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(共55張PPT)
北師大版 數(shù)學(xué) 選擇性必修第一冊(cè)
課程標(biāo)準(zhǔn) 1.能應(yīng)用組合知識(shí)解決有關(guān)組合的簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題.
2.能解決有限制條件的組合問(wèn)題.
基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過(guò)
課程標(biāo)準(zhǔn) 1.能應(yīng)用組合知識(shí)解決有關(guān)組合的簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題.
2.能解決有限制條件的組合問(wèn)題.
知識(shí)點(diǎn)　組合的有關(guān)概念
　　　　 　　　　 這n個(gè)元素不相同
一般地,從n個(gè)不同元素中任取m(m≤n,且m,n∈N+)個(gè)元素為一組,叫作從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合.
從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n,且m,n∈N+)個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù),叫作從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n,且m,n∈N+)個(gè)元素的組合數(shù),記作 .
可用排列數(shù)公式表示
名師點(diǎn)睛
自主診斷
1.將5本不同的書分給4名同學(xué),每名同學(xué)至少1本,不同的分法有
　　　　種.
240　
2.[人教A版教材習(xí)題](1)空間中有8個(gè)點(diǎn),其中任何4個(gè)點(diǎn)不共面,過(guò)每3個(gè)點(diǎn)作一個(gè)平面,可以作多少個(gè)平面
(2)空間中有10個(gè)點(diǎn),其中任何4個(gè)點(diǎn)不共面,過(guò)每4個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)作一個(gè)四面體,可以作多少個(gè)四面體
解 (1)因?yàn)椤叭齻€(gè)不共線的點(diǎn)確定一個(gè)平面”,且所確定的平面與點(diǎn)的順序無(wú)關(guān),所以共可確定的平面數(shù)是
(2)因?yàn)樗拿骟w由四個(gè)頂點(diǎn)唯一確定,且與四個(gè)點(diǎn)的順序無(wú)關(guān),所以共可確定的四面體個(gè)數(shù)是
3.[人教A版教材習(xí)題]在一次考試的選做題部分,要求在第1題的4個(gè)小題中選做3個(gè)小題,在第2題的3個(gè)小題中選做2個(gè)小題,在第3題的2個(gè)小題中選做1個(gè)小題,有多少種不同的選法
提示 因?yàn)橹灰x出要做的題目即可,所以是組合問(wèn)題.可以分三步分別從第1,2,3題中選題,因此由分步乘法計(jì)數(shù)原理得,不同的選法種數(shù)為
重難探究·能力素養(yǎng)速提升
探究點(diǎn)一　　有限制條件的組合問(wèn)題
【例1】 現(xiàn)有男運(yùn)動(dòng)員6名,女運(yùn)動(dòng)員4名,其中男、女隊(duì)長(zhǎng)各1名,選派5人外出比賽,在下列情形中各有多少種選派方法
(1)男運(yùn)動(dòng)員3名,女運(yùn)動(dòng)員2名;
(2)至少有1名女運(yùn)動(dòng)員;
(3)既要有隊(duì)長(zhǎng),又要有女運(yùn)動(dòng)員.
規(guī)律方法　有限制條件的抽(選)取問(wèn)題,主要有兩類:
有限制條件的選取問(wèn)題 類型 處理方案 注意事項(xiàng)
含有“特殊元素”的問(wèn)題 先取出“特殊元素”,然后利用分步乘法計(jì)數(shù)原理 分類時(shí)做到不重不漏
含有“至多”與“至少”的問(wèn)題 方法一:直接分類法;
方法二:間接法
變式訓(xùn)練1(1)某組織從4名男運(yùn)動(dòng)員、6名女運(yùn)動(dòng)員中各選一名運(yùn)動(dòng)員作為最佳運(yùn)動(dòng)員,不同的選法種數(shù)為(　　)
A.12 B.30 C.15 D.24
D
(2)從(1)中的4名男運(yùn)動(dòng)員、6名女運(yùn)動(dòng)員中選出3人參加某公益活動(dòng),則至多有2名男運(yùn)動(dòng)員的選法有　　　　　種.
