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(共47張PPT)
北師大版 數(shù)學(xué) 選擇性必修第一冊(cè)
課程標(biāo)準(zhǔn) 1.掌握直線方程的兩點(diǎn)式和截距式.
2.會(huì)選擇適當(dāng)?shù)姆匠绦问角笾本€方程.
3.能用直線方程的兩點(diǎn)式與截距式解答有關(guān)問(wèn)題.
基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過(guò)
知識(shí)點(diǎn)1　直線方程的兩點(diǎn)式
名稱 已知條件 示意圖 方程 使用范圍
兩點(diǎn)
式 P1(x1,y1),P2(x2,y2),其中x1≠x2,y1≠y2
　 　 斜率存在
且不為0
名師點(diǎn)睛
1.當(dāng)過(guò)兩點(diǎn)(x1,y1),(x2,y2)的直線斜率不存在(x1=x2)或斜率為0(y1=y2)時(shí),不能用兩點(diǎn)式表示,即兩點(diǎn)式不能表示與坐標(biāo)軸垂直的直線.
2.在記憶和使用直線方程的兩點(diǎn)式時(shí),必須注意坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)關(guān)系,即x1,y1是同一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo),x2,y2是另一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo).
3.對(duì)于兩點(diǎn)式中的兩個(gè)點(diǎn),只要是直線上的兩個(gè)點(diǎn)即可;另外,兩點(diǎn)式方程與這兩個(gè)點(diǎn)的順序無(wú)關(guān),如直線過(guò)點(diǎn)P1(1,1),P2(2,3),由直線方程的兩點(diǎn)式可得
思考辨析
1.如圖,若直線l過(guò)點(diǎn)P1(x1,y1)和P2(x2,y2)(x1≠x2,y1≠y2).試推導(dǎo)出直線l的方程.
2.過(guò)原點(diǎn)的直線能否用直線方程的兩點(diǎn)式表示
提示 過(guò)原點(diǎn)且斜率為0或過(guò)原點(diǎn)且斜率不存在這兩種情況不能用直線方程的兩點(diǎn)式表示,其他情況能表示.
自主診斷
1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)
(1)直線方程的兩點(diǎn)式適用于直線斜率存在的情況.(　　)
(2)能用直線方程的兩點(diǎn)式表示的直線也可以用直線方程的點(diǎn)斜式表示.
(　　)
×
√
2.[人教B版教材習(xí)題]已知點(diǎn)(a,1),(-1,b)確定的直線方程是y=-3x+1,求a,b的值.
解 將兩點(diǎn)分別代入,得1=-3a+1,b=-3×(-1)+1=4,∴a=0,b=4.
3.[人教B版教材習(xí)題]分別求下列直線的方程.
(1)經(jīng)過(guò)A(0,-1),B(-1,1)的直線l1;
(2)經(jīng)過(guò)C(3,-1),D(-2,-1)的直線l2;
(3)經(jīng)過(guò)E(1,3),F(1,-2)的直線l3.
解 (1)l1:y=-2x-1.(2)l2:y=-1.(3)l3:x=1.
知識(shí)點(diǎn)2　直線方程的截距式
名師點(diǎn)睛
直線方程的截距式是直線方程的兩點(diǎn)式的特殊情況,由直線方程的截距式可以直接讀出直線在x軸和y軸上的截距,所以截距式在解決直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積和周長(zhǎng)問(wèn)題時(shí)非常方便.
思考辨析
在x軸和y軸上截距相等的直線可以用直線方程的截距式表示嗎
提示 當(dāng)這條直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)不可以,當(dāng)這條直線在x軸、y軸上的截距相等且不為0時(shí)可以.
自主診斷
1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)
(1)直線y=x在x軸和y軸上的截距均為0.(　　)
(2)不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線都可以用方程 表示.(　　)
(3)能用直線方程的截距式表示的直線都能用直線方程的兩點(diǎn)式表示.
