資源簡介

(共40張PPT)
北師大版 數學 選擇性必修第一冊
課標定位
素養闡釋 1.了解楊輝三角各行數字的特點及其與組合數性質、二項展開式系數性質間的關系.
2.理解和掌握二項式系數的性質,并會簡單應用.
3.理解和初步掌握賦值法及其應用.
4.通過學習二項式系數的性質,培養直觀想象和邏輯推理素養.
5.借助二項式系數的性質的應用,提升數學運算素養.
自主預習 新知導學
二項式系數表(楊輝三角)
【問題思考】
1.當n依次取1,2,3,…時,(a+b)n的展開式的二項式系數,如圖5-4-1.
圖5-4-2
根據圖5-4-1,回答下列問題:
(1)每行兩端的數字有什么規律
提示:表中每行兩端都是1.
(2)除1以外的每一個數與它“肩上”的兩個數有什么關系
提示:表中每行除1以外的每一個數都等于它“肩上”的兩個數之和.
2.(1)二項式系數表,如圖5-4-1.　
此表叫作二項式系數表,歷史上也稱為楊輝三角.　
圖5-4-1
(2)二項式系數的性質:
①表中每行兩端都是1 .
3. (1)在(a+b)n的展開式中,第2項與第6項的二項式系數相等,則n=(　　).
A.6 B.7 C.8 D.9
(2)(1-2x)15的展開式中的各項系數和是(　　).
A.1 B.-1 C.215 D.315
(2)令x=1,可得(1-2x)15的展開式中的各項系數和為(1-2)15=-1.
答案:(1)A　(2)B
【思考辨析】
判斷下列說法是否正確,正確的在它后面的括號里畫“√”,錯誤的畫“×”.
√
×
×
合作探究 釋疑解惑
探究一
“楊輝三角”的應用
【例1】 如圖5-4-3,在“楊輝三角”中斜線AB的左上方,從1開始箭頭所示的數組成一列數:1,2,3,3,6,4,10,5,….求這列數中前19個數的和.
圖5-4-3
分析:解決本題的關鍵是觀察這列數的特征及這列數的每一個數在楊輝三角中的位置,把各數還原為二項展開式中的二項式系數,再利用組合數求解.
解決與“楊輝三角”有關的問題的一般方法　
【變式訓練1】 如圖5-4-4,在由二項式系數所構成的楊輝三角中,第　　　　　行中從左至右第14個數與第15個數之比為2∶3.
圖5-4-4
答案:34
探究二
求展開式中各項系數的和
分析:先觀察所求式子與展開式各項的特點,再利用賦值法求解.
【例2】 設(1-2x)2 024=a0+a1x+a2x2+…+a2 024x2 024(x∈R).
(1)求a0+a1+a2+…+a2 024的值;
(2)求a1+a3+a5+…+a2 023的值;
(3)求|a0|+|a1|+|a2|+…+|a2 024|的值.
1.本例條件不變,求a0+a2+a4+a6+…+a2 020的值.　
2.本例條件不變,求a0,a1的值.
解:令x=0,得a0=(1-0)2 024=1.
由展開式,得a1為x的系數.
即a1=-4 040.
“賦值法”是解決二項展開式中項的系數常用的方法,根據題目要求,靈活賦給字母不同值.一般地,要使展開式中項的關系變為系數的關系,令x=0可得常數項,令x=1可得所有項的系數之和,令x=-1可得偶次項系數之和與奇次項系數之和的差.
【變式訓練2】 已知(x-2)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7.
求:(1)a1+a2+…+a7;
(2)a1+a3+a5+a7;
(3)a0+a2+a4+a6.
解:令x=1,
則a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=-1.①
令x=-1,
則a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7=-37.②
令x=0,則a0=-27.③
(1)由①-③,得
a1+a2+a3+…+a7=-1+27=127.
探究三
求展開式中系數(或二項式系數)的最大項
(1)求二項式系數最大的項;
(2)求展開式中系數最大的項.
分析:求二項式系數最大的項,利用性質知展開式中中間項(或中間兩項)是二項式系數最大的項;求展開式中系數最大的項,必須將字母前的系數均考慮進去,包括“+”“-”號.
解:令x=1,則展開式中各項系數的和為(1+3)n=4n,又展開式中各項的二項式系數之和為2n.由題意知,4n-2n=992,即(2n)2-2n-992=0,即(2n+31)(2n-32)=0,所以2n=-31(舍去)或2n=32,解得n=5.
(1)由于n=5為奇數,故展開式中二項式系數最大的項為中間兩項,它們分別
是
1.二項式系數最大的項的求法
求二項式系數最大的項,根據二項式系數的性質對(a+b)n中的n進行討論.
(1)當n為奇數時,中間兩項的二項式系數最大.
(2)當n為偶數時,中間一項的二項式系數最大.
2.展開式中系數最大的項的求法
求展開式中系數最大的項與求二項式系數最大的項是不同的,需要根據各項系數的正、負變化情況進行分析.如求(a+bx)n(a,b∈R)的展開式中系數最大的項,一般采用待定系數法.設展開式中各項系數分別為a0,a1,a2,…,an,且第(r+1)項的系數最大,應用　　　　　解出r,即得出系數最大的項.
【變式訓練3】 在(3x-2y)20的展開式中,求:
(1)二項式系數最大的項;
(2)系數的絕對值最大的項;
(3)系數最大的項.
易錯辨析
混淆系數最大和二項式系數最大而致誤
【典例】 在(1+2x)n的展開式中,最后三項的二項式系數和為56,則展開式中系數最大的項為第　　　　　項.
以上解答過程中都有哪些錯誤 出錯的原因是什么 你如何改正 你如何
防范
提示:錯解混淆了展開式中系數最大項與二項式系數最大項.
答案:8
求展開式中系數最大項與求二項式系數最大項是不同的,需根據各項系數的正、負變化情況,一般采用列不等式組,解不等式組的方法求得.
【變式訓練】 已知(1+2x)n的展開式中第6項和第7項的系數相等,則展開式中系數最大的項為第　　　　項.
答案:6,7
隨堂練習
1.(a+b)n的二項展開式中與第(r-1)項二項式系數相等的項是(　　).
A.第(n-r)項 B.第(n-r+1)項
C.第(n-r+2)項 D.第(n-r+3)項
答案:D
2.已知(a+b)n的展開式中只有第5項的二項式系數最大,則n等于(　　).
A.11 B.10 C.9 D.8
解析:只有第5項的二項式系數最大,則展開式為9項,故n=8.
答案:D
3.(多選題)下列關于(a-b)10的說法,正確的有(　　).
A.展開式中的二項式系數之和是1 024
B.展開式的第6項的二項式系數最大
C.展開式的第5項或第7項的二項式系數最大
D.展開式中第6項的系數最小
答案:ABD
4.若(x+3y)n的展開式中各項系數的和等于(7a+b)10的展開式中二項式系數的和,則n的值為　　　　　.
答案:5
由于n=21,因此展開式一共有22項,又展開式中各項的二項式系數與項的系數相同,所以系數最大的項即二項式系數最大的項,即展開式的第11項和第12項.
6.已知(a-x)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5,a∈R,若a2=80,求a0+a1+a2+…+a5的值.

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