
【例2】 如圖,正方體ABCD -A1B1C1D1中,E,F分別在棱AA1,BC上,G在底面A1B1C1D1內,求過E,F,G的截面.
解 作法:(1)過E,F作輔助面,在平面BCC1B1內,過F作FF1∥BB1,交B1C1于點F1,則平面AFF1A1為所作的輔助面.
(2)在平面AFF1A1內,延長F1A1交FE的延長線于點P.
(3)在平面A1B1C1D1內,連接PG交A1B1于點M,并延長交B1C1于N.
(4)連接ME并延長,與BA延長線交于點Q,連接QF交AD于點H.
(5)連接EH,FN,則五邊形EHFNM為所求的截面.
變式訓練2
如圖,棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1,E,F分別為棱B1C1,BB1的中點,點G在A1D上且DG=3GA1,過E,F,G三點的平面α截正方體.作出截面圖形并求出截面圖形面積.
解 如圖,過EF與EF外一點G可求得平面EFNM,交平面AA1D1D于MN,
∵EF∥平面ADD1A1,且平面EFNM∩平面ADD1A1=MN,∴EF∥MN.
探究點三　　截面問題
【例3】 如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,P為BC的中點,Q為線段CC1上的動點,過點A,P,Q的平面截該正方體所得的截面記為S.則下列命題是真命題的是　　　　　.
①當0②當CQ= 時,S為等腰梯形
③當CQ= 時,S與C1D1的交點R滿足C1R=
④當 ⑤當CQ=1時,S的面積為
①②③⑤　
變式訓練3已知正方體ABCD-A1B1C1D1內切球的表面積為π,P是空間中任意一點:
①若點P在線段AD1上運動,則始終有C1P⊥CB1;
②若M是棱C1D1中點,則直線AM與CC1是相交直線;
③若點P在線段AD1上運動,三棱錐D-BPC1體積為定值;
④E為AD中點,過點B1,且與平面A1BE平行的正方體的截面面積為
以上命題為真命題的個數為　　　　　.
3
解析 對于①,因為正方體ABCD-A1B1C1D1內切球的表面積為π,設內切球的半徑為r,則4πr2=π,解得r= ,所以正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2r=1,
如圖,因為CB1⊥BC1,CB1⊥AB,且BC1∩AB=B,
所以CB1⊥平面ABC1D1,因為C1P 平面ABC1D1,
所以C1P⊥CB1,故①正確.
對于②,由圖可知,直線AM與CC1是異面直線,故②錯誤;
對于③,由圖可知,因為CD∥平面BPC1,三棱錐D-BPC1體積等于三棱錐C-BPC1的體積,由選項A可知,CB1⊥平面BPC1,所以點C到平面BPC1的距離為
故三棱錐D-BPC1的體積為定值,故③正確;
學以致用·隨堂檢測促達標
1
2
3
4
5
6
7
A 級 必備知識基礎練
1. [探究點三]幾何體ABCD-A1B1C1D1是棱長為2的正方體,E,F,G分別為AA1,D1C1,BC的中點,過E,F,G的平面截正方體的截面面積為(　　)
C
1
2
3
4
5
6
7
2. [探究點一]如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的一個截面經過頂點A,C及棱A1D1上一點K,且將正方體分成體積之比為13∶41的兩部分,則 的值
為(　　)
C
1
2
3
4
5
6
7
解析 過點K作KE∥AC,交C1D1于點E,連接CE,
1
2
3
4
5
6
7
3. [探究點一]如圖,在棱長為4的正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別為棱AB,B1C1的中點,過C,M,N三點作正方體的截面,則以B點為頂點,以該截面為底面的棱錐的體積為(　　)
A.8
B.7
C.16
D.14
A
解析 如圖,過C,M,N三點的截面為梯形MCNE,則幾何體MBC-EB1N為棱臺,
1
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
6
7
4. [探究點一](多選題) 如圖,設正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,E為A1D1的中點,F為CC1上的一個動點,設由點A,E,F構成的平面為α,則下列說法正確的是(　　)
A.平面α截正方體的截面可能是三角形
B.當點F與點C1重合時,平面α截正方體的截面面積為2
C.點D到平面α的距離的最大值為
D.當F為CC1的中點時,平面α截正方體的截面為五邊形
BCD
1
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
6
7
B 級 關鍵能力提升練
5.已知球O與棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1的各面都相切,則平面ACB1截球O所得的截面圓與球心O所構成的圓錐的體積為(　　)
C
1
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
6
7
6.如圖所示,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,N為CC1的中點,M為線段BC上的動點(不含端點),若過點A,M,N的平面截該正方體所得截面為四邊形,則線段BM長度的取值范圍是(　　)
A
解析 當點M為線段BC的中點時,截面為四邊形AMND1,又正方體的棱長
為2,
∴當01時,截面與正方體的上底面也相交,截面為五邊形,故線段BM的取值范圍為(0,1].故選A.
1
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
6
7
C 級 學科素養創新練
7.如圖所示,在棱長為6的正方體ABCD-A1B1C1D1中,點E,F分別是棱C1D1,B1C1的中點,過A,E,F三點作該正方體的截面,則截面的周長為(　　)
B
1
2
3
4
5
6
7
解析 如圖所示,延長EF,A1B1相交于點M,連接AM交BB1于點H,延長FE,A1D1相交于點N,連接AN交DD1于點G,可得截面五邊形AHFEG.
∵幾何體ABCD-A1B1C1D1是棱長為6的正方體,且E,F分別是棱C1D1,B1C1的中點,

展開更多......

收起↑