(　　)
√
×
√
2.[人教A版教材習(xí)題]根據(jù)下列條件求直線的截距式方程,并畫出圖形.
(1)在x軸、y軸上的截距分別是2,3;
(2)在x軸、y軸上的截距分別是-5,6.
①
②
3.[人教A版教材習(xí)題]根據(jù)下列條件,求直線的方程.
(1)過(guò)點(diǎn)(0,5),且在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為2;
(2)過(guò)點(diǎn)(5,0),且在兩坐標(biāo)軸上的截距之差為2.
重難探究·能力素養(yǎng)速提升
探究點(diǎn)一　　直線方程的兩點(diǎn)式
★【例1】 (1)若直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,-1),B(2,7),則直線l的方程為　　　　　.
x=2
解析 于點(diǎn)A與點(diǎn)B的橫坐標(biāo)相等,所以直線l方程沒(méi)有兩點(diǎn)式,所求的直線方程為x=2.
(2)在△ABC中,A(-3,2),B(5,-4),C(0,-2).
①求BC所在直線的方程;
②求BC邊上的中線所在直線的方程.
規(guī)律方法　求直線方程的兩點(diǎn)式的策略以及注意點(diǎn)
當(dāng)已知兩點(diǎn)坐標(biāo),求過(guò)這兩點(diǎn)的直線方程時(shí),首先要判斷是否滿足兩點(diǎn)式的適用條件:兩點(diǎn)的連線不平行于坐標(biāo)軸.若滿足,則考慮用兩點(diǎn)式方程.
-2　
變式訓(xùn)練1(1)若點(diǎn)P(3,m)在過(guò)點(diǎn)A(2,-1),B(-3,4)的直線上,則m=　　　　.
(2)已知三角形的頂點(diǎn)是A(1,3),B(-2,-1),C(1,-1),求這個(gè)三角形三邊所在直線的方程.
直線AC垂直于x軸,故AC邊所在直線的方程為x=1.
直線BC平行于x軸,故BC邊所在直線的方程為y=-1.
探究點(diǎn)二　　直線方程的截距式
【例2】 直線l過(guò)點(diǎn)(-3,4),且與x軸,y軸的正半軸圍成的三角形的面積等于3,則直線l的方程是(　　)
A
變式探究1將本例中的條件“與x軸、y軸的正半軸圍成的三角形的面積等于3”改為“在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為12”,求直線l的方程.
變式探究2將本例中的條件“與x軸、y軸的正半軸圍成的三角形的面積等于3”改為“在兩坐標(biāo)軸上的截距的絕對(duì)值相等”,求直線l的方程.
規(guī)律方法　求解直線方程的截距式一般是用待定系數(shù)法,其步驟是
變式訓(xùn)練2直線l過(guò)點(diǎn) ,且與x軸、y軸的正半軸分別交于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn).當(dāng)△AOB的周長(zhǎng)為12時(shí),求直線l的方程.
學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)
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A 級(jí) 必備知識(shí)基礎(chǔ)練
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1.[探究點(diǎn)一·2024江蘇揚(yáng)州期中]經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)A(-3,2),B(0,-3)的直線的方程為(　)
D
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2.[探究點(diǎn)二]直線3x+2y+1=0在x軸上的截距為(　　)
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解析 由直線3x+2y+1=0,令y=0,解得x=- .故選D.
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3.[探究點(diǎn)二·2024福建福州質(zhì)檢]過(guò)兩點(diǎn)(-2,4)和(4,-1)的直線在y軸上的截距為(　　)
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4.[探究點(diǎn)二]若直線y=x+2m與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積不小于8,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為　　　 　　.
(-∞,-2]∪[2,+∞)
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5.[探究點(diǎn)二·2024江蘇南京期末]若直線l過(guò)點(diǎn)A(1,2),且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù),則直線l的方程為　　　　　　 　　.
