資源簡介

(共93張PPT)
北師大版 數學 選擇性必修第一冊
課程標準 1.能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行
關系.
2.能用向量方法證明必修內容中有關直線、平面平行關系的判定定理.
3.能用向量方法證明空間中直線、平面的平行關系.
4.能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直
關系.
5.能用向量方法證明必修內容中有關直線、平面垂直關系的判定定理.
6.能用向量方法證明空間中直線、平面的垂直關系.
7.會用三垂線定理及逆定理解題.
基礎落實·必備知識一遍過
知識點1　空間中的平行與垂直
設向量l,m分別是直線l,m的方向向量,n1,n2分別是平面α,β的法向量,則
l∥m或l與m重合 l∥m;l∥α或l α l⊥n1;

兩種情況易忽略

α∥β或α與β重合 n1∥n2;l⊥m l⊥m;l⊥α l∥n1;α⊥β n1⊥n2.
名師點睛
1.空間平行關系的本質是線線平行,根據共線向量基本定理,先證明兩條直線的方向向量平行.此外,證明線面平行也可用共面向量定理,先證明這條直線的方向向量能夠用平面內兩個不共線向量線性表示.
2.利用直線的方向向量證明直線與直線平行、直線與平面平行時,要注意向量所在的直線與所證直線或平面無公共點,證明平面與平面平行時也要注意兩平面沒有公共點.
思考辨析
1.用向量證明平行關系時要注意什么
2.已知四面體ABCD中,AB=AC,DB=DC,點M為棱BC的中點,指出平面ADM的一個法向量.哪兩個平面互相垂直 為什么
提示 在證明直線與直線平行時,要說明兩條直線不重合;在證明直線與平面平行時,要說明直線不在平面內;在證明平面與平面平行時,要說明兩個平面不重合.
提示 平面ADM的一個法向量是 等)(答案不唯一);互相垂直的平面有兩組:平面ADM⊥平面ABC,平面ADM⊥平面BCD.
自主診斷
1.[人教A版教材習題]如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是平面AB1,平面A1C1的中心.求證:EF∥平面ACD1.
證明 建立如圖所示的空間直角坐標系.
設正方體的棱長為2.∵E,F分別是平面AB1,平面A1C1的中心,
∴E(2,1,1),F(1,1,2).
2.[人教A版教材習題]如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=2, BC=CC1=1,E是CD的中點,F是BC的中點.求證:平面EAD1⊥平面EFD1.
證明 建立如圖所示的空間直角坐標系.
取x1=1,則y1=1,z1=1.
∴n1=(1,1,1)是平面EAD1的一個法向量.
設n2=(x2,y2,z2)是平面EFD1的法向量.
取x2=2,則y2=-1,z2=-1,
∴n2=(2,-1,-1)是平面EFD1的一個法向量.
又n1·n2=1×2+1×(-1)+1×(-1)=0,
∴n1⊥n2,∴平面EAD1⊥平面EFD1.
3.[人教A版教材習題]如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90°, CB=1,CA=2,AA1= ,M是CC1的中點.求證:AM⊥BA1.
知識點2　三垂線定理及其逆定理
　　　簡記為“線投垂直 線斜垂直”
三垂線定理　若平面內的一條直線與平面的一條斜線在這個平面內的投影垂直,則它也和這條斜線垂直.
類似地可以得到:
　　　 簡記為“線斜垂直 線投垂直”
三垂線定理的逆定理　若平面內的一條直線和這個平面的一條斜線垂直,則它也和這條斜線在這個平面內的投影垂直.
思考辨析
如果將三垂線定理中“在這個平面內”的條件去掉,結論仍然成立嗎
提示 不成立,例如當b⊥α時,b⊥OA,但b不垂直于OP.