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探究點(diǎn)二　　分組、分配問(wèn)題
角度1.不同元素分組、分配問(wèn)題
【例2】 有6本不同的書,按下列方式分組或分配,則共有多少種不同的
方式
(1)分成三組,每組分別有1本,2本,3本;
(2)分給甲、乙、丙三人,其中一個(gè)人1本,一個(gè)人2本,一個(gè)人3本;
(3)分成三組,每組都是2本;
(4)分給甲、乙、丙三人,每人2本.
規(guī)律方法　分組、分配問(wèn)題的求解策略
(1)分組問(wèn)題屬于“組合”問(wèn)題,常見的分組問(wèn)題有三種:
①完全均勻分組,每組的元素個(gè)數(shù)均相等;
②部分均勻分組,應(yīng)注意不要重復(fù),若有n組均勻,最后必須除以n!;
③完全非均勻分組,這種分組不考慮重復(fù)現(xiàn)象.
(2)分配問(wèn)題屬于“排列”問(wèn)題.分配問(wèn)題可以按要求逐個(gè)分配,也可以分組后再分配.
變式訓(xùn)練2《數(shù)術(shù)記遺》是東漢時(shí)期徐岳編撰的一本數(shù)學(xué)專著,該書介紹了我國(guó)古代的14種算法,其中的13種需要計(jì)算器械.某研究性學(xué)習(xí)小組3人分工搜集整理這13種計(jì)算器械的相關(guān)資料,其中一人搜集5種,另兩人每人搜集4種,則不同的分配方法種數(shù)可表示為(　　)
A
角度2.相同元素分配問(wèn)題
【例3】 將6個(gè)相同的小球放入4個(gè)編號(hào)為1,2,3,4的盒子中,分別求下列要求下的放法的種數(shù).
(1)每個(gè)盒子都不空;
(2)恰有一個(gè)空盒子;
(3)恰有兩個(gè)空盒子.
解 (1)先把6個(gè)相同的小球排成一行,在首尾兩球外側(cè)放置一塊隔板,然后在小球之間5個(gè)空隙中任選3個(gè)空隙各插一塊隔板,有 =10(種).
規(guī)律方法　相同元素分配問(wèn)題的處理策略
(1)隔板法:如果將放有小球的盒子緊挨著成一行放置,便可看作在排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板,相鄰兩塊隔板形成一個(gè)“盒”.每一種插入隔板的方法對(duì)應(yīng)著小球放入盒子的一種方法,此法稱之為隔板法.隔板法專門解決相同元素的分配問(wèn)題.
(2)將n個(gè)相同的元素分給m個(gè)不同的對(duì)象(n≥m),有 種方法.可描述為
(n-1)個(gè)空中插入(m-1)塊隔板.
變式訓(xùn)練3把16個(gè)相同的小球放到三個(gè)編號(hào)分別為1,2,3的盒子中,且每個(gè)盒子內(nèi)的小球數(shù)要大于盒子的編號(hào)數(shù),則不同的放法種數(shù)為(　　)
A.18 B.28 C.36 D.42
C
解析 根據(jù)題意,16個(gè)相同的小球放到三個(gè)編號(hào)分別為1,2,3的盒子中,且每個(gè)盒子內(nèi)的小球數(shù)要大于盒子的編號(hào)數(shù),先在1號(hào)盒子里放1個(gè)球,在2號(hào)盒子里放2個(gè)球,在3號(hào)盒子里放3個(gè)球,則原問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為將剩下的10個(gè)小球,放入3個(gè)盒子,每個(gè)盒子至少放1個(gè)的問(wèn)題,將剩下的10個(gè)球排成一排,它們之間有9個(gè)空位,在9個(gè)空位中任選2個(gè)插入“隔板”,故有 =36(種)不同的放法.
探究點(diǎn)三　　與幾何有關(guān)的組合應(yīng)用題
【例4】 如圖,在以AB為直徑的半圓周上,有異于A,B的六個(gè)點(diǎn)C1,C2,…,C6,線段AB上有異于A,B的四個(gè)點(diǎn)D1,D2,D3,D4.