2x-y=0或x-y+1=0
解析 當(dāng)直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距都為0時(shí),因?yàn)橹本€l過(guò)點(diǎn)A(1,2),則直線l的方程為y=2x,即2x-y=0.當(dāng)直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距都不為0時(shí),可設(shè)直線l的方程為x-y=a,因?yàn)橹本€l過(guò)點(diǎn)A(1,2),則1-2=a,解得a=-1,所以直線l的方程為x-y+1=0.綜上所述,直線l的方程為2x-y=0或x-y+1=0.
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6.[探究點(diǎn)一·2024江西宜春期末]已知三角形的三個(gè)頂點(diǎn)A(-5,0),B(3,-3), C(0,2),求:
(1)邊AC所在直線的方程;
(2)邊BC上的中線所在直線的方程.
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解 (1)∵A(-5,0),C(0,2),∴直線AC的方程的截距式為 ,化簡(jiǎn)得
2x-5y+10=0.
即邊AC所在直線的方程為2x-5y+10=0.
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B 級(jí) 關(guān)鍵能力提升練
7.[2024廣東廣州期中]經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)(x1,y1),(x2,y2)的直線方程都可以表示為(　)
解析 當(dāng)x1≠x2,y1≠y2時(shí),由直線方程的兩點(diǎn)式可得直線方程為
化為(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1).當(dāng)x1=x2或y1=y2時(shí),方程(y-y1)(x2-x1)
=(x-x1)(y2-y1)也成立,因此直線方程為(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1).故選C.
C
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8.(多選題)[2024海南瓊海月考]下列四個(gè)結(jié)論中正確的是(　　)
A.方程 與方程y-2=k(x-1)可表示同一條直線
B.直線l:x+y+3=0在x軸上的截距為-3
C.直線l過(guò)點(diǎn)P(1,2),斜率為0,則其方程為y=2
D.過(guò)點(diǎn)P(1,2),且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線l的方程僅有x+y-3=0
BC
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9.已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A(2,8),B(-4,0),C(6,0),則過(guò)點(diǎn)B將△ABC的面積平分的直線方程為(　　)
A.2x-y+4=0 B.x+2y+4=0
C.2x+y-4=0 D.x-2y+4=0
D
解析 由題得,|AB|=|BC|=10,且AC的中點(diǎn)坐標(biāo)為D(4,4),則過(guò)點(diǎn)B將△ABC的面積平分的直線過(guò)點(diǎn)D(4,4),則由兩點(diǎn)式可得所求直線方程為 ,即x-2y+4=0.
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10.已知兩點(diǎn)A(3,0),B(0,4),動(dòng)點(diǎn)P(x,y)在線段AB上運(yùn)動(dòng),則xy(　　)
A.無(wú)最小值,且無(wú)最大值 B.無(wú)最小值,但有最大值
C.有最小值,但無(wú)最大值 D.有最小值,且有最大值
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11.(多選題)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,1),且與兩坐標(biāo)軸圍成等腰直角三角形的直線方程可以是(　　)
A.x+y-3=0 B.x+y+3=0
C.x-y-1=0 D.x-y+1=0
AC
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12.過(guò)點(diǎn)(2,1)且在x軸上截距與在y軸上截距之和為6的直線方程為　　　　　　　　　　.
x+y-3=0或x+2y-4=0
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C 級(jí) 學(xué)科素養(yǎng)創(chuàng)新練
13.某地長(zhǎng)途汽車客運(yùn)公司規(guī)定旅客可隨身攜帶一定質(zhì)量的行李,如果超過(guò)規(guī)定,則需要購(gòu)買行李票,行李票費(fèi)用y(單位:元)與行李質(zhì)量x(單位:千克)的關(guān)系如圖.試求:
(1)直線AB的方程;
(2)旅客最多可免費(fèi)攜帶的行李質(zhì)量.
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解 (1)由題圖知點(diǎn)A(60,6),B(80,10),故直線AB的方程是 ,化簡(jiǎn)得x-5y-30=0.
(2)結(jié)合(1),令y=0,解得x=30,
即旅客最多可免費(fèi)攜帶30千克的行李.

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