自主診斷
1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)
(1)若a是平面α的斜線,直線b垂直于a在平面α內的投影,則a⊥b.(　　)
(2)若a是平面α的斜線,平面β內的直線b垂直于a在平面α內的投影,則a⊥b.(　　)
(3)若a是平面α的斜線,直線b α且b垂直于a在另一平面β內的投影,則a⊥b.(　　)
(4)若a是平面α的斜線,b∥α,直線b垂直于a在平面α內的投影,則a⊥b.(　　)
×
×
×
√
2.如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AD=2 ,P為C1D1的中點,M為BC的中點,則AM與PM的位置關系為(　　)　
　　　　　　　　　　　　
A.平行
B.異面
C.垂直
D.以上都不對
C
解析 如圖所示,取CD的中點P',連接PP',AP',MP',由長方體性質及已知,易知PP'⊥平面ABCD,所以MP'為PM在平面ABCD內的投影.由題意得,
重難探究·能力素養速提升
探究點一　　利用向量方法證明線線平行
【例1】 在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,AD=3,AA1=2,P,Q,R,S分別是線段AA1,D1C1,AB,CC1的中點.求證:PQ∥RS.
證明 (方法一)以點D為原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系D-xyz.
規律方法　要證明兩直線平行,可先求出兩直線的方向向量,然后證明兩直線的方向向量共線,從而證明兩直線平行.
變式訓練1在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點P在線段A1D上,點Q在線段AC上,線段PQ與直線A1D和AC都垂直,求證:PQ∥BD1.
證明 以點D為坐標原點,建立如圖所示的空間直角坐標系,設正方體的棱長為1,則D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),A1(1,0,1),D1(0,0,1),
探究點二　　利用向量方法證明線面平行
【例2】 [人教B版教材例題]已知正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別是A1B與A1C1的中點.求證:MN∥平面ADD1A1.
規律方法　利用空間向量證明線面平行的方法
(1)利用共面向量法:證明直線的方向向量p與平面內的兩個不共線向量a,b是共面向量,即滿足p=xa+yb(x,y∈R),則p,a,b共面,從而可證直線與平面平行.
(2)利用共線向量法:證明直線的方向向量p與該平面內的某一向量共線,再結合線面平行的判定定理即可證明線面平行.
(3)利用法向量法:求出直線的方向向量與平面的法向量,證明方向向量與法向量垂直,從而證明直線與平面平行.
變式訓練2如圖,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,
AB= ,AF=1,M是線段EF的中點.求證:AM∥平面BDE.
證明 建立如圖所示的空間直角坐標系.
設AC∩BD=N,連接NE,
探究點三　　利用向量方法證明面面平行
【例3】 如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,O為正方形ABCD的中心,P是DD1的中點,設Q是CC1上的點,問:當點Q在什么位置時,平面D1BQ∥平面PAO
解 如圖所示,分別以DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標系,在CC1上任取一點Q,連接BQ,D1Q.設正方體的棱長為1,則
規律方法　利用空間向量證明面面平行的方法
(1)轉化為線面平行、線線平行,然后借助向量共線進行證明;
(2)通過證明兩個平面的法向量平行證明.
變式訓練3 如圖所示,平面PAD⊥平面ABCD,四邊形ABCD為正方形,△PAD是直角三角形,且PA=AD=2,E,F,G分別是線段PA,PD,CD的中點.求證:平面EFG∥平面PBC.
證明 因為平面PAD⊥平面ABCD,四邊形ABCD為正方形,△PAD是直角三角形,且PA=AD,所以AB,AP,AD兩兩垂直,以A為坐標原點,AB,AD,AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,則A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(0,0,1),F(0,1,1),G(1,2,0).
探究點四　　利用向量方法證明線線垂直
【例4】 如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,四邊形ABCD是矩形, PA=AB=1,F是PB的中點,點E在邊BC上移動.求證:無論點E在邊BC上的何處,都有PE⊥AF.
證明 (方法一)以A為原點,以AD,AB,AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系,設AD=a,則A(0,0,0),P(0,0,1),B(0,1,0),C(a,1,0),于是
規律方法　利用向量方法證明線線垂直的方法
(1)坐標法:建立空間直角坐標系,寫出相關點的坐標,求出兩直線方向向量的坐標,然后通過數量積的坐標運算法則證明數量積等于0,從而證明兩條直線的方向向量互相垂直;
(2)基向量法:利用空間向量的加法、減法、數乘運算及其運算律,結合圖形,將兩直線所在的向量用基向量表示,然后根據數量積的運算律證明兩直線所在的向量的數量積等于0,從而證明兩條直線的方向向量互相垂直.
變式訓練4
已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長都為1,M是底面上BC邊的中點,N是側棱CC1上的點,且CN= CC1.求證:AB1⊥MN.
證明 設AB中點為O,作OO1∥AA1.以O為坐標原點,OB所在直線為x軸,OC所在直線為y軸,OO1所在直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標系.