(1)以C1,C2,C3,C4,C5,C6,D1,D2,D3,D4這10個(gè)點(diǎn)中的3個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)可作多少個(gè)三角形 其中含C1點(diǎn)的有多少個(gè)
(2)以圖中的12個(gè)點(diǎn)(包括點(diǎn)A,B)中的4個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn),可作出多少個(gè)四邊形
規(guī)律方法　1.圖形多少的問(wèn)題通常是組合問(wèn)題,要注意共點(diǎn)、共線、共面、異面等情形,防止多算.常用直接法,也可采用間接法.
2.把一個(gè)與幾何相關(guān)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為組合問(wèn)題,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象及數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).
變式訓(xùn)練4空間中有10個(gè)點(diǎn),其中有5個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面內(nèi),其余點(diǎn)無(wú)三點(diǎn)共線,無(wú)四點(diǎn)共面,則以這些點(diǎn)為頂點(diǎn),共可構(gòu)成四面體的個(gè)數(shù)為(　　)
A.205 B.110 C.204 D .200
A
學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)
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A 級(jí) 必備知識(shí)基礎(chǔ)練
B
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2. [探究點(diǎn)一]某班級(jí)要從4名男生、2名女生中選派4人參加某次社區(qū)服務(wù),如果要求至少有1名女生,那么不同的選派方案種數(shù)為(　　)
A.14 B.24 C.28 D.48
A
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3.[探究點(diǎn)一]在含有3件次品的50件產(chǎn)品中,任取2件,則恰好取到1件次品的不同方法數(shù)共有(　　)
A
解析 50件產(chǎn)品中含有3件次品,所以有47件不是次品,任取2件,則恰好取到1件次品的不同方法數(shù)共有 .故選A.
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4. [探究點(diǎn)二(角度1)]將2名教師、4名學(xué)生分成2個(gè)小組,分別安排到甲、乙兩地參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng),每個(gè)小組由1名教師和2名學(xué)生組成,不同的安排方案共有　　　　　種.
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5. [探究點(diǎn)一]在50件產(chǎn)品中有4件是次品,從中任意抽出5件,至少有3件是次品的抽法共有　　　　　種.
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6. [探究點(diǎn)一]在5名乒乓球隊(duì)員中,有2名老隊(duì)員和3名新隊(duì)員,現(xiàn)從中選出3名隊(duì)員排成1,2,3號(hào)參加團(tuán)體比賽,則入選的3名隊(duì)員中至少有1名老隊(duì)員,且1,2號(hào)中至少有1名新隊(duì)員的排法有　　　　　種.
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7.[探究點(diǎn)三](1)以正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn),可以確定多少個(gè)四面體
(2)以正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn),可以確定多少個(gè)四棱錐
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B 級(jí) 關(guān)鍵能力提升練
A.3 B.5 C.7 D.15
AB
解析 由組合數(shù)的性質(zhì)得n=2n-3或n+2n-3=12,解得n=3或n=5,故選AB.
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9.編號(hào)為1,2,3,4,5,6,7的七盞路燈,晚上用時(shí)只亮三盞燈,且任意兩盞亮燈不相鄰,則不同的開燈方案有(　　)
A.60種 B.20種 C.10種 D.8種
C
解析 4盞熄滅的燈產(chǎn)生的5個(gè)空中放入3盞亮燈,即 =10(種).
