資源簡介

(共36張PPT)
北師大版 數學 選擇性必修第一冊
課標定位
素養闡釋 1.能用多項式運算法則和計數原理證明二項式定理.
2.掌握二項式定理及其展開式的通項.
3.正確運用二項展開式展開或化簡某些二項式,運用通項求某些特定項、二項式系數或項的系數.
4.通過二項式定理的學習,培養邏輯推理素養.
5.通過二項式定理的應用,發展數學運算素養.
自主預習 新知導學
二項式定理
【問題思考】
1.根據多項式的乘法法則,我們容易知道(a+b)2=a2+2ab+b2,(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3,如果稱等式的右邊為左邊的展開式,試回答下列問題:
(1)上述兩個等式的右邊各有幾項 每項的次數一樣嗎 都是幾次
提示:(a+b)2的展開式有3項,每項的次數都是2;(a+b)3的展開式有4項,每項的次數都是3.
(2)你能用多項式相乘的規律推出(a+b)4的展開式嗎
3.(1)若(x+1)n的展開式共有11項,則n等于(　　).
A.9 B.10 C.11 D.12
(2)(1+2x)5的展開式的第3項的系數為　　　　　,第3項的二項式系數為　　　　　.
答案:(1)B　(2)40　10
【思考辨析】
判斷下列說法是否正確,正確的在它后面的括號里畫“√”,錯誤的畫“×”.
×
×
√
×
√
合作探究 釋疑解惑
探究一
二項式定理的正用與逆用
(2)化簡:(x-2)5+5(x-2)4+10(x-2)3+10(x-2)2+5(x-2).
分析:(1)可直接用二項式定理展開或先對括號內式子化簡再展開.
(2)分析式子的結構形式,逆用二項式定理求解.
二項式定理的雙向功能
(1)正用:將 (a+b)n展開,得到一個多項式,即二項式定理從左到右使用是展開.對較復雜的式子,可先化簡再用二項式定理展開.
(2)逆用:將展開式合并成(a+b)n的形式,即二項式定理從右到左使用是合并,對于化簡、求和、證明等問題的求解,要熟悉公式的特點、項數、各項冪指數的規律以及各項系數的規律.
探究二
求展開式中的特定項
(1)n的值;
(2)展開式中含x3的項,并指出該項的二項式系數.
1.本例條件不變,求二項展開式中的常數項.　
2.本例條件不變,求二項展開式中的所有有理項.　
1.求(a+b)n的二項展開式的特定項常見題型及處理措施:
(1)求第k項,
(2)求常數項.對于常數項,隱含條件是字母的指數為0(即0次項);
(3)求有理項.對于有理項,一般是根據二項式通項所得到的項,其所有的字母的指數恰好都是整數的項.解這類問題必須合并二項式通項中同一字母的指數,根據具體要求,令其屬于整數,再根據數的整除性來求解;
(4)求整式項.求二項展開式中的整式項,其二項式通項中同一字母的指數應是非負整數,求解方式與求有理項一致.
提醒:在實際求解時,若通項中含有根式,宜把根式化為分數指數冪,以減少計算中的錯誤.
2.常見問題:求常數項(字母的指數為零),求有理項(對應項字母的指數為整數),求某一項,注意某項的系數與某項的二項式系數的區別.
(1)求n的值;
(2)求含x2的項的系數;
(3)求展開式中所有的有理項.
探究三
二項式定理的靈活運用
【例3】 (1)(x2+x+y)5的展開式中,x5y2的系數為(　　).
A.10 B.20 C.30 D.60
答案:(1)C　(2)D　
1.兩個二項展開式乘積的展開式中的特定項問題
(1)分別對每個二項展開式進行分析,發現它們各自項的特點.
(2)找到構成展開式中特定項的組成部分.
(3)分別求解再相乘,求和即得.
2.三項或三項以上的展開問題
應根據式子的特點,轉化為二項式來解決(有些題目也可轉化為計數問題解決),轉化的方法通常為配方、因式分解、項與項結合,項與項結合時要注意合理性和簡捷性.
【變式訓練3】 (1)在(x+y)(x-y)5的展開式中,x3y3的系數是(　　).
A.-10 B.0 C.10 D.20
(2)已知(1+ax)(1+x)5的展開式中x2的系數為5,則實數a等于(　　).
A.-4 B.-3 C.-2 D.-1
答案:(1)B　(2)D
易錯辨析
以上解答過程中都有哪些錯誤 出錯的原因是什么 你如何改正 你如何
防范
提示:錯解將二項展開式的某項的系數與二項式系數混淆了.
求某一項的二項式系數或某項的系數,主要是利用二項式通項求出相應的項,但要注意某一項的二項式系數與系數的區別:二項式系數與項的系數是兩個不同的概念,前者僅與二項式的指數及項數有關,后者與二項式的指數、項數及字母的系數均有關.
隨堂練習
答案:B
答案:C
答案:BC
5.在(1-x3)(1+x)10的展開式中,x5的系數是　　　　　.
答案:207

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