探究點五　利用向量方法證明線面垂直
【例5】 在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M分別為棱AB,BC,B1B的中點.求證:D1M⊥平面EFB1.
(方法二)以D為原點,分別以DA,DC,DD1所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系.
規律方法　利用空間向量證明線面垂直的方法
變式訓練5如圖,在四棱錐P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,AB=4,AD=2 , CD=2,PA⊥平面ABCD,PA=4.求證:BD⊥平面PAC.
證明 因為AP⊥平面ABCD,AB⊥AD,所以以A為坐標原點,AB,AD,AP所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系.則
探究點六　利用向量方法證明面面垂直
【例6】 三棱錐被平行于底面ABC的平面所截得的幾何體如圖所示,截面為A1B1C1,∠BAC=90°,A1A⊥平面ABC,A1A= ,AB=AC=2A1C1=2,D為邊BC的中點.
求證:平面A1AD⊥平面BCC1B1.
規律方法　1.利用空間向量證明面面垂直通常有兩個途徑:一是利用兩個平面垂直的判定定理將面面垂直問題轉化為線面垂直進而轉化為線線垂直;二是直接求解兩個平面的法向量,由兩個法向量垂直,得面面垂直.
2.向量法證明面面垂直的優越性主要體現在不必考慮圖形的位置關系,恰當建系或用基向量表示后,只需經過向量運算就可得到要證明的結果,思路方法“公式化”,降低了思維難度.
變式訓練6[2024山東棗莊月考]如圖,PA⊥平面ABCD,四邊形ABCD是正方形,PA=AD=2,M,N分別是AB,PC的中點.求證:平面MND⊥平面PCD.
證明 ∵PA⊥平面ABCD,AB⊥AD,
∴AB,AD,AP兩兩互相垂直.
如圖所示,以A為坐標原點,分別以AB,AD,AP
所在直線為x軸、y軸和z軸建立空間直角坐標系,可得A(0,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),M(1,0,0),N(1,1,1),
取y=-1,得x=-2,z=1,
∴m=(-2,-1,1)是平面MND的一個法向量,
同理可得n=(0,1,1)是平面PCD的一個法向量,
∵m·n=-2×0+(-1)×1+1×1=0,
∴m⊥n,即平面MND的法向量與平面PCD的法向量互相垂直,可得平面MND⊥平面PCD.
學以致用·隨堂檢測促達標
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A 級 必備知識基礎練
1.[探究點六]若平面α與β的法向量分別是a=(2,4,-3),b=(-1,2,2),則平面α與β的位置關系是(　　)
A.平行 B.垂直
C.相交但不垂直 D.無法確定
B
解析 ∵a·b=(2,4,-3)·(-1,2,2)=-2+8-6=0,
∴a⊥b,∴平面α與平面β垂直.
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2.[探究點一]已知兩平行直線的方向向量分別為a=(4-2m,m-1,m-1),
b=(4,2-2m,2-2m),則實數m的值為(　　)
A.1 B.3
C.1或3 D.以上答案都不正確
C
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3. [探究點四]如圖,F是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱CD的中點,E是BB1上一點,若D1F⊥DE,則有(　　)
A.B1E=EB
B.B1E=2EB
C.B1E= EB
D.E與B重合
A
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4. [探究點六]設u=(-2,2,t),v=(6,-4,4)分別是平面α,β的法向量.若α⊥β,則t等于(　　)
A.3 B.4
C.5 D.6
C
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5.[探究點四]已知A(0,0,0),B(1,1,1),C(1,2,-1),下列四個點中在平面ABC內的點是(　　)
A.(2,3,1) B.(1,-1,2) C.(1,2,1) D.(1,0,3)
D
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平行
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7.[探究點五]已知m=(a+b,a-b,2)是直線l的一個方向向量,n=(2,3,1)是平面α的一個法向量,若l⊥α,則a,b的值分別為　　　　　.
5,-1　
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8. [探究點四、五]如圖,在四棱錐P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD為正方形,PD=DC,E,F分別是AB,PB的中點.
(1)求證:EF⊥CD;
(2)在平面PAD內求一點G,使GF⊥平面PCB.