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10.某外商計(jì)劃在4個(gè)候選城市投資3個(gè)不同的項(xiàng)目,且在同一個(gè)城市投資的項(xiàng)目不超過(guò)2個(gè),則該外商不同的投資方案共有(　　)
A.16種 B.36種
C.42種 D.60種
D
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11. 某中學(xué)24屆籃球賽正如火如荼地進(jìn)行中,全年級(jí)共20個(gè)班,每四個(gè)班一組,如1~4班為一組,5~8班為二組……進(jìn)行單循環(huán)小組賽(沒(méi)有并列),勝出的5個(gè)班級(jí)和從余下隊(duì)伍中選出的數(shù)據(jù)最優(yōu)秀的1個(gè)班級(jí)共6支球隊(duì)按抽簽的方式進(jìn)行淘汰賽,最后勝出的三個(gè)班級(jí)再進(jìn)行單循環(huán)賽,按積分的高低(假設(shè)沒(méi)有并列)決出最終的冠亞季軍,則此次籃球賽的場(chǎng)數(shù)是(　　)
A.51 B.42 C.39 D.36
D
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12.中國(guó)空間站的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心實(shí)驗(yàn)艙、問(wèn)天實(shí)驗(yàn)艙和夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙,假設(shè)空間站要安排甲、乙等6名航天員開展實(shí)驗(yàn),三艙中每個(gè)艙至少一人至多三人,則不同的安排方法數(shù)有(　　)
A.450 B.72 C.90 D.360
A
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13. 共有6名志愿者要到A,B,C三個(gè)社區(qū)進(jìn)行志愿服務(wù),每個(gè)志愿者只去一個(gè)社區(qū),每個(gè)社區(qū)至少安排1名志愿者,若要2名志愿者去A社區(qū),則不同的安排方法共有　　　　　種.(用數(shù)字作答)
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14.對(duì)于所有滿足1≤m≤n≤5的自然數(shù)m,n,方程x2+ y2=1所表示的不同橢圓的個(gè)數(shù)為　　　　　.
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15.將甲、乙等5名同學(xué)分別保送到北京大學(xué)、上海交通大學(xué)、浙江大學(xué)三所大學(xué)就讀,每所大學(xué)至少保送一人.
(1)有　　　　　種不同的保送方法;
(2)若甲不能被保送到北京大學(xué),則有　　　　　種不同的保送方法.
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(2)由(1)可知,共有 =25(種)分組方法.因?yàn)榧撞荒鼙槐Ｋ偷奖本┐髮W(xué),所以有甲的那組只有上海交通大學(xué)和浙江大學(xué)兩個(gè)選擇,剩下的兩組無(wú)限制,一共有4種方法,所以不同的保送方案共有25×4=100(種).
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16.將四個(gè)編號(hào)為1,2,3,4的相同小球放入編號(hào)為1,2,3,4的四個(gè)盒子中(用數(shù)字作答).
(1)若每個(gè)盒子放一個(gè)小球,求有多少種放法;
(2)若每個(gè)盒子放一球,求恰有1個(gè)盒子的號(hào)碼與小球的號(hào)碼相同的放法種數(shù);
(3)求恰有一個(gè)空盒子的放法種數(shù).
(2)假設(shè)1號(hào)小球放在1號(hào)盒子內(nèi),先放2號(hào)小球,若2號(hào)小球放在3號(hào)盒子里,則3號(hào)小球只能放在4號(hào)盒子里,4號(hào)小球只能放在2號(hào)盒子里,有1種放法,若2號(hào)小球放在4號(hào)盒子里,則3號(hào)小球只能放在2號(hào)盒子里,4號(hào)小球只能放在3號(hào)盒子里,有1種放法,故恰有1個(gè)盒子的號(hào)碼與小球的號(hào)碼相同的放法有4×2=8(種).
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17.從1到6這6個(gè)數(shù)字中,取2個(gè)偶數(shù)和2個(gè)奇數(shù)組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù).試問(wèn):
(1)能組成多少個(gè)不同的四位數(shù)
(2)在四位數(shù)中,2個(gè)偶數(shù)排在一起的有幾個(gè)
(3)2個(gè)偶數(shù)不相鄰的四位數(shù)有幾個(gè) (所得結(jié)果均用數(shù)值表示)
(3)由(1)(2)知兩個(gè)偶數(shù)不相鄰的四位數(shù)有216-108=108(個(gè)).
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C 級(jí) 學(xué)科素養(yǎng)創(chuàng)新練
所以(n+5)(n+4)(n+1)-(n+4)(n+1)n=90,
即5(n+4)(n+1)=90,所以n2+5n-14=0,即n=2或n=-7.注意到n≥1且n∈N+,所以n=2.
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19.在某種信息傳輸過(guò)程中,用4個(gè)數(shù)字的一個(gè)排列(數(shù)字允許重復(fù))表示一個(gè)信息,不同排列表示不同信息.若所用數(shù)字只有0和1,求與信息0110至多有兩個(gè)對(duì)應(yīng)位置上的數(shù)字相同的信息個(gè)數(shù).
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