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(1)證明 如圖,以D為原點,DA,DC,DP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系,設AD=a,則
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9.下列利用方向向量、法向量判斷線、面位置關系的結論中,正確的是
(　　)
A.兩條不重合直線l1,l2的方向向量分別是a=(2,3,-1),b=(-2,3,1),則l1∥l2
B.直線l的方向向量a=(1,-1,2),平面α的法向量是u=(6,4,-1),則l⊥α
C.兩個不同的平面α,β的法向量分別是u=(2,2,-1),v=(-3,4,2),則α⊥β
D.直線l的方向向量a=(0,3,0),平面α的法向量是u=(0,-5,0),則l∥α
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解析 對于A,a與b不平行,選項A錯誤;對于B,直線l的方向向量a=(1,-1,2),平面α的法向量是u=(6,4,-1)且a·u=1×6-1×4+2×(-1)=0,所以l∥α或l α,選項B錯誤;對于C,兩個不同的平面α,β的法向量分別是u=(2,2,-1),v=(-3,4,2),且u·v=2×(-3)+2×4-1×2=0,所以α⊥β,選項C正確;對于D,直線l的方向向量a=(0,3,0),平面α的法向量是u=(0,-5,0)且u=- a,所以l⊥α,選項D錯誤.
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10.已知正方體ABCD-A1B1C1D1,E是棱BC的中點,則在棱CC1上存在點F,下面情況可能成立的是(　　)
A.AF∥D1E B.AF⊥D1E
C.AF∥平面C1D1E D.AF⊥平面C1D1E
B
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11.如圖,四邊形ABCD為正方形,PD⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AB= PD,則平面PQC與平面DCQ的位置關系為(　　)
A.平行
B.垂直
C.相交但不垂直
D.位置關系不確定
B
解析 由已知可得PD⊥DC,PD⊥DA,DC⊥DA.以D為原點,DA,DP,DC所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標系,如圖,
設QA=1,則D(0,0,0),C(0,0,1),Q(1,1,0),P(0,2,0),
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12.如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點E,F分別在A1D,AC上,且
A1E= A1D,AF= AC,則(　　)
A.EF至多與A1D,AC之一垂直
B.EF⊥A1D,EF⊥AC
C.EF與BD1相交
D.EF與BD1異面
B
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ACD
解析 在長方體ABCD-A1B1C1D1中,以點D為坐標原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系.
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14.如圖所示,四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為1的正方形,PD⊥底面ABCD,且PD=1,若E,F分別為PB,AD的中點,則直線EF與平面PBC的位置關系是　　　　　.
垂直
解析 以D為原點,DA,DC,DP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系,
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15.如圖所示,已知矩形ABCD,AB=1,BC=a,PA⊥平面ABCD,若在BC上只有一個點Q滿足PQ⊥QD,則a的值等于　　　　　.
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16.如圖所示,在四棱錐S-ABCD中,底面ABCD是正方形,AS⊥底面ABCD,且AS=AB,E是SC的中點.求證:平面BDE⊥平面ABCD.
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17.如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為直角梯形,且AD∥BC, ∠ABC=∠PAD=90°,側面PAD⊥底面ABCD.若PA=AB=BC= AD.
(1)求證:CD⊥平面PAC.
(2)側棱PA上是否存在點E,使得BE∥平面PCD 若存在,求出點E的位置并證明;若不存在,請說明理由.
解 因為∠PAD=90°,所以PA⊥AD.
又因為側面PAD⊥底面ABCD,且側面PAD∩底面ABCD=AD,所以PA⊥底面ABCD,∠BAD=90°,所以AB,AD,AP兩兩垂直.
以A為坐標原點,分別以AB,AD,AP所在直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系.
設AD=2,則A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,1).
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C 級 學科素養創新練
18.如圖,在三棱柱 ABC -A1B1C1中,側棱AA1⊥底面A1B1C1,∠BAC=90°, AB=AC=AA1=1,D是棱CC1的中點,P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點.若點Q在線段B1P上,則下列結論正確的是(　　)
A.當Q為線段B1P的中點時,DQ⊥平面A1BD
B.當Q為線段B1P的三等分點時,DQ⊥平面A1BD
C.在線段B1P的延長線上,存在一點Q,使得DQ⊥
平面A1BD
D.不存在點Q,使得DQ⊥平面A1BD
D
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解析 以點A1為坐標原點,A1B1,A1C1,A1A所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系,則由已